Đại cương về dao động điều hòa docx

ĐẶNG VIỆT HÙNG Bài giảng Dao động cơ học
Website: www.moon.vn
Mobile: 0985074831


I. CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ DAO ĐỘNG CƠ
1. Dao động cơ học
Dao động cơ học là sự chuyển động của một vật quanh một vị trí xác định gọi là vị trí cân bằng.
2. Dao động tuần hoàn
Dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái của vật được lặp lại như cũ, theo hướng cũ sau những khoảng thời
gian bằng nhau xác định (được gọi là chu kì dao động)
3. Dao động điều hòa
Dao động điều hòa là dao động mà li độ của vật được biểu thị bằng hàm cosin hay sin theo thời gian.
II. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
1. Phương trình li độ:
Phương trình dao động x = Acos(ωt + ϕ)
Các đại lượng đặc trưng cho dao động điều hòa :
x : li độ dao động hay độ lệch khỏi vị trí cân bằng. Đơn vị tính: cm, m
A : Biên độ dao động hay li độ cực đại. Đơn vị tính: cm, m
ω : tần số góc của dao động, đại lượng trung gian cho phép xác định chu kỳ và tần số dao động. Đơn vị tính: rad/s.
ϕ: pha ban đầu của dao động (t = 0), giúp xác định trạng thái dao động của vật ở thời điểm ban đầu. Đơn vị tính rad
(ωt + ϕ): pha dao động tại thời điểm t, giúp xác định trạng thái dao động của vật ở thời điểm bất kỳ t. Đơn vị tính rad


Chú ý: Biên độ dao động A luôn là hằng số dương.
2. Phương trình vận tốc
Phương trình vân tốc :
v x' Asin( t ) Acos t (cm,m )
2
π
 

= = −ω ω + ϕ = ω ω + ϕ +
 
 

Nhận xét :
♦
Vận tốc nhanh pha hơn li độ góc
π
/2.
♦


v
luôn cùng chiều với chiều chuyển động (vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, theo chiều âm thì v < 0).
3. Phương trình gia tốc
Phương trình gia tốc:
2 2 2
a v' x'' Acos( t ) Acos( t ) x (cm,m )
= = = −ω ω + ϕ = ω ω + ϕ + π = −ω
Nhận xét
:
♦
Gia tốc nhanh pha hơn vận tốc góc
π
/2, nhanh pha hơn li độ góc
π
.

♦


a
luôn hướng về vị trí cân bằng.

4. Phương trình liên hệ giữa x, A, v và ω
ωω
ω độc lập với thời gian:
T
ừ
các ph
ươ
ng trình c
ủ
a v
ậ
n t
ố
c và li
độ
ta có

( )
2
2
2 2
2
2 2
2
2
2 2 2 2

2 2
v
v
A x
A x
x Acos( t )
x v
1
v Asin( t )
A A
v A x
v A x


= +


= +
= ω + ϕ

 
   
ω
⇒ + = ⇒ ⇔
ω
  
   
= −ω ω + ϕ
ω
   


 
= ω −
= ±ω −





Nhận xét
:
- Khi v
ậ
t qua VTCB : x = 0; |v|
max
= ωA; |a|
min
= 0
- Khi v
ậ
t
ở
biên : x = ±A; |v|
min
= 0; |a|
max
= ω
2
A
2

max
max
a
A
v A
ω
⇒ = = ω
ω

- Từ các phương trình liên hệ ta thấy đồ thị của v theo x có dạng là một đường Elip, đồ thị của a theo x có dạng là một
đoạn thẳng.
- Các chuyển đổi dạng phương trình dao động :
( ) ( )
π π
sinα cos α cos α
2 2
π π π
sinα cos α cos α π cos α
2 2 2
cosα cos α π cos α π

   
= − = −
   

   


     
− = − − = − + = +


     
     


− = + = −



01. ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

ĐẶNG VIỆT HÙNG Bài giảng Dao động cơ học
Website: www.moon.vn
Mobile: 0985074831
Ví dụ. Một chất điểm dao động điều hoà với phương trình x = –4cos(5πt – π/3) cm. Biên độ và pha ban đầu của dao
động lần lượt là
A. A = –4 cm; φ = π/3 rad B. A = 4 cm; φ = −2π/3 rad
C. A = 4 cm; φ = −π/3 rad D. A = 4 cm; φ = 2π/3 rad
Hướng dẫn giải:
Bằng thao tác chuyển đổi phương trình lượng giác ta có
x = –4cos(5πt – π/3) = 4cos(5πt – π/3 + π) = 4cos(5πt + 2π/3).
Vậy biên độ A = 4 cm, pha ban đầu ϕ = 2π/3 rad ⇒ chọn D.
III. CÁC ĐẠI LƯỢNG TRONG DAO ĐỘNG CƠ
1. Chu kì dao động T(s)
Là khoảng thời gian ngắn nhất để vật thực hiện được một dao động toàn phần, hay là khoảng thời gian ngắn nhất để
trạng thái dao động được lặp lại như cũ.
Nếu trong khoảng thời gian ∆t vật thực hiện được N dao động thì ta có ∆
∆∆
∆t = N.T
2. Tần số dao động f(Hz)

Là số lần dao động trong một đơn vị thời gian, nó là đại lượng nghịch đảo của chu kỳ dao động.
Biểu tính tần số dao động f = 1/T
3. Mối quan hệ giữa chu kì, tần số và tần số góc
Biểu thức:
2
2 f
T
π
ω = π =

IV. NĂNG LƯỢNG TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Cơ năng = Động năng + Thế năng.
♦
♦♦
♦ Động năng:
2 2 2 2 2
đ
1 1
E mv m A sin ( t ) Esin ( t )
2 2
= = ω ω + ϕ = ω +ϕ

♦
♦♦
♦ Thế năng :
2 2 2 2 2 2
t
1 1
E m x m A cos ( t ) Ecos ( t )
2 2

= ω = ω ω + ϕ = ω + ϕ

♦
♦♦
♦ Định luật bảo toàn cơ năng: E = E
đ
+ E
t
=
2 2 2
d t
1 1
E E E kA m A
2 2
= + = = ω = E
đmax
= E
tmax
= const
Trong quá trình dao động thì động năng và thế năng có sự biến đổi qua lại, động năng tăng thì thế năng giảm và
ngược lại nhưng tổng của chúng là cơ năng (năng lượng toàn phần) luôn được bảo toàn.


Chú ý:
- Dao động điều hoà có tần số góc là
ω
, tần số f, chu kỳ T. Thì động năng và thế năng biến thiên với tần số góc 2
ω
ωω
ω

,
tần số 2f, chu kỳ T/2
- Động năng và thế năng trung bình trong thời gian nT/2 ( n
∈
N
*
) là:
2 2
W 1
m A
2 4
= ω
V. MỘT SỐ DAO ĐỘNG CÓ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
• x = X
0
± Acos(ωt + ϕ) với X
0
= const.
Các tham số của phương trình :
Biên độ là A, tần số góc là ω, pha ban đầu ϕ
x là toạ độ, x
0
= Acos(ωt + ϕ) là li độ.
Toạ độ vị trí cân bằng x = X
0
, toạ độ vị trí biên x = X
0
± A
Vận tốc v = x’ = x
0

’, gia tốc a = v’ = x” = x
0
”
Hệ thức độc lập: a = –ω
2
x
0

;
2
2 2
0
v
A x
 
= +
 
ω
 

• x = X
0
± Acos
2
(ωt + ϕ)
S
ử dụng công thức hạ bậc lượng giác ta có :
x = X
0
± Acos

2
(ωt + ϕ)=
( )
0 0
1 cos(2 t 2 ) A A
X A X cos 2 t 2
2 2 2
+ ω + ϕ
 
± = ± ± ω + ϕ
 
 

→ Biên độ dao động là A/2; tần số góc 2ω, pha ban đầu 2ϕ.
VI. CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
ĐẶNG VIỆT HÙNG Bài giảng Dao động cơ học
Website: www.moon.vn
Mobile: 0985074831
Gọi phương trình dao động là x = Acos(ωt + ϕ) cm. Để viết phương trình dao động chúng ta cần tìm ba đại lượng A,
ω, ϕ.
♦ Tìm ω từ các công thức ω = 2πf = 2π/T.
♦Tìm A, ϕ từ điều kiện ban đầu (t = 0).


Chú ý
- Với thể loại bài toán lập phương trình thì chúng ta cần xác định gốc thời gian (t = 0), nếu đề bài không yêu cầu thì
để cho đơn giản hóa bài toán chúng ta chọn gốc thời gian lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
- Khi thả nhẹ để vật dao động điều hòa thì ta hiểu là vận tốc ban đầu v
0
= 0, còn nếu cho vận tốc ban đầu v

0

≠
0 thì
chúng ta áp dụng hệ thức liên hệ để tìm các thông số khác.
VII. CÁC VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH
Ví dụ 1. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(5
π
t +
π
/6) cm
a. Tính biên độ dao động, tần số góc, pha ban đầu, chu kỳ, tần số dao động.
b. Lập phương trình vận tốc và phương trình gia tốc.
c. Li độ, vận tốc và gia tốc của vật tại thời điểm t = 4 s; t = 4,2 s.
d. Giá trị cực đại của li độ, vận tốc và gia tốc.
Hướng dẫn giải:
Đây là một bài toán rất cơ bản về dao động điều hòa. Để làm tốt chúng ta chỉ cần nhớ các đặc trưng cơ bản nhất của
dao động điều hòa.
a. Đối chiếu với phương trình dao động điều hòa tổng quát x = Acos(ωt + ϕ) ta tìm được các đại lượng:
Biên độ dao động A = 4 cm
Tần số góc ω = 5π rad/s
Pha ban đầu ϕ = π/6 rad
Chu kỳ dao động T = 2π/ω = 0,4 s
Tần số dao động f = 1/T = 2,5 Hz
b. Phương trình vận tốc v = x’ = –20sin(5πt + π/6) cm/s
Phương trình gia tốc :
2 2
a v' x'' x 100 cos 5 t
6
π

 
= = = −ω = − π π +
 
 
cm/s
2
c. Tìm x, v, a tại các thời điểm t = 4 s và t = 4,2 s
♦ Tại thời điểm t = 4 s:
x 4cos 5 .4 cm 2 3cm
6
π
 
= π + =
 
 

v 20 sin 5 .4 cm / s 10
6
π
 
= − π π + = − π
 
 
cm/s
2 2 2
a 100 cos 5 .4 cm / s 50 3
6
π
 
= − π π + = − π

 
 
cm/s
2
♦ Tại thời điểm t = 4,2 s:
x 4cos 5 .4,2 cm 2 3cm
6
π
 
= π + = −
 
 

v 20 sin 5 .4,2 10
6
π
 
= − π π + = π
 
 
cm/s
2 2
a 100 cos 5 .4,2 50 3
6
π
 
= − π π + = π
 
 
cm/s

2
d. Li độ cực đại: x
max
= A = 4cm
Vận tốc cực đại: v
max
= ωA = 20π cm/s
Gia tốc cực đại : a
max
= ω
2
A = 100π
2
cm/s
2

Ví dụ 2. Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 2 s và biên độ dao động là 2 cm. Viết phương trình dao động trong
các trường hợp sau:
a. Khi t = 0 thì vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
b. Khi t = 0 thì vật qua vị trí có li độ x = –1 cm theo chiều dương.
Hướng dẫn giải:
Gọi phương trình dao động điều hòa của vật là x = Acos(ωt + ϕ) cm
Tần số góc dao động ω = 2π/T = π rad/s
ĐẶNG VIỆT HÙNG Bài giảng Dao động cơ học
Website: www.moon.vn
Mobile: 0985074831
a. Khi t = 0 ta có
0 0
0 0
x 0 x Acos 0

(rad)
v 0 v Asin 0
2
= = ϕ =
 
π
⇔ ⇒ ϕ = −
 
> = −ω ϕ >
 

V
ậ
y ph
ươ
ng trình dao
độ
ng c
ủ
a v
ậ
t là x = 2cos(
π
t –
π
/2) cm.
b.
Khi t = 0 ta có
0 0
0 0

1
x 1 x Acos 1
cos
2
(rad)
2
v 0 v Asin 0
3
sin 0

= − = ϕ = −
  ϕ = −
π

⇔ ⇔ ⇒ ϕ = −
  
> = −ω ϕ >
 

ϕ <


V
ậ
y ph
ươ
ng trình dao
độ
ng c
ủ

a v
ậ
t là x = 2cos(πt – 2π/3) cm.
Ví dụ 3. Một vật dao động điều hòa có phương trình x = 5cos(2
π
t +
π
/3) cm. Vận tốc của vật khi vật qua vị trí có li
độ x = 3 cm là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đ
ây là d
ạ
ng bài toán mà cho bi
ế
t 3 trong 4
đạ
i l
ượ
ng x, v, A và ω.
Để
gi
ả
i quy
ế
t
đơ
n gi
ả
n chúng ta s

ử
d
ụ
ng h
ệ
th
ứ
c
liên h
ệ

2 2
x v
1
A A
   
+ =
   
ω
   

Áp d
ụ
ng h
ệ
th
ứ
c liên h
ệ
gi

ữ
a x, v, A và ω ta có:
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2
x v v
1 A x v A x 2 5 3 25,12 cm / s
A A
   
+ = ⇔ = + ⇒ = ±ω − = ± π − = ±
   
ω
ω
   

Ví dụ 4. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = Acos(2
π
t –
π
/3) cm. Tìm những thời điểm mà vật qua vị trí
cân bằng theo chiều âm.
Hướng dẫn giải:
Đố
i v
ớ
i nh
ữ
ng d
ạ

ng bài t
ậ
p tìm th
ờ
i
đ
i
ể
m (th
ờ
i gian t) thì chúng ta ch
ỉ
c
ầ
n quan tâm
đế
n li
độ
và chi
ề
u chuy
ể
n
độ
ng
ở

th
ờ
i

đ
i
ể
m
đ
ó r
ồ
i gi
ả
i ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác tìm t. C
ụ
th
ể
v
ớ
i bài toán này thì th
ờ
i gian t mà v
ậ
t qua v
ị
trí cân b
ằ
ng
theo chi
ề

u âm th
ỏ
a mãn h
ệ
ph
ươ
ng trình:
( )
x Acos 2 t 0 cos 2 t 0
3 3
5
2 t k2 t k, k 0,1,2
3 2 12
v 2 Asin 2 t 0 sin 2 t 0
3 3
 
π π
   
= π − = π − =
   
 
π π
     
⇔ ⇔ π − = + π ⇒ = + =
 
π π
   
 
= − π π − < π − >
   

 
   
 

VIII. MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐIỂN HÌNH
Câu 1:
V
ậ
n t
ố
c t
ứ
c th
ờ
i trong dao
độ
ng
đ
i
ề
u hòa bi
ế
n
đổ
i
đ
i
ề
u hòa
A.

cùng pha v
ớ
i li
độ

B.
s
ớ
m pha
π
/2 so v
ớ
i li
độ

C.
tr
ễ
pha
π
/2 so v
ớ
i li
độ

D.
ng
ượ
c pha so v
ớ

i li
độ

Hướng dẫn giải:
T
ừ
x = Acos(
ω
t)
→
v = −
ω
Asin(
ω
t) =
ω
Acos(
ω
t +
π
/2)
→
V
ậ
n t
ố
c t
ứ
c th
ờ

i bi
ế
n
đổ
i s
ớ
m pha
π
/2 so v
ớ
i li
độ
.
V
ậ
y
chọn B.


Câu 2:
Khi so sánh pha c
ủ
a các
đạ
i l
ượ
ng trong dao
độ
ng
đ

i
ề
u hòa, nh
ậ
n xét nào d
ướ
i
đ
ây là
sai ?
A.
Li
độ
và gia t
ố
c ng
ượ
c pha nhau
B.
Li
độ
tr
ễ
pha π/2 so v
ớ
i v
ậ
n t
ố
c

C.
Gia t
ố
c s
ớ
m pha π/2 so v
ớ
i v
ậ
n t
ố
c
D.
Gia t
ố
c tr
ễ
pha π/2 so v
ớ
i l
ự
c tác d
ụ
ng
Hướng dẫn giải:
Do
F = ma
nên gia t
ố
c luôn bi

ế
n
đổ
i cùng pha so v
ớ
i l
ự
c tác d
ụ
ng, v
ậ
y
câu D sai
. Các ph
ươ
ng án còn l
ạ
i
đề
u
đ
úng.

Câu 3:
M
ộ
t ch
ấ
t
đ

i
ể
m dao
độ
ng
đ
i
ề
u hòa v
ớ
i biên
độ
5 cm. Khi v
ậ
t có li
độ
là 3 cm thì v
ậ
n t
ố
c là 1 m/s. T
ầ
n s
ố
góc
dao
độ
ng c
ủ
a v

ậ
t là
A.

ω
= 5 rad/s
B.

ω
= 20 rad/s
C.

ω
= 25 rad/s
D.

ω
= 15 rad/s
Hướng dẫn giải:
Áp d
ụ
ng h
ệ
th
ứ
c liên h
ệ

2 2
2

2 2
2
2 2
x v v v 100
1 A x 25
A A
25 9
A x
   
+ = ⇒ − = ⇒ ω = = =
   
ω
ω
−
   
−
rad/s
V
ậ
y t
ầ
n s
ố
góc c
ủ
a dao
độ
ng là ω = 25 rad/s
⇒

Chọn C.