Một Số Lớp Phương Trình Trong Không Gian Banach Có Thứ Tự.pdf

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
------------------------------

VÕ VIẾT TRÍ

MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH
TRONG KHƠNG GIAN BANACH CĨ
THỨ TỰ

Tai Lieu Chat Luong

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
------------------------------

VÕ VIẾT TRÍ

MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH
TRONG KHƠNG GIAN BANACH CĨ
THỨ TỰ
Chun ngành: Tốn Giải Tích
Mã số:

62 46 01 02
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2016


Mục lục

1 PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHƠNG GIAN VỚI K-CHUẨN
1.1

Khơng gian với thứ tự sinh bởi nón, khơng gian với K-chuẩn. . . . . . .

1.2

Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian với K-chuẩn

10
11

nhận giá trị trong không gian Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3

Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian với K-chuẩn
nhận giá trị trong không gian lồi địa phương.

1.4

13

. . . . . . . . . . . . . .

18

1.3.1

Trường hợp không gian lồi địa phương xác định bởi họ nửa chuẩn. 18

1.3.2

Trường hợp không gian lồi địa phương xác định bởi cơ sở lân cận
gốc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Ứng dụng vào bài tốn Cauchy trong thang khơng gian Banach. . . . .

31

1.4.1

Trường hợp bài tốn khơng nhiễu. . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

1.4.2

Trường hợp bài tốn có nhiễu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2 ÁNH XẠ CÔ ĐẶC THEO ĐỘ ĐO PHI COMPACT VỚI GIÁ TRỊ
TRONG NÓN

44

2.1

Độ đo phi compact, ánh xạ cô đặc và định lý điểm bất động. . . . . . .

44

2.1.1

Độ đo phi compact nhận giá trị trong nón. . . . . . . . . . . . .

44

2.1.2

Ánh xạ cô đặc theo một độ đo và định lý điểm bất động. . . . .

47

Ứng dụng vào phương trình vi phân có chậm trong khơng gian Banach.

49

2.2

3 PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ CHỨA THAM SỐ TRONG

1


2

KHƠNG GIAN CĨ THỨ TỰ

53

3.1

Bậc tơpơ tương đối của lớp ánh xạ đa trị cô đặc. . . . . . . . . . . . . .

54

3.1.1

Tính nửa liên tục và compact của ánh xạ đa trị. . . . . . . . . .

54

3.1.2

Bậc tôpô tương đối. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.1.3

Tính bậc tơpơ tương đối cho một số lớp ánh xạ và ứng dụng vào

3.2

3.3

bài toán điểm bất động. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

Phương trình với ánh xạ đa trị chứa tham số có chặn dưới đơn điệu. . .

67

3.2.1

Tính liên tục của tập nghiệm dương của phương trình. . . . . .

67

3.2.2

Khoảng giá trị tham số để phương trình có nghiệm: . . . . . . .

71

3.2.3

Ứng dụng vào một dạng bài toán điều khiển. . . . . . . . . . . .

73

Bài toán giá trị riêng, véc tơ riêng dương. . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

3.3.1

Sự tồn tại véctơ riêng và giá trị riêng dương. . . . . . . . . . . .

81

3.3.2

Một số tính chất Krein-Rutman của giá trị riêng dương, véc tơ
riêng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88


3

MỞ ĐẦU
Lí thuyết về các khơng gian Banach với thứ tự sinh bởi nón và các phương trình
trong chúng được hình thành từ những năm 1940 và được tổng kết bước đầu trong bài
báo [35] của M.G.Krein và M.A.Rutman. Nó được phát triển mạnh mẽ và đạt được
những kết quả sâu sắc cả về mặt lí thuyết lẫn mặt ứng dụng trong giai đoạn 1950–
1980 trong các cơng trình của M.A.Krasnoselskii và các học trị của ơng [30, 31], của
E.N.Dancer, P.Rabinowitz, R.Nussbaum, W.V.Petryshyn,... [1, 12, 13, 44]. Lý thuyết

này tiếp tục hồn thiện cho đến tận hơm nay với những ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh
vực truyền thống (Lí thuyết phương trình vi phân, tích phân; các phương trình xuất
phát từ Vật lí, Hố học, Sinh học) và các lĩnh vực mới (Lí thuyết điều khiển, Tối ưu
hố, Y học, Kinh tế học, Ngôn ngữ học,...) [2, 3, 9, 10, 18, 22, 23, 24, 25, 47, 48, 49, 50].
Hướng nghiên cứu tiếp theo của Lí thuyết phương trình trong khơng gian có thứ tự
cũng giống các lĩnh vực Tốn học khác, có lẽ sẽ đi theo hai hướng. Một mặt tiếp tục
phát triễn lí thuyết cho các lớp phương trình mới trong khơng gian thứ tự, mặt khác
ứng dụng lí thuyết vào giải quyết các bài tốn của các lĩnh vực khác mà ban đầu có
thể khơng liên quan đến các phương trình trong khơng gian thứ tự.
Trong luận án này, chúng tơi sẽ trình bày các kết quả nghiên cứu của mình theo hai
hướng nêu trên, đó là nghiên cứu một số lớp phương trình với ánh xạ đa trị tổng qt
chứa tham số trong khơng gian có thứ tự và sử dụng chuẩn nón, độ đo phi compact
với giá trị trong nón để nghiên cứu phương trình trong khơng gian có thể khơng có thứ
tự. Dưới đây chúng tơi sẽ nêu các kết quả chính của luận án, mối liên quan của chúng
với các kết quả của các tác giả khác.
I. Sử dụng chuẩn nón và độ đo phi compact với giá trị trong nón để
nghiên cứu các phương trình.
Quan hệ thứ tự được sử dụng một cách tự nhiên trong nghiên cứu phương trình vi
phân, tích phân (nhờ Nguyên lí Maximum, bổ đề Gronwal,...), trong Lí thuyết điểm
bất động (sử dụng tính đơn điệu của ánh xạ để giảm nhẹ hoặc bỏ điều kiện liên tục,


4

compact hoặc xây dựng dãy lặp đơn điệu hội tụ về nghiệm,...). Ngay cả trong các vấn
đề tưởng chừng không liên quan đến thứ tự thì việc đưa vào một thứ tự thích hợp sẽ
làm cho việc giải quyết bài tốn đó được sáng rõ hơn, ngắn gọn hơn. Ta có thể thấy
điều này qua chứng minh định lý Hahn-Banach, định lý Tychonoff về tích các khơng
gian compact (sử dụng Bổ đề Zorn), định lý điểm bất động của Caristi, Nguyên lí biến
phân Ekeland (với việc xây dựng thứ tự thích hợp).

Khơng gian với metric nón hoặc chuẩn nón (cũng cịn gọi là khơng gian K-metric,
khơng gian K-chuẩn) là một mở rộng tự nhiên của các không gian metric, định chuẩn
thông thường khi metric hoặc chuẩn nhận giá trị trong nón dương của một khơng gian
có thứ tự. Chúng được đưa vào nghiên cứu từ những năm 1950 và được ứng dụng trong
Giải tích số, Phương trình vi phân, Lí thuyết điểm bất động,... trong các cơng trình
của Kantorovich [32, 33, 34], Collatz [11], P.Zabreiko và các học trò với các kết quả
được tổng kết trong [55].
Ta có thể thấy sự hữu ích của việc sử dụng khơng gian với chuẩn nón qua ví dụ
sau. Giả sử ta có khơng gian định chuẩn thông thường (X; q) và ta muốn tìm điểm bất
động của ánh xạ T : X ! X. Trong một số trường hợp ta có thể tìm được không gian
Banach (E; k:k) với thứ tự sinh bởi nón chuẩn K

E; ánh xạ tuyến tính dương liên

tục Q : E ! E và chuẩn nón p : X ! K sao cho q (x) = kp (x)k và
p (T (x)

T (y))

Q [p (x

y)] , x; y 2 X:

(1)

Từ (1) ta có
kp (T (x)

T (y))k

N: kQk : kp (x

y)k :

Như vậy, 9k > 0 để
q (T (x)

T (y))

kq (x

y) , x; y 2 X

(2)

Nếu chỉ làm việc trong (X; q) với tính chất (2) thì ta có được ít thơng tin hơn khi
làm việc với (1) vì từ (1) ta có thể sử dụng các tính chất của ánh xạ tuyến tính dương
đã được tìm ra trong Lí thuyết phương trình trong khơng gian có thứ tự.
Gần đây, các nghiên cứu về điểm bất động trong không gian với nón metric sơi


5

động trở lại sau bài báo [20] (ta có thể tham khảo bài báo tổng quan [27] về các nghiên
cứu gần đây với liệt kê hơn 100 bài báo, tuy chưa đầy đủ). Tuy nhiên, các tác giả của
bài báo [20] và phần lớn của các bài tiếp theo đã không biết các nghiên cứu về đề tài
này trong giai đoạn trước; các kết quả của họ cũng không tổng quát hơn và cũng chỉ
mang tính lí thuyết. Các nghiên cứu về điểm bất động trong khơng gian với metric
nón ở giai đoạn trước và gần đây cũng chỉ tập trung vào Ngun lí Cacciopoli-Banach
và các mở rộng của nó. Cho đến thời điểm chúng tôi gởi đăng bài báo [TG1] chúng tôi

chưa thấy kết quả nào về mở rộng định lý Krasnoslskii về điểm bất động của tổng ánh
xạ co và ánh xạ compact cho không gian với chuẩn nón.
Trong chương 1 của luận án, chúng tơi trình bày các kết quả về định lý điểm bất
động kiểu Krasnoselskii cho ánh xạ T + S trong không gian với chuẩn nón cho hai
trường hợp. Trong trường hợp chuẩn nhận giá trị trong không gian Banach chúng tôi
đặt điều kiện (1) lên ánh xạ T . Trường hợp chuẩn nhận giá trị trong khơng gian lồi
địa phương E thì ánh xạ T thoả mãn điều kiện dạng
p (Tzn (x)

Tzn (y))

Qn p (x

y) , 8x; y; z 2 X; n 2 N

với Qn : E ! E là dãy ánh xạ dương, liên tục và Tz (x) = T (x) + z.
Các kết quả trừu tượng được chúng tôi áp dụng vào khảo sát bài toán Cauchy
x0 (t) = f [t; x (t)] + g [t; x (t)]

(3)

trong thang các không gian Banach (Fs ; k:ks ), s 2 (0; 1]:
Sự tồn tại nghiệm của (3) (cũng còn gọi là định lý Cauchy-Kovalevkaya trừu tượng)
với f thoả điều kiện Lipschitz dạng Ovcjannikov: kf (t; u)
s
f (t; v)ks

Cku vkr
,

(r s)

0<

1 và g (t; u) = 0, đã được nghiên cứu bởi F.Treves, L.Ovcjannikov, L.Nirenber,

T.Nishida,... [38, 39, 40, 45], còn trong trường hợp g là ánh xạ compact, bài toán được
H.Begehr [7], M.Ghisi [16], nghiên cứu. Các tác giả đã xây dựng dãy lặp và chứng
minh sự tồn tại nghiệm địa phương. M.Safonov [45] chỉ ra rằng khi g = 0 sự tồn tại
nghiệm có thể chứng minh bằng định lý ánh xạ co với việc xây dựng chuẩn thích hợp,
P.Zabreiko [55] cho thấy, nó cịn có thể được nghiên cứu nhờ định lý ánh xạ co trong


6

khơng gian với chuẩn nón.
Trong trường hợp g = 0 chúng tôi xây dựng không gian (E; k:k) mà trong đó chuẩn
nón nhận giá trị, có chuẩn k:k được định nghĩa tương tự chuẩn được sử dụng bởi
Safonov và thay đổi cách định nghĩa của Zabreiko về ánh xạ Q trong điều kiện (1).
Từ đó chúng tơi cũng nhận lại được định lý Nishida theo phương pháp sử dụng không
gian với chuẩn nón. Ngồi ra, chúng tơi cũng chứng minh được tính liên tục của ánh xạ
(I

T)

1

; trong đó T là ánh xạ tích phân tương ứng của phương trình. Trong trường

hợp ánh xạ g là compact và f thoả điều kiện ngặt hơn điều kiện Ovcjannikov và có

dạng kf (t; u)

f (t; v)ks

ks ku

vks ; chúng tôi sử dụng định lý kiểu Krasnoselskii

cho khơng gian với chuẩn nón nhận giá trị trong không gian lồi địa phương để chứng
minh sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy trên [0; 1). Chúng tôi chưa biết kết quả
nào về tồn tại nghiệm trên [0; 1) của bài toán Cauchy trên thang các không gian
Banach.
Độ đo phi compact với giá trị trong nón được định nghĩa và có các tính chất tương
tự như độ đo phi compact với giá trị trong R [6]. Độ đo này cịn ít được sử dụng trong
chứng minh sự tồn tại nghiệm của các phương trình. Trong [6] đã giới thiệu một ứng
dụng của độ đo phi compact với giá trị trong nón để chứng minh sự tồn tại nghiệm
của bài tốn Cauchy có chậm
x0 (t) = f [t; x (h (t))] với 0

h (t)

t1=p :

(4)

Trong chương 2 của luận án chúng tôi chứng minh một định lý về điều kiện để có
một ánh xạ f tác động trong không gian Banach X là cô đặc đối với độ đo phi compact
' với giá trị trong nón dương K của không gian thứ tự E. Điều kiện của chúng tôi là
'[f (Y )]
tập Y

A [' (Y )], Y

X trong đó A : K ! K là một ánh xạ tăng. Khi đó nếu

X thoả mãn điều kiện ' [f (Y )]

' (Y ) thì ta có ' (Y )

A [' (Y )]. Như vậy

phần tử ' (Y ) 2 K là một nghiệm dưới của phương trình u = A (u) và ta có thể sử
dụng các kết quả về điểm bất động của ánh xạ tăng A để chứng minh ' (Y ) = 0. Lí
luận trên cho ta thấy lợi ích của việc sử dụng độ đo phi compact với giá trị trong nón.


7

Kết quả trừu tượng trên được chúng tôi sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm cho
một mở rộng của (4) dạng
x0 (t) = f [t; x (t) ; x (h (t))] :
II. Phương trình đa trị chứa tham số trong khơng gian có thứ tự.
Nghiên cứu về phương trình với ánh xạ đơn trị chứa tham số dạng
x = A ( ; x)

(5)

trong khơng gian có thứ tự đã thu được các kết quả sâu sắc, bắt đầu từ định lý KreinRutman về giá trị riêng và vectơ riêng dương của ánh xạ tuyến tính dương mạnh, tiếp
theo là các nghiên cứu về cấu trúc toàn cục tập nghiệm của phương trình trong các
bài báo của Krasnoselskii, Dancer, Rabinowitz, Nussbaum, Amann,... [1, 12, 13, 21,

30, 31, 44].
Nghiệm của (5) thường không tồn tại đơn lẻ và ta muốn tìm hiểu xem các tập
nghiệm
S1 = fx j 9 : x = A ( ; x)g ;
S2 = f( ; x) : x 6= ; x = A ( ; x)g
có dày đặc theo một nghĩa nào đó khơng? Krasnoselskii sử dụng bậc tôpô, kết hợp
với giả thiết về chặn dưới đơn điệu đã chứng minh rằng tập nghiệm S1 của (5) là liên
tục theo nghĩa trên biên của mọi tập mở, bị chặn chứa

đều có điểm của S1 . Dancer,

Rabinowitz, Nussbaum, Amann đã sử dụng bậc tôpô kết hợp với một định lý về tách
các tập compact liên thông để chứng minh sự tồn tại thành phần liên thông không bị
chặn trong tập S2 .
Dạng đa trị của (5) là x 2 A ( ; x) và ta cũng muốn thiết lập các kết quả về cấu
trúc tập nghiệm của bao hàm thức này. Bậc tôpô cho ánh xạ đa trị dương, compact đã
được xây dựng trong các bài báo của W.Petryshyn và M.Fitzpatrick [15] và đã được
sử dụng để mở rộng sang trường hợp đa trị các định lý Krasnoselskii về điểm bất động
của ánh xạ nén-giãn nón và định lý Leggett-Williams (Xem [26, 41, 42] và các tài liệu
tham khảo trong đó). Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tơi thì cho đến nay chưa có


8

mở rộng của định lý Krasnoselskii về tính liên tục của tập nghiệm sang trường hợp đa
trị. Khó khăn gặp phải có lẽ liên quan đến việc chọn định nghĩa khái niệm ánh xạ đa
trị tăng thích hợp.
Trong phần đầu chương 3 của luận án chúng tơi trình bày các mở rộng sang trường
hợp đa trị cho định lý Krasnoselskii về tính liên tục của tập nghiệm và định lý Krasnoselskii về khoảng giá trị của tham số để cho phương trình có nghiệm. Các kết quả
này được chúng tơi áp dụng để nghiên cứu bài toán biên với hàm điều khiển dạng

x00 (t) + (t) f (x (t)) = 0; x (0) = x (1) = 0;
(t) 2 F (t; x (t)) :

(6)

Bài toán (6) được đưa về bài tốn dạng
x 2 A (x)

(7)

trong đó x 2 { [0; 1], A là tốn tử tích phân đa trị. Để nghiên cứu bài tốn (7) chúng
tơi xét bài tốn chứa tham số x 2 A (x). Với một số giả thiết đặt lên các hàm f , F
chúng tôi chứng minh được tính liên tục của tập nghiệm của bài toán chứa tham số và
chỉ ra khoảng cụ thể các giá trị tham số để bài tốn có nghiệm. Các cận của khoảng
này được tính qua dữ kiện về hàm f , F . Đặt điều kiện để khoảng này chứa 1 ta thu
được sự tồn tại nghiệm của (7), (6). Phương pháp nghiên cứu bài tốn (6) của chúng
tơi khác với các nghiên cứu về các phương trình tương tự của [26, 41, 42], ở đó sử dụng
các định lý Krasnoselskii về nén-giãn nón hoặc định lý Leggett-William cho ánh xạ đa
trị.
Tiếp theo chúng tôi áp dụng định lý về tính liên tục của tập nghiệm của phương
trình có chặn dưới đơn điệu vào bài toán giá trị riêng của ánh xạ đa trị tăng, thuần
nhất dương bậc 1. Trong bài báo [35], Krein và Rutman đã chứng minh kết quả quan
trọng sau.
Định lý Krein-Rutman
Cho E là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón K và T : E ! E là một tốn
tử tuyến tính dương và compact với bán kính phổ r (T ) > 0. Khi đó r (T ) là một giá
trị riêng của T ứng với vectơ riêng dương x0 : Giả sử thêm intK 6= ? va T là dương


9

mạnh, khi đó
1. x0 2 intK:
2. r(T ) là bội đơn.
3. Nếu

6= r (T ) là một giá trị riêng của T thì j j < r (T ) :

Kết quả trên đã được mở rộng cho một số lớp ánh xạ không dương mạnh như ánh
xạ u0 -dương, ánh xạ khơng phân tích được,.... trong các cơng trình của Krasnoselskii
và các học trò [30, 31]. Gần đây, trong các bài báo của Nussbaum [47], K.Chang [8],
Mahadevan [37], định lý Krein đã được mở rộng một phần cho lớp ánh xạ tăng, thuần
nhất dương bậc 1 bằng cách sử dụng định lý Rabinowitz về phân nhánh toàn cục. Theo
hiểu biết của chúng tôi, các kết quả về sự tồn tại và tính chất của giá trị riêng, vectơ
riêng dương cho các ánh xạ đa trị trong khơng gian có thứ tự cịn hạn chế, chúng tơi chỉ
tham khảo được các kết quả trong [2, 3] cho trường hợp hữu hạn chiều và trong [34, 46]
cho ánh xạ liên hợp của các quá trình lồi. Phương pháp chứng minh là sử dụng định
lý tách các tập lồi hoặc định lý về điểm cân bằng. Việc mở rộng định lý Rabinowitz
về phân nhánh toàn cục sang trường hợp đa trị rồi áp dụng vào bài tốn giá trị riêng
là khó. Phương pháp của chúng tơi là sử dụng định lý về tính liên tục của tập nghiệm
của phương trình có chặn dưới đơn điệu.
Trong phần cuối của luận án chúng tơi trình bày các mở rộng các tính chất KreinRutman về giá trị riêng, vectơ riêng sang trường hợp đa trị. Với việc mở rộng cho ánh
xạ đa trị các khái niệm u0 -dương, u0 -đơn điệu, nửa dương mạnh và một số đại lượng
thay thế cho bán kính phổ, chúng tơi đã chứng minh được một phần các tính chất
Krein-Rutman cho các ánh xạ tăng, thuần nhất dương.
Một phần kết quả của luận án đã được công bố hoặc gởi đăng trong các bài báo
[TG1-TG4] và được báo cáo tại đại hội Toán học Việt nam lần thứ 8, tháng 8/2013 tại
Nha trang và tại hội nghị khoa học khoa Toán-Tin trường Đại học Sư phạm Tp HCM.

Chương 1
PHƯƠNG TRÌNH TRONG
KHƠNG GIAN VỚI K-CHUẨN
Trong phần đầu của chương này chúng tơi trình bày các khái niệm cơ bản về khơng
gian với thứ tự sinh bởi nón, khơng gian với K-chuẩn, các tôpô được sử dụng và khái
niệm đầy đủ trên khơng gian này. Kết quả chính của chúng tôi trong chương này là
chứng minh các định lý về điểm bất động của tổng ánh xạ co và ánh xạ compact trên
không gian với K-chuẩn. Chúng tôi xét trong hai trường hợp: trường hợp K-chuẩn nhận
giá trị trong không gian Banach (Định lý 1.1), trường hợp K-chuẩn nhận giá trị trong
không gian lồi địa phương xác định bởi họ nửa chuẩn (Định lý 1.3) hoặc xác định bởi
cơ sở lân cận của gốc (Định lý 1.5).
Tiếp theo, chúng tơi trình bày ứng dụng kết quả trên để chứng minh sự tồn tại
nghiệm cho hai lớp bài toán Cauchy trong thang các khơng gian Banach: bài tốn
khơng nhiễu (Định lý 1.6) và bài toán nhiễu (Định lý 1.7).
Kết quả ở mục 1.2 đã được công bố trong [TG1], mục 1.3 là sự mở rộng các kết
quả đã công bố trong [TG2].

10


11

1.1

Khơng gian với thứ tự sinh bởi nón, khơng gian
với K-chuẩn.

Dưới đây, chúng tơi ln xét hình nón có các tính chất nêu trong định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1.1
Cho (E; ) là khơng gian tơpơ tuyến tính thực, như vậy E là khơng gian tuyến tính

trên trường số thực và
Tập K

là tơpơ tương thích với cấu trúc đại số trên E.

E gọi là nón trên E nếu:

(i) K là tập lồi, đóng, khác rỗng
(ii) K

K cho tất cả

0

(iii) K \ ( K) = f g.
Trong E với nón K ta định nghĩa quan hệ thứ tự như sau:
x

y ,y

x 2 K:

Khi đó ta gọi bộ ba (E; K; ) là khơng gian có thứ tự sinh bởi nón K (gọn hơn là
khơng gian có thứ tự ).
Trong trường hợp (E; k:k) là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K ta gọi bộ
ba (E; K; k:k) là không gian Banach thứ tự.
Định nghĩa 1.2
Cho (E; K; k:k) là khơng gian Banach thứ tự. Nón K được gọi là nón chuẩn nếu
như tồn tại số N > 0 sao cho
u

v thì kuk

N kvk :

Các tính chất sau của thứ tự đã nêu thường xuyên được sử dụng.
Mệnh đề 1.1
Cho (E; K; ) là không gian thứ tự, khi đó:
1) Với x; y 2 E và x
(i) x + z

y+z

y thì
(8z 2 E);

(1.1)


12

(ii) x

y

(8

0) .

2) Với các lưới fx g ; fy g trong E thoả x

thì x

y (8 2 ) , x

! x và y

!y

y:

3) Nếu fxn g

E là dãy tăng và xn ! x thì xn

x ( 8n 2 N).

Mệnh đề 1.2
Cho (E; K; k:k) là không gian Banach thứ tự và K là nón chuẩn. Khi đó:
1) Với các dãy fxn g ; fyn g ; fzn g trong E thoả xn

yn

zn ( 8n 2 N) và lim xn =

lim zn = x thì lim yn = x:
3) Nếu dãy đơn điệu fxn g trong E có chứa dãy con hội tụ về x thì lim xn = x:
Định nghĩa 1.3
Cho (E; K; ) là không gian thứ tự, M

E: Một ánh xạ A : M ! E gọi là dương

nếu
A (x)

với mọi x 2 M mà x

;

được gọi là tăng nếu
x; y 2 M và x

y thì A (x)

A (y) :

Rõ ràng rằng, nếu A : E ! E là ánh xạ tuyến tính và dương thì nó là tăng.
Với (E; K; k:k) là không gian Banach thứ tự, ký hiệu E là không gian liên hợp.
Tập hợp
K = ff 2 E : f (x)

0 cho mọi x 2 Kg

được gọi là nón liên hợp của K. Các tính chất được nhắc lại dưới đây của nón liên hợp
được sử dụng mà không chứng minh.
Mệnh đề 1.3 ([13], Proposition 19.3, p.222)
1) x 2 K , f (x)

0 8f 2 K :

2) x 2 Kn f g thì tồn tại f 2 K thoả f (x) > 0.

3) Nếu x 2int(K) và f 2 K n f0g thì f (x) > 0:
4) Nếu x 2 @K thì tồn tại f 2 K n f0g để cho f (x) = 0:


13

Mệnh đề sau cho phép chúng ta chọn N = 1 trong (1.1).
Mệnh đề 1.4 ([30])
Cho không gian Banach (E; k:k) với thứ tự sinh bởi nón K và k:k là phiếm hàm
Minkowskii của tập hợp [B ( ; 1)

K] \ [B ( ; 1) + K] : Khi đó

1) k:k là một chuẩn trong E thoả kuk
u

kuk 8u 2 E và kuk

kvk nếu như

v,

2) k:k

k:k nếu như K là nón chuẩn.

Định nghĩa 1.4 ([55])
Cho (E; K; ) là khơng gian với thứ tự sinh bởi nón K và X là khơng gian tuyến
tính thực. Một ánh xạ p : X ! E được gọi là K-chuẩn hay chuẩn nón trên X nếu
(i) p (x)

E

8x 2 X và p (x) =

E

nếu và chỉ nếu x =

X,

ở đây

E,

X

lần lượt

là phần tử không của E và X,
(ii) p ( x) = j j p (x) 8 2 R, 8x 2 X,
(iii) p (x + y)

p (x) + p (y) 8x; y 2 X.

Nếu p là K-chuẩn trên X thì cặp (X; p) sẽ gọi là không gian K-chuẩn. Không gian này
nếu được xét với tơpơ

1.2

thì được ký hiệu bởi (X; p; ).

Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong
không gian với K-chuẩn nhận giá trị trong không
gian Banach.

Trong mục này, cho (E; K; k:k) là không gian Banach thứ tự và (X; p) là không gian
K-chuẩn. Chúng ta sẽ sử dụng hai tôpô được định nghĩa dưới đây.
Định nghĩa 1.5
1) Ta định nghĩa lim xn = x nếu và chỉ nếu lim p (xn
n!1

n!1

x) =

trong E và chúng

ta gọi một tập con A của X là tập đóng nếu A = ? hoặc A có tính chất: Với dãy bất
kỳ fxn g

A mà lim xn = x thì x 2 A. Ta ký kiệu
n!1

1

là tôpô trên X xác định bởi


14

1

= G

X : XnG đóng :

2) Ta gọi

2

Khi đó (X;

là tôpô trên X được xác định bởi họ các nửa chuẩn ff
2)

p : f 2 K g.

là một không gian vectơ tôpô lồi địa phương và họ các tập
x 2 X : max fi p (x) < " ; fi 2 K ; n 2 N ; " > 0
1 i n

lập thành một cơ sở lân cận của gốc và một lưới fx g X hội tụ đến x theo
và chỉ nếu
lim f (p (x
x)) = 0 với mọi f 2 K :

2

nếu

Định nghĩa 1.6 ([55])
Cho (E; K; k:k) là một không gian Banach thứ tự và (X; p) là không gian K-chuẩn.
Giả sử

là một tôpô trên X

1) Ta nói rằng (X; p; ) là đầy đủ theo Weierstrass nếu với mọi dãy bất kỳ fxn g
1
P
mà chuỗi
p (xn+1 xn ) hội tụ trong E thì dãy fxn g hội tụ trong (X; p; ).

X

n=1

2) Ta nói rằng (X; p; ) là đầy đủ theo Kantorovich nếu một dãy bất kỳ fxn g thoả
p (xk

xl )

an với mọi k; l

n, fan g

K, lim an =

(1.2)

E

n!1

thì fxn g hội tụ trong (X; p; ). Chú ý rằng dãy fan g trong (1.2) phụ thuộc vào fxn g :
Hai bổ đề dưới đây sẽ cho thấy mối quan hệ giữa các khái niệm đầy đủ vừa nêu.
Bổ đề 1.1
Cho không gian Banach (E; K; k:k) với thứ tự sinh bởi nón chuẩn K với N = 1
trong (1.1) và (X; p) là một khơng gian K-chuẩn. Khi đó ánh xạ q : X

! R,

q (x) = kp (x)k là một chuẩn trên X, và ta có:
1) Tơpơ

1

trùng với tơpơ của khơng gian định chuẩn (X; q).

2) Nếu (X; p;

1)

là đầy đủ theo Weierstrass thì (X; q) là đầy đủ.

Chứng minh.
Rõ ràng rằng, q là một chuẩn trên X và lim xn = x trong (X; p;
n!1

lim xn = x trong (X; q). Do đó, tập A

n!1

X là đóng trong (X; p;

1)

1)

khi và chỉ khi

nếu và chỉ nếu A

là đóng trong (X; q) và khẳng định thứ nhất được chứng minh. Để thấy tính đầy đủ
1
P
của (X; q) chúng ta xét dãy fxn g X thoả
q (xn ) < 1 và ta phải chứng minh rằng
n=1


15

chuỗi

1
P

n=1

có

xn hội tụ trong (X; q). Thật vậy, ta đặt sn = x1 + x2 + ::: + xn , n 2 N thì ta
1
X
n=1
1
P

điều này dẫn đến chuỗi

kp (sn

p (sn

n=1

sn 1 )k =

1
X
n=1

q (xn ) < 1;

sn 1 ) hội tụ trong (E; k:k). Từ giả thiết (X; p;

đầy đủ theo Weierstrass, chúng ta có được dãy fsn g hội tụ trong (X; p;

1)

1)

và do đó

cũng hội tụ trong (X; q).
Bổ đề 1.2
Cho (E; K; k:k) là một không gian Banach thứ tự và (X; p) là một không gian
K-chuẩn,

là một tôpô trên X.

1) Nếu (X; p; ) là đầy đủ theo Kantorovich thì nó là đầy đủ theo Weierstrass.
2) Nếu K là nón chuẩn và (X; p;

1)

là đầy đủ theo Weierstrass thì (X; p;

1)

là

đầy đủ theo Kantorovich.
Chứng minh.
1. Giả sử fxn g

X và chuỗi

1

P

p (xn+1

xn ) hội tụ trong E: Ta gọi s, sn lần lượt là

n=1

tổng và tổng riêng thứ n của chuỗi này. Với mỗi số l, số k thoả l > k
p (xl

xk )

sk

1

sl

s

1

sn với lim (s
n!1

sn ) =

n chúng ta có

trong E. Vì vậy, fxn g hội tụ

nhờ tính đầy đủ theo Kantorovich của (X; p; ). Vậy (X; p; ) đầy đủ theo Weierstrass.
2. Xét dãy fxn g thoả (1.2). Do K là nón chuẩn ta có kp (xl

xk )k

N kan k, vì thế

fxn g là dãy Cauchy trong (X; q) và do đó nó hội tụ trong (X; q) và trong (X; p;

1)

theo Bổ đề 1.1.
Định lý 1.1
Cho (E; K; k:k) là không gian Banach thứ tự, (X; p; ) là không gian K-chuẩn đầy
đủ theo Weierstrass với

=

1

hoặc

=

2.

Giả sử rằng C là một tập lồi, đóng trong

(X; p; ) và S,T : C ! X là các toán tử thoả mãn các điều kiện sau
(i) T (x) + S (y) 2 C 8x; y 2 C;
(ii) S là liên tục và S (C) là tập compact đối với tôpô

;


16

(iii) tồn tại tốn tử tuyến tính dương, liên tục Q : E

! E với bán kính phổ

r (Q) < 1 sao cho:
p (T (x)

T (y))

Q [p (x

y)]

với mọi x; y 2 C:

Khi đó tốn tử T + S có điểm bất động trong các trường hợp sau:
(C1 )

=

1,

(C2 )

=

2.

K là nón chuẩn.

Chứng minh.
Trước hết, từ giả thiết (i) và tính chất đóng của C thì T (x) + y 2 C 8x 2 C; 8y 2
S (C). Cố định y 2 S (C), ta định nghĩa toán tử Ty : C

! C xác định bởi Ty (x) =

T (x) + y.
Bây giờ, bắt đầu từ một phần tử bất kỳ x0 2 C; chúng ta xây dựng dãy xn =
Ty (xn 1 ), với n = 1; 2; :::. Đặt u = p (x1
p (xn+1
Chúng ta đã biết rằng

1
X

xn )

x0 ) thì bằng cách quy nạp theo n ta có
Qn (u) cho mọi n 2 N:

Qn (u) = (I

Q)

1

(u) :

n=0

Suy ra

1
X

p (xn+1

xn )

(I

Q)

1

(u)

n=0

Do (X; p; ) là đầy đủ theo Weierstrass ta có thể tìm được phần tử x = lim xn . Ta có
n!1

p [Ty (x )

x]

p [Ty (x )
Q [p (x

Ty (xn )] + p (xn+1
xn )] + p (xn+1

x)

x)

(1.3)

và với mọi f 2 K ta có
f (p [Ty (x )

x ])

f

Q [p (x

xn )] + f

p (xn+1

x) .

(1.4)

Bằng cách cho n ! 1 với chú ý định nghĩa tôpô tương ứng, sử dụng (1.3) trong trường
hợp (C1 ) chúng ta có được Ty (x ) = x . Đối với trường hợp (C2 ) chúng ta sử dụng (1.4)
với chú ý rằng f Q 2 K thì chúng ta cũng có kết quả tương tự. Bây giờ ta chứng tỏ
điểm bất động x của Ty sẽ là duy nhất. Thật vậy, nếu có phần tử a thoả Ty (a) = a


17

thì p (a
Từ (I

x ) = p [Ty (a)
Q)

1

Ty (x )]

Q [p (a

x )]. Suy ra (I

là tuyến tính, dương nên chúng ta có p (a

x )=

Q)
E

p (a

x)

.

và do đó a = x .

Như vậy, với mỗi y 2 S (C) thì tồn tại duy nhất x 2 C để cho T (x) + y = x. Nói
1

: S (C) ! C. Chúng ta sẽ chứng tỏ toán tử này

liên tục. Thật vậy, giả sử lưới fy g

S (C) là hội tụ đến y 2 S (C) đối với tôpô .

khác đi là tồn tại toán tử (I

1

Đặt x = (I

T)

và do đó x

x = T (x ) + y

T)

(y ), x = (I

p (x

1

T)

(y) ; khi đó ta có Ty (x ) = x và Ty (x) = x

T (x)
x)

y: Suy ra

p [T (x )

Q [p (x

T (x)] + p (y

x)] + p (y

y)

y) ;

và từ đó
(I

Q) [p (x

x)]

Do tính đơn điệu và dương của tốn tử (I
p (x

x)

(I

(I

Q)

p (y
1

Q)
Q)

1

y) :

ta có

[p (y

y)]

(1.5)

và
f

p (x

x)

f

1

[p (y

y)] với mọi f 2 K :

(1.6)

Trong trường hợp (C1 ) chúng ta dùng (1.5) và tính chuẩn của nón K thì lưới fx g hội
tụ đến x theo tôpô
f

(I

Q)

1

1.

Đối với trường hợp (C2 ), chúng ta dùng (1.6) và chú ý rằng

2 K thì lưới fx g hội tụ đến x theo tơpơ

Tốn tử (I

T)

1

S :C

chứa trong tập compact (I
thoả x = (I

T)

1

T)

! C là liên tục, tập (I
1

2.

Vậy (I

T)

1

T)

1

liên tục.

S (C) là compact vì

S (C) : Theo Định lý Tychonoff thì tồn tại x 2 C

S (x) hay x = T (x) + S (x) :


18

1.3

Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong
không gian với K-chuẩn nhận giá trị trong không
gian lồi địa phương.

1.3.1

Trường hợp không gian lồi địa phương xác định bởi họ
nửa chuẩn.

Cho (E; K; ) là không gian lồi địa phương Hausdorff với tôpô
nửa chuẩn

xác định bởi họ các

và thứ tự sinh bởi nón K: Trong mục này ta ln giả sử họ nửa chuẩn

có tính chất
x

y ) ' (x)

' (y) 8' 2 :

(1.7)

Cho (X; p) là không gian với K-chuẩn p nhận giá trị trong E. Trên X ta xét tôpô
sinh bởi sự hội tụ của lưới theo định nghĩa sau đây: Lưới fx g hội tụ về x trong X
đối với tơpơ

x) !

khi và chỉ khi p (x

E.

Khi đó (X; p; ) là không gian lồi địa

phương xác định bởi họ nửa chuẩn f' p : ' 2 g, và ta có, x ! x khi và chỉ khi
'p (x

x) ! 0 cho mọi ' 2 . Chúng tôi nhắc lại khái niệm liên tục đều trên không

gian lồi địa phương và các kết quả được sử dụng mà không chứng minh.
Bổ đề 1.3
Cho không gian lồi địa phương (E; K; ) với tơpơ

xác định bởi họ nửa chuẩn

có tính chất (1.7). Khi đó
1) Nếu các lưới fa g
thì ta có a

!

2^

; fb g

2^

thoả

E

a

b với mọi

2 ^ và b

!

E

E

2) Giả sử (E; K; ) đầy đủ theo dãy và fan gn2N ; fbn gn2N thoả
1
1
P
P
mọi n 2 N: Khi đó
an hội tụ nếu
bn hội tụ:
n=0

E

an

bn với

n=0

Định nghĩa 1.7

Cho (X; p; ) là khơng gian nón chuẩn và C
liên tục đều trên C nếu với mỗi cặp ('; ") 2

X. Ánh xạ A : C ! X được gọi là
(0; 1), tồn tại số

> 0 sao cho


19

8x; y 2 C; 'p (x

) 'p (A (y)

y) <

A (y)) < ":

Bổ đề 1.4
Ánh xạ g : (X; p; ) ! (X; p; ) liên tục tại x 2 X nếu như với " > 0 và ' 2
cho trước, tồn tại

> 0 để

x0 2 X; ' [p (x0

) ' p (g (x0 )

x)] <

g (x)) < ":

(1.8)

Chứng minh.
Giả sử ta có lưới fx g

X, x ! x. Ta sẽ chứng tỏ g (x ) ! g (x), hay cần chứng

2

minh
g (x)) !

p (g (x )
Giả sử W là lân cận của

i

n; n 2 N ).

, i 2 f1; 2; :::; ng và số " nói trên, theo giả thiết ta tìm được các số

để cho
x0 2 X; 'i [p (x0

Tập V =
E.

(1.9)

(" > 0; 'i 2 , 1

1 i n

Với mỗi 'i 2
i

dạng

y 2 E : max 'i (y) < "

W =

dương

E

E:

x)] <

2 E : j'i ( )j < min

1 i n

Do đó tồn tại

0

2

0

) 'i p (g (x0 )

là một lân cận của

i

E.

g (x)) < ":
Vì x ! x nên p (x

(1.10)
x) !

để
0

Suy ra với

i

ta có 'i (p (x

) p (x

x)) < min

1 i n

x) 2 V:
i

i

với mọi i 2 f1; 2; :::; ng. Sử dụng

(1.10) ta suy ra
'i p (g (x )

g (x)) < " 8i 2 f1; 2; :::; ng ; 8

0:

Điều này đưa đến
p (g (x )

g (x)) 2 W 8

0:

Do đó có khẳng định (1.9). Vậy g liên tục.
Định lý 1.2
Cho không gian có thứ tự (E; K; ) với tơpơ

xác định bởi họ nửa chuẩn

; đầy


20

đủ theo dãy và (X; p; ) là không gian với p là K-chuẩn và tôpô

được xác định

tương ứng. Giả sử (X; p; ) đầy đủ theo Weierstrass, C là tập đóng trong X và ánh xạ
T : C ! X thoả mãn các điều kiện sau
(1) T liên tục đều, Tz (x) = T (x) + z 2 C 8x 2 C; 8z 2 C:
(2) Tồn tại fQn : E ! Egn2N là dãy các ánh xạ dương, liên tục và có các tính chất:
P1
(2a) Chuỗi
n=1 Qn ( ) hội tụ trong E, 8 2 K;
(2b) Với mỗi ' 2

(8x; y 2 C, 'p (x

y) < + " ) ' [Qr p (x

(2c) Với mỗi z 2 C thì p (Tzn (x)
Khi đó ánh xạ (I

> 0 và số r 2 N để cho

và mỗi số " > 0 thì tồn tại

T)

1

Tzn (y))

Qn [p (x

y)] < " )
y)] 8n 2 N , x; y 2 C:

: C ! C là xác định và liên tục.

Chứng minh.
Bước 1: Chứng minh sự tồn tại của ánh xạ (I

T)

1

:

Cố định z 2 C. Với x0 2 C bất kỳ, ta đặt xn = Tz (xn 1 ) ; n = 1; 2; :::; : Quy nạp theo
n ta có xn = Tzn (x0 ) ; xn+1 = Tzn (x1 ). Sử dụng giả thiết (2c) ta có
xk+1 ) = p Tzk (x1 ) Tzk (x0 )
Qk [p (x1 x0 )]

p (xk

Do giả thiết (2a) nên chuỗi
thì chuỗi

1
P

1
P

Qk p (x0

(1.11)

x1 ) hội tụ trong E: Từ (1.11) và Bổ đề 1.3

k=1

p (xn

xn+1 ) hội tụ trong E. Do (X; p; ) đầy đủ theo Weierstrass nên ta

n=1

tìm được x 2 X để xn ! x .
Mặt khác, ta có

p (x

Tz (x ))

p (x
= p (x
p (x

xn+1 ) + p (xn+1 Tz (x ))
xn+1 ) + p (Tz (xn ) Tz (x ))
xn+1 ) + Q1 (p (xn x )) :

Từ bất đẳng thức vừa nêu, tính liên tục của Q1 tại
Tz (x )) =

E:

Vậy x = Tz (x ).

Giả sử ta cũng có a = Tz (a) . Khi đó

E

(1.12)

và vì xn ! x nên p(x


21

a) = p (Tzn (x )

p (x
1

P

Do chuỗi

Qn p (x

Tzn (a))

Qn p (x
a) !

a) hội tụ trong E nên Qn p (x

n=0
E:

a) :
E

và do đó có p (x

a) =

Suy ra x = a. Vậy điểm bất động của Tz là duy nhất. Nghĩa là, tồn tại ánh xạ

z 7 !

(z), với

(z) là điểm bất động của Tz . Dễ thấy (I

T)

1

=

, hơn nữa,

(z) = limn!1 Tzn (x) với x 2 C bất kỳ.
= (I

Bước 2: Chứng minh

1

T)

liên tục.

Cố định y 2 C, đặt x =

(y) : Với ' 2

để cho với y 0 2 C ; x0 =

(y 0 ) thì
y 0 )) <

' (p (y

và " > 0; ta chứng minh tồn tại số dương

x0 )) < " .

) ' (p (x

Thật vậy, sử dụng giả thiết (2b) với " = 31 " ; tồn tại số
8a; b 2 C, 'p (a

1

b) < + " dẫn đến ' [Qr p (a

0

= ;

0
0

b)] < " :

(1.14)

=

' [p (a
1
2

tìm được số

Đặt

2 (0; ") và số r 2 N để cho

1
0
0 . Với cặp ('; 0 ) ; do tính liên tục đều của T nên ta tìm được
2
0
2 (0; 0 ) để cho với a; b 2 C thì khẳng định sau đúng

Đặt
số

(1.13)

0
1

=

1

(để có

0
1

2 (0;

0
1)

2

b)] <

0
1

+

1 );

1

) 'p [T (a)

với cặp (';

0
1)

cùng với tính liên tục đều của T ta

để cho mọi a; b 2 C mệnh đề sau đúng

'p (a

b) <

2

) 'p [T (a)

0
j 1

<

và

0
j

+

0
j

j

0
1:

T (b)] <

0

j ; j i=0;1;2;:::;r 1

Tiếp tục như thế ta tìm được các dãy hữu hạn phần tử
j

0
0:

T (b)] <

8 j = 1; 2; :::; r

thoả

1

và đồng thời với mọi a; b 2 C thì mệnh đề sau đúng
'p (a
Bây giờ đặt

=

b) <
r 1.

j

) 'p [T (a)

Với y 0 2 C thoả ' (p (y

dưới đây:
(i) ' p Tyr (z)

T (b)] <

Tyr0 (z)

<

8z 2 C;

0
j 1

8j = 1; 2; :::; r

y 0 )) <

1:

(1.15)

thì ta có các khẳng định


22
(ii) ' p Tyrn (z)

Tyrn

0 (z)

< + " 8z 2 C; 8n 2 N :

Chứng minh (i).
Bằng quy nạp theo j = 1; 2; 3; :::; r ta sẽ chứng minh

Ta có Ty (z)

' p Tyj (z)

Tyj0 (z)

Ty0 (z) = y

y 0 nên ' [p (Ty (z)

<

r j

cho mọi j = 1; 2; 3; ::; r:
Ty0 (z))] = 'p (y

(1.16)
y0) <

r 1:

Điều

này cho ta (1.16) là đúng với j = 1: Giả sử (1.16) đúng với j 2 f1; 2; :::; kg (ở đây
k
1); khi đó
Tyk+1
(z) = T Tyk (z)
T Tyk0 (z) + y
0
= T (a) T (b) + y y 0 ;

Tyk+1 (z)

y0
(1.17)

với a = Tyk (z) ; b = Tyk0 (z) : Áp dụng giả thiết quy nạp (1.16) với j := k và mệnh đề
(1.15) ta có được
'p [T (a)
Từ (1.17), (1.18) và

r 1

<

0
r k 1

(1.18)

ta có

Tyk+1
(z)
0

' p Tyk+1 (z)

0
r k 1

T (b)] <

0
r k 1

+

r 1

<

r k 1:

Kết thúc quá trình quy nạp. Vậy (1.16) đúng và đặc biệt với k = r ta có
' p Tyr (z)

Tyr0 (z)

<

0

=

8z 2 C:

Suy ra khẳng định (i) là đúng.
Chứng minh (ii). Ta sẽ quy nạp theo n = 1; 2; :::. Với kết quả (i) đã chứng minh, thì
mệnh đề cần chứng minh là đúng với n = 1. Giả sử mệnh đề cần chứng minh đúng cho
n = k, nghĩa là có giả thiết
' p Tyrk (z)

Tyrk0 (z)

< + " 8z 2 C:

Ta có
r(k+1)

Ty0

(z) = p Tyr Tyrk (z

p Tyr (a)

Tyr (b) + p Tyr (b)

p Tyr(k+1) (z)

Qr p (a

b) + p Tyr (b)

Tyr0 Tyrk0 (z
Tyr0 (b)

Tyr0 (b) ;

(1.19)


23
trong đó a := Tyrk (z), b := Tyrk0 (z): Sử dụng giả thiết quy nạp (1.19) và áp dụng (1.14),
khẳng định (i) đã chứng minh, ta có
'p Tyr(k+1) (z)

r(k+1)

Ty0

(z) < " + :

Kết thúc quá trình quy nạp. Cuối cùng, ta chứng minh (1.13). Từ Tynr (x0 ) ! x (khi
n ! 1) nên tồn tại nx0 2 N để cho
' p Tynx0 r (x0 )

x

<"

(1.20)

n r

và với chú ý x0 = Ty0 (x0 ) = Ty0x0 (x0 ) ta có
'p (x0

x)

n r

'p Ty0x0 (x0 )

Tynx0 r (x0 ) + 'p Tynx0 r (x0 )

x :

(1.21)

Sử dụng khẳng định (ii) đã chứng minh vào (1.21) và sử dụng (1.20) ta có
' [p (x

x0 )] < " + + " < " :

Ta hồn thành chứng minh.
Định lý 1.3
Cho khơng gian có thứ tự (E; K; ) với tơpơ

xác định bởi họ nửa chuẩn ; đầy đủ

theo dãy và (X; p; ) là không gian với p là K-chuẩn và tôpô

được xác định tương

ứng. Giả sử (X; p; ) đầy đủ theo Weierstrass, C là tập lồi, đóng trong X và các ánh
xạ T; S : C ! X thoả mãn các điều kiện sau
(1) T liên tục đều, S liên tục, T (C) + C

C, S (C)

C và S (C) là compact

tương đối.
(2) Tồn tại dãy các ánh xạ dương, liên tục fQn : E ! Egn2N thoả các tính chất
(2a), (2b), (2c) của Định lý 1.2.
Khi đó ánh xạ T + S có điểm bất động trong C:
Chứng minh.
Theo kết quả Định lý 1.2 thì ánh xạ (I

T)

1

: C

T ) 1 S : C ! C với chú ý tập
h
i
T ) 1 S (C) thì ánh xạ (I T ) 1 S

tục. Áp dụng Định lý Tychonoff cho ánh xạ (I
(I

T)

1

S (C) chứa trong tập compact (I

! C là xác định và liên

có điểm bất động. Đó là điểm bất động của ánh xạ T + S.