Công thức lượng giác - Ôn thi Đại học potx

A/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Hệ thức cơ bản
2 2
sin cos 1x x+ =
tan .cot 1x x =
sin
tan
cos
x
x
x
=
2
2
1
1 tan
cos
x
x
+ =
cos
cot
sin
x
x
x
=
2
2
1
1 cot

sin
x
x
+ =
2. Các cung liên kết:
sin( ) sinx x− = −
tan( ) tanx x− = −
os( ) cosc x x− =
cot( ) cotx x− = −
sin( ) sinx x
π
− =
tan( ) tanx x
π
− = −
os( ) c osc x x
π
− = −
cot( ) cotx x
π
− = −
sin cos
2
x x
π
 
− =
 ÷
 
tan cot

2
x x
π
 
− =
 ÷
 
cos sin
2
x x
π
 
− =
 ÷
 
cot tan
2
x x
π
 
− =
 ÷
 
sin( ) sinx x
π
+ = −
tan( ) tanx x
π
+ =
os( ) cosc x x

π
+ = −
cot( ) cotx x
π
+ =
sin cos
2
x x
π
 
+ =
 ÷
 
tan cot
2
x x
π
 
+ = −
 ÷
 
cos sin
2
x x
π
 
+ = −
 ÷
 
cot tan

2
x x
π
 
+ = −
 ÷
 
3. Công thức cộng:
sin( ) sin cos cos sinx y x y x y± = ±
cos( ) cos cos sin sinx y x y x y
± =
m
tan tan
tan( )
1 tan tan
x y
x y
x y
±
± =
m
4. Công thức nhân đôi, hạ bậc
sin2 2sin cosx x x=
2
2tan
tan2
1 tan
x
x
x

=
−


2 2
2
2
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
x x x
x
x
= −
= −
= −
2
1 cos2
sin
2
x
x
−
=
2
1 cos2
cos
2
x
x

+
=
5. Công thức nhân ba, hạ bậc:
3
sin3 3sin 4cosx x x= −
3
3sin sin3
sin
4
x x
x
−
=
3
cos3 4cos 3cosx x x= −
3
3cos cos3
cos
4
x x
x
+
=
6. Công thức biểu diễn
sin ,cos , tanx x x
theo
tan
2
x
t =

:
2
2
sin
1
t
x
t
=
+
2
2
1
cos
1
t
x
t
−
=
+
2
2
tan
1
t
x
t
=
−

7. Công thức biến đổi:
a. Tổng thành tích:


cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
sin( ) sin( )
* tan tan * cot cot
cos cos sin sin
sin( )
* tan tan * cot -
cos cos
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y x y
x y x y
x y

x y x
x y
+ −
+ =
+ −
− = −
+ −
+ =
+ −
− =
+ +
+ = + =
−
− =
sin( )
cot
sin sin
y x
y
x y
−
=

Đặc biệt:
2
sin cos 2sin 2 cos
4 4
sin cos 2sin 2 cos
4 4
1 sin2 (sin cos )

x x x x
x x x x
x x x
π π
π π
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
   
− = − = +
 ÷  ÷
   
± = ±
b. Tích thành tổng:
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
 
= + + −
 

 
= − + − −
 
 
= + + −
 
9. Một số công thức đặc biệt:
4 4 2
1
sin cos 1 sin 2
2
x x x+ = −
6 6 2
3
sin cos 1 sin 2
4
x x x+ = −
1 tan
tan
1 tan 4
x
x
x
π
 
+
= +
 ÷
−
 

4 4
sin cos cos2x x x− =
6 6
1
sin cos 1 sin2
2
x x x− = −
1 tan
tan
1 tan 4
x
x
x
π
 
−
= −
 ÷
+
 
Đỗ Minh Tuấn – THPT Mường Bi Ôn thi đại học – Phương trình lượng giác
1
B/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương trình cơ bản:
*

2
sin sin ( )
2
x k

x k
x k
α π
α
π α π

= +
= ⇔ ∈

= − +

¢
Đặc biệt:

sin 1 2
2
x x k
π
π
= ⇔ = +

sin 1 2
2
x x k
π
π
= − ⇔ = − +

sin 0x x k
π

= ⇔ =
*

2
cos cos ( )
2
x k
x k
x k
α π
α
α π

= +
= ⇔ ∈

= − +

¢
Đặc biệt:

cos 1 2x x k
π
= ⇔ =

cos 1 2x x k
π π
= − ⇔ = +

cos 0

2
x x k
π
π
= ⇔ = +
*
tan tan ( )x x k k
α α π
= ⇔ = + ∈¢
*
cot cot ( )x x k k
α α π
= ⇔ = + ∈¢
2. Phương trình bậc n theo một hàm số lượng giác:
Dạng:
1
1 1 0
sin sin sin 0
n n
n n
a x a x a x a
−
−
+ + + + =
, trong đó
sin x
có thể là
cos x
,
tan x

hoặc
cot x
.
Cách giải:
Đặt
sint x=
, khi đó phương trình đã cho trở thành:
1
1 1 0
0
n n
n n
a t a t a t a
−
−
+ + + + =
Chú ý:
Nếu
sint x=
hoặc
cost x=
thì ta có điều kiện
1;1t
 
∈ −
 
3. Phương trình bậc nhất theo
sin x
và
cos x

:
Dạng:
sin cosa x b x c
+ =
, với điều kiện
0ab ≠
Điều kiện của pt có nghiệm là:
2 2 2
a b c+ ≥
Cách giải:
Chia cả hai vế của phương trình cho
2 2
a b+
và sau đó đưa
về phương trình lượng giác cơ bản.
4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với
sin x
và
cos x
:
Dạng:
2 2
sin sin cos cosa x b x x c x d
+ + =
Cách giải:
- Kiểm tra xem
cos 0x =
có thỏa mãn pt hay không?
- Nếu không thỏa mãn, ta chia cả hai vế của pt cho
2

cos x
ta
được pt:
2 2
tan tan (1 tan )a x b x c d x+ + = +

2
( )tan tan ( ) 0a d x b x c d⇔ − + + − =
Đặt
tant x=
, khi đó pt trở thành:
2
( ) 0a d t bt c d− + + − =
Chú ý: Khi
cos 0x =
thì ta có:
2
sin 1x =
5. Phương trình đối xứng:
Dạng:
(sin cos ) sin cos 0a x x b x x c
± + + =
Cách giải:
- Đặt
sin cost x x= ±
, với
2; 2t
 
∈ −
 

. Khi đó ta có:
2 2
1
1 2sin cos sin cos ( 1)
2
t x x x x t= ± ⇒ = ± −
- Thay vào pt đã cho ta được pt bậc hai đối với ẩn
t
Đỗ Minh Tuấn – THPT Mường Bi Ôn thi đại học – Phương trình lượng giác
2