Bt rut gon can thuc bt lien quan(bui hien 06)

Vu thi Thuy Anh

THCS Trõn Mai Ninh

Dạng toán

Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai

Bài 1: Thực hiện phÐp tÝnh:
1) 2 5 
4)

125 

2 8  12

18  48

80  605 ;

2) 15 

5  27
;
30  162

5) 2 16  3 1  6 4
3
27
75

7) 2 27  6 4  3 75 ;
3 5

13)

5  9 4 5





1

8)



2

16)

3



10)

5 2 ;

11) 14  8 3 

14)

22)

1
5 2

2  64 2

5
2

1

2



2
2

28)

1
 175  2 2
8 7

29) 5  2 6 49  20 6

18


2

32)

34)

5

51





75  5 2

37)

15
5

1 3 1 3

40)

40 2  57 

24







52) 15 



2  5
12

41) 1
2

40 2  57



48) 3 2  2 3 3 2  2 3



2 2

50) 2 5  125 

3







2









4

94 2

15)

3

5  3 5

18)

2
2


3 5 3 5

21)



3

 





2 1 

24)

18

2

27)

3 2 2

36)

15

2



5. 3 5

12)

33)

1
120 
4



3



32 3 2 2

 3 3  2 2
3
2 1

3 
2
3 


 24  8 6 

2 3
2 3
 2 3
44)

2 3
2 3

2 3
2 3



24

6 5

6)

9

16

30)  2 1

5 2 6

38) 2 16  3 1  6 4

3
27
75

 2
 2  3
3
46) 

 2 

2
 3
 4 2

3

2

1 

35)  2 6  4 3  5 2 
8  .3 6
4 


43) 14  6 5  14  6 5


49)  2 

3

26) 4  10  2 5  4  10  2 5

12
3

3  50 5 

6 4 2

3 1



5 1 



3 1 1 

2  2 3

192

2

10  2 10
8


5  2 1 5

10  2

3



2 3

23)

2



3

3

6 4 2



25)

31)



20)

1



2

3)

9)

24  12 3

64 2

17)

4
1
6


3 1
3 2
3 3

2

8 3  2 25 12  4

2

5 2  8 5

1



2  2 3

2 5 4
19)

216  33  12 6 ;

21

3

12
3

5

1 
 : 16
16 

3 2 3
6

3
3 3

2 8  12

18  48

5  27
30  162

39)

2 3
2 3

2 3
2 3

42)

7 4 3  74 3

45)

6 2 5
2  20

47)

10  2 10
8

5  2 1 5



3

80  605



2 3 2



51)

3 2 2
8 3  2 25 12  4

192

216  33  12 6

1

Vũ thị Thúy Anh
1 1
1 1
1
1
1
1
 2  1  2  2  1  2  2  ...  1 

2
2
2 3
3 4
4
5
1999
20002

1

53)

THCS Trần Mai Ninh

Bµi 2: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau :
A

2 1

B

;

2 3 2

1
2 2

C

;

2

1
3

2 1

Bài 3: So sánh x; y trong mỗi trờng hợp sau:
a) x 27 2 vµ y  3 ;
b) x  5 6 vµ y  6 5 ;

c) x = 2m vµ y = m+2

Bài 4
1. Tính giá trị của biểu thức:
A = a 2  4ab 2  4b 4  4a 2  12ab 2  9b 4 với a 2 ; b 1 .
2. Đặt M 57  40 2 ; N  57  40 2 . Tính giá trị của các biểu thức sau:

a. M-N
b. M3-N3
 x x 3 3
 x  3 
 2 x  
3. Chøng minh: 
 1 (víi x 0 vµ x 3 ).
3

x
x

3
x

3



4.



a

b



2

 4 ab a b  b a

a  b
a b
ab

5. Chøng minh

; a  0, b  0



13  30 2  9  4 2 5  3 2 ; 3  2 2  1 

9  4 2 2 2  1 ;
2

1

6. 
2 2

1



 3 2  17  
 2 2  17 
7


 2 2  17

3 2 6
150  1
4

7. Chứng minh đẳng thức:

3 6
3
27  3







2



2

2



2002

2003

 2002  2003
2003
2002
9. Chøng minh r»ng 2000  2 2001  2002  0
8. Chøng minh

1

1

1

 
2
10. 2 
 n  1 n
3 2

7

5

;

2 3
2  2 3

11. Chứng minh rằng với mọi giá trị dơng của n, ku«n cã:

tỉng: S 

1
2 2



1
3 2 2 3



1
4 3 3 4

12.

6

13.

a 2

14.

3  4 x  4 x  1  16 x 2  8 x  1 b)



6

6

6 

30 

30 

 ... 

30 

2

1

 n  1

n  n n 1

3
2



3

1
n





29
20

1
n 1

. Tõ ®ã tÝnh

1
100 99  99 100



a 1; a 0



Cho biÓu thøc : S n 

a) TÝnh S 2

2

30  9

3  4 x  4 x  1 2 víi mäi x t/m·n:



15. (*) Cho a, b l à hai sè d hai sè dơng, chứng minh rằng:
Bài 5



n

5 4




5

4



a 2 b2  a





a 2  b2  b 

1
3
x  .
4
4

a b

a 2  b2
2

n

b) Chøng minh r»ng S 2n= S 2n - 2 ( n N ; n  2 )

Bài 6: Rút gọn các bt sau:

2


Vũ thị Thúy Anh
1.

P

2. Q 

m n
m

n



THCS Trần Mai Ninh

m  n  2 mn
m n

; m, n 0 ; m  n.

a 2 b  ab 2
a b
:
; a  0 ; b  0.
ab
a b

3) x  3 ; x 2 3  1
x 1

4)

 1

7) A 


1
 a  

; a 0, a 1
a
1

a


a 1
a2  1 

a2  a

2

 




3x  1

2

2 3x  3

1 a a

5) M 



2  3x

1



a 1 a



a3  a
a1



6)  2 


; a 1

x x  
x x 
  2 
 ; x 0, x 1
x 1  
x  1 

8)

x2  x 

1
1
4 víi x 

2

2 x 1

 a a b b a b  b a   a  b 

 :
 (víi a; b  0 vµ a  b)
a  b   a  b 
 a b

9) 

10)

4m 2  4m  1
4m  2
2
 x  4
4

2
1
1

11) 4 x  9 x  6 x  1
11)
víi x  2.
( x  ; x  )
2
1  49 x
3
7
2
x2  4x  4
 ab  b3
ab  a 3  2 a  2 b
13) 
víi a, b 0; a b

:


a

b
a

b
a

b


Bµi 7: Cho 16  2 x  x 2  9  2 x  x 2 1 TÝnh A  16  2 x  x 2  9  2 x  x 2 .

Bµi 8: Cho biÓu thøc P =

2x  2 x x  1 x x  1


x
x x x x

a) Rót gän biĨu thøc P

b) So s¸nh P víi 5.

c) Víi mäi gi¸ trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức

8
chỉ nhận đúng một giá trị nguyên.
P

3x 9x  3
1
1  1


:
 x x  2
x1
x  2  x  1


Bµi 9: Cho biĨu thøc P =

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;

b) Tìm các số tự nhiên x để

1
là số tự nhiên;
P

c) Tính giá trị của P với x = 4 – 2 3 .


x 2
x 3
x 2  
Bµi 10: Cho biĨu thøc : P = 


 :  2 
 x  5 x 6 2 x
x

3


1
5
a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm x để .

P
2
2
(2 x  3)( x  1)  4(2 x  3)
Bµi 11. Cho biĨu thøc A 
( x  1) 2 ( x  3)
a) Rót gän A
b) T×m x ®Ĩ A = 3

x 

x  1 

1
x3  x


x
x 1 x
x1
53
a) Rót gän råi tÝnh sè trÞ cđa A khi x =
b) Tìm x để A > 0
9 2 7
1
1  x2  1
Bµi 13: Cho biĨu thøc K 

. 2
 x  1 x 1  x x 1

a)Tìm đ/k của x để biểu thức K xác định.
b) Rút gọn biểu thức K và tìm giá trị của x để K đạt GTLN
Bài 12. Cho

1
A
x 1

3


Vũ thị Thúy Anh

THCS Trần Mai Ninh
2

 x  1 x  1 x  4 x  1  x  2003
Cho biÓu thøc K 


.
x2  1 
x
 x 1 x 1
a) Tìm điều kiện đối với x để K xác định
b) Rút gọn K
c) Với những giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên?
b) Chứng minh Bất đẳng thức:
Bài 14:

Bài 15:

2
2( x  1) x  10 x  3


x  1 x  x 1
x3  1

Cho biÓu thøc M

a) Với giá trị nào cỉu x thì biểu thức có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức
c) Tìm x để biĨu thøc cã
GTLN
a (2 a  1)
a 4
a 2
Bµi 16: Cho biªđ thøc A = A 


82 a  a
a 2 4 a
a) Rút gọn A
b) Tìm a để A nhận giá trị nguyên
x 2 x 10
x 2
1
Bµi 17: Cho biĨu thøc: Q 
Víi x  0 vµ x  1



x x  6
x 3
x 2
1
a) Rót gọn biểu thức Q
b) Tìm giá trị của x để Q 
3
2 x 3
x
Bµi 18: Cho biĨu thøc A =

1
x  2 x 2 x
a/ Rót gon A
b/ TÝnh gi¸ trÞ cđa A khi x = 841
 a 3 a 2
a a  1
1 
Bµi 19: Cho biĨu thøc P 


 :

a  1   a 1
a  1
 ( a  2)( a  1)
1/Rót gän biĨu thøc P.

2/Tìm a để 1
P

Bài 20: Cho biểu thức : A (

1
x 1



1
x 1

)2.

a 1
1
8
x2 1

2

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa .
c) Giải phơng trình theo x khi A = -2 .

1 x2

b) Rót gän biĨu thøc A .

 3 x

x  3  x2  x x 
Bµi 21: Cho biĨu thøc: A 

 x  x  1 x x  1
x


a) Tìm điều kiện đối với biến x để biểu thức A đợc xác định.
b

a

Bài 22 . Cho biĨu thøc: A =

ab 
a

a2

x1

.

b) Rót gän biĨu thøc A.

.

1/. Tìm điều kiện đối với a , b để biểu thức A đợc xác định.

2/. Rút gọn biểu thức A.

Bài 23:
a) Biến đổi x

3 x 1 về dạng A2  b víi b lµ h»ng sè vµ A là một biểu thức.

b) Suy ra giá trị lớn nhất của biểu thức

1
. Giá trị đó đạt đợc khi x bằng bao nhiêu ?
x 3x 1

Bài 25: Rút gọn c¸c biĨu thøc:
a) A 

3
1
4 x 2 9 x 2  6 x  1 víi 0  x  .
3x  1
3





 1
Bµi 26: Rót gän biĨu thøc B 

 x x

b) B  4  7  4  7
4 7
4 7

1 
x1
:
x 1  x  2 x 1

 x  0 vµ

x 1 .

4


Vũ thị Thúy Anh
Bµi 27: Cho
a) Rót gän P
Bµi 28: Cho

THCS Trần Mai Ninh

2 x 9
x  3 2 x 1


x 5 x 6
x  2 3 x
b) T×m x để P < 1

c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên
a
b
a b
N


ab b
ab  a
ab
P

a) Rót gän N

b) TÝnh N khi a  4  2 3 ; b  4  2 3

a a 1
thì N có giá trị ko đổi

b b 5
2 x 3 y
6  xy
Bµi 29: Cho K 

xy  2 x  3 y  6
xy  2 x  3 y  6
y  81
y
a) Rót gän K
b) CMR: Nếu K

thì
là số nguyên chia hết cho 3
y  81
x


x   1
2 x
Bµi 30: Cho K  1 
:





x  1   x  1 x x  x  x  1 

a) Rót gọn K
b) Tính giá trị của K khi x 4 2 3
c) Tìm giá trị của x để K >1
 2 x
x
3x  3   2 x  2 
Bµi 31 : Cho P 


 1
 :
 x 3
x  3 x  9   x  3

a) Rút gọn P
b) Tìm x để P < -1/2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
x
1 x  x x  x 
Bµi 32: Cho biĨu thøc A = 

 2 2 x   x  1  x  1 



a) Rót gän biĨu thøc A;
b) Tìm giá trị của x để A > - 6.
 x
2
1  
10  x 
Bµi 33: Cho biĨu thøc B = 


 :  x  2 

 x 4 2 x
x 2  
x 2 

a) Rót gọn biểu thức B;
b) Tìm giá trị của x để A > 0.

1
3
1


Bµi 34: Cho biĨu thøc C =
x  1 x x 1 x  x 1
a) Rót gän biểu thức C;
b) Tìm giá trị của x để C < 1.
c) C/m: NÕu

Bµi 35: Rót gän biĨu thøc :
a) D =
c) Q =

x  2  x2  4
x 2

x2  4



x2  4

x 2

x  2  x2  4

1
x 1

;
:
x  x x x x x

a) Rót gän biĨu thøc .
Bµi 37: Cho biĨu thøc : A 

2 x x

 x  x  x  x 
b) P =  1 
 1
;

x  1  
x  1 

d) H =

2

Bµi 36: Cho biĨu thøc : A (

;

x  1 2 x  2
x 2 1


x  2 

) : 
x x1
x  1  x x 1
b) Tính giá trị của A khi x 4  2 3


1

x 1
1
: 2
x x x x x  x

a) Rót gän biĨu thøc A .
b) Coi A lµ hµm sè cđa biÕn x vÏ ®å thi hµm sè A .

5


Vũ thị Thúy Anh

THCS Trần Mai Ninh

1   1
1 
1
 1
Cho biÓu thøc : A= 



:

 1- x 1  x   1  x 1  x  1  x
a) Rót gän biĨu thøc A .
b) Tính giá trị của A khi x = 7 4 3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất .
a a 1 a a 1  a  2
Bµi 39: Cho biĨu thøc : A = 

 :
a

a
a

a

 a 2
a) Víi nh÷ng giá trị nào của a thì A xác định .
b) Rút gọn biểu thức A .
c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên .
1 1 a
1 1 a
1
Bµi 40: Cho biĨu thøc : A =


1 a  1 a 1 a  1 a
1 a
1) Rót gän biĨu thøc A .

2) Chøng minh rằng biểu thức A luôn dơng với mọi a .
a 3
a1 4 a 4
Bµi 41: Cho biĨu thøc : P =


 a > 0 ; a  4
4 a
a 2
a 2
a) Rút gọn P .
b) Tính giá trị của P víi a = 9 .
Bµi 38:


Bµi 42: Cho biĨu thøc P = 



a 3 a 2



a 2





a1




a a  1
1 
:


a  1   a 1
a  1


b) T×m a ®Ĩ 1  a  1 1
P
8


x   1
2 x
Bµi 43: Cho biĨu thøc P  1 

 :
 1
x 1   x  1 x x x x 1

a) Tìm ĐK để P có nghĩa và rút gọn P
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P x nhận giá trị nguyên
a) Rút gọn P.

Bài 44:. Cho P  1 


a) Rót gän P.

a  a 
a a 
 1 
 ; a 0, a 1
a 1    1  a 
b) T×m a biÕt P >

2.

a.

c) Tìm a biết P =

2

2
Bài 45. Cho P  1  2x   16x ; x 1
1  4x 2
2

2
1  2x

a) Chøng minh P 

b) TÝnh P khi x 

3
2

Bµi 46. Cho x  a  b víi a < 0, b < 0.
b
a
2
a) Chøng minh x  4 0 .
b) Rót gän F  x 2  4 .
 x 1
Bµi 47. Cho B 

x

1

a) Rót gän B.

x 1 8 x   x  x 3
1 


 :

x 1 x  1   x 1
x 1

b) Tính giá trị của B khi x 3  2 2 .
c) Chøng minh r»ng B 1 với mọi giá trị của x thoả mÃn x 0; x 1 .

 1
  1
Bµi 48: Cho M 
 1 a  :
 1
 1 a
  1 a2


a) Tìm ĐKXĐ của M.

b) Rút gọn M. c) Tính giá trị của M tại a =

3
2 3

6


Vũ thị Thúy Anh

THCS Trần Mai Ninh
2

Bµi 49: Cho biĨu thøc: A  x  4 x  4
4  2x

1. Với giá trị nào của x thì biểu thức A có nghĩa?

2. Tính giá trị của biểu thức A khi x=1,999

a a

Bµi 50: Cho biĨu thøc: A 


1. Rót gän biĨu thøc A.
Bµi 51; Cho biĨu thøc: S

 a a

 1 
 1 ; a 0, a 1 .
a 1
a1


2. Tìm a 0 và a1 thoả mÃn đẳng thức: A= -a0 và a1 thoả mÃn đẳng thức: A= -a1 thoả mÃn đẳng thức: A= -a2


y
y 2 xy
:


; x  0, y  0, x  y .
 x  xy

 x y
x

xy



1. Rót gän biĨu thøc trên

2. Tìm giá trị của x và y để S=1.
1

Bài 52; Cho biểu thức A

x 1

x



x x

Tính giá trị cđa A khi x 

1. Rót gän biĨu thøc A
x 2



Bµi 53: Cho biĨu thøc: Q 

 x  2 x 1

a. Chøng minh Q 

2
x 1

1
2

x  2 
x 1

; x  0, x 1 .

x 1 
x



b. T×m số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên.
1

Bài 54: Cho biểu thức: A


1. Rót gän A.

; x  0, x 1 .



x

1

 
 : 
x  1  

x 2

x 1 
 ; x  0 , x 1, x  4 .
x 2



x1

2. Tìm x để A = 0.
A

Bài 55: Cho biĨu thøc:
1. Rót gän biĨu thøc.

x x 1
x

x 1

; x 0

3. Tính giá trị của A khi x

2. Giải phơng trình A=2x.

Bài 56: Cho biểu thức: F= x  2 x  1  x  2 x 1
1. Tìm các giá trị của x để biểu thức trên có nghĩa.
Bài 57: Cho biểu thức: N

a
ab  b



1. Rót gän biĨu thøc N.

b
ab  a

a b



ab

x x1

x 1
x

x 1



32 2

.

2. Tìm các giá trị x 2 để F = 2.

với a, b là hai số dơng khác nhau

2. Tính giá trị của N khi:

Bài 58: Cho biÓu thøc: T  x  2 

1

a  62 5

; b  6 2 5

.

x 1
; x  0, x 1 .
x 1

2. Chøng minh r»ng víi mäi x > 0 và x 1 luôn có T < 1/3.

1. Rót gän biĨu thøc T.

Bµi 59: LËp pt bậc hai với hệ số nguyên có 2 no là: x1 

 

4
3 5

; x2 

4
3

5

4

4   4 
 

 3 5   3 5 

Tõ ®ã tÝnh P= 

4

3

Bµi 60: Cho biĨu thøc: M  1  x  1  x
; x 0; x 1.
1 x 1 x  x
1. Rót gän biĨu thøc M.
2. T×m x để M 2.
x 2 x 3 4

Bài 61: Cho A=



1

x  x 3
x  x  3  3x  x 2  x 2  9
a) Chứng minh A<0.
b) Tìm tất cả các giá trị x ®Ĩ A nguyªn
36 x 4  (9a 2  4b 2 ) x 2  a 2 b 2
Bµi 62: Cho A 
9 x 4  (9a 2  b 2 ) x 2  a 2 b 2
1. Rót gọn A.
2. Tìm x để A=-1.
(2 x 3)( x  1) 2  4(2 x  3)
Bµi 63: Cho biÓu thøc A 
( x  1) 2 ( x 3)
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A = 3


x


Bµi 64. P 
 x  1 x

1

  1
2 
 :


x   1  x x  1 

7


Vu thi Thuy Anh

THCS Trõn Mai Ninh

a) Tìm điều kiện của x để P xác định.
Bài 65: Cho A

c) Tìm các giá trị của x để P 0

b) Rót gän P

a2  a
2a  a

1
a  a 1
a

a, Rót gän A

b, Khi a >1.H·y so s¸nh A víi A

c, Tìm a để A = 2

d, Tìm A min ?


x  4x   1  2x
2 x 
Bµi 66.Cho A  1 

 : 1 

1  4x   1  4x 2 x  1

a, Rót gọn A

b, Tìm x để A A 2

Bài 67: Cho biĨu thøc M = 

a

a)

Rót gän biĨu thøc M;

1
a



c, Tìm x để A

1
4

1
a 1
:
a 1 a  2 a 1
b) So s¸nh M víi 1.

3
2x  3 x  2
vµ Q = x  x  2x  2
x 2
x 2
a) Rót gän biĨu thøc P và Q;

b) Tìm giá trị của x để P = Q.

Bài 68: Cho các biểu thức P =

**********&*********

8