1 1 dự đoán số hạng tổng quát và chứng minh bằng quy nạp

.
1.1. DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP.

Bài 1.

Cho dãy số
dãy đã cho.

 un 

xác định bởi :

u1 11

un 1 10un  1  9n, n  N

. Xác định số hạng tổng quát của

Hướng dẫn giải
Ta có:.

u1 11 10  1
u2 10.11  1  9 102 100  2
u3 10.102  1  9.2 1003 1000  3 .
Dự đoán:

un 10n  n  1

.

Chứng minh theo quy nạp ta có.

u1 11 101  1 , công thức  1 đúng với n 1 . Giả sử công thức  1 đúng với n k ta có uk 10k  k .
Ta có:

uk

1

Cơng thức

10  10k  k   1  9k 10k 1   k  1

 1

.

đúng với n k  1 .

n
Vậy un 10  n , n  N . .

Bài 2.

Cho dãy số (un ) biết

u1  2

un 3un  1  1, n 2

. Xác định số hạng tổng quát của dãy.

Hướng dẫn giải
un 3un  1  1  u n 

Đặt

vn un 

1
3
1
1
3un  1   un  3(un  1  )(1)
2
2
2
2
.

1
1 5
 v1 u1  
2
2 2 .

(1)  vn 3vn  1 , n 2 .

Dãy (vn ) là cấp số nhân với công bội là q 3 .
Nên

vn v1.q n  1 

Do đó

Bài 3.

un vn 

 5 n 1
.3
2
.

1  5 n 1 1
 3  , n 1, 2,...
2 2
2
.

3
n4 
*
u1 1; u n 1   un  2
 , n  N
2
n

3
n

2



xác định bởi
.Tìm công thức số hạng

u 
Cho dãy số n
tổng quát un của dãy số theo n .


HƯỚNG DẪN GIẢI
*
Với mọi n   , ta có.

2un 1 3(un 
 2(un 1 

Dãy số

3
3
3
3
3
) 3(un 
)  un 1 
 (un 
).
n2
n 1

n2 2
n 1 .

(vn ), vn un 

 3
vn  
 2
Bài 4.

n4
2
3
)  2un 1 3(un 

)
(n  1)(n  2)
n  2 n 1 .

n 1

3
3
1
q
v1 
n  1 là cấp số nhân có cơng bội
2 và
2.

3
1 3
 1
.    , n  *  un 
  
n 1 2  2 
 2

n 1

, n  *
.



Cho hàm số f : Z  Z thỏa mãn đồng thời các điều kiện:.

(1)

f  n  1  f  n  n  Z  .
,
.

(2)

f  f  n    n  2000 n  Z  . .
,

a/Chứng minh:
b/Tìm biểu thức

f  n  1  f  n  n  Z  .
,
.
f  n

.
HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu a.
Vì

f  n  Z 
f  n  1  f  n   1 n  Z  .
nên từ giả thiết (1) ta được:
,
.


Kết hợp giả thiết (2) ta được n  Z . .

n  2001  n  1  2000  f  f  n  1   f  f  n    1 n  2001
f  n 1  f  n   1 n  Z  . .
do đó:
,
Câu b.

f  n   f  1  n –1, n  Z   f  f  1   f  1  f  1 –1
Suyra:

,.

1  2000 2 f  1 –1  f  1 1001  f  n  n  1000, n  Z 

Thử lại thỏa các điều kiện, nên

f  n  n  1000, n  Z  .

.

.

Bài 5.
a)Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của
chúng là 125.

b)Cho dãy số

 un 

u1 16


15  n.un  1
, n 1
un 1  14 
n 1
có 
. Tìm số hạng tổng qt un .

Hướng dẫn giải
a)Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của
chúng là 125.
Gọi d là cơng sai, số hạng thứ 2 là a. Khi đó 3 số hạng đầu của csc là a  d , a, a  d .

a  d  a  a  d 9

2
2
a  d   a 2   a  d  125



Theo giả thiết ta có hệ:
.
3a 9
 2
2
3a  2d 125
 a 3

 d 7

.

Vậy có 2 cấp số thỏa mãn có 3 số hạng đầu là: -4;3;10 hoặc 10;3;-4.

b)Cho dãy số

 un 

u1 16


15  n.un  1
, n 1
un 1  14 
n 1
có 
. Tìm số hạng tổng qt un .

15  n.un 1
un 1  14 
  un 1  14   n  1 15  n.un  1
n 1
Ta có:
.

  n  1 un 1 15nun  14n  1
Đặt

vn nun   v1 16 

(1) trở thành:
Đặt

.

vn 1 15vn  14n  1  vn 1   n  1 15  vn  n 

w n vn  n   w1 15 

(2) trở thành:

(1).

(2).

.

wn 1 15wn   w n 

n
là csn có w1 15, q 15  w n 15 .

15n  n
un 
n .
Từ đó ta có:
Bài 6.

Cho dãy số

 un 

xác định bởi : u1 1; u2 4; un 2 7un 1  un  2, n   * .

Chứng minh : un là số chính phương với mọi n nguyên dương.
Hướng dẫn giải

Ta có u1 1; u2 4; u3 25 .
Đặt

un vn 

2
3
18
123
v1  ; v2  ; v3 
5 thì
5
5
5 .


un 2 7un1  un  2, n   *
Khi
đó
 vn 2 7vn 1  vn , n   * .

 vn 2 

2
2

7  vn 1   
5
5


2

 vn    2, n   *
5


2
2
2
2
Ta có : vn 2 .vn  vn 1 (7vn 1  vn ).vn  vn 1 vn 1 (7vn  vn 1 )  vn vn 1vn  1  vn .

9
vn 2 .vn  vn21 vn 1vn  1  vn2  v3v1  v22  ; n   *
5
Suy ra :
.
2

Suy

ra

2 
2 
2
9
2
4  2

4
4  9

 un 2   .  un     un1     un 2un   un 2  un     un 1  un 1   
5
25 
5
25  5
5 
5 
5
5


:

 un  2un 

2
4
9
 7un1  2   un21  un1   u u u 2  2u  1 (u 1) 2 ; n   *
n 2 n
n 1
n 1
n 1
5
5
5
.

2
Từ hệ thức un 2un (un 1  1) ; n   * và u1 ; u2 là các số chính phương suy ra un là số chính phương với
mọi n nguyên dương.


Bài 7.

 an  n 1

Cho dãy số
n

xn 
i 1

tăng, an  0 n 1, 2,3,.... và   0 . Xét dãy số



 xn  n1

xác định bởi

ai 1  ai
xn
ai 1ai . Chứng minh rằng tồn tại nlim
 
.
Hướng dẫn giải



x
Dễ dàng thấy rằng dãy  n  n 1

tăng ngặt.

Trường hợp 1. Nếu   1 .
ai 1  ai
1
1
1
1
1
  
     xn  


1
ai 1ai
ai ai 1ai
ai ai 1
a1 vậy dãy  xn  n 1 .
bị chặn trên do đó tồn tại

lim xn

n  

.

Trường hợp 2. Nếu 0    1 .
ai 1  ai 1  1
1 



  *
*   ai11  ai 1  ai   ai1  ai
ai 1ai
  ai ai1 

thật vậy
.
1
ai1  ai

  ai 1  **
ai 1  ai
. Ta chứng minh (**).

Xét hàm số

tồn tại số

f  x   x

c   ai ; ai 1 

Từ đó ta có.

Trên đoạn

 ai ; ai 1 

f '  c 
thoả mãn

rõ ràng hàm số thoả mãn điều kiện của định lí Lagrăng nên

ai1  ai
a   a
a  a
  c  1  i 1 i   ai11  i 1 i
ai 1  ai
ai 1  ai
ai 1  ai đpcm.


 xn 

1


lim xn
xn  n 1

 a1
dãy
bị chặn trên do đó tồn tại n   .

Bài 8.

Cho dãy số

 xn 

được xác định bởi : x4 1 và.

xn 1  xn  1 n  2   2  n  3  3  n  4      n  2  1,

Tính giới hạn

lim

n  

với mọi n 4. .

xn
.
n4 .

Hướng dẫn giải
Ta có:

1 n  2   2  n  3  3  n  4   ...  n  2  .1

.

  n  1  1  2   n  1  2    3   n  1  3  ...   n  2    n  1   n  2  
.
2
 n  1  1  2  3  ...   n  2    12  2 2  32  ...   n  2  

.

=

 n  1 .

 n  2   n  1   n  2   n  1  2m  3
2

Do đó ta suy ra :
Ta chứng minh

6

xn 1  xn 



n  n  1  n  2 
6

n  n  1  n  2 
 xn  Cn3
6

 *

.

.

xn Cn4 . Thật vậy với n 4 , ta có x4 1 C44 .

4
Giả sử với n 4 ta có : xn Cn .
4
3
4
3
4
Ta có : xn 1 xn  Cn theo (*) hay xn 1  xn  Cn Cn  Cn Cn trong.

xn
n!
1
 lim
 .
4
4
n   n
n   4! n  4  ! n
6
lim

Bài 9.

.

1

f  3x   f  f  2 x    2 x
f :  0;     0;  
2

Cho hàm số
thỏa mãn điều kiện
với mọi x  0
. Chứng minh rằng

f  x  x

với mọi x  0 .
Hướng dẫn giải

1

f (3 x)  f  f (2 x)   2 x (1)
2

Ta có:
.

 1  2x   2x
2x
f ( x)  f  f    

 f ( x )  , x  0
3
 2  3  3
Từ (1) suy ra
(2).
1
f ( x)  f 
2
Khi đó

 2x   2x 2 1  2x  2x 1
f   
 . f  

 3  3 3 2  3  3 3

 2 x  2x  4 2 
f  

 x
 3  3  27 3  .

2
1
2
a1 
an 1  an2 
n

1,

2,



(
a
)
3 và
3
3.
Xét dãy n ,
được xác định như sau:


*
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n rằng với mỗi n   ln có.

f ( x)  an x với x  0 (3).
Thật vậy, khi n 1 thì theo (2), ta có ngay (3).
Giả sử mệnh đề (3) đúng với n k . Khi đó.
 1  2x   2x 1
2x 2x
 2x  2x 1
f ( x)  f  f    
 a .f  
 a .a . 
k
k
k
3

3
 3  3 2
 2  3  3 2
a2  2
 k
.x ak 1.x
3
.
Vậy (3) đúng với n k  1 .
lim an 1 . Thật vậy, ta thấy ngay

Tiếp theo ta chứng minh

an  1 n  * . Do đó:

1
an 1  an  (an  1)(an  2)  0
3
, suy ra dãy ( an ) tăng ngặt.
1 2 2
l

l 
3
3 với l 1 , suy ra l 1 . Vậy
Dãy ( an ) tăng và bị chặn trên nên hội tụ. Đặt lim an l thì
lim an 1 .

Do đó từ (3) suy ra f ( x ) x với mỗi x  0 (đpcm).
Bài 10. Tìm tất cả các hàm số f :    thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây.

1.

f  x  y  f  x  f  y

2.

f  x  e x  1

với mọi x, y   .

với mỗi x   .
Hướng dẫn giải

f  x  0   f  x   f  0   f  0  0

và bởi vì

f  0  e0  1 0

f  x    x    f  x   f   x   f  x   f   x  0
 x
f  x  f   
 2

 1 .

 2x 
 x
f   2  e  1
 2


.

 x 
 x
f  x  2  e 2  1  f  x   f   
 2



 x 
 x
f   4  e 4  1
 2

.

 xn

f  x  2n  e 2  1

.
Dùng quy nạp theo n 1, 2,... ta CM được
 2x0n

f  x0  2  e  1

.
Cố định x0   ta có
n

cho nên

f  0  0

.


 2x0n

an 2  e  1

 ta có:.
Xét dãy
n

 x0n

 e2  1 
lim an lim 
.x0  x0
x0
 n

 2

.
Vậy

f  x0   x0

x0  

Vậy

f  x   f   x  x    x  0

Kết hợp (1) và (3) ta được
Từ (2)

 2 .

f  x   f   x  0

 f   x   x  f  x  x

ta thấy đúng. Vậy

 3 .
.

 4  . Kết hợp (2) và (4) ta được f  x  xx   . Thử lại f  x  x

f  x   f   x   x    x  0

Kết hợp (1) và (3) ta được

f  x   f   x  0

 f   x   x  f  x   x

Từ (2)
ta thấy đúng.

 3 .

.

 4  . Kết hợp (2) và (4) ta được f  x  xx   . Thử lại f  x  x

2015

 x1  2016


2
 x  x   xn  , n 1
n
 
 n 1
 n
Bài 11. Cho dãy số xác định bởi 
. Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn
hữu hạn.
Hướng dẫn giải
Trước hết, bằng quy nạp, ta dễ dàng có xn  0 n 1 và dãy số đã cho là dãy tăng.
Ta có :.
x2  x1  x12  2 x1;
x3  x2 

x22

 2 x1  x12  3x1 ;
4
.

Giả sử xk  kx1 với k  1 . Ta có:

xk 1  xk 

xk2
 kx1  x12  (k  1) x1
2
k
.

Theo nguyên lý quy nạp ta có xn  nx1 n  1 .
Ta

có :

mx1  m  1  m  1  x1   1  m 

xm  m  1 m 2017 thật
1
1
 m
 m  2016
2015
1  x1
1
2016

;.

vậy :


Do đó

x m
xn2
2
x  x
x
1
1
1
1
1
1

 n 1 n  n  2 n  2 


xn xn 1
xn xn1 n xn 1 n
n (n  1) n  1 n .
Ta có với n 2 thì xn xn1
1
Do
n  2018


i 0

n 2018

đó

thì

x2017



1 n  2018  1
1
 

xn
x2018i
i 0  x2017 i

1
1
1
1
1








 2016  i 2017  i  2016 n  1 2016 .

2016 x2017
1
1
1


 0  xn 
2016  x2017 .
Suy ra xn x2017 2016
Vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn.
u1 1; u2 2


3
1
un1  2 un  2 un 1 n 2
(
u
)
Bài 12. Cho dãy số n xác định như sau
.
a) Xác định số hạng tổng quát un .
b) Tính

lim un
n  

.
Hướng dẫn giải

Biến đổi ta được:

un 1  un 

1
1
vn 1  vn , n 2
 un  un  1 
v

u

u
n 1
n khi đó:
2
2
với n1
.

1
v2 1; q 
v
,

v
,...
v
,...
n
2.
nghĩa là dãy 2 3
là một cấp số cộng của

vn un  un  1


vn  1 un  1  un  2 
  un  u1 v2  v3  ...vn
........................ 

v2 u2  u1
n 2
n 2
 1
 1 
1
 un 1   1   ...    3   
 2
 2  
 2

.

lim un  lim  3 

x  
x   


1
 
 2

Bài 13. Cho dãy số

n 2


 3

.

 un  được xác định như sau.

u1 2011; un  1 n 2  un 1  un 

,.

*
u 
với mọi n   , n 2 . Chứng minh rằng dãy số n có giới hạn và tìm giới hạn đó.





Hướng dẫn giải
Từ công thức truy hồi của dãy ta được.

1
1 
1 
1 
1  
1



un  1  2  un  1  1  2   1 
u

...

1

1



 ...  1  2  u1
n 2

2
2

2 
 n 
 n    n  1 
 n    n  1   2 
.
un 
Do đó

 n  1  n  1 .  n  2  n ... 4.2 . 3.1 .2011  n 1 .2011
2011
2
2
2
lim
u

n
n2
3
2
2
n
n

1
 
2 .
. Từ đó

Bài 14. Cho dãy số

 un 

xác định bởi

 u1  2014, un1 

un4  20132
, n  *
un3  un  4026
.

n

Đặt

1
, n  *
k 1 u  2013
. Tính lim vn .

vn 

3
k

Hướng dẫn giải

Cho dãy số

 un 

un4  20132
, n  *
 u1  2014, un1  3
un  un  4026
xác định bởi
.

n

Đặt

1
, n  *
u

2013
k 1
. Tính lim vn .

vn 

Ta có

3
k

 un  2013  un3  2013
un4  20132

un 1  2013  3
 2013 
un  un  4026
un  un2  1  4026

.

*
Từ đó bằng quy nạp ta chứng minh được un  2013, n   .

 un  2013  un3  2013
un 1  2013  3
 un  2013   un  2013

 1
.

1
1
1
1
1
1

 3
 3


 1 suy ra un1  2013 un  2013 un  2013 un  2013 un  2013 un1  2013 .
Từ

n


1
1
1
1
1
vn  


1 

uk 1  2013  u1  2013 un 1  2013
un 1  2013
k 1  uk  2013
Do đó
.

Ta chứng minh lim un  .
2

un2  4026un  20132
 u  2013  0, n  *
un 1  un 
 3n
3
un  un  4026
un  un  4026
Thật vậy, ta có

.
Suy ra

 un 

là dãy tăng, ta có 2014 u1  u2  ... .

Giả sử ngược lại
a

 un 

bị chặn trên và

 un 

là dãy tăng nên lim un a   thì a  2014 . Khi đó

a 4  20132
a 3  a  4026  a 2013  2014 (vô lý). Suy ra  un  khơng bị chặn trên, do đó lim un  .




1
lim vn lim  1 
 1
uk 1  2013 

Vậy

.
Bài 15. Tìm số hạng tổng quát của dãy số

 un 


1
u1 
2

u2 673

2
3
2
un 2  2(n  2) un 1  ( n  4n  5n  2)un

n 3

biết.

 n  , n 1

.

Hướng dẫn giải

Vì

un  2 

2(n  2) 2 un 1  (n3  4n 2  5n  2)un
n 3
nên ta có:.

( n  3)un 2 2( n  2) 2 un 1  ( n  2)( n  1) 2 un .


n 3
un 2 2( n  2)un 1  ( n  1) 2 un
n2
.



n 3
un 2 (n  3)un 1  (n  1)un 1  (n  1) 2 un .
n2
.

Đặt un n !vn , n  , n 1 thu được.
(n  3)vn 2 (n  3)vn1  (n  1)vn1  (n  1)vn .
 (n  3)(vn 2  vn 1 ) (n  1)(vn 1  vn ). .
Đặt wn vn  vn  1 , n  , n 2 thu được.
( n 1) wn (n  1) wn 1 .
 (n  1)nwn n(n  1) wn  1 .
Do đó.

( n  1)nwn n( n  1) wn 1 (n  1)( n  2) wn  2 ... 3.2.w2
6(v2  v1 ) 2016.

Như vậy

wn 

2016
1 
1
2016  

n(n  1)
 n n 1  , n  , n 2 .

Từ đó, với n  , n 1 , ta có.
1 
n 1
1
vn  v1 2016  
 2016
n 1 .
 2 n 1 
 vn 

4033n  4031
2(n  1) .

.


Vậy

un n !

4033n  4031
,
n  , n 1 .
2( n 1)

Bài 16. Cho dãy số

 un 

3
n4 
*
u1 1; u n 1   un  2
 , n  N
2
n

3
n

2


xác định bởi
.

Tìm cơng thức số hạng tổng qt un của dãy số theo n .

Hướng dẫn giải
3
n4 
u n 1   un  2

2
n  3n  2  nên.
Vì

2 u n 1  3un 

3
n4
 1,5n  6
. 2

2 n  3n  2  n  1  n  2 

 2 u n 1  3un 2.
 2 u n 1  2.

.

1,5
1,5
 3.
n2
n 1 .

1,5

1,5
3un  3.
n2
n 1 .

1,5  3 
1,5 

  u n 1 
   un  3.

n2 2
n 1  .

Đặt

vn un 

Lại có:

1,5
3
vn 1  vn
n  1 , khi đó ta có:
2 .

v1 u1 

1,5 1


2 4.

v 
Từ đẳng thức trên ta có cơng thức tổng qt của dãy n

Từ đó ta có cơng thức tổng quát của dãy
Bài 17. Cho dãy số

 un 

 un 

 3
vn  
 2
là:

n 1

1,5  3 
 
n 1  2 

n 1

un vn 
là:

1
4.

1
3
. 
4 2  n  1

u  3un 2  2
xác định bởi u1 1 và n 1
với mọi n 1 .

a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số

 un  .

2
2
2
2
b) Tính tổng S u1  u2  u3  ...  u2011 .

Hướng dẫn giải
*
a) Dễ thấy un  0, n  N .

Từ

.

un 1  3un2  2  un21 3un2  2

.

2
v 3vn  2  vn 1  1 3  vn  1
Đặt vn un thì có: n 1
.

.


x 
Đặt xn vn  1 thì ta có: xn 1 3xn . Từ đây suy ra n là cấp số nhân với x1 2 , công bội là 3.
n 1
n 1
n 1
Nên: xn 2.3  vn 2.3  1  un  2.3  1 .
0
1
2
2010
b) S 2.3  2.3  2.3  ...  2.3  2011 .

2  30  31  32  ...  32010   2011



2  32011  1
3 1

 2011

Bài 18. Cho dãy số

.

32011  2012 .

 un 

n
được xác định bởi u1 1 và un 1 un  2 với mọi n 1 .

n
a) Chứng minh rằng: un 2  1 .

b) Tính tổng S u1  u2  u3  ...  un theo n .
Hướng dẫn giải
1
2
a) Khi n 1 : u2 u1  2 1  2 2  1 đúng.
k
Giả sử uk 2  1 đúng với k 1, k  N .
k 1
Ta chứng minh: uk 1 2  1 .
k
k
k
k 1
Thật vậy: uk 1 uk  2 2  1  2 2  1 .

b)

S  21  1   22  1  ...   2 n  1 21  22  ...  2n  n

S 2.

.

2n  1
 n 2n 1  n  2
2 1
.

u1  2


un  2  1
un 1 
1  ( 2  1)un
Bài 19. Cho dãy số(un) xác định như sau: 
a) Chứng minh:

tan

(n 1, n  )


 21
8
.

b) Tính: u2015 .
Hướng dẫn giải



  
8
1 tan tan    
4
 8 8  1  tan 2   tan 2   2 tan   1 0
8
8
8
a) Ta có:
.
2 tan

.




 tan 8  2  1


 tan   2  1  tan   2  1
tan

8

8
8 dương).
(Vì



tan( a  )  tan
8 tan(a   ) u 
8
8 tan(a  2.  )
u2 
3



8
8
1  tan a.tan
1  tan tan( a  )
u

2

tan
a
8
8
8
b) Đặt 1
, ta có:

,
.
tan a  tan


un tan(a  ( n  1) ), n 1, n  
8
Ta chứng minh:
(*).
Với n 1 : u1 tan a đúng.


uk tan(a  (k  1) )
8 .
Giả sử (*) đúng với n k , k 1 , hay ta có:



tan(a  (k  1) )  tan
uk  2  1
8
8 tan( a  k .  )
uk 1 

8
1  ( 2  1)uk 1  tan( a  ( k  1)  ).tan 
8
8
Ta có:
.


un tan(a  (n  1) ), n 1, n  
8
Vậy (*) đúng với n k  1 . Vậy
.
Cho n 2015 , ta có:

tan( a 


3
3
u2015 tan( a  2014. ) tan( a 
 251 ) tan(a  )
8
4
4 .


21

)
( 2  1) 2 tan 2
4
2 1
8.

Bài 20. Cho dãy số thực

 un 

u1 1

u2  1
u 2u  u
*
n 1
n (n  N )
với  n 2
.

*
a) Chứng minh un 3  2n với mọi n  N .

b) Tính tổng S u1  u2  ...  u2012 .
Hướng dẫn giải
a) Dùng phương pháp qui nạp.
u1 1 3  2.1 , u2 3  2.2  1 .

 k 3 .
Giả sử uk 3  2k
Ta có: uk 1 2uk  uk  1 2(3  2k )  (3  2(k  1)) .
1  2k 3  2(k  1) .


*
Vậy un 3  2n với mọi n  N .

b) S (3  2.1)  (3  2.2)  ...  (3  2.2012) .
3.2012  2(1  2  ...  2012) 6036  2013.2012  4044120 .

 vn 

Bài 21. Cho dãy số

với

v1 8

(n  N * )
v2 34
v 8v  1996v
n 1
n
 n 2

.

Tìm số dư khi chia v2013 cho 2011 .
Hướng dẫn giải

Xét dãy số

 un 

u1 8

(n  N * )
u2 34
u 8u  15u

n 1
n
với  n2
.

vn un  mod 2011

Ta có

*
với mọi n  N .

2
Xét phương trình đặc trưng: t  8t  15 0 .

Phương trình trên có nghiệm t 5, t 3 .

 un 

5 A  3B 8

n
n
có dạng un  A.5  B.3 . Vì u1 5, u2 13 nên  25 A  9 B 34 .Ta có: A B 1 .

n
n
Ta có: un 5  3 .

5

Ta có 2011 là số nguyên tố Theo định lý Fecma ta có:
32010 1 mod 2011
Suy ra

2010

1 mod 2011

.

52013 125  mod 2011 32013 27  mod 2011
,
.

Vậy khi chia u2013 cho 2011 ta được số dư là 152 .
Suy ra khi chia v2013 cho 2011 ta được số dư là 152 .
u1 1

 un  : 
Bài 22. Cho dãy số
a) Chứng minh dãy số

n
*
3  2un 1  un  2, (n   ) .

 un 

là dãy số giảm.

b) Lập công thức số hạng tổng quát của dãy số

 un  .

Hướng dẫn giải
a) Chứng minh dãy số

 un 

là dãy số giảm.

.


Ta có:

un 1 

un 1

*
2 3n ; Chứng minh: un 1  un n   bằng phương pháp quy nạp.

u1 1


5  u2  u1
u2  6
 Ta có:
.

 Giả sử: uk 1  uk ; k   và k  1 . Chứng minh: uk 2  uk 1 .
Ta có:

uk  2 

uk 1
u
u
1
1
1
 k 1  k  k 1  k  k uk 1
*
2
3
2 3
2 3
. Vậy un 1  un n   .

b) Lập công thức số hạng tổng quát của dãy số

 un  .

3
3n (2un 1  un ) 2  3n 1.un 1  3n.un  3
2
Ta có:
.
3
3

v

6

(
v

6)

3

v

vn
n

1
n
n

1
2
2 .
Đặt vn 3 un  6 , ta được:
n

v1 9

(vn ) : 
3

3
*
q
vn 1  2 vn , (n   )
2.
Ta được:
là cấp số nhân có cơng bội
 3
vn v1.  
 2
Suy ra:

Vậy

un 

n 1

 3
9.  
 2

n 1

.

vn  6
 1 1
6.  n  n 
n

3
2 3 .

Bài 23. Tìm số hạng tổng quát của dãy

 xn 

biết rằng:.

 x0 1; x1 5; x2 125

2
2
 xn 2 xn xn  1 3  xn 1  xn  1  10 xn 1  xn  ( n  N * ).
Hướng dẫn giải
Từ đề bài ta có: xn  0 với mọi n  N .
xn 2 3xn 1 10 xn


xn
xn  1 với mọi n  N * .
Ta có: xn 1

Đặt

yn 

xn
xn  1 ta được yn 2  3 yn 1  10 yn 0 với mọi n  N * .

Vì phương trình đặc trưng của dãy
n N* .

 yn  có hai nghiệm phân biệt

n

n
 2;5 nên yn  A   2   B.5 với mọi


x1

 y1  x 5

0

 B 1
 y  x2 25
2

n
*

x1
Với 
ta có  A 0 . Suy ra yn 5 với mọi n  N .
n

n

n 1

Ta có xn 5 .xn  1 5 .5 ....5.x0 5
Kết hợp với x0 1 , ta suy ra xn 5

n ( n  1) ...1

n2 n
2

5

n2 n
2

*
với mọi n  N .

với mọi n  N .

7

u1  2
 un  : 
un1  7un  4 , n  *
2un  5

Bài 24. Cho dãy số
.

a) Chứng minh dãy số

 un 

là dãy số giảm.

b) Lập công thức tổng quát của dãy số

 un  .
Hướng dẫn giải

a) Chứng minh dãy số

 un 

là dãy số giảm.

7
19
u1  ; u2   u1  u2
2
8
Ta có:
.

Giả sử: uk  uk 1 với k >1. Cần chứng minh: uk 1  uk 2 .

Ta có:

uk 1 

Mà uk  uk 1


7uk  4 7 27
1
7 27
1
 
.
 uk 2  
.
2uk  5 2 2 2uk  5
2 2 2uk 1  5 .


1
1

2uk  5 2uK 1  5 .

7 27
1
7 27
1

.
 
.
 uk 1  uk 2

2 2 2uk  5 2 2 2uk 1  5
(điều phải chứng minh).

b) Lập công thức tổng quát của dãy số

 un  .

7
0  un  , n  *
2
Ta có
.

xn 
Xét dãy số
xn 1 

un  2
1
x 
un  1 , ta có: 1 3
.

un 1  2 1  un  2  1
1
 
  xn
 xn  n
un 1  1 3  un  1  3  ( xn )
3

là cấp số nhân
.


un  2 1
2.3n 1
 n   3n  1 un 2.3n  1  un  n
.
un  1 3
3 1 .
1

u1  2016
 un  : 
u  2015un  1 , n  *
 n 1
2016
Bài 25. Cho dãy số
.
*
a) Chứng minh rằng un  1, n   .

b) Lập công thức tổng quát của dãy số

 un  .
Hướng dẫn giải

*
a) Chứng minh rằng un  1, n   .

u1 

1
1
2016

Ta có:

.

Giả sử:
Ta có:

uk  1, (k  1) ; Cần chứng minh: uk 1  1

uk  1  2015uk  1  2016 

2015uk  1
 1  uk 1  1
*
2016
. Vậy un  1, n   .

b)Lập công thức tổng quát của dãy số
xn un  1 ta có

x1 

.

 un  .

2015
2016

Đặt

.

xn 1 un 1  1 

2015un  1
2015
2015
 1
xn
 un  1 
2016
2016
2016

.
n

  xn 

 2015 
 xn  

 2016  .

là cấp số nhân
n

 2015 
*
un 1  
 , n   .
 2016 
Vậy
.

Bài 26. Cho dãy số

 un 

xác định bởi:

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy

u1 2

u2 3
u nu  n  2 u  2n  4, n 3

 n 2
n 1
 n

 un  .

b) Tìm số dư khi chia u2016 cho 2015 .
Hướng dẫn giải

.


a) Đặt vn un  n ta có:

v1 1

v2 1
v n(v  n  1)  ( n  2)(v  n  2)  3n  4 nv  n  2 v , n 3

 n 2
n 1
n 2
n 1
 n

.

Khi đó vn  vn  1 (n  1)vn  1  (n  2)vn  2 .
Lại có:.
vn  v2 (vn  vn  1 )  (vn  1  vn  2 )  ...  (v4  v3 )  (v3  v2 ) .

 (n  1)vn  1  (n  2)vn  2    (n  2)vn  2  (n  3)vn  3   ...  (3v3  2v2 )  (2v2  1v1 )

.

(n  1)vn  1  v1 .

Do đó vn (n  1)vn  1 . Hay vn (n  1)(n  2)vn  2 ... (n  1)(n  2)...1.v1 (n  1)! .
Vậy un (n  1)! n .
b) Ta có u2016 2015! 2016 chia cho 2015 dư 1.
 x1  3

 xn  :  x  xn 1 , n 2
 n
1  1  xn2 1

Bài 27. Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số
.
Hướng dẫn giải

Ta có:

1
1
1

 1 2
xn xn  1
xn  1

yn  yn  1  1  yn2 1

. Đặt

yn 

1

xn , khi đó ta được dãy

 yn 

xác định như sau:

.


1  cos
1



3 cot 
y1 
cot  y2 cot  1  cot 2 

3
3
3
2.3
3
sin
3
Vì
.
Bằng quy nạp ta chứng minh được:

yn cot


n 1

2 .3

 xn tan


n 1

2 .3

, n 1

.

y1 

1
3 và