Hh9 cđ4 tứ giác nội tiếp 1

GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH

Zalo: 0382254027

Chuyên đề: TỨ GIÁC NỘI TIẾP
A. Lý thuyết

y

1. Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp đường trịn là tứ giác có
bốn đỉnh nằm trên đường trịn đó

A

- Trong hình vẽ ta có ◊ABCD nội tiếp đường tròn ( O ) và

( O ) ngoại tiếp

B

z

◊ABCD

O

2. Các tính chất: Cho ◊ABCD nội tiếp đường trịn ( O ) , khi
D

đó:
- Tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800

C

x

t


 =B
+D
 =180 0
A +C

- Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường
trịn.
3. Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
a) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
b) Tứ giác có góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
c) Tứ giác có bốn đỉnh cách đều 1 điểm cố định (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm
của đường trịn ngoại tiếp tứ giác
d) Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dưới một góc α
*) Chú ý:
1) Trong các hình đã học thì hình chữ nhật, hình vng và hình thang cân nội tiếp được đường
trịn
2) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn có số đo bằng 900
3) Đường kính đi qua trung điểm của dây thì vng góc với dây
4) Nếu hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm thì:
+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
+ Đường thẳng nối từ điểm đó đến tâm là phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến
1

GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH

Zalo: 0382254027

+ Đường thẳng nối từ tâm đến điểm đó là phân giác của góc tạo bởi hai bán kính qua tiếp điểm
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ
Tỉnh, Thành Phố

Năm học

Hà Nội

2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019,

Bắc Ninh

2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019

Bắc Giang

2017, 2018, 2019

Nghệ An
Quảng Ninh

2019
2018, 2019

Quảng Bình
Quảng Ngãi

2021-2022

Thái Bình

2017, 2019; 2021-2022

Thanh Hóa

2021-2022;

Bình Dương

2018

Đắc Lắc

2018

Đồng Nai

2018

Hà Nam

2018

Khánh Hịa

2018

Chun Nam Định

2018

Ninh Bình

2017, 2018

Phú Thọ

2017, 2018; 2021-2022

Hà Nam

2017

2


GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH

Zalo: 0382254027

B. Các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp
Phương pháp 1: Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm
đó là tâm của đường trịn ngoại tiếp tứ giác.
Cách giải: Chỉ ra khoảng cách từ một điểm tới tất cả các điểm đều bằng nhau.

+ Sử dụng các tam giác vng có cạnh huyền chung
+ Chứng minh các đỉnh của một đa giác cùng nằm trên một đường trịn.
+ Sử dụng cung chứa góc.
+ Chứng minh các tứ giác nội tiếp.
Bài 1:
Từ một điểm A ở ngồi đường trịn ( O ) vẽ
các tiếp tuyến AB, AC . Cát tuyến ADE không
đi qua tâm O ( D nằm giữa A và E ). Gọi I
là trung điểm của DE . Chứng minh 5 điểm
O, B, A, I , C cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải


Do AC và AB là các tiếp tuyến nên OCA
= OBA
= 900
Do I là trung điểm của DE nên OI ⊥ ED (đường kính đi qua trung điểm của dây thì vng


góc với dây cung) hay OID
= OIA
= 900
Gọi P là trung điểm của OA

1
AO
= OP
= PA
2

1
=
AO
= OP
= PA
Xét tam giác vng OAB có BP là đường trung tuyến nên BP
2
1
IP
AO
= OP
= PA
Xét tam giác vng AOI có IP là đường trung tuyến nên =
2
=
Xét tam giác vng AOC có CP là đường trung tuyến nên CP

3


GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH

Zalo: 0382254027

= PA
= PC
= PI
= PB nên 5 điểm O, B, A, I , C cùng thuộc một đường tròn.
Vậy OP

Bài 2:
Cho đường tròn tâm O . Kẻ đường kính AB và
CD vng góc với nhau. Gọi E là điểm chính
giữa của cung nhỏ CB . EA cắt CD tại F , ED
cắt AB tại M .
a) Các tam giác CEF và EMB là những tam
giác gì?
b) Chứng minh rằng bốn điểm C , F , M , B
thuộc đường tròn tâm E .
Lời giải
Phân tích đề bài
 là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn và chắn hai cung CE
, 
a) Ta thấy CFE
AD .
 . Mà
 là góc nội tiếp chắn cung ED

 ⇒ ∆CFE cân tại E
 EB

 nên FCE
FCE
= CFE
=
CE
=
; 
AD BD

=
, EM EB . Lại có
b) Từ kết quả câu a), ∆ECF và ∆EBM là hai tam giác cân ta =
có EC EF
CE = EB (do E là điểm chính giữa của cung nhỏ CB ) nên bốn điểm F , C , M , B thuộc đường
tròn tâm E .
Giải chi tiết:
 là góc có đỉnh F nằm bên trong đường trịn nên:
a) Vì CFE

(

)

 = 1 sđ CE
 + sđ 
CFE
AD .
2

(1)

(

)

 ⇒ FCE
 = 1 sđ EB
 + sđ BD
 .

 là góc nội tiếp chắn cung ED
Góc FCE
2

(2)

 và E là điểm chính giữa của
AD = BD
Vì hai đường kính AB và CD vng góc với nhau nên 
 = EB
.
cung nhỏ CB nên CE
(3)

 ⇒ ∆CFE cân tại E .
Từ (1), (2) và (3) suy ra FCE
= CFE
Tương tự ta cũng có ∆BME cân tại E .
=
CE EF
=
; EM EB .
b) Theo câu a), ∆ECF và ∆EBM là hai tam giác cân nên
4


GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH

Zalo: 0382254027

 ⇒ CE = EB . Do đó CE
 = EB
= EF
= EM
= EB .
Lại có CE
Vậy bốn điểm F , C , M , B thuộc đường trịn tâm E .

Bài 3:
Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 600 , AB
= a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng
6 điểm E, F, G, H, B, D cùng nằm trên một
đường trịn. Xác định tâm và tính bán kính của
đường trịn đó theo a.
Lời giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có OB = OD
Do ABCD là hình thoi nên ta có AC ⊥ BD .
 = 600 nên BAO
 = 300 (tính chất đường chéo hình thoi)
Ta có BAD
0
 ⇒=
OB ABsinBAO
OB a.sin 30
=
Tam giác ABO vng tại O có =

a
2

=
 = 300 suy ra
Xét tam giác vng ABO có 
ABO + BAO
900 ( hai góc phụ nhau) mà BAO
 = 600

ABO = 600 hay EBO

OE
=

1
AB
= EB
= EA ( tính chất đường trung tuyến trong tam giác vng và E là trung điểm
2

của AB.
 = 600 nên tam giác EBO là tam giác đều
Tam giác EOB là tam giác cân tại E có EBO
⇒ OE =
OB

Chứng minh tương tự với các tam giác vuông BOC, COD và DOA ta có :
OE
= OB
= OF
= OC

= OG
= OD
= OH

Vậy 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng nằm trên một đường trịn tâm O. Bán kính OB =
Bài 4:

5

a
2


GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH

Zalo: 0382254027

Cho tam giác ABC vng tại A. Trên AC lấy
điểm D. Hình chiếu của D lên BC là E, điểm
đối xứng của E qua BD là F. Chứng minh 5
điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường
tròn. Xác định tâm O của đường trịn đó.
Lời giải
=
Do DE ⊥ BC ⇒ DBE
900
Vì E và F đối xứng với nhau qua BD nên BD là đường trung trực của đoạn thẳng EF

⇒ BF
= BE; DF

= DE

 = BED
 = 900
∆BFD =
∆BED (c-c-c) ⇒ BFD

Gọi O là trung điểm của BD.

1
BD
= OB
= OD (1)
2

=
Xét tam giác vng ABD vng tại A có AO là trung tuyến nên AO

1
BD
= OB
= OD
2
1
=
BD
= OB
= OD
Tam giác vuông BFDvng tại F có OF là trung tuyến nên FO
2

Từ (1)(2)(3) ⇒ OA = OB = OD = OE = OF .
=
Tam giác vng BDE vng tại E có OE là trung tuyến nên EO

(2)
(3)

Vậy 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn tâm O với O là trung điểm của BC.
Bài 5:
Cho hình thang ABCD ( AB / / CD ) ( AB < CD)

A

B

= D
= 600 , CD = 2 AD . Chứng minh bốn
có C
D

điểm A, B, C , D cùng thuộc một đường tròn.

I

Lời giải
 IC = AB
AI (1)
⇒ ICBA là hình hành ⇒ BC =
 IC / / AB

Gọi I là trung điểm CD , ta có 
Tương tự AD = BI (2)

6

C


GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH

Zalo: 0382254027

= 600 nên ABCD là hình thang cân (3)
= D
ABCD là hình thang có C

= IB
= IC
= ID hay bốn điểm A, B, C , D
Từ (1), (2), (3) ta có hai tam giác ICB; IAD đều hay IA

cùng thuộc một đường tròn.
Bài 6:
Cho hình thoi ABCD . Gọi O là giao điểm hai
đường chéo. M , N , R và S lần lượt là hình
chiếu của O trên AB, BC , CD và DA . Chứng
minh bốn điểm M , N , R và S cùng thuộc một
đường trịn.
Lời giải
Do ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của AC , BD ; AC , BD là phân giác góc A, B, C , D

∆SAO =
∆NCO =
∆PDO ⇒ OM ===
ON OP OS hay bốn điểm M , N , R và S cùng
nên ∆MAO =

thuộc một đường tròn.
Bài 7:
Cho tam giác ABC có các đường cao BH và

A

CK .

K

Chứng minh B, K , H , C cùng nằm trên một

H

đường tròn. Xác định tâm đường trịn đó.

Lời giải

C

I

B

= IB
= IK
= IH hay
Gọi I là trung điểm CB , do ∆CHB; ∆CKB vuông tại H , K nên IC

B, K , H , C cùng nằm trên một đường tròn tâm I .

7


GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH

Zalo: 0382254027
Bài 8:

Cho đường trịn tâm O đường kính AB . Vẽ

C

E

dây cung CD vng góc với AB tại I ( I
nằm giữa A và O ). Lấy điểm E trên cung

F

nhỏ BC ( E khác B và C ), AE cắt CD tại F

A

I

. Chứng minh BEFI là tứ giác nội tiếp đường

B

O

tròn.
D

Lời giải
= 90° (giả thiết)
Tứ giác BEFI có: BIF
= BEA
= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
BEF

Suy ra tứ giác BEFI nội tiếp đường trịn đường kính BF
Bài 9:
Từ một điểm A nằm ngồi đường trịn ( O; R ) ta vẽ

A

hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B , C là
tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M ,
vẽ

MI ⊥ AB , MK ⊥ AC ,

MI ⊥ AB,

K
I

MK ⊥ AC

( I ∈ AB, K ∈ AC ) MI ⊥ AB, MK ⊥ AC ( IAB, KAC )

B

a) Chứng minh AIMK là tứ giác nội tiếp đường

M
H

C

P
O

tròn.
b) Vẽ MP ⊥ BC ( P ∈ BC ) . Chứng minh CPMK là
tứ giác nội tiếp.
Lời giải

a) Ta có: 
AIM= 
AKM= 90° (gt), suy ra tứ giác AIMK nội tiếp đường trịn đường kính AM .

8


GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH

Zalo: 0382254027

= MKC
= 90° (gt). Do đó CPMK là tứ giác nội tiếp.
b) Tứ giác CPMK có MPC

Bài 10:
Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt
K

nhau tại E . Lấy I thuộc cạnh AB , M thuộc cạnh
= 90° ( I và M không trùng với
BC sao cho IEM

M

B

các đỉnh của hình vng ).
a) Chứng minh rằng BIEM là tứ giác nội tiếp

N

C

I

đường tròn.
E


b) Tính số đo của góc IME

c) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC ; K
là giao điểm của BN và tia EM . Chứng min BKCE

A

D

là tứ giác nội tiếp.
Lời giải
= IEM
= 90° (gt) hay tứ giác BIEM nội tiếp đường trịn đường kính IM
a) Tứ giác BIEM : IBM
= IBE
= 45° (do ABCD là hình vuông).
b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra: IME
= BEC
= 90° )
 = CEM
 (do IEM
c) ∆EBI và ∆ECM có BE = CE , BEI
⇒ ∆EBI =
∆ECM ( gcg ) ⇒ MC =IB ⇒ MB =IA

Vì CN / / BA nên theo định lí Thalet, ta có:

MA MB IA
=
= .
MN MC IB

Suy ra IM song song với BN (định lí Thalet đảo)
=
 =°
= 45° (do ABCD ).
⇒ BKE
IME
45 (2). Lại có BCE

 ⇒ BKCE là tứ giác nội tiếp.
Suy ra BKE
= BCE

Bài 11:

9


GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH

Zalo: 0382254027

Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2 R và

tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường trịn đối
với AB . Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai
MC với nửa đường tròn ( C là tiếp điểm). AC cắt

OM tại E ; MB cắt nửa đường tròn ( O ) tại D ( D

khác B ). Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ
giác nội tiếp đường tròn.
Lời giải
= MCO
= 90° ⇒ AMCO là tứ giác nội tiếp đường trịn đường
Vì MA, MC là tiếp tuyến nên: MAO

kính MO .

ADB= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ 
ADM =
90° (1)

= OC
= R ; MA = MC (tính chất tiếp tuyến). Suy ra OM là đường trung trực của AC
Lại có: OA
⇒
AEM =
90° (2).

Từ (1) và (2) suy ra AMDE là tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MA .
Bài 12:
Cho hai đường trịn ( O ) và (O′) cắt nhau tại
F

A và B . Vẽ AC , AD thứ tự là đường kính

E
A

I

của hai đường tròn ( O ) và (O′) .

M

a) Chứng minh ba điểm C , B, D thẳng hàng.
b) Đường thẳng AC cắt đường trò (O′) tại E ;

E, F

khác A ). Chứng minh bốn điểm

C , D, E , F cùng nằm trên một đường tròn.

Lời giải

10

C

d

O/

O

đường thẳng AD cắt đường tròn ( O ) tại F (

N

K

B

D


GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH

Zalo: 0382254027

ABD lần lượt là các góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ( O ) và (O′)
a) 
ABC và 

⇒
ABC =
ABD =°
90

Suy ra C , B, D thẳng hàng.
b) Xét tứ giác CDEF có:
= CFA

= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O))
CFD
= 
CED
AED= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O’)
=
 =°
⇒ CFD
CED
90 suy ra CDEF là tứ giác nội tiếp.

Bài 13:
Cho 2 đường tròn ( O ) và (O′) cắt nhau tại hai

I

điểm A và B phân biệt. Đường thẳng OA cắt

( O ) , (O′) lần lượt tại điểm thứ hai

E

C và D .

A

Đường thẳng O′A cắt ( O ) , (O′) lần lượt tại
điểm thứ hai E E, F .

O'

O

1. Chứng minh 3 đường thẳng AB , CE và DF

B

C

đồng quy tại một điểm I.
2. Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được

P

trong một đường tròn.
Lời giải
1. Ta có: 
ABC = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

ABF = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) nên B , C , F thẳng hàng.

AB, CE , DF là 3 đường cao của tam giác ACF nên chúng đồng quy.
= IBF
= 90° suy ra BEIF nội tiếp đường tròn.
2. Do IEF

Bài 14:
11

D

H

F
Q


GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH

Zalo: 0382254027

Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB .

y

x

Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA , điểm N

D

thuộc nửa đường tròn ( O ) . Từ A và B vẽ các
tiếp tuyến Ax và By . Đường thẳng qua N và

N

C

vng góc với NM cắt Ax, By thứ tự tại C và

K

I

D.

a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ
giác nội tiếp đường trịn.

A

M

O

B

b) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆CMD
từ đó suy ra IMKN là tứ giác nội tiếp.
Lời giải
= 90° (gt); MAC
= 90° (tính chất tiếp tuyến).
a) Ta có tứ giác ACNM có: MNC
⇒ ACNM là tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MC .

Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường trịn đường kính MD
b) ∆ANB và ∆CMD có:

 (do tứ giác BDNM nội tiếp)
ABN = CDM

 = DCM
 (do tứ giác ACNM nội tiếp) nên ∆ANB  ∆CMD (g.g)
BAN

c) ∆ANB  ∆CMD ⇒ CMD
= 
ANB
= 90o (do 
ANB là góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ( O ) )
= INK
= 90° ⇒ IMKN là tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính IK .
Suy ra IMK

Bài 15: Tuyển sinh vào 10, Hà Nội 07/06/2018
Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không đi qua tâm. Lấy S là một điểm bất kì trên tia
đối của tia AB (S khác A). Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O; R)
sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của đoạn
thẳng AB.

12


GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH

Zalo: 0382254027

1) Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO.
.
2) Khi SO = 2R, hãy tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và tính số đo CSD

3) Đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD tại
điểm K. Chứng minh tứ giác ADHK là tứ giác nội tiếp và đường thẳng BK đi qua trung
điểm của đoạn thẳng SC.
4) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD và F là hình chiếu vng góc của điểm E
trên đường thẳng AD. Chứng minh rằng, khi điểm S thay đổi trên tia đối của tia AB thì
điểm F ln thuộc một đường trịn cố định.
D

O
B

H

A

S

C

1) Ta có OH ⊥ HS (tính chất trung điểm dây cung)
⇒ H nằm trên đường trịn đường kính SO.

Ta có C, D là tiếp điểm nên OC ⊥ SC ; OD ⊥ SD
⇒ C , D nằm trên đường trịn đường kính SO.
OD R=
; SO 2 R
2) Ta có=

Do đó, SD=

SO 2 − OD 2=

4 R 2 − R 2=

3R

 = 300 (cạnh đối diện bằng nửa cạnh huyền)
Và ta có OSD



Tương tự, ta có SC
= 600 ⇒ ∆SCD đều
= SR 3; OSC
= 600 ⇒ ∆SCD cân và có CSD

D
E

O
13

B

S


GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH

Zalo: 0382254027

1
2

 của đường trịn đường kính SO.
AKD =
sd SD
3.1) AK / / SC ⇒ 
 = 1 sd SD
 của đường trịn đường kính SO.
Ta có SHD
2


AKD
= 
AHD ⇐ ◊ADHK nội tiếp.

3.2) Chứng minh BK đi qua trung điểm của SC
- Gọi I là giao điểm của tia AK và đoạn thẳng BC , P là giao điểm tia BK và SC . Ta chứng
minh K là trung điểm của AI , AI / / SC từ đó suy ra BK đi qua trung điểm P của CS . (Dùng

D

hệ quả định lý Ta-let)
4)

F

E

O
M

B

R

H

K

S

A
P

C

Gọi M là trung điểm OH , R là trung điểm OA , dễ chứng minh M cố định, MR là đường
=
trung bình ∆OAH , từ đó suy ra MR / / HA , mà HA ⊥ OH ⇒ MR ⊥ OH ⇒ OMR
900

1   

=
sd AOB
= ADB

= EDF
Có MOR
2

∆DEF ∆ORM ( gg ) ⇒

DF DE DB

 (góc tương ứng)
= =
⇒ ∆DFB ∆OMA ( cgc ) ⇒ DFB
= OMA
OM OR OA

1
 kề bù 
 kề bù 
AMH ⇒ 
AFB = 
AMH ⇒ 
AFB = 
AMH
Mà DFB
AFB; OMA
2

14


GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH

Zalo: 0382254027

AMB là góc ở tâm chắn cung AB
Xét đường tròn ( M ; MA) có: 

1

AFB = 
AMB (chứng minh trên); 
AFB là góc nội tiếp chắn cung AB của đường tròn ( M ; MA )
2

Mà M , A cố định nên f ln thuộc đường trịn ( M ; MA) cố định khi S di chuyển trên tia đối
của tia AB .
Bài 16: Tuyển sinh vào 10, Bắc Giang 02/06/2019
Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn ( O )

B

đường kính AC ( BA < BC ) . Trên đoạn thẳng
OC lấy điểm I bất kỳ ( I ≠ C ) . Đường thẳng

E

BI cắt đường tròn ( O ) tại điểm thứ hai là D.

Kẻ CH vng góc với BD ( H ∈ BD ) , DK vng
góc với AC ( K ∈ AC ) .
a) Chứng minh rằng tứ giác DHKC là tứ giác

nội tiếp.
b) Cho độ dài đoạn thẳng AC là 4 cm và

ABD = 60o . Tính diện tích tam giác ACD.

c) Đường thẳng đi qua K song song với BC
cắt đường thẳng BD tại E. Chứng minh rằng
khi I thay đổi trên đoạn thẳng OC ( I ≠ C ) thì
điểm E ln thuộc một đường trịn cố định.
Lời giải
 = 900 , chỉ ra được 
a) Chỉ ra được DHC
AKC = 900

Nên H và K cùng thuộc đường trịn đường kính CD
+ Vậy tứ giác DHKC nội tiếp được trong một đường tròn.
15

K

A
O

I
H

D

C

GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH

Zalo: 0382254027

b) Chỉ ra được 
ADC= 90°
ACD= 60° ; 
Tính được
=
CD 2=
cm; AD 2 3 cm và diện tích tam giác ACD = 2 3 cm 2 .
 = DBC
.
c) Vì EK / / BC nên DEK
.
 DAC

tiếp nên DBC
Vì ABCD nội=
=
. Suyra 
DEK DAK

Từ đó tứ giác AEKD nội tiếp và thu được 
AED =
AKD =
90o ⇒ 
AEB =
90o.

Kết luận khi I thay đổi trên đoạn OC thì điểm E ln thuộc đường trịn đường kính AB cố
định.
Bài 17:
Cho tam giác nhọn ABC . Đường trịn tâm O

A

đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt
tại các điểm M , N ( M ≠ B, N ≠ C ). Gọi H là
giao điểm của BN và CM ; P là giao điểm của

M

AH và BC .

a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp được

E

trong một đường tròn.
b) Chứng minh BM .BA = BP.BC .
c) Trong trường hợp đặc biệt khi tam giác
ABC đều cạnh bằng 2a . Tính chu vi đường

trịn ngoại tiếp tứ giác AMHN theo a .
d) Từ điểm A kẻ các tiếp tuyến AE và AF
của đường tròn tâm O đường kính BC ( E , F
là các tiếp điểm). Chứng minh ba điểm
E , H , F thẳng hàng.

Lời giải

16

B

N

F

H
P O

C


GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH

Zalo: 0382254027

a) Chỉ ra được 
AMH = 900 ; 
ANH = 900
nên M và N cùng thuộc đường trịn đường kính AH (hoặc 
AMH + 
ANH =
1800 )
Vậy tứ giác AMHN nội tiếp được trong một đường trịn.
b) Tứ giác AMPC có 
APC = 900 (do H là trực tâm tam giác ABC ) và 

AMC = 900
nên tứ giác AMPC nội tiếp đường tròn đường kính AC
(Hoặc hai tam giác BMC và tam giác BPA đồng dạng)
Chỉ ra được

BM BC
=
BP BA

Từ đó suy ra BM .BA = BP.BC
c) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN có đường kính AH
Tam giác ABC đều nên trực tâm H cũng là trọng tâm ⇒ AH =

2
2 AB 3 2a 3
(hoặc
. AP =
.
=
3
3
2
3
1
2

tính được bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác AMHN =
là R =
AH
= AM . AB ⇒

d) Ta có: AH . AP

a 3
)
3

AH AE
=
.
AE AP

Hai tam giác AHE và AEP có

AH AE
 chung nên tam giác AHE đồng dạng với
=
và EAP
AE AP

AHE = 
AEP (1)
tam giác AEP suy ra 
AHF = 
AFP (2)
Tương tự, ta có: 

Mặt khác: Tứ giác AFOP và AEOF nội tiếp đường trịn đường kính AO nên năm điểm
A, E , P, O, F cùng thuộc đường trịn đường kính AO .

Suy ra tứ giác AEPF nội tiếp đường tròn nên 

AEP + 
AFP =
1800 (3).
=
Từ (1),(2) và (3) ⇒ 
AHE + 
AHF = 
AEP + 
AFP = 1800 ⇒ EHF
1800 .

Vậy ba điểm E , H , F thẳng hàng.

17