Mã cyclic có độ dài 7ps và khoảng cách của chúng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THIÊN ÂN

MÃ CYCLIC CÓ ĐỘ DÀI 7P S VÀ
KHOẢNG CÁCH CỦA CHÚNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đà Nẵng - 2023


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THIÊN ÂN

MÃ CYCLIC CÓ ĐỘ DÀI 7P S VÀ
KHOẢNG CÁCH CỦA CHÚNG
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn
PGS.TS. TRƯƠNG CÔNG QUỲNH

Đà Nẵng - 2023


1

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

2

MỞ ĐẦU

3

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

7

1.1

1.2

Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1

Vành và iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2

Môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Mã đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.1

Đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.2

Mã đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.3

Mã cyclic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Chương 2. Mã cyclic có độ dài 7ps trên vành Fpm và khoảng cách
của mã

17

2.1

Cấu trúc mã cyclic có độ dài 7ps . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2

Về khoảng cách mã có độ dài 7ps trên vành Fpm . . . . . . . .

20

2.2.1

Trường hợp 1: 0 ≤ j ≤ i ≤ ps . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2.2

Trường hợp 2: 0 ≤ i ≤ j ≤ ps . . . . . . . . . . . . . .

25

KẾT LUẬN

28

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

30


2

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu,
kết quả nêu trong khóa luận là trung thực và chưa từng được ai cơng bố
trong bất kì cơng trình nào khác.
Tác giả

Trần Thiên Ân


3

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết mã hóa là nghiên cứu về các thuộc tính của mã và nền tảng
của chúng cho một ứng dụng cụ thể. Như là các mã được sử dụng để nén dữ
liệu, mật mã, sửa lỗi và gần đây là mã hóa mạng.
Năm 1948, bài báo mang tính bước ngoặt của Claude Shannon về bài toán
quỹ liên lạc, cho thấy rằng các mã tốt tồn tại, đã đánh dấu khởi đầu của cả
Lý thuyết thơng tin và Lý thuyết mã hóa.
Từ đó đến nay, lý thuyết này đã và đang góp phần quan trọng trong những
vấn đề về thông tin liên lạc và kỹ thuật. Nó được ứng dụng nhiều trong thơng

tin điện tử, thu phát thanh,. . . Đầu tiên, lý thuyết mã được nghiên cứu trên
trường hữu hạn. Sau đó, các nhà toán học đã mở rộng nghiên cứu về mã trên
vành hữu hạn.
Năm 1957, mã cyclic trên trường hữu hạn được nghiên cứu lần đầu tiên
bởi Prange ([13]). Lớp mã này sau đó được các nhà nghiên cứu quan tâm vì
cấu trúc đại số tốt của chúng và ứng dụng được vào việc xây dựng các mã tốt
trong thực tiễn. Nhiều mã tốt được biết tới như mã BCH, mã Kerdock, mã
Golay, mã Reed-Muller, mã Preparata,. . . và mã Hamming nhị phân; chúng
là các mã cyclic hoặc là các mã được xây dựng từ cấu trúc mã cyclic.
Có ít nhất hai lý do tại sao mã cyclic là một trong những lớp mã quan
trọng nhất trong lý thuyết mã hóa.
Trước hết, mã cyclic có thể được mã hóa hiệu quả bằng cách sử dụng
thanh ghi dịch chuyển, điều này giải thích vai trị ưa thích của họ trong lĩnh
vực kỹ thuật.
Ngoài ra, các mã cyclic dễ dàng được đặc trưng như các iđêan của vành


4

F[x]
với đa thức có hệ
hxn − 1i
số trong bảng chữ cái thuộc trường F. Đó là đặc điểm làm cho mã cyclic phù
thương, cụ thể là vành thương của vành đa thức

hợp với nhiều loại tổng quát khác nhau.
Tất cả các khái niệm trên có thể dễ dàng được mở rộng sang trường hợp
bảng chữ cái thuộc vành hữu hạn bằng cách thay trường hữu hạn F bởi vành
hữu hạn R trong mỗi định nghĩa.
Những khái niệm đó, khi R là một vành chuỗi (chain ring), đã nhận được

rất nhiều sự chú ý, và chúng đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà nghiên cứu
trong 20 năm qua.
Chính vì những ứng dụng quan trọng và phong phú của mã cyclic cùng
với sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Trương Công Quỳnh tơi đã chọn đề
tài: “MÃ CYCLIC CĨ ĐỘ DÀI 7P S VÀ KHOẢNG CÁCH CỦA CHÚNG”
cho khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài: Nghiên cứu về các tính chất và cấu trúc của lớp mã
cyclic có độ dài 7ps trên vành hữu hạn. Tính tốn các khoảng cách Hamming
của lớp mã này. Phát triển các hướng nghiên cứu khác của đề tài.
Nhiệm vụ của đề tài:
- Nêu các khái niệm liên quan đến lý thuyết mã và ứng dụng của lý thuyết
mã;
- Nghiên cứu cấu trúc và những tính chất của lớp mã cyclic trong vành
hữu hạn;
- Tính tốn khoảng cách của mã cyclic.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu lớp mã cyclic và λ-constacyclic trên
vành chuỗi hữu hạn và mã đối ngẫu của nó. Khoảng cách của mã cyclic.
- Phạm vi nghiên cứu: Khoá luận luận chỉ nghiên cứu về cấu trúc lớp mã


5

cyclic với điều kiện nghiệm đơn và nghiệm lặp trên vành hữu hạn và khoảng
cách của chúng trong một số trường hợp.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập, tìm hiểu các tài liệu liên quan đến mã cyclic có độ dài nguyên
tố trên các trường, vành hữu hạn.
- Phân tích, hệ thống các tài liệu để từ đó tổng hợp, chọn lọc những nội

dung cần thiết đưa vào khoá luận.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: trao đổi, thảo luận, tham khảo ý
kiến của người hướng dẫn và của các đồng nghiệp.
- Chủ yếu sử dụng phương pháp suy luận logic trên cơ sở các kết quả đã
được công bố và phản biện. Ngồi ra cịn sử dụng phương pháp so sánh, tổng
quát hóa, phân loại những vấn đề xuất hiện trong các tài liệu, bài báo để đi
tới giải quyết vấn đề của đề tài.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Khóa luận này nghiên cứu những vấn đề rất được quan tâm trong ngành
lý thuyết mã như khoảng cách của các lớp mã, xây dựng các lớp mã, kiểm
tra điều kiện của các lớp mã,...
Bài báo cáo tổng kết khố luận có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh
viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Đại số và Lý thuyết
số.
6. Cấu trúc khố luận
Nội dung bài khóa luận được trình bày trong 2 chương. Ngồi ra, bài báo
cáo cịn có Lời cảm ơn, Mục lục, Mở đầu, Kết luận & kiến nghị và Danh mục
tài liệu tham khảo.
Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản của lý thuyết vành, môđun và
lý thuyết mã. Chương 1 bao gồm 2 phần: Phần thứ nhất dành cho việc trình
bày các khái niệm và các tính chất cơ bản của lý thuyết vành. Phần thứ hai


6

giới thiệu khái niệm và một số tính chất cơ bản về lý thuyết mã: Đa thức,
biểu diễn đa thức của mã, mã cyclic, độ dài, khoảng cách của mã,. . . và một
số kết quả được sử dụng ở các chứng minh trong phần sau.
Chương 2 Gồm hai mục. Mục đầu tiên đưa ra các kết quả mới về cấu
trúc của mã cyclic có độ dài 7ps trên trường hữu hạn có pm phần tử, trong

trường hợp pm ≡ 3(mod 7) hoặc pm ≡ 5(mod 7) và cấu trúc của các mã
đối ngẫu của mã cyclic trong trường hợp này. Mục tiếp theo trình bày về
khoảng cách Hamming của mã với độ dài 7ps có cấu trúc đã được nghiên cứu
ở phần đầu Chương 2. Bằng việc sử dụng mối quan hệ giữa các mã cyclic
nghiệm đơn và các mã cyclic nghiệm lặp, tác giả sẽ nghiên cứu khoảng cách
Hamming của cấu trúc mã cyclic có độ dài 7ps trên trường hữu hạn Fq trong
hai trường hợp được chia thành hai phần của mục 2.2.
Các kết quả chính của Khoá luận tốt nghiệp đã được viết trong bài báo
([1]), bài báo đã được chấp nhận đăng ở Tạp chí Khoa học và Cơng nghệ Đại
học Quảng Bình.


7

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này tác giả trình bày một số kiến thức cơ bản về đại số liên
quan đến việc nghiên cứu lớp mã cyclic trên trường, vành hữu hạn. Các kết
quả trong chương này chủ yếu được tham khảo từ các các tài liệu [3], [4], [6],
[12],[11],[10].

1.1

Một số khái niệm cơ bản

1.1.1

Vành và iđêan

Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi vành là một tập hợp R cùng với hai phép tốn
hai ngơi đã cho trong R kí hiệu theo thứ tự bằng các dấu + và · gọi là phép
cộng và phép nhân sao cho các điều kiện sau thoả mãn:
(1) R cùng với phép cộng là một nhóm aben;
(2) R cùng với phép nhân là một nửa nhóm;
(3) Phép nhân phân phối với phép cộng:

x(y + z) = xy + xz
(y + z)x = yx + zx
với các phần tử tuỳ ý x, y, z ∈ R.
Định nghĩa 1.1.2. (1) Một vành R được gọi là giao hốn nếu phép nhân
trong định nghĩa vành có tính hốn vị, nghĩa là

a.b = b.a.
(2) Vành R được gọi là vành hữu hạn nếu vành R có hữu hạn phần tử.


8

Ví dụ 1.1.3. Tập hợp Z các số nguyên cùng với phép cộng và phép nhân
thông thường là một vành giao hốn có đơn vị gọi là vành các số nguyên.
Ví dụ 1.1.4. Tập hợp các số nguyên là bội của một số nguyên n > 1 cho
trước là một vành với phép cộng và phép nhân thông thường. Vành này là
giao hốn nhưng khơng có đơn vị.
Định nghĩa 1.1.5. Tập con A khác rỗng của vành R được gọi là vành con
của R nếu A ổn định với các phép tốn hai ngơi trên R và cùng với hai phép
tốn đó là một vành.
Ví dụ 1.1.6. (1) Tập hợp gồm một phần tử {0} và chính R là vành con
của R.

(2) Cho phần tử a ∈ R. Tập hợp A = {n.a|n ∈ Z} là vành con của R.
Mệnh đề 1.1.1. Cho R là một vành, tập con A khác rỗng của R. Khi đó,
các điều kiện sau là tương đương:
(1) A là vành con của R;
(2) Với mọi x, y ∈ A, ta có xy ∈ A và x − y ∈ A.
Mệnh đề 1.1.2. Giao của họ bất kì các vành con của R là vành con của R.
Định nghĩa 1.1.7. Ta gọi iđêan trái (phải) của một vành R, một vành con

I của R thoả mãn điều kiện xa ∈ I (tương ứng, ax ∈ I ), với mọi a ∈ I và
mọi x ∈ R. Một vành con I của một vành R được gọi là một iđêan của R
nếu I vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải của R.
Định lý 1.1.3. Một bộ phận A khác rỗng của một vành R là một iđêan của

R nếu và chỉ nếu điều kiện sau được thoả mãn:
(1) a − b ∈ A với mọi a, b ∈ A;


9

(2) xa ∈ A và ax ∈ A với mọi a ∈ A và mọi x ∈ R.
Ví dụ 1.1.8. (1) Tập {0} và tập R là hai iđêan của vành R.
(2) Tập mZ gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trước là
một iđêan của vành các số nguyên Z.
Mệnh đề 1.1.4. Giao của họ bất kỳ các iđêan của R là iđêan của R.
Định nghĩa 1.1.9. (1) Cho X là tập con của vành R. Iđêan nhỏ nhất của

R chứa X được gọi là iđêan sinh bởi X .
(2) Một iđêan của vành R được gọi là iđêan chính nếu nó sinh bởi một phần
tử.
(3) Một vành R được gọi là vành chính (principal ring) nếu mọi iđêan của

nó là iđêan chính.
(4) Giả sử R là vành giao hốn có đơn vị, một iđêan X ⊂ R gọi là iđêan
tối đại nếu có iđêan của R chứa X thì iđêan đó hoặc là X hoặc là R.
(5) R được gọi là vành địa phương (local ring) nếu nó có duy nhất một
iđêan phải (tương ứng trái) tối đại.
Định nghĩa 1.1.10. Cho vành R, S là tập con khơng rỗng của R, linh hóa
tử trái của S trong R (ký hiệu ann(S)) là tập hợp

ann(S) = {f ∈ R|f g = 0, ∀g ∈ S}.
Nếu S là một iđêan của R thì ann(S) cũng là một iđêan của R.
Định nghĩa 1.1.11. Một vành R được gọi là vành chuỗi (chain ring) nếu
tập tất cả các iđêan trái (phải) của R được sắp thứ tự tuyến tính theo quan
hệ bao hàm.


10

Mệnh đề 1.1.5. Cho R là vành giao hoán hữu hạn. Khi đó, các phát biểu
sau đây là tương đương:
(1) R là vành địa phương và iđêan tối đại M của R là iđêan chính;
(2) R là vành iđêan chính, địa phương;
(3) R là vành chuỗi.
Định nghĩa 1.1.12. Nếu A là một iđêan của vành R, thì R/A cùng với hai
phép toán sau

(x + A, y + A) 7→ x + y + A
(x + A, y + A) 7→ xy + A
là một vành gọi là vành thương của R trên A.
Định nghĩa 1.1.13. Cho X, Y là các vành, một ánh xạ f : X → Y được
gọi là đồng cấu vành nếu

f (a + b) = f (a) + f (b)
f (ab) = f (a)f (b)
với mọi a, b ∈ X . Nếu Y = X thì đồng cấu f được gọi là một tự đồng cấu
của X .

1.1.2

Môđun

Định nghĩa 1.1.14. Cho R là vành. Một R-môđun phải M là một nhóm
cộng aben (M ,+) cùng với ánh xạ

M × R −→ M
(m, r) 7−→ mr
được gọi là phép nhân môđun thoả mãn các điều kiện sau:


11

(1) (mr1 )r2 = m(r1 r2 );
(2) (m1 + m2 )r = m1 r + m2 r;

m(r1 + r2 ) = mr1 + mr2 ;
(3) m1 = m.
trong đó m, m1 , m2 là các phần tử tuỳ ý của M và r1 , r2 ∈ R.
Định nghĩa 1.1.15. Cho M là một R-môđun phải. Tập con A khác rỗng
của M được gọi là môđun con của M , ký hiệu A ≤ M hay AR ≤ MR , nếu

A là một R-mơđun phải với phép tốn cộng và nhân môđun hạn chế trên A.

Chú ý rằng ký hiệu A

M để phân biệt với ký hiệu có tính tập hợp thông

thường A ⊂ M .

1.2
1.2.1

Mã đại số
Đa thức

Định nghĩa 1.2.1. Đa thức đơn là đa thức đơn biến, trong đó hệ số dẫn
đầu (hệ số khác không bậc lớn nhất) bằng ±1. Do đó, một đa thức đơn có
dạng:

±xn + cn−1 xn−1 + ... + c2 x2 + c1 x + c0 .
Định nghĩa 1.2.2. Đa thức P (x) trong vành K[x] (với K là trường) được
gọi là khả quy trên K nếu P (x) = f (x).g(x), trong đó f (x), g(x) là các đa
thức không khả nghịch trong K[x]. Đa thức P (x) được gọi là bất khả quy
nếu P (x) không khả nghịch và không khả quy.
Định lý 1.2.1. ([12]) Với hai đa thức P (x) và Q(x) là các đa thức bậc m, n


trong đó deg Q(x) ≥ 1, tồn tại duy nhất các đa thức S(x) và R(x) thỏa
mãn đồng thời các điều kiện:
(i) P (x) = Q(x).S(x) + R(x);


12

(ii) degR(x) < degQ(x).
Định nghĩa 1.2.3. Với mỗi đa thức f (x) = f0 + f1 x + ... + ft xt ∈ R[x]
(trong đó, R là vành giao hốn hữu hạn), gọi f ∗ (x) = xdeg(f ) f ( x1 ) = xt f ( x1 ) =

ft + ft−1 x + ... + f0 xt là đa thức đảo của f (x). Đa thức f được gọi là tự đảo
nếu f (x) = f ∗ (x).
Nhận xét: Dễ thấy rằng deg(f ∗ (x)) ≤ deg(f (x)) và nếu f0 6= 0 thì

deg(f ∗ (x)) = deg(f (x)). Hơn nữa (f ∗ )∗ (x) = f (x) khi và chỉ khi hệ số tự
do f0 của f khác 0, tức là khi và chỉ khi deg(f ∗ (x)) = deg(f (x)).
Mệnh đề 1.2.2. Trong vành đa thức R[x] (trong đó, R là vành giao hốn
hữu hạn), với tập con A khác rỗng của R[x] ký hiệu A∗ = {f ∗ (x)|f (x) ∈ A}.
Nếu A là một iđêan thì A∗ cũng là một iđêan.
Mệnh đề 1.2.3. Cho f (x) và g(x) là hai đa thức trong vành đa thức R[x]
(trong đó, R là vành giao hốn hữu hạn) với deg(f ) ≥ deg(g), khi đó ta có:
(i) (f (x)g(x))∗ = f ∗ (x)g ∗ (x);
(ii) (f (x) + g(x))∗ = f ∗ (x) + xdeg(f )−deg(g) g ∗ (x).

1.2.2

Mã đại số

Định nghĩa 1.2.4. Cho A là một tập hữu hạn. Một mã C trên bảng chữ
cái A có độ dài n là một tập con của An (C ⊆ An ).
Mỗi phần tử (a1 , a2 , ..., an ) của C được gọi là một từ mã, trong đó ai ∈ A.
Ví dụ 1.2.5. C = {HELLOW ORLD, BRU N CHT IM E, ALLT HET IM E}
là một mã có độ dài 10 trên Σ = {A, B, ..., Z}.
Định nghĩa 1.2.6. Cho R là vành giao hốn hữu hạn, C được gọi là mã
tuyến tính có độ dài n nếu như C là một môđun con của Rn .
Với mã trên vành hữu hạn, một mã tuyến tính C có độ dài n, kích thước k ,

khoảng cách tối tiểu d thường được kí hiệu là mã [n, k, d].


13

Ví dụ 1.2.7. Cho C = {(0, 0, 0, 0); (0, 0, 1, 1); (0, 1, 0, 1); (0, 1, 1, 0); (1, 0, 0, 1);

(1, 0, 1, 0); (1, 1, 0, 0); (1, 1, 1, 1)} là một mã với độ dài 4 trên Σ = {0, 1}.
Định nghĩa 1.2.8. (1) Với mỗi từ mã c = (c0 , c1 , ..., cn−1 ) ∈ Rn trong đó

R là vành giao hốn hữu hạn, trọng Hamming của c kí hiệu là wt(c) là
số các thành phần khác không của c. Khi đó,




wt(c) =
{i|ci 6= 0}
.
(2) Cho x = (x0 , x1 , ..., xn−1 ), y = (y0 , y1 , ..., yn−1 ) ∈ Rn trong đó R là vành
giao hốn hữu hạn, khoảng cách Hamming giữa x, y (kí hiệu dH (x, y))
là số cặp xi , yi mà trong đó xi 6= yi . Khi đó,




dH (x, y) :=
{i|xi 6= yi }
.
Hơn nữa, dH (x, y) = wt(x − y).

(3) Tỉ lệ khoảng cách Hamming giữa x, y ∈ Rn là

δ(x,y) =



1

dH (x, y)
=