Bài 2: Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất pdf

Bài 2
Biến ngẫu nhiên và phân phối xác
suất
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Biến ngẫu nhiên

Biểu diễn định lượng các kết quả của thí
nghiệm ngẫu nhiên

X là biến ngẫu nhiên
(
:
)

X
X
 
 


B
X(B)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Biến ngẫu nhiên
Biến ngẫu
nhiên
Biến ngẫu nhiên
rời rạc
Biến ngẫu nhiên

liên tục
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Biến ngẫu nhiên rời rạc

Có miền giá trị là tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm
được

Ví dụ

Tung một con xúc sắc 2 lần
Đặt X là số lần mặt 4 điểm xuất hiện. X có thể nhận
các giá trị 0, 1, hoặc 2.

Tung đồng xu 5 lần
Đặt Y là số lần xuất hiện mặt hình.
Thì Y = 0, 1, 2, 3, 4, hoặc 5
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ
Tung một con xúc sắc cân đối và đồng chất
Đặt X = Số lần tung cho đến khi mặt 6 điểm
xuất hiện.
X = 0, 1, 2, …
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
rời rạc


Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị
x
1
, x
2
, …, x
n
.

Hàm xác suất của X:

Để đơn giản, ký hiệu p
i
=f(x
i
)=P(X=x
i
)

ĐK


( ) ( )
i i
f x P X x
 
( )
0
i

f x

1
( ) 1
n
i
i
f x



x
1
x
2
X
n-1
x
n
f(x
1
)
f(x
2
)
f(x
n-1
)
f(x
n

)
1
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
rời rạc
Thí nghiệm: Tung 2 đồng xu.Đặt X: số lần xuất
hiện mặt hình.
S
S
S
S
H
H
H H
4 khả năng có thể xảy ra
Phân phối xác suất
x P(x)
0 1/4 = .25
1 2/4 = .50
2 1/4 = .25
0 1 2 x
.50
.25
Xác suất
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Biến ngẫu nhiên liên tục

Có miền giá trị là R hoặc một tập con của R.


Ví dụ
- Chiều cao, cân nặng.
- Thời gian để hoàn thành 1 công việc.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
liên tục

Hàm mật độ xác suất
f(x) gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu
nhiên liên tục X nếu
) ( ) 0
) ( ) 1
x
ii f x dx
i f x


 


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
liên tục

Tìm P(a<X<b)?
f(x)
P a x b(

)
≤
≤
P a x b(
)
<<
=
( ) ( )
b
a
P a X b f x dx
  

a b
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
liên tục

Lưu ý:

Do đó
( ) ( ) 0
c
c
P X c f x dx
  

( (
)

( ) ( )
) XP
b
P a X b P a X b
a X b P a
 
    


 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Hàm phân phối xác suất

Xét biến ngẫu nhiên X, hàm phân phối xác
suất của X, ký hiệu F(x), được định nghĩa như
sau

Xác suất X thuộc (a,b]


( )
x
F x P X

)(
( ) ( )
b F a
P b Fa X
  


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Hàm phân phối xác suất

Tính chất
1) .
2) F(x) là hàm không giảm: nếu a<b thì F(a)  F(b).
3)
0
( ) 1
F x
 
) lim(
(
( ) 0
) lim ( ) 1
x
x
F
F
F x
F x


 
 




Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối F(x) thì
hàm mật độ f(x) = F’(x) tại những điểm liên tục của X.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu
nhiên rời rạc

Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận n giá trị x
1
,
x
2
, …, x
n
(x
1
<x
2
< …< x
n
) với các xác suất
tương ứng p
1
, p
2
, …, p
n
.
Với p
i

= P(X=x
i
).

Bảng phân phối xác suất của X
p
1
p
2
… p
n-1
p
n
P
x
1
x
2
… x
n-1
x
n
X
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu
nhiên rời rạc

Hàm phân phối xác suất của X tại điểm x
0


Cụ thể
)xP(X)F(x
00

0
0
x x
F(x )
i
i
p



Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu
nhiên rời rạc
1
1 2
2 3
1
1
1 2
2 1 1
0 ,
,
,
)( ) (

,
,1
n n n
n
p
p p
F x P
x x
x x x
x x x
x
p p p x x x
x x
X
 



 


 

 



   








Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu
nhiên rời rạc

Ví dụ
Tung con xúc sắc cân đối và đồng chất.
Đặt
X = “Số điểm mặt trên con xúc sắc”
Lập bảng phân phối xác suất cho X.
Viết hàm phân phối.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu
nhiên rời rạc

Ví dụ
Tung một đồng xu cân đối.
Đặt
X = Số lần tung cho đến khi xuất hiện
mặt hình.
Lập bảng phân phối xác suất cho X.
Viết hàm phân phối.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Hàm phân phối xác suất của biên ngẫu
nhiên liên tục

Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm
mật độ xác suất f(x), hàm phân phối xác
suất của X
 
( ) ( )
x
F x P X f u du
x

 

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Hàm phân phối xác suất của biên ngẫu
nhiên liên tục

Ví dụ
Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
xác suất

Tìm hàm phân phối F(x).

Tính P(1<X<3/2).
2
,0 2
3
(

8
,
)
0
x
f x
x
 







Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

Là giá trị trung bình theo xác suất của tất
cả các giá trị có thể có của biến ngẫu
nhiên.

Kỳ vọng phản ánh giá trị trung tâm của
phân phối xác suất
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân

phối xác suất
Với p
i
= P(X=x
i
) và .
p
1
p
2
… p
n-1
p
n
P
x
1
x
2
… x
n-1
x
n
X
1
1
n
i
i
p




Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Kỳ vọng của X

Kỳ vọng thường được ký hiệu là .

Tổng quát
1
n
i i
i
EX x p



( )
x
EX xP X x
 

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ

Tung con xúc sắc. Đặt
X = Số điểm mặt trên con xúc sắc. Tính EX.
EX = 1x1/6 + 2x1/6 + … + 6x1/6 = 7/2
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6P
1 2 3 4 5 6X
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục

Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm
mật độ xác suất f(x).

Kỳ vọng của X
( )
EX xf x dx





Ví dụ. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
Tính EX.
2
,0 1
0
(
,
)

x

x
f x







Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.