12 gia lai 2020 2021 de chinh thuc

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
GIA LAI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
CẤP TỈNH (BẢNG B), NĂM HỌC 2020 - 2021
Mơn: Tốn
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 12/12/2020
(Đề thi có 08 câu, gồm 01 trang)
Họ và tên thí sinh:..............................................................................
Số báo danh:.......................................................................................
y = x3 - ( 2m - 1) x2 + ( 1- m) x m
(C ) . Tìm
( là tham số thực) có đồ thị
A, B
C
m để đường thẳng d : y = x - m cắt đồ thị ( ) tại ba điểm phân biệt
và C sao cho tổng hệ số góc
(C ) tại các điểm A, B và C nhỏ hơn 9.
của ba tiếp tuyến với
Câu 2. (4,0 điểm)
Câu 1. (3,0 điểm) Cho hàm số

5x2 - 10x = 4( x - 1) x2 - 2x + 2
a) Giải phương trình sau trên tập số thực
.
b) Cho 3 số thực x > 1, y > 1 và z > 1 thỏa mãn

(

)

log( xy+yz+zx) 5x2 + 16y2 + 27z2 + log12 4 xy + yz + zx = 2

. Tính M = x + y + z.
Câu 3. (2,0 điểm) Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai trin
n
ổ
ử
ữ
ỗ
1
1
ỗ
ữ
- 4 xữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
x
+
1
x
x
x
+
1

x
+
1
*
ỗ
)
A2 - nC n2 + 55n = 0.
ố(
ứ
, vi x > 0 v n ẻ Ơ tha món n
Cõu 4. (2,0 im) Cho tam giỏc ABC tha món
ổ
ổ
ổ
Aử
Bử
Cử
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
2019sin A + 2020sin B + 2021sinC = 2022cosỗ
+
2020cos
+
2018cos

ì
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ố2 ứ
ố2 ứ
ố2 ø
Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

u = un2 - un + 1, " n ẻ Ơ *
u = 2021
(u )
Câu 5. (3,0 điểm) Cho dãy số n thỏa mãn: 1
và n+1
,
1
1
1
vn = + +×××+
limvn
u1 u2

un
đặt
. Tính
.
Câu 6. (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A . Gọi H là trung
æ
7 5ử
ữ
Mỗ
; ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
4
4ứ
ố
BC
K
H
AC
im ca on
,
l hỡnh chiu vuụng gúc ca
lờn
. Bit
l trung điểm của đoạn
x
+
7

y
13
=
0
HK , đường thẳng BK có phương trình
. Gọi N là giao điểm của BK và AM . Tỡm ta
ổ
ử
1 5ữ
ữ
Iỗ
;
ỗ
ỗ2 2ữ
ữ
ứ l trung im ca on AB.
độ điểm A , biết è
Câu 7. (2,0 điểm) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi H là chân đường vng góc hạ từ A

( a ) là mặt phẳng qua O và không đi
và O là trung điểm của đoạn AH . Gọi
( a ) cắt các đoạn AB, AC và AD lần lượt tại M , N và P . Tìm
qua các điểm A, B,C và D . Mặt phẳng
giá trị nhỏ nhất của AM .AN .AP theo a.
xuống mặt phẳng

( BCD )

(

)

f ( x) = ln x + x2 + 1 + 2021x

Câu 8. (2,0 điểm) Cho hàm số
, a,b và c là ba số thực dương sao cho
f é( a + b + c) xù
+ f 2020 - 3x) = 0
ú
ë
û (
phương trình ê
vơ nghiệm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M =

a + b+ c
×
ab + bc + ca
-------------------------- Hết --------------------------


- Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay; không được sử dụng các tài liệu khác.
- Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
GIA LAI

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
(Hướng dẫn chấm có 05 trang)

Đáp án

Câu

Điểm

(C ) . Tìm m để đường
( m là tham số thực) có đồ thị
(C ) tại ba điểm phân biệt A, B và C sao cho tổng hệ số góc của ba tiếp
thẳng d : y = x - m cắt đồ thị
(C ) tại các điểm A, B và C nhỏ hơn 9.
tuyến với
(C ) và d : x3 - ( 2m - 1) x2 + ( 1- m) x = x - m
Xét phương trình hồnh độ giao điểm của
Û x3 - ( 2m - 1) x2 - mx + m = 0
0,25
------------------------------------------------------------------------éx = - 1
Û ê
0,5
êx2 - 2mx + m = 0 (1) .
ê
ë
-------------------------------------------------------------------------------( 1) có hai nghiệm phân biệt
Để đồ thị (C ) và d cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì phương trình
ìï m2 - m > 0
ù
ổ
ổ1 ử
ùỡù D Â> 0
1ử

ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ớ
ùớ

m
ẻ
Ơ
;
ẩ
ẩ ( 1;+Ơ ) ( *)
ỗ
ỗ- ;0ữ
ữ
ữ
0,5
ữ
ữ
ùù 1 + 2m + m ạ 0 ùù m ạ - 1
ỗ
ỗ
3
3 ứ
ố
ứ
ố
ợ

ùùợ
3
khỏc - 1
---Cho hm số

1
(3,0đ)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2020 – 2021
Mơn thi: Tốn – Bảng B

y = x3 - ( 2m - 1) x2 + ( 1- m) x

" m thỏa mãn ( *) thì phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ,
ìï x + x = 2m
2
ï 1
í
( 2)
ïï x1x2 = m
(C ) cắt d tại ba điểm
suy ra ỵ
. Khơng mất tính tổng quát giả sử
A ( - 1;- 1- m) , B ( x1;x1 - m) ,C ( x2; x2 - m) .
y¢(- 1) + y¢(x1) + y¢(x2) < 9
Theo đề bài, ta có
--2
2
Û 3m + 2 + 3x1 - 2( 2m - 1) x1 - m + 1 + 3x2 - 2( 2m - 1) x2 - m + 1 < 9

2
é
ù
Û 3 ê( x1 + x2 ) - 2x1.x2ú- 2( 2m - 1) ( x1 + x2 ) + m + 4 < 9
ê
ú
ë
û
------------------------------------------

0,5

0,5

( 2)

5
( * *)
4
---------------------------------------------------------------ỉ
1ư ổ
1 ử ổ
5ử
ữ
ữ
ữ
mẻ ỗ
ẩỗ
ẩỗ
ỗ- 1;- ữ

ỗ- ;0ữ
ỗ1; ữ
ữ
ữ
ữ ố
ữ
ỗ
ỗ 3 ữ
ỗ 4ữ
*) , ( * *)
(
3ứ
ố
ứ
ố
ứ l giỏ tr cn tìm.-------------------------------Từ
suy ra
Û 4m2 - m - 5 < 0 Û - 1 < m <

Giải phương trình sau trên tập số thực
a)
(2,0đ)
2
(4,0đ)

.

2

(

)

Û 4( x - 1) x2 - 2x + 2 = x2 - 2x + 1 + 4 x2 - 2x + 2 - 9 ( *)

Đặt

0,25

5x - 10x = 4( x - 1) x - 2x + 2
2

Ta có

5x2 - 10x = 4( x - 1) x2 - 2x + 2

0,5

a = x - 1, b = x2 - 2x + 2.

-----------------------

--------------------------------------------------------------éa - 2b = 3 (1)
2
4ab = a2 + 4b2 - 9 Û ( a - 2b) = 9 Û ê
êa - 2b = - 3 (2) .
*)
(
ê
ë

Khi đó
trở thành
-----Trang 1

0,5
0,25
0,5


ìï x …4
2 x - 2x + 2 = x - 4 ùớ 2
ị xẻ ặ
ùù 3x - 8 = 0
1) ị
(
ùợ
T
.-----------------------------ộ
ờx = 6 + 2 6
ỡ x - 2
ï
ê
ï
3 .
( 2) Þ 2 x2 - 2x + 2 = x + 2 Û íï 3x2 - 12x + 4 = 0 Û êê
ïỵ
êx = 6 - 2 6
ê
3
ë

Từ
-----------2

x=

6+ 2 6
6- 2 6
x=
×
3
3
và
-----------------

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
Cho 3 số thực x > 1, y > 1 và z > 1 thỏa mãn

(

0,25

0,25

0,25

)

log( xy+yz+zx) 5x2 + 16y2 + 27z2 + log12 4 xy + yz + zx = 2 ( 1)

.

M
=
x
+
y
+
z
.
Tính
Ta có
2
é1
ù
2
1
1
1
ê
ú
22y +
33zú „
11x2 + 22y2 + 33z2
( x + y + z) = ê 11x +
BCS
6
22
33
ë 11
û
2

2
2
Û 5x + 16y + 27z …12( xy + yz + zx) .
---------------------------------------------------log12 ( xy + yz + zx) > 0.
Từ giả thiết, suy ra xy + yz + zx > 3 và
log( xy+yz+zx) 5x2 + 16y2 + 27z2 …log( xy+yz+zx) 12 + 1.
Khi đó
-------------------------------1
2 …log( xy+yz+zx) 12 + log12 ( xy + yz + zx) + 1 … 2
1)
(
AM - GM
4
Từ
suy ra
--------------------ìï 11x = 22y = 33z
ïï
í1
ïï log ( xy + yz + zx) = log
12
12
( xy+yz+zx)
Suy ra dấu “=” xảy ra khi ïỵ 4
------------------------ìï x = 12
ïï
ìï x = 2y = 3z
Û ïí
Þ ïí y = 6 .
ïï xy + yz + zx = 144 ïï
ỵ

ïï z = 4
ợ
-----------------------------------------------------------Vy M = 22. ----------------------------------------------------------------------------------------

(

b)
(2,0)

(

)

)

n

3
(2,0)

0,5
0,25
0,25

0,25
0,25

0,25

0,25

ổ
ử
ữ
ỗ
1
1
4 ữ
ỗ
ữ
x
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
x
+
1
x
x
x
+
1
x
+
1
ỗ
(

)
ố
ứ
x
Tỡm h s ca s hạng không chứa trong khai triển
, với
2
2
*
x > 0 và n ẻ Ơ tha món An - nC n + 55n = 0.
ỡù n ẻ Ơ *
ù
ớ
( a) .
ùù n …2
Điều kiện ïỵ
n!
n!
An2 - nC n2 + 55n = 0 Û
- n
+ 55n = 0 Û - n2 + 3n + 108 = 0
0,5
n - 2) !
2!( n - 2) !
(
Ta có
Trang 2


én = 12

Û ê
ên = - 9 Þ n = 12
( a) ).--------------------------------------------------------ê
ë
(thỏa mãn điều kiện
Với n = 12, ta cú
ổ
ỗ
1
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
x
+
1
x
x
x
+
1
ỗ
)
ố(

12

ử
ữ ổ
1

4 ữ
- xữ
=ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố
x +1
x
ữ
ứ
1

4

12
3k- 24
12
ử
k
ữ
k
xữ
=
C
1
x
) 4 .

ồ
ữ
12 (
ữ
ứ
k=0

0,75
-------------------

8

T gi thiết, suy ra k = 8 và hệ số cần tìm bằng
Cho tam giác ABC thỏa mãn

4
(2,0đ)

8
C 12
( - 1) = C 128 = 495.

-----------------------------

ổ
ổ
ổ
Aử
Bử
Cử

ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
2019sin A + 2020sin B + 2021sinC = 2022cosỗ
+
2020cos
+
2018cos
ỗ
ỗ
ỗ
( a)
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
2
2
2
ố ứ

ố ứ
ố ứ
Chng minh rng tam giác ABC đều.
ỉ
ư
ỉ
Cư ỉ
A - B÷
Cư
÷
÷
÷
sin A + sin B = 2cosỗ
cosỗ
2cosỗ
ỗ ữ
ỗ
ỗ ữ
ữ
ữ
ữ
ữ ố
ữ
ỗ
ỗ 2 ữ
ỗ2 ứ
2ứ
ố
ứ
ố

Ta cú
-----------------------------------------------ổ
Cử
ữ
ữ
1009( sin A + sin B ) 2018cosỗ
ỗ
( 1)
ữ
ỗ
ữ
2ứ
ố
Suy ra
-----------------------------------------------------------ổ
ử
Aữ
ữ
1011( sin B + sinC ) 2022cosỗ
ỗ
( 2)
ữ
ỗ
ữ
2ứ
ố
Tng t
-------------------------------------------------------ổ
ử
B

ữ
1010( sinC + sin A ) 2020cosỗ
ỗ ữ
( 3)
ữ
ữ
ỗ
2ứ
ố
v
----------------------------------------------------------------T

( 1) ,( 2)

v

( 3)

5
(3,0)

0,5

0,5
0,25
0,25
0,25

suy ra

ổ
ử
ổ
ử
ổ
ử
Aữ
Bữ
Cữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
2019sin A + 2020sin B + 2021sinC 2022cosỗ
+
2020cos
+
2018cos
ỗ
ỗ
ỗ
( b)
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ2 ữ
ỗ2 ữ
ố2 ữ

ứ
ố
ứ
ố
ứ

( a) ,( b)

0,25
---------

suy ra A = B = C . Vậy tam giác ABC đều.-----------------------------------------------u = un2 - un + 1, " n Ỵ *
u = 2021
(u )
Cho dãy số n thỏa mãn: 1
và n+1
,
1
1
1
vn = + +ììì+
limvn
u1 u2
un
t
. Tớnh
.
*
u ạ 1, un ạ 0, " n ẻ Ơ
Ta cú n

v
1
1
1
1
un+1 - 1 = un ( un - 1) Û
=
=
un+1 - 1 un ( un - 1)
un - 1 un
-------------------------------------1
1
1

=
, " n ẻ Ơ *.
un
un - 1 un+1 - 1
----------------------------------------------------------------------1
1
1
1
1
1
1
1
vn =
+
+
+×××+

u1 - 1 u2 - 1 u2 - 1 u3 - 1 u3 - 1 u4 - 1
un - 1 un+1 - 1
Do đó
----1
1
1
1
=
=
u1 - 1 un+1 - 1 2020 un+1 - 1
-------------------------------------------------------------------Từ

0,25

Trang 3

0,5

0,5

0,25
0,25
0,5


2

u = un2 - un + 1 Þ un+1 - un = ( un - 1) > 0
(u )
Ta có n+1

, suy ra dãy n tăng---------------------limun = a > u1 = 2021
(u )
(u )
(u )
TH1: n bị chặn trên, khi đó dãy n có giới hạn, giả sử
(vì n
tăng).
u = un2 - un + 1 Þ limun+1 = lim un2 - un + 1 Û a = a2 - a + 1 a = 1
T n+1
(loi).----ị limun = +Ơ
(u )
TH2: n khụng b chn trờn
.
ổ1
ử
1 ữ
1
ữ
1
ỗ
limvn = limỗ
=
ữ
ỗ
limvn =
ì
ữ
ỗ
ữ 2020
2020 un+1 - 1ø

è
2020 -------------------------------Suy ra
. Vậy

(

)

0,5

0,5

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A . Gọi H là trung điểm của đoạn BC ,
ổ
7 5ử
ữ
Mỗ
ỗ ; ữ
ữ
ữ
ỗ
4
4
ố
ứ
K l hỡnh chiu vuụng gúc ca H lên AC . Biết
là trung điểm của đoạn HK , đường thẳng
x
+
7

y
13
=
0
BK có phương trình
. Gọi N là giao điểm của BK và AM . Tìm tọa độ điểm A , bit
ổ
1 5ử
ữ
Iỗ
; ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ố2 2ứ
l trung im ca on AB.
uuuu
r 1 uuur uuur
AM = AH + AK uuur uuur uuur uuur uuur
A
2
Ta có
, BK = BH + HK = HC + HK .
uuuu
r uuur 1 uuur uuur uuur uuur
AM .BK = AH + AK . HC + HK
2
Suy ra
u

u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r uuur uuur uuur uuur uuur
I
1
0,5
= AH .HC + AH .HK + AK .HC + AK .HK
2
K
N
1 uuur uuur uuur uuur
1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= AH .HK + AK .HC = AH .HK + AH .HC + HK .HC
M
2
2
C
B
H
u
u
u

r
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
1
= AC .HK + AH .HC = 0 Þ AM ^ BK .
2
AM
:
7
x
y
- 11 = 0----------------------------------------------------------------0,25
Ta có phương trình

(

)

(

6
(2,0đ)

0,5

(
(
(

)(

)

)

)
)

ìï 7x - y - 11 = 0
ï
Û
í
ïï x + 7y - 13 = 0
ợ

(

)

ỡù

ùù x = 9
ổ
9 8ử
5ị Nỗ
ữì
ỗ ; ữ
ớù
ữ
ùù
ỗ
8
5 5ữ
ố
ứ
ùù y =
5
ïỵ
------------------------

Tọa độ của N là nghiệm của hệ:
·
·
0
Ta có AHB = ANB = 90 , suy ra I là tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABHN . ---------------Vì A Ỵ AM nên

A ( t;7t - 11) , t ¹

Theo bài tốn ta có

IA = IN =

9
( *)
5
----------------------------------------------------------------

0,25

0,25
0,25

10
2

2
2
ỉ 1ư
ỉ 27ử
5
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
t- ữ
+ỗ
7t = 5t 2 - 19t + 18 = 0
ỗ
ữ
ữ

ỗ
ỗ
ữ
ữ
2ứ 2
ố 2ứ ố

ột = 2 ( *)
ờ
ờ 9Þ t = 2.
êt =
ê
ë 5

Suy ra
-----------------------Vậy A(2;3). -----------------------------------------------------------------------------------------------------Trang 4

0,25

0,25


Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi H là chân đường vng góc hạ từ A xuống mặt phẳng
( BCD ) và O là trung điểm của đoạn AH . Gọi ( a ) là mặt phẳng qua O và không đi qua các điểm
A, B,C và D . Mặt phẳng ( a ) cắt các đoạn AB, AC và AD lần lượt tại M , N và P . Tìm giá trị nhỏ
nhất của AM .AN .AP theo a.
Gọi V là thể tích tứ diện ABCD.
V
1
AM .AN

0,5
VABCH = V ị AMNO =
ì
3
V
6a2
Khi ú
------------------

VANPO

AN .AP VAPMO
AP .AM
,
=
2
V
6a
6a2 --------------

0,5

AM .AN + AN .AP + AP .AM
V
6a2
AM .AN .AP
AM .AN + AN .AP + AP .AM
Û
=
3

a
6a2
----------

0,5

A

Tương tự
P
M

7
(2,0đ)

Suy ra
VAMNP

O
N

B

D
H

=

1
1

1
6
6
1
+
+
= Þ
… 33
AM
AN
AP
a
a AM - GM AM .AN .AP ---a3
a3
Þ AM .AN .AP … .
AM .AN .AP )
= ×
(
Min
8 Vậy
8 -------Û

C

8
(2,0đ)

V

=

(

0,25
0,25

)

f ( x) = ln x + x2 + 1 + 2021x

Cho hàm số
, a,b và c là ba số thực dương sao cho phương trình
ù+ f ( 2020 - 3x) = 0 ( 1)
fé
ê( a + b + c) xû
ú
ë
vô nghiệm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a + b+ c
×
ab + bc + ca
y = f ( x)
Hàm số
xác định và liên tục trên ¡ .
1
f ¢( x) =
+ 2021 > 0, " x Ỵ ¡
2
x +1
Ta có

-------------------------------------------------------------y = f ( x)
( - ¥ ; +¥ ) ( a) .--------------------------------------Suy ra hàm số
đồng biến trên khoảng
f ( - x) = - f ( x)
y = f ( x)
( b) .
Mặt khác
nên hàm số
là hàm số lẻ
------------------------------------M =

( b)

Ta có

Suy ra

a + b + c = 3 ( 2)

-----------------------------------------------------------------------

2 a + a2 … 3a, 2 b + b2 … 3b
AM - GM

AM - GM

(

0,25
0,25

( a)

( 1) Û f éêë( a + b + c) xùúû= f ( 3x - 2020) Û ( a + b + c - 3) x = - 2020.---------------Phương trình
Từ giả thiết, suy ra

0,25

và

2 c + c2 … 3c
AM - GM

( 2)

)

---------------------------------

a2 + b2 + c2 + 2 a + b + c …3( a + b + c) =( a + b + c)
Trang 5

2

------------------------------

0,25
0,25
0,25

0,25


Û M =

a + b+ c
…1
M
=1
ab + bc + ca
. Khi đó Min
khi a = b = c = 1. -----------------------------------

Lưu ý: - Thí sinh giải cách khác, nếu đúng và lập luận chặt chẽ vẫn chấm điểm tối đa.
- Điểm tồn bài khơng làm trịn.
-------------------------- Hết --------------------------

Trang 6

0,25