B2 cuc tri ham so

CỰC TRỊ HÀM SỐ
Câu 1:

Cho hàm số

f  x

có bảng biến thiên như sau

Điểm cực đại của hàm số đã cho là
A. x  1 .
B. x 3 .

C. x 0 .

D. x 1 .

Lời giải.
Điểm cực đại của hàm số là: x 0 . Điểm cực tiểu của hàm số là: x 1 .
Câu 2:

Cho hàm số

f  x

có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực đại của hàm số đã cho là
A. x  3.

B. x 1.

C. x 2.
Lời giải

D. x  2.

Điểm cực đại của hàm số là: x  2. Điểm cực tiểu của hàm số là: x 2.
Câu 3:

Cho hàm số

y  f  x

có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A.  1 .

B. 5 .

C.  3 .
Lời giải

D. 1 .

Giá trị cực tiểu của hàm số là y  3 . Giá trị cực đại của hàm số là y 5 .
Câu 4:

Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là
A. 3 .
B. 0 .

C. 2 .
Lời giải

D. 1 .

Giá trị cực tiểu của hàm số là y 1 . Giá trị cực đại của hàm số là y 3 .
Câu 5:

Cho hàm số

f  x

f  x 
liên tục trên  và có bảng xét dấu cuả
như sau:

Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
A. 1 .
B. 2 .

C. 3 .
Lời giải

D. 4 .

x    1;1
Điểm cực đại của hàm số là x 0 ; Điểm cực tiểu của hàm số là
.
Câu 6:

Cho hàm số

f  x

có bảng xét dấu của

f  x 

như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 3 .

B. 0 .

C. 2 .
Lời giải

D. 1 .

Điểm cực đại của hàm số là x  2 ; Điểm cực tiểu của hàm số là x 0 .
Câu 7:

Cho hàm số

f  x

có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 2 .
B. 3 .

C. 4 .

D. 5 .


Lời giải
Điểm cực đại của hàm số là
Câu 8:

Số điểm cực trị của hàm số

y

; Điểm cực tiểu của hàm số là

y 

Ta có:

1

 x  2

2

x    1; 2

.

x 1
x  2 là

B. 0 .

A. 1 .

Câu 9:

x    3;1

C. 2 .
Lời giải

D. 3 .

 0, x 2

. Hàm số khơng có cực trị.
2 x 1
y
x  2 là
Số điểm cực trị của hàm số

B. 0 .

A. 1 .
y 

Ta có:

5

 x  2

2

C. 2 .
Lời giải

D. 3 .

 0, x 2

. Hàm số không có cực trị.

3
2
Câu 10: Giá trị cực tiểu của hàm số y x  3x  9 x  2 là
A.  20 .
B. 7 .
C.  25 .
Lời giải
2

y 3x  6 x  9  y  0  x    1;3
Ta có:
.
3
2
Bảng biến thiên của hàm số y x  3x  9 x  2

D. 3 .

Giá trị cực tiểu của hàm số là yCT  25 .
3
Câu 11: Giá trị cực đại của hàm số y  x  12 x  1 là

A. yCĐ  17 .
Ta có:

B. yCĐ  2 .

y 3x 2  12  y 0  x    2; 2
3

Bảng biến thiên của hàm số y  x  12 x  1

C. yCĐ 45 .
Lời giải
.

D. yCĐ 15 .

Giá trị cực đại của hàm số bằng yCĐ 15 .
3
2
Câu 12: Điểm cực tiểu của hàm số y  x  3 x  4 là
M  0; 4 
A. x 2
B.
C. x 0
Lời giải
2
y  3x  6 x  y 0  x   0; 2
Ta có
.
3
2
Bảng biến thiên của hàm số y  x  3 x  4

D.

M  2; 0 

Điểm cực tiểu của hàm số là x 0 .
y 

1 3
x  3x 2  7 x  1
3

Câu 13: Điểm cực tiểu của hàm số
A. x 1

B. x  1
Ta có

C. x 7
Lời giải

y '  x 2  6 x  7  y 0  x   1;7

Bảng biến thiên của hàm số

y 

D. x  7

.

1 3
x  3x 2  7 x  1
3

Điểm cực tiểu của hàm số là x  1 .
4
2
Câu 14: Giá trị cực tiểu của hàm số y x  2 x  3 là

A.

yCT 3

B.

yCT  3

C.
Lời giải

 x 0
y 4 x 3  4 x  y 0  
 x 1 .
Ta có:
4
2
Bảng biến thiên của hàm số y x  2 x  3

yCT 4

D.

yCT  4


Giá trị cực tiểu của hàm số là y  4 .
4
3
2
Câu 15: Giá trị cực đại của hàm số y  x  4 x  8 x 1 là

A. y 1 .

B. y 1 .

C. y  2 .
Lời giải
3
2
y 4 x  12 x  16 x  y 0  x    4;0;1
Ta có:
.
4
3
2
Bảng biến thiên của hàm số y x  4 x  8 x  1

D. y  127 .

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là y 1 .
Câu 16: Giá trị cực đại của hàm số
A. y 0

B.

y x 4  x3 

y

1
2

1 2
x 1

2
là

C.
Lời giải
 1

y 4 x3  3 x 2  x  y 0  x   ;0;1
 4

Ta có:
1
y  x 4  x3  x 2  1
2
Bảng biến thiên của hàm số

y

253
256

D. y 1

Giá trị cực đại của hàm số là y 1
Câu 17: Cho hàm số
đã cho là

f  x

3

có

f  x   x 2  x  1  x  2   x  4  x  
,
. Số điểm cực tiểu của hàm số


B. 3 .

A. 4 .

C. 1 .
Lời giải

D. 2 .

3

Ta có

f  x  0  x 2  x  1  x  2   x  4  0  x    1;0;2;4

Bảng xét dấu hàm số

f  x  x 2  x  1  x  2   x  4 

3

Hàm số có đúng 2 điểm cực đại.

f  x

Câu 18: Cho hàm số
hàm số đã cho là
A. 2 .

Ta có

có đạo hàm

2

3

 x  4  x  2 ,

B. 3 .

C. 4 .
Lời giải

2

 x  4   x  2  0 

f  x  0  x  x  1

Bảng xét dấu hàm số

f  x   x  x  1

3

f  x  x  x  1

2

x  

. Số điểm cực đại của

D. 1 .

x    2;  1;0;4

3

 x  4  x  2

Hàm số có đúng 1 điểm cực đại.
Câu 19: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

A.

m

7
8

B.

m

9
8

y

m

C.
Lời giải

2 x3
 x 2   4m  4  x  8
3
có cực trị.

9
8

D.

m

7
8

y ' 2 x 2  2 x   4m  4 

Hàm số có cực trị

 1  2  4m  4   0  8m  7  0  m 

7
8

 x3 2 x 2
y

 mx  m
2
3
Câu 20: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
có cực trị.

A.

m

y 

8
27

3 2 4
x  xm
2
3

B.

m

8
27

m 

C.
Lời giải

8
27

D.

m 

8
27


2

8
 2 3
    m0 m
27
 3 2

Hàm số có cực trị
3
2
Câu 21: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y 2 x  3mx  2mx  5 có cực trị là

A. m  0 hoặc

m

4
3.

B.

0m

4
3.



C.
Lời giải

4
m0
3
.

D. m 0 hoặc

m

4
3

2
Ta có y 6 x  6mx  2m .
2
Để hàm số đã cho có cực trị thì phương trình 6 x  6mx  2m 0 có hai nghiệm phân biệt
4
  0  9m 2  12m  0  m  0, m 
3.
Khi
3
2
Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x  3mx  3  m  6  x có cực trị.

A.  3  m  2 .

B. m   3 hoặc m  2 . C. m  3 hoặc m 2 . D.  3 m 2 .
Lời giải

2

Ta có: y  3x  6mx  3  m  6  .

Để hàm số đã cho có cực trị thì phương trình
biệt

 3 x 2  6mx  3  m  6  0

có hai nghiệm phân

m  3
  0  9m 2  3.3  m  6   0  m 2  m  6  0  
m 2 .
Khi

y mx 4   2m  1 x 2  m  2
Câu 23: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
chỉ có một điểm
cực đại và khơng có điểm cực tiểu.
 m 0

m  1
2.
A. 

B. m 0 .

 m 0

 m 1
2.
C. 
Lời giải

D.

m

1
2.

Chọn B
2
TH1: Khi m 0 , hàm số trở thành y  x  2 . Đồ thị hàm số có một điểm cực đại và khơng
có điểm cực tiểu
Vậy m 0 thỏa yêu cầu bài toán.

TH2: Khi m 0 , đồ thị hàm số có một điểm cực đại và khơng có điểm cực tiểu khi và chỉ khi:
m  0
a  0
m  0




1  m0
b 0
2m  1 0
m  2
.
Vậy giá trị m cần tìm là m 0 .
Câu 24: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
tiểu.

y mx 4   m  3 x 2  3m  5

có một điểm cực


 m 0

A.  m  3

 m 3

D.  m 0

C. 0 m 3
Lời giải

B. m 3

Chọn B
2
Trường hợp 1. Với m 0 ta có y  3x  5 hàm số khơng có cực tiểu.

 m 0 khơng thỏa mãn yêu cầu bài toán
Trường hợp 2. Với m 0

Hàm số đã cho có một điểm cực tiểu khi và chỉ khi
Vậy m 3 .

 a  0

 b 0 
 a  0


 b  0

 m  0

  m  3 0  m 3
 m  0

  m  3  0

.

y  1  m  x 4  mx 2  2m  1
Câu 25: Cho hàm số
. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm
số ba điểm cực trị.

A. 0  m  1
Ta có hàm số

B.  1  m  0
y  1  m  x 4  mx 2  2m  1

m   1

C.  m  0
Lời giải
có ba điểm cực trị

D. 0 m 1

  m.  1  m   0  0  m  1

.

y  m  1 x 4   m  3 x 2  2021
Câu 26: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
có ba
điểm cực trị.
m   1
m   3
m 3

A.  3  m  1 .
B.  1  m  3 .
C. 
.
D.  m  1 .
Lời giải
Ta có hàm số

y  m  1 x 4   m  3 x 2  2021

  m  3 .  m  1  0   1  m  3
Câu 27: Gọi S
4

2

để hàm số

có 3 điểm cực trị. Số phần tử của tập S là

B. 7 .

Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị
Mà

.

là tập tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m

y  x   10  m  x  m  8
A. 8 .

có ba điểm cực trị

C. 9 .
Lời giải
 a.b  0    10  m   0  m  10

m  , m  0  S  1;2;...;9

D. 10 .

.

. Vậy số phần tử của tập S là 9.

m    2022; 2022 
Câu 28: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số

để hàm số
y x4   m  7  x2  m  8

có 3 điểm cực trị. Số phần tử của tập S là


B. 2017 .

A. Vơ số.

Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị

D. 2016 .

C. 2015 .
Lời giải

 a.b  0    m  7   0  m  7

.

m    2022; 2022  S  8;9;... ; 2022
Mà m   và
. Vậy số phần tử của tập S là 2015.
3
2
Câu 29: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y 2 x  3mx  2mx  5 có cực trị là

A. m  0 hoặc

m

4
3.

B.

0m

4
3.



C.
Lời giải

4
m0
3
.

D. m 0 hoặc

m

4
3

2

Ta có y 6 x  6mx  2m .
2
Để hàm số đã cho có cực trị thì phương trình 6 x  6mx  2m 0 có hai nghiệm phân biệt
4
  0  9m 2  12m  0  m  0, m 
3.
Khi
3
2
Câu 30: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x  3mx  3  m  6  x có cực trị.

A.  3  m  2 .

B. m   3 hoặc m  2 . C. m  3 hoặc m 2 . D.  3 m 2 .
Lời giải

2

Ta có: y  3x  6mx  3  m  6  .

Để hàm số đã cho có cực trị thì phương trình
biệt

 3 x 2  6mx  3  m  6  0

có hai nghiệm phân

m  3
  0  9m 2  3.3  m  6   0  m 2  m  6  0  
m 2 .

Khi

Câu 31: Tìm

tất

cả

các

giá

trị

thực

của

tham

số

m

để

hàm

1
y  x3   m  1 x 2   m2  2m  3  x  2021

3
đạt cực đại tại x 1 .

A. m  4 .

B. m 0 .

 m  4

C.  m 0 .
Lời giải

D. m 4 .

y  x 2  2  m  1 x  m 2  2m  3 y 2 x  2m  2
Ta có
,
1
y  x3   m  1 x 2   m2  2m  3 x  2021
3
Để hàm số
đạt cực đại tại x 1 thì
  m 0
 y  1 0
12  2  m  1 .1  m 2  2m  3 0
m 2  4m 0  


   m  4  m  4



m


2
y
1

0
2.1

2.
m

2

0





m   2


.
Vậy m  4 là giá trị cần tìm.

số

1
1
y  x 3   m  2  x 2   m 2  2m  x  1
3
2
Câu 32: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
đạt

cực tiểu tại x 2 ?
A. m 0 .

B. m 4 .

C. m  4 .
Lời giải

D. m 1 .

y x 2   m  2  x  m2  2m y 2 x  m  2
,
1
1
y  x 3   m  2  x 2   m 2  2m  x  1
3
2
Hàm số
đạt cực tiểu tại x 2
Ta có

  m 0
2

m

4
m

0

 y  2  0
   m 4  m 0
2  2  m  2   m  2m 0  


m  2
m  2
2.2  m  2  0
 y  2   0

2

2

Vậy m 0 là giá trị cần tìm.
3
2
M 1;  6 
Câu 33: Biết 
là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y 2 x  bx  cx  1. Tính giá trị của hàm số

tại x  2 .

A.

y   2  12

B.

y   2  21

C.
Lời giải

2
Ta có y 6 x  2bx  c và y 12 x  2b.
M 1;  6 
Vì 
là
điểm
cực
tiểu

 y 1 0

 y  1  6 
 
 y  1  0
Khi đó

 2b  c  6


b  c  9 
 2b  12  0


của

y   2  11.

đồ

thị

D.

hàm

y   2  5

số

nên

ta

có

b 3
.


c  12

y 2 x 3  3 x 2  12 x  1  y   2  21

.

 1 17 
B ;

4
2
A  0;  2 
Câu 34: Biết
,  2 8  là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y ax  bx  c . Tính giá
trị của hàm số tại x 1 .
A.

y  1  1

.

3
Ta có: y 4ax  2bx

B.

y  1 0

.

C.
Lời giải

y  1 1

.

D.

y  1  3

.


 1 17 
B ;

A  0;  2 
Vì
,  2 8  là các điểm cực trị của đồ thị hàm số nên ta có:



 y  0   2
c  2
c  2

 a 2



 1
17
1
17
1
1
1
1

  a  b  2 
  a  b   b  1
 y   
8
4
8
4
8
  2
16
16
c  2

 1
1
1
 y  0
 2 a  b 0
 2 a  b 0
  2
Khi đó

y 2 x 4  x 2  2  y  1  1

Câu 35: Cho hàm số

f  x

, bảng biến thiên của hàm số

Số điểm cực trị của hàm số
A. 3 .

y  f  x2  2x 

B. 9 .

f ' x

như sau:

là
C. 5 .
Lời giải

D. 7 .

2
Đặt t x  2 x  t  2 x  2  t  0  x  1
2
Bảng biến thiên của hàm số t x  2 x

 t a   1

t b    1;0 
y  f  t   y  f  t   y  0  
 t c   0;1

 t d  1
Xét hàm số
Phương trình t a vơ nghiệm, các phương trình t b ; t c ; t d mỗi phương trình đều có
hai nghiệm bội lẻ, sáu nghiệm này đều khác nhau và khác  1 .
Do đó hàm số

y  f  x2  2 x 

có bảy điểm cực trị.


Câu 36: Cho hàm số

f  x

, bảng biến thiên của hàm số

Số điểm cực trị của hàm số
A. 9 .

y  f  4 x2  4 x 

f  x 

như sau:

là

B. 5 .

C. 7 .
Lời giải
1
t 4 x 2  4 x  t  8 x  4  t  0  x 
2
Đặt
2
Bảng biến thiên của hàm số t 4 x  4 x

D. 3 .

 t a   1

t b    1;0 
y  f  t   y  f  t   y  0  
 t c   0;1

 t d  1
Xét hàm số
Phương trình t a vơ nghiệm, các phương trình t b ; t c ; t d mỗi phương trình đều có

1
hai nghiệm bội lẻ, sáu nghiệm này đều khác nhau và khác 2 .

Do đó hàm số

y  f  4x2  4x 

Câu 37: Cho hàm số bậc bốn

y  f  x

có bảy điểm cực trị.
có đồ thị như hình dưới đây


3
1
 1
g  x   f   x3  x  
4
2  là
 4
Số điểm cực trị của hàm số
A. 5.
B. 3.
C. 7.
Lời giải
 x  1
1
3
1
3
t  x3  x   t    x 2  1  t  0  

.
4
4
2
4
 x 1
Đặt
Bảng biến thiên

t 

D. 11.

1 3 3
1
x  x
4
4
2

 t a  0

g  t   f  t   g  t   f  t   g  t  0  f  t  0   t b   0;1
 t c  1
Xét hàm số
Phương trình t a có một nghiệm, phương trình t b có ba nghiệm; t c có một nghiệm. Tất

  1;1 .
cả 5 nghiệm này đều nghiệm bội lẻ khác nhau và khác
3

1
 1
g  x   f   x3  x  
4
2  có 7 điểm cực trị.
 4
Do đó hàm số
Câu 38: Cho hàm số bậc bốn

y  f  x

có đồ thị như hình dưới đây

g  x   f  x 4  2 x 2  1

Số điểm cực trị của hàm số
A. 5.
B. 7.

Lời giải
t  x  2 x  1  t  4 x  4 x  t  0  x    1;0;1 .
4

Đặt

là
C. 9.

2

3

D. 11.


4
2
Bảng biến thiên t  x  2 x  1

 t a  0

g  t   f  t   g  t   f  t   g  t  0  f  t  0   t b   0;1
 t c  1
Xét hàm số
Phương trình t a vơ nghiệm, phương trình t b có bốn nghiệm; t c có hai nghiệm. Tất cả

6 nghiệm này đều nghiệm bội lẻ khác nhau và khác   1;0;1 .
Do đó hàm số

g  x   f  x 4  2 x 2  1

có 9 điểm cực trị.

Câu 39: Cho hàm số bậc ba y  f ( x) có đồ thị như hình vẽ.

3
Số điểm cực tiểu của hàm số g ( x )  f ( x  x) là
A. 2 .
B. 1 .
C. 3 .

Lời giải

D. 4 .

 x3  x 0
g ( x) (3 x 2  1) f ( x3  x) 0  f ( x 3  x) 0   3

x

x

2

Ta có
Ta có bảng biến thiên của g ( x) như sau

 x 0
 x 1

.


x 0 .
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số g ( x) có điểm cực tiểu là 0
y  g  x   f  x 3  2 x 2  1
y  f  x  2 x3  3 x 2  12 x  1
Câu 40: Cho hàm số
. Hàm số
có bao nhiêu
điểm cực đại?

A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải
 x 1
f  x  6 x 2  6 x  12 0  
 x  2 .
Ta có

Khi đó

 x3  2 x 2  1 1

g  x   f  x 3  2 x 2  1 . 3 x 2  4 x  0   x 3  2 x 2  1  2
 3 x 2  4 x 0


 x 2  x  2  0

   x  1  x 2  3 x  3  0 

 x  3 x  4  0

 x 0
 x 2

 x  1

 x 4


3 .

g  x 
g  x 
Ta thấy 4 nghiệm của
là nghiệm bậc lẻ nên
đều đổi dấu khi qua 4 nghiệm đó.
y g  x 
Vậy hàm số
có 2 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.
y  f  x
Câu 41: Hàm số
liên tục trên  và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ

y g  x   f   3x 2  3x 

Số điểm cực trị của hàm số
A. 1
B. 2
Ta có:

g '  x    6 x  6  f '   3 x 2  3 x 

C. 3
Lời giải

là
D. 4

  6 x  6 0
g '  x  0  

2
 f '   3x  3x  0

 x 1

2
  3x  3x 1 
  3x 2  3x  6


 x 1
 x  1

 x 2

 x 0
 3 x 2  3 x 0  
g ' x
 x 1 .
không xác định khi
g '  x  0
g ' x
Ta có
và
khơng xác định có x 0 là nghiệm đơn, x 1; x 2 là nghiệm kép
và

g  x   f   3x 2  3x 

Câu 42: Cho hàm số

f  x

y g  x 
liên tục trên  nên hàm số
có 1 điểm cực trị.

xác định và liên tục trên  và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

y  f  x 2  2 x  3
Số điểm cực trị của hàm số
là
A. 3 .
B. 4 .
C. 2 .
Lời giải
y 2  x  1 f  x 2  2 x  3
.

D. 5 .

 x  1
 2
 x  2 x  3  2  vn 
 x  1


2
  x  2 x  3 0  vn    x 1
 x 2  2 x  3 1 vn 
 x  3
 x  1 0


2
 x 2  2 x  3 6
 f  x  2 x  3 0
y 0
.
 x 0
x 2  2 x  3 3  x 2  2 x 0  
 x  2
Và y không xác định khi và chỉ khi

Vì phương trình y 0 và y khơng xác định có 5 nghiệm đơn phân biệt và liên tục
y  f  x 2  2 x  3

trên  nên hàm số

y  f x4  3



 có 5 cực trị.

Câu 43: Cho hàm số bậc bốn f ( x) có bảng biên thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số
A. 7 .

g ( x )  x 4  f ( x  1) 

B. 5 .

2

là
C. 9 .

D. 11 .


Lời giải
3
Ta có g ( x ) 2 x . f ( x  1).[2 f ( x  1)  x. f ( x  1)] . Số điểm cực trị chính là số nghiệm bội lẻ

 x 0

g  x  0   f  x  1 0

 2 f x  1  x. f  x  1 0

 
 

 x 0


 f  x  1 0
 h x 0
  

của phương trình
f  x  1 0  x   x1 ; x2 ; x3 ; x4 
Với
. Dễ thấy các nghiệm này đều là các nghiệm bội lẻ khác

  1;0;1

h  x  0
và không là nghiệm của phương trình
.
h  x  2 f  x  1  x. f  x  1  h  0   2; h  1 6; h  2   2
Xét hàm số
lim h  x  
f  x  
f     0 xlim
Ta có x  
nên   2 sao cho
; 
nên   0 sao cho
f  0

Do

 h    .h  0   0

 h  0  .h  1  0


 h  1 .h  2   0
h 2 h   0
    

nghiệm phân biệt
trị

và

y h  x 

là hàm số bậc bốn nên phương trình

x   x5 ; x6 ; x7 ; x8 

x   0; x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x6 ; x7 ; x8 

. Từ đó ta thấy hàm số

h  x  0

g ( x) x 4  f ( x  1) 

có đúng bốn

2

có 9 điểm cực

.

Câu 44: Cho hàm số bậc bốn f ( x) có bảng biến thiên như sau

Số điểm cực trị của hàm số
A. 7 .

g ( x )  x 2  f ( x  1)

B. 8 .

4

C. 9.
Lời giải

D. 5.

3

Ta có

g  x  2 x  f ( x  1) . f ( x  1)  2 x. f ( x  1)

. Số điểm cực trị chính là số nghiệm bội lẻ

 x 0

g  x  0   f  x  1 0


 f x  1  2 x. f  x  1 0

 
 

 x 0

 f  x  1 0
 h x 0
  

của phương trình
f  x  1 0  x   x1 ; x2 ; x3 ; x4 
Với
. Dễ thấy các nghiệm này đều là các nghiệm bội lẻ khác


  1;0;1

h  x  0
và không là nghiệm của phương trình
.
h  x   f  x  1  2 x. f  x  1  h  0  3; h   1  2; h   2  3
Xét hàm số
lim h  x   
f  x   
f     0 xlim
Ta có x  
nên   0 sao cho
; 

nên    2 sao cho
f  0

Do

 h    .h   2   0

 h   2  .h   1  0

 h   1 .h  0   0
h 0 h   0
    

nghiệm phân biệt
trị

và

y h  x 

x   x5 ; x6 ; x7 ; x8 

x   0; x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x6 ; x7 ; x8 

Câu 45: Cho hàm số
của hàm số

là hàm số bậc bốn nên phương trình
. Từ đó ta thấy hàm số

có 9 điểm cực

với a, b, c   và thỏa mãn a  b  4 . Số điểm cực trị

bằng

B. 9

A. 11

g ( x) x 2  f ( x  1) 

có đúng bốn

4

.

f  x   x3  ax 2  bx  3

g  x  f  x

h  x  0

C. 2
Lời giải

D. 5

lim f  x  

f  x   
f     0 xlim
Ta có x   
nên   0 sao cho
;  
nên   1 sao cho

f  0
f  0   3  0 f  1 a  b  4  0
;
 f    . f  0  0

 f  0  . f  1  0

f  1 . f     0
y  f  x
Vì 
nên đồ thị hàm số
cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt. Do đó đó
Lại có

hàm số

g  x  f  x

có đúng 5 điểm cực trị.

a  b  c  2  0

f  x   2 x  ax  bx  c

a
,
b
,
c


Câu 46: Cho hàm số
với
và thỏa mãn 4a  2b  c  16  0 . Số
3

điểm cực trị của hàm số

g  x  f  x

B. 9

A. 11

2

bằng
C. 2
Lời giải

D. 5

lim f  x  
f  x   

f     0 xlim
Ta có x   
nên   0 sao cho
;  
nên   2 sao cho

f  0
Lại có

f  1 a  b  c  2  0 f  2  4a  2b  x  16  0
;


 f    . f  1  0

 f  1 . f  2   0

f  2 . f     0
y  f  x
Vì 
nên đồ thị hàm số
cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt. Do đó đó
hàm số

g  x  f  x

có đúng 5 điểm cực trị.

3
2

3
Câu 47: Cho hàm số y  x  3mx  3m . Tính tổng các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho
có hai điểm cực trị A, B sao cho đường thẳng AB song song với đường thẳng d : y  8 x  2 .

A. 2 .

C. 0 .
Lời giải

B.  2 .

D.

2.

Chọn C
Tập xác định của hàm số là D .
 x 0
y  3 x 2  6mx, y  0  
 x  2m
Ta có
 y  0 có hai nghiệm phân biệt  m 0.
Hàm số đã cho có hai điểm cực trị
Khi đó tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
Phương trình đường thẳng

A  0 ; 3m3  ; B  2m ;  m3  .

2
3

2
3
AB là 2m x  y  3m 0  y  2m x  3m .

  2m2  8
AB ∥ d   3
3m 2  m 2
Theo giả thiết:
Vậy tổng hai giá trị của m là 0. .
3
2
Câu 48: Biết m0 là giá trị của tham số m để hàm số y x  3x  mx  1 có hai điểm cực trị x1 , x2 sao
2
2
cho x1  x2  x1 x2 13 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

m0    1;7 

.

B.

m0   7;10 

.

m    15;  7 
C. 0

.
Lời giải

D.

m0    7;  1

Chọn C
TXĐ: D R
y 3x 2  6 x  m .
2
Xét y 0  3x  6 x  m 0 ;  9  3m .
Hàm số có hai điểm cực trị    0  m  3 .

 x1  x2 2


m
x1.x2 

x
;
x
3 .
Hai điểm cực trị 1 2 là nghiệm của y 0 nên theo định lý Vi-et: 

.


1

y  x3   m  1 x 2  4 x  7
3
Câu 58: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số
có hai cực trị x1 , x2 thỏa
mãn: x1   2  x2 .
A.

  3;1 .

B.

  1;3 .

C.

 1;  .

D.

 3;  .

Lời giải
2

2

y  x  2  m  1 x  4

và

y  m  1  4

.

Để hàm số đã cho có hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn: x1   2  x2 thì
 m 1
2
y  m  1  4  0  
m   3.

 x1  x2  2  m  1

x .x 4
Áp dụng vi-ét, ta có:  1 2
  x1  2   x2  2   0  x1 x2  2  x1  x2   4  0
Theo giả thiết: x1   2  x2
 4  4  m  1  4  0  m  1
Kết hợp điều kiện, ta có: m  1 .
3
2
C
C
Câu 59: Cho hàm số y  x  3 x  mx  m  2 có đồ thị  m  . Giá trị của tham số thực m để  m  có
hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  2 là?

A.

  24;3 .

B.

 3;9  .

C. 
Lời giải

 24;  1

.

D.

  5;3 .

2
Ta có: y 3x  6 x  m .

Để hàm số có hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  2 thì  9  3m  0  m  3 .
 x1  x2  2


m
 x1.x2  3
Áp dụng viet, ta có:
.
 x1  x2  4
  2  4
m



 44 0
x
x

2
x

x

4

0
x

2
x

2

0






x

x


2


1
2
2
 1 2
 1
2
3
Theo giả thiết 1
 m   24 .
Kết hợp điều kiện, do đó:

m    24;3

.

d : y  3  2m  x  m  1
Câu 60: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng
song song
3
2
với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x  3 x  9 x  1 .

A.

m

23

16

B. m  7

11
m
2
C.
Lời giải

D.

m

9
8

2
A   1;6  B  3;  26 
Ta có y  3x  6 x  9 . Từ đó ta có tọa độ hai điểm cực trị
,
.