Kntt c7 b22 ba duong conic p2

CHƯƠNG
I
CHƯƠNG VII. PHƯƠNG PHÁP
TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

§19. Phương trình đường thẳng
§20. Vị trí tương đối giữa hai đường
thẳng. Góc và khoảng cách
§21. Đường trịn trong mặt phẳng tọa độ
§22. Ba đường conic
Bài tập cuối chương VII


TOÁN
TOÁN

➉

CHƯƠNG
I
CHƯƠNG
VII. PHƯƠNG
PHÁP
TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

22

BA ĐƯỜNG CONIC

1

ELIP

2

HYPEBOL

3

PARABOL

4

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BA ĐƯỜNG CONIC


22

BA ĐƯỜNG CONIC

THUẬT NGỮ
• Conic, Elip, Hypebol, Parabol
• Tiêu điểm
• Tiêu cự
• Phương trình chính tắc

• Đường chuẩn, tham số tiêu

KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
• Nhận biết ba đường conic bằng
hình học.

• Nhận biết phương trình chính tắc
của ba đường conic.
• Giải quyết một số vấn đề thực tiễn
gắn với ba đường conic.


Cho hypebol có phương trình chính tắc

2
𝑥

9

−

2
𝑦

16

= 1. Tìm các tiêu điểm và tiêu

cự của hypebol. Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai
tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng bao nhiêu?
Giải
2

2

Ta có 𝑎 = 9, 𝑏 = 16, nên 𝑐 =

= 5. Vậy hypebol có hai tiêu điểm là
𝐹1 ሺ−5; 0 ሻvà 𝐹2 ሺ5; 0 ሻ và có tiêu cự 2𝑐 = 10.
2
ξ𝑎

2
+𝑏

Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt
đối bằng 2𝑎 = 2 ξ 9 = 6.


Cho

𝑥2
ሺ𝐻ሻ:
144

𝑦2
−
25

= 1. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của ሺ𝐻ሻ.

Giải
2

2

Ta có 𝑎 = 144, 𝑏 = 25, nên 𝑐 =

= 13. Vậy hypebol
có hai tiêu điểm là 𝐹1 ሺ−13; 0 ሻvà 𝐹2 ሺ13; 0 ሻvà có tiêu cự 2𝑐 = 26.
2
ξ𝑎

2
+𝑏


3. PARABOL
1

2

HĐ5. Cho parabol ሺ𝑃ሻ: 𝑦 = 𝑥 . Xét 𝐹ሺ0; 1 ሻ và đường thẳng 𝛥: 𝑦 + 1 = 0.
4
Với điểm 𝑀ሺ𝑥; 𝑦 ሻ bất kì, chứng minh rằng 𝑀
𝐹 = 𝑑 ሺ𝑀,𝛥ሻ ⇔ 𝑀ሺ𝑥; 𝑦 ሻ thuộc
ሺ𝑃ሻ.
1 2
Như v ậy, parabol ሺ𝑃ሻ: 𝑦 = 𝑥 là t ập h ợp nh ững đi ểm cách đ ều đi ểm
4
𝐹ሺ0; 1 ሻvà đường thẳng 𝛥: 𝑦 + 1 = 0.
Giải
Ta có 𝑀
𝐹 = 𝑑 ሺ𝑀,𝛥ሻ ⇔

2
ඥ𝑥

+ ሺ𝑦

2
ሻ
−1

1

2
ȁ̏
ȁ̏
= 𝑦 +1 ⇔ 𝑦 = 𝑥

⇔ 𝑀 thuộc ሺ𝑃ሻ(đpcm).

4



HĐ6. Xét ሺ𝑃ሻ là một parabol với tiêu điểm 𝐹 và đường chuẩn 𝛥. Gọi 𝑝 là tham số
tiêu của ሺ𝑃ሻ và 𝐻 là hình chi ếu vng góc c ủa 𝐹 trên 𝛥. Chọn hệ trục tọa độ 𝑂𝑥𝑦
có gốc 𝑂 là trung điểm của 𝐻𝐹 , tia 𝑂𝑥 trùng với tia 𝑂𝐹 (H.7.27).
a) Nêu tọa độ của 𝐹 và phương trình của 𝛥.
b) Giải thích vì sao điểm 𝑀ሺ𝑥; 𝑦 ሻthuộc ሺ𝑃ሻkhi và chỉ khi
2
𝑝

ට ቀ𝑥 − ቁ
2

2
+𝑦

𝑝

=ቚ
𝑥+ ቚ
.
2

Giải
a) Từ cách chọn hệ trục tọa độ 𝑂𝑥𝑦 , ta suy ra
b) Với điểm 𝑀ሺ𝑥; 𝑦 ሻ, ta có

2
𝑝
ට ቀ𝑥 − ቁ
2

+ 𝑦2

𝑝
𝐹ቀ
2

=

; 0ቁ và 𝛥: 𝑥 =

𝑝

ቚ
𝑥 + ቚ⇔
2

𝑝
− .
2

2

𝑦 = 2𝑝𝑥 ⇔

𝑀 thuộc ሺ𝑃ሻ.

Chú ý. Bình phương hai vế của phương trình cuối cùng trong HĐ6 rồi rút gọn, ta
2
dễ dàng nhận được phương trình 𝑦 = 2𝑝𝑥 .



2

Cho parabol ሺ𝑃ሻ: 𝑦 = 𝑥.
a) Tìm tiêu điểm 𝐹, đường chuẩn 𝛥 của ሺ𝑃ሻ.
b) Tìm những điểm trên ሺ𝑃ሻcó khoảng cách tới 𝐹 bằng 3.

Giải
1

1

1

2

4

4

a) Ta có 2𝑝 = 1 nên 𝑝 = . Parabol có tiêu điểm 𝐹 ቀ ; 0ቁ và đường chuẩn 𝛥: 𝑥 = − .
b) Điểm 𝑀ሺ𝑥0 ; 𝑦 0 ሻthuộc ሺ𝑃ሻcó khoảng cách tới 𝐹 bằng 3 khi và chỉ khi
𝑀
𝐹 = 3.

2
𝑦0

= 𝑥0 và

Do 𝑀
𝐹 = 𝑑 ሺ𝑀, 𝛥ሻ nên 𝑑 ሺ𝑀, 𝛥ሻ = 3.
1

Mặt khác 𝛥: 𝑥 + = 0 và 𝑥0 =
4

Vậy 𝑥0 =

11
4

và 𝑦 0 =

ξ 11
2

2
𝑦0

1

1

4

4

≥ 0 nên 3 = 𝑑 ሺ𝑀, 𝛥ሻ = ቚ
𝑥0 + ቚ
= 𝑥0 + .

hoặc 𝑦 0 =

ξ 11
−
.
2

Vậy có hai điểm 𝑀 thỏa mãn bài toán với tọa độ là

11

ξ 11
ቀ ;
ቁ và
4
2

11

ξ 11
ቀ ;−
ቁ
4
2


Vận dụng 2. Tại một vùng biển giữa đất liền và một đảo, người ta
phân định một đường ranh giới cách đều đất liền và đảo (H.7.28). Coi
bờ biển vùng đất liền đó là một đường thẳng và đảo là hình trịn. Hỏi
đường ranh giới nói trên có hình gì? Vì sao?
Giải
Coi bờ biển vùng đất liền đó là đường thẳng 𝑑 và đảo là hình trịn có tâm 𝑂
bán kính 𝑅. Gọi 𝛥 là đường thẳng trên đất liền song song với 𝑑 và cách 𝑑 một
khoảng bằng 𝑅. Ta có:

Điểm 𝑀 thuộc đường ranh giới cách đều đất liền và đảo khi và chỉ khi 𝑀 cách đều 𝑂 và 𝛥.
Do đó, đường ranh giới nói trên là một parabol với tiêu điểm 𝑂, đường chuẩn 𝛥.

4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BA ĐƯỜNG CONIC
TÍNH CHẤT QUANG HỌC

Tương tự gương cầu lồi thường đặt ở những khúc đường cua, người ta cũng có
những gương (lồi, lõm) elip, hypebol, parabol. Tia sáng gặp các gương này, đều
được phản xạ theo một quy tắc được xác định rõ bằng hình học, chẳng hạn:
 Tia sáng phát ra từ một tiêu điểm của elip, hypebol (đối với các gương lõm

elip, hypebol) sau khi gặp elip, hypebol sẽ bị hắt lại theo một tia (tia phản xạ)
nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm còn lại (H.7.29).


 Tia sáng hướng tới một tiêu điểm của elip, hypebol (đối với các gương elip,
hypebol lồi), khi gặp elip, hypebol sẽ bị hắt lại theo một tia nằm trên đường
thẳng đi qua tiêu điểm còn lại (H.7.30).


 Với gương parabol lõm, tia sáng phát ra từ tiêu điểm khi gặp parabol sẽ bị hắt lại
theo một tia vng góc với đường chuẩn của parabol (H.7.31). Ngược lại, nếu tia
tới vng góc với đường chuẩn của parabol thì tia phản xạ sẽ đi qua tiêu điểm
của parabol.
Tính chất quang học được đề cập ở trên giúp ta nhận được ánh sáng mạnh hơn
khi các tia sáng hội tụ và giúp ta đổi hướng ánh sáng khi cần. Ta cũng có điều
tương tự đối với tín hiệu âm thanh, tín hiệu truyền từ vệ tinh.


MỘT SỐ ỨNG DỤNG


Ba đường conic xuất hiện và có nhiều ứng dụng trong khoa học và trong cuộc

sống, chẳng hạn:
 Tia nước bắn ra từ đài phun nước, đường đi bổng của quả bóng là những hình
ảnh về đường parabol;
 Khi nghiêng cốc trịn, mặt nước trong cốc có hình elip. Tương tự, dưới ánh sáng
mặt trời, bóng của một quả bóng, nhìn chung, là một elip;
 Ánh sáng phát ra từ một bóng đèn Led trên trần nhà có thể tạo nên trên tường
các nhánh hypebol;
 Nhiều cơng trình kiến trúc có hình elip, parabol hay hypebol.



 Trong vũ trụ bao la, ánh sáng đóng vai trò sứ giả truyền tin. Ánh sáng phát ra từ một thiên
thể sẽ mang những thơng tin về nơi nó xuất phát. Khi nhận được ánh sáng, các nhà khoa
học sẽ dựa vào đó để nghiên cứu, khám phá thiên thể. Trong thiên văn học, các gương
trong kính thiên văn (H.7.32a) giúp nhà khoa học nhận được hình ảnh quan sát rõ nét hơn,
ánh sáng thu được có các chỉ số phân tích rõ hơn.
 Anten vệ tinh parabol (H.7.32b) là thiết bị thu tín hiệu truyền về từ vệ tinh. Tín hiệu sau
khi gặp parabol bị hắt lại và hội tụ về điểm thu được đặt tại tiêu điểm của parabol.


 Đèn pha đáy parabol (H.7.32c) giúp ánh sáng có thể phát xa (chẳng hạn, giúp
đèn ơ tơ có thể chiếu xa). Ánh sáng xuất phát từ vị trí tiêu điểm của parabol,
chiếu vào đáy đèn, các tia sáng bị hắt lại thành các tia sáng nằm trên các đường
thẳng song song.
 Trong y học, để tán sỏi thận, người ta có thể dùng chùm tia laser phát ra từ một
tiêu điểm của gương elip để sau khi phản xạ sẽ hội tụ tại tiêu điểm cịn lại cũng
chính là vị trí sỏi.
 Tháp giải nhiệt hình hypebol trong lị phản ứng hạt nhân (H.7.17c) hay trong
nhà máy nhiệt điện có kiến trúc đảm bảo độ vững chãi, tiết kiệm nguyên vật
liệu và giúp quá trình toả nhiệt được thuận lợi.