E1 0d4 t4 bđt hue tran

LỚP

10

ĐẠI SỐ

BÀI 1
CHƯƠNG 4

LỚP

BẤT ĐẲNG THỨC

10

ĐẠI SỐ
Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1
BẤT ĐẲNG THỨC
I

NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

II

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG ĐỊNH NGHĨA

III

BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN

IV

BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI

V

BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI


LỚP

10

ĐẠI SỐ

BÀI 1
CHƯƠNG 4

BẤT ĐẲNG THỨC

Biến đổi
tương đương

GTLN (Max)
GTNN (Min)

CÁC
DẠNG
TOÁN

Dùng BĐT phụ
(Côsi, Bunhiaxcopki, trị,…)

Chứng minh
BĐT


LỚP

10

ĐẠI SỐ

BÀI 1

BẤT ĐẲNG THỨC

CHƯƠNG 4

IV BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI

Định lí
Tên

Nội dung

Bất đẳng thức
Bunhiacopxki
đối với 2 cặp
số thực

Với hai cặp số thực và ta có

Bất đẳngminh:
thức Ta có
Chứng
Bunhiacopxki
đối với 2 bộ
n số thực

Với hai bộ số thực , ta có

(ln đúng với )

Dấu bằng xảy ra khi

𝑎 𝑏
⇔ 𝑎𝑦=𝑏𝑥 ⇔ = ( 𝑥𝑦 ≠ 0 )
𝑥 𝑦

Dấu “=” xảy ra

𝑎 𝑏
= ( 𝑥𝑦 ≠ 0 )
𝑥 𝑦


LỚP

10

ĐẠI SỐ

BÀI 1

BẤT ĐẲNG THỨC

CHƯƠNG 4
𝟐

𝟐
𝟏

𝟐
𝟐

𝟐
𝒏

𝟐
𝟏

𝟐
𝟐

𝟐
𝒏

( 𝒂𝟏 𝒃𝟏 + 𝒂𝟐 𝒃𝟐 +...+ 𝒂𝒏 𝒃𝒏 ) ≤ ( 𝒂 + 𝒂 +...+ 𝒂 )( 𝒃 + 𝒃 +...+ 𝒃 )
Ví dụ 1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng với

A. .
B. .
C..
D..
Lời giải
Cách 1: (tự luận)
Ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số và ta được:
2
2
2
2
2
2
2
¿ ( 1. 𝑎+ 2.𝑏 ) ≤ ( 1 +2 ) ( 𝑎 + 𝑏 ) ¿ 5 ( 𝑎 +𝑏 )
Vậy

𝑎
𝑏
Dấu bằng xảy
⇔ ra = Chọn A
1 2
Cách 2: (trắc nghiệm)
Lấy thử vài giá trị thế vào biểu thức các đáp án ta sẽ loại trừ dần các đáp áp sai. Đáp án còn
lại cuối cùng sẽ là đáp án đúng.
Đáp án B: 1 > 5
Chọn
loại đáp án B,C.
Đáp án C: 1
Chọn

Đáp án D:
loại đáp án D. Vậy đáp án A đúng.


LỚP

10

ĐẠI SỐ

BÀI 1

BẤT ĐẲNG THỨC

CHƯƠNG 4
𝟐

𝟐
𝟏

𝟐
𝟐

𝟐
𝒏

𝟐
𝟏

𝟐

𝟐

𝟐
𝒏

( 𝒂𝟏 𝒃𝟏 + 𝒂𝟐 𝒃𝟐 +...+ 𝒂𝒏 𝒃𝒏 ) ≤ ( 𝒂 + 𝒂 +...+ 𝒂 )( 𝒃 + 𝒃 +...+ 𝒃 )

Ví dụ 1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng với
A. .
B. .
C..
D..
Mở rộng
Cho
2

2

4 ≤ 5 ( 𝑎 +𝑏 )
4
⇔ 𝑎 +𝑏 ≥
5
2

2

Dấu bằng xảy ra khi
𝑎+ 2 𝑏=2
𝑎 𝑏
=

1
2

{

2
𝑎=
5
⇔
4
𝑏=
5

{

Vậy giá trị nhỏ nhất của là

Bài tập 1: Cho .
Tìm giá trị nhỏ nhất của
.


LỚP

10

ĐẠI SỐ

BÀI 1

BẤT ĐẲNG THỨC

CHƯƠNG 4
𝟐

𝟐
𝟏

𝟐
𝟐

𝟐
𝒏

𝟐
𝟏

𝟐
𝟐

𝟐
𝒏

( 𝒂𝟏 𝒃𝟏 + 𝒂𝟐 𝒃𝟐 +...+ 𝒂𝒏 𝒃𝒏 ) ≤ ( 𝒂 + 𝒂 +...+ 𝒂 )( 𝒃 + 𝒃 +...+ 𝒃 )

Ví dụ 1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng với
A. .
B. .
C..
D..

Mở rộng

Bài tập 1: Cho .
Tìm giá trị nhỏ nhất của
.

Cho
2

( 𝑎 +2 𝑏 ) ≤5

⇔− √ 5 ≤ 𝑎+ 2 𝑏≤ √5
Dấu bằng xảy ra khi
2

2

𝑎 +𝑏 =1
𝑎 𝑏
=
1
2
𝑎 +2 𝑏= √ 5

{

⇔

{

5
√
𝑎=
5

2 √5
𝑏=
5
Vậy giá trị lớn nhất của là .

Bài tập 2: Cho .
Tìm giá trị lớn nhất của
.


LỚP

10

ĐẠI SỐ

BÀI 1

BẤT ĐẲNG THỨC

CHƯƠNG 4
𝟐

𝟐
𝟏

𝟐
𝟐

𝟐
𝒏

𝟐
𝟏

𝟐
𝟐

𝟐
𝒏

( 𝒂𝟏 𝒃𝟏 + 𝒂𝟐 𝒃𝟐 +...+ 𝒂𝒏 𝒃𝒏 ) ≤ ( 𝒂 + 𝒂 +...+ 𝒂 )( 𝒃 + 𝒃 +...+ 𝒃 )

Ví dụ 1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng với
A. .
B. .
C..
D..
Mở rộng
Gợi ý bài tập 3
2

Khi
2

𝑇 =( 𝑎 +3 𝑏+ 3 𝑐 ) ≤ ( 1 +3 + 3 ) ( 𝑎 + 𝑏 +𝑐 ) ¿ 19
2

2

2

2

2

⇔− √ 19 ≤ 𝑎+3 𝑏+3 𝑐 ≤ √19
Dấu bằng xảy ra khi

2

1
𝑎=
2
2
2
𝑎 + 𝑏 +𝑐 =1
√ 19
3
𝑎 𝑏 𝑐
⇔ 𝑏=
= =
1 3
3
√ 19

𝑎 +3 𝑏+ 3 𝑐=√ 19
3
𝑐=
√ 19

{

Vậy giá trị lớn nhất của là .

{

Bài tập 1: Cho .
Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
Bài tập 2: Cho .
Tìm giá trị lớn nhất của
.
Bài tập 3:
Cho .
Tìm giá trị lớn nhất của
.


LỚP

10

ĐẠI SỐ

BÀI 1

BẤT ĐẲNG THỨC

CHƯƠNG 4
𝟐

𝟐
𝟏

𝟐
𝟐

𝟐
𝒏

𝟐
𝟏

𝟐
𝟐

𝟐
𝒏

( 𝒂𝟏 𝒃𝟏 + 𝒂𝟐 𝒃𝟐 +...+ 𝒂𝒏 𝒃𝒏 ) ≤ ( 𝒂 + 𝒂 +...+ 𝒂 )( 𝒃 + 𝒃 +...+ 𝒃 )

Ví dụ 1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng với
A. .
B. .
C..

D..
Mở rộng
Bài tập 1: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Bài tập 2: Cho . Tìm giá trị lớn nhất của .
Bài tập 3: Cho . Tìm giá trị lớn nhất của .

Bài tập 4: Cho . Tìm giá trị lớn nhất của .
Gợi ý bài tập 4
2

𝑇 =( √ 𝑎+𝑏 + √ 𝑏+𝑐 + √ 𝑐 +𝑎 )

2

≤ ( 1 +1 +1 ) ( 𝑎 +𝑏+ 𝑏+𝑐 +𝑐 +𝑎 ) ¿ 2 4
2

2

2


LỚP

10

ĐẠI SỐ

BÀI 1

BẤT ĐẲNG THỨC

CHƯƠNG 4
𝟐

𝟐
𝟏

𝟐
𝟐

𝟐
𝒏

𝟐
𝟏

𝟐
𝟐

𝟐
𝒏

( 𝒂𝟏 𝒃𝟏 + 𝒂𝟐 𝒃𝟐 +...+ 𝒂𝒏 𝒃𝒏 ) ≤ ( 𝒂 + 𝒂 +...+ 𝒂 )( 𝒃 + 𝒃 +...+ 𝒃 )

Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên .
Lời giải
Nhận xét:

¿ 𝑥+5 +3 − 𝑥 ¿ 8

Cách 1: (tự luận)
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số và ta được:
≤ ( 1 +1 ) ( 𝑥+ 5+3 − 𝑥 ) ¿ 16
2

Dấu bằng xảy ra khi

{

√ 𝑥+ 5 = √ 3 − 𝑥

𝑥 +5=3 − 𝑥
⇔
√ 𝑥 +5+ √ 3 − 𝑥= 4

1
1
√ 𝑥 +5+ √ 3 − 𝑥= 4

Vậy giá trị lớn nhất của là
Cách 2: (trắc nghiệm)

2

{

⇔ 𝑥=− 1

LỚP

10

ĐẠI SỐ

BÀI 1

BẤT ĐẲNG THỨC

CHƯƠNG 4

Ví dụ 3 Cho . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của .
Lời giải
2

2

Ta có: 𝑥 + 𝑦 ≤2 𝑥+ 4 𝑦
2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2

⇔ 𝑥 −2𝑥+ 𝑦 −4 𝑦 ≤0
2

2

⇔ ( 𝑥 − 1 ) +( 𝑦 − 2 ) ≤ 5
Khi đó: 𝐹 =2 𝑥+ 𝑦 ¿ 2 ( 𝑥 −1 ) + ( 𝑦 − 2 ) + 4

⇒ 2 ( 𝑥 −1 ) + ( 𝑦 −2 ) ¿ 𝐹 − 4

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số
và
2

2

( 𝐹 − 4 ) =[ 2 ( 𝑥 − 1 ) + ( 𝑦 − 2 ) ]
2

2

2

≤ ( 2 +1 ) [ ( 𝑥 − 1 ) + ( 𝑦 − 2 )

Vậy

⇔− 5≤ 𝐹 − 4≤ 5
.

2

] ≤ 25

𝑥 −1

𝑦 −2
=
𝑥
−
2
𝑦
=−
3
2
1
2
2
2
2
(
𝑥
−
1
)
+
(
𝑦
−
2
)
=5
( 𝑥 − 1 ) + ( 𝑦 − 2 ) =5⇔
2 𝑥 + 𝑦=− 1
2 𝑥+ 𝑦 =− 1
2 𝑥 + 𝑦= 9

2 𝑥+ 𝑦= 9

{

{

[

[

𝑥=−1
;
𝑦
=1
⇔
𝑥=3 ; 𝑦 =3

[

Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng
khi
đạt giá trị lớn nhất bằng
khi .


LỚP

10

ĐẠI SỐ

BÀI 1

BẤT ĐẲNG THỨC

CHƯƠNG 4

V BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Định lí

Một số bất đẳng thức cơ bản

Điều kiện

Nội dung

Dấu “=” xảy ra

|𝑥|=𝑥   𝑥 ≥ 0,|𝑥|=− 𝑥  𝑥 ≤ 0

|𝑥| ≥ 0,|𝑥|≥ 𝑥 ,|𝑥| ≥− 𝑥
|𝑥| ≤ 𝑎  −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎

a >0

hoặc

|𝑎|−|𝑏|≤|𝑎+𝑏| ≤|𝑎|+|𝑏|
Chứng minh:

Ta có

|𝑎 +𝑏| ≤|𝑎|+|𝑏|
2

2


2

 𝑎 + 2 𝑎𝑏+ 𝑏 ≤ 𝑎 +2|𝑎𝑏|+𝑏

 𝑎𝑏≤|𝑎𝑏|

2

(bất đẳng thức đúng).




.

LỚP

10

ĐẠI SỐ

Ví dụ 1

BÀI 1

BẤT ĐẲNG THỨC

CHƯƠNG 4

Chứng minh với mọi số thực
Lời giải
Áp dụng bđt ta có

|5 − 𝑥|+|𝑥 +10| ≥|5 − 𝑥+ 𝑥 +10|=15 . 


LỚP

10

ĐẠI SỐ

BÀI 1
CHƯƠNG 4

BẤT ĐẲNG THỨC

Ví dụ 2 Cho các số thực thỏa mãn và
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. .
B. .
C. .

D. .
Lời giải
Cách 1: (tự luận)
Ta có

|𝑎|−|𝑏|≤|𝑎+𝑏|

Cộng theo vế ta được
.

Chọn B

Cách 2: (trắc nghiệm)
Lấy thử vài giá trị thỏa mãn thế vào biểu thức ta sẽ loại trừ dần các đáp áp sai. Đáp án còn
lại cuối cùng sẽ là đáp án đúng.
Chọn loại đáp án A,C,D. Vậy đáp án B đúng.


LỚP

10

ĐẠI SỐ

BÀI 1

BẤT ĐẲNG THỨC

CHƯƠNG 4

Ví dụ 3 Cho hai số thực thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải
2

2

2

2

2

Nhận xét ( 𝑎 𝑐 + 𝑏 𝑑 ¿ ¿ ≤ ( 𝑎 +𝑏 ) ( 𝑐 + 𝑑 )

2

2

2

2

 𝑎 𝑐 +𝑏 𝑑 ≤|𝑎 𝑐+𝑏 𝑑| ≤ √ ( 𝑎 + 𝑏 ) ( 𝑐 + 𝑑 )
Ta có𝑃 ≤|𝑥 +2 𝑦| ≤
Vậy

√( 𝑥

2

2

2

2

+ 𝑦 ) ( 1 +2 ) =√ 5 .