Cực trị hàm số

Nguyễn Vũ Minh Chuyên đề : CỰC TRỊ HS
TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA
I. Định nghĩa:
Gỉa sử hàm số
( )
f x
xác định trên tập
D ⊂ ¡
và
0
x D∈
.
1)
0
x
được gọi là một điểm cực trị của
( )
f x
nếu tồn tại một khoảng
( )
;a b
chứa
điểm
0
x
sao cho
( )
;a b D⊂
và
( ) ( ) ( ) { }
0 0

, ; \f x f x x a b x< ∀ ∈
.
Khi đó
( )
0
f x
được gọi là giá trị cực đại của hàm số
( )
f x
.
2)
0
x
được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số
( )
f x
nếu tồn tại một khoảng
( )
;a b
chứa điểm
0
x
sao cho
( )
;a b D⊂
và
( ) ( ) ( ) { }
0 0
, ; \f x f x x a b x> ∀ ∈
.

Khi đó,
( )
0
f x
được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số
( )
f x
.
gọi chung là giá trị cực trị của hàm số
II. Điều kiện để hàm số có cực trị
1) Điều kiện cần
Gỉa sử hàm số
( )
f x
đạt cực trị tại điểm
0
x
. Khi đó,nếu
( )
f x
có đạo hàm tại
0
x
thì
( )
0
' 0f x =
.
2) Điều kiện đủ
Dấu hiệu 1. Gỉa sử hàm số

( )
f x
liên tục trên
( )
;a b
chứa điểm
0
x
và có đạo
hàm trên các khoảng
( )
0
;a x
vaø
( )
0
;x b
. Khi đó:
• Nếu
( )
'f x
đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm
0
x
thì hàm số đạt cực tiểu tại
điểm
0
x
.
• Nếu

( )
'f x
đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm
0
x
thì hàm số đạt cực đại tại
điểm
0
x
.
Dấu hiệu 2. giả sử
( )
f x
có đạo hàm trên
( )
;a b
chứa điểm
0
x
,
( )
0
' 0f x =
và
( )
f x
có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm
0
x
. Khi đó:

• Nếu
( )
0
'' 0f x <
thì hàm số đạt cực đại tại điểm
0
x
.
• nếu
( )
0
'' 0f x >
thì hàm số đạt cực tiểu tại
0
x
.
III. các phương pháp tìm cực trị của hàm số
Phương pháp 1.
• Tìm
( )
'f x
.
• Tìm các điểm
( )
1,2,...
i
x i =
mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số
liên tục nhưng không có đạo hàm.
• lập bảng xét dấu

( )
'f x
. nếu
( )
'f x
đổi dấu khi x qua
i
x
thì hàm số đạt cực trị tại
i
x
.
Phương pháp 2.
• Tìm
( )
'f x
.
• giải phương trình
( )
' 0f x =
tìm các nghiệm
( )
1,2,...
i
x i =
.
• Tính
( )
''
i

f x
.
nếu
( )
'' 0
i
f x <
thì hàm số đạt cực đại tại điểm
i
x
.
nếu
( )
'' 0
i
f x >
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
i
x
.

0914449230
Nguyễn Vũ Minh Chuyên đề : CỰC TRỊ HS
A. Các ví dụ
Ví dụ 1. với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
1)
( )
3 2
2 3y m x x mx m= + + + +
.

2)
2 2 2
2
1
x m x m
y
x
+ +
=
+
giải
1)
( )
3 2
2 3y m x x mx m= + + + +
tập xác định: D= R
đạo hàm:
( )
2
' 3 2 6y m x x m= + + +
hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
hay
( ) ( )
2
3 2 6 0g x m x x m= + + + =
có hai
nghiệm phân biệt:
( )
2 0

' 9 3 2 0
m
m m
+ ≠


⇔

∆ = − + >



( )
2
2
3 2 3 0
m
m m
≠ −


⇔

− − + >



2
3 1
m

m
≠ −

⇔

− < <

vậy giá trị cần tìm là:
3 1m− < <
và
2m ≠ −
.
2)
2 2 2
2
1
x m x m
y
x
+ +
=
+
tập xác định: D= R\{-1}
đạo hàm:
( )
2 2
2
2
'
1

x x m
y
x
+ +
=
+
hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
hay
( )
2 2
2 0g x x x m= + + =
có hai nghiệm
phân biệt khác –1
( )
2
2
' 1 0
1 1 0
m
g m

∆ = − >

⇔

− = − + ≠



1 1
1
m
m
− < <

⇔

≠ ±


1 1m⇔ − < <

vậy giá trị cần tìm là:
1 1m
− < <
.
Ví dụ2. với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau đây không có cực trị
1)
( )
3 2
3 2 3y m x mx= − − +
.
2)
2
mx x m
y
x m
+ +
=

+
giải
1)
( )
3 2
3 2 3y m x mx= − − +
tập xác định: D= R
đạo hàm:
( )
2
' 3 3 4y m x mx= − −
( )
2
' 0 3 3 4 0y m x mx= ⇔ − − =
(1)
• xét
3m =
:
' 0 12 0 0y x x= ⇔ − = ⇔ =

0914449230
Nguyễn Vũ Minh Chuyên đề : CỰC TRỊ HS
'y⇒
đổi dấu khi x đi qua
0
0x =
⇒
Hàm số có cực trị
3m⇒ =
không thuộc

• xét
3m
≠
:
Hamf số không có cực trị
'y⇔
khômg đổi dấu
⇔
phương trình (1) vô nghiệm hoặc
có nghiệm kép
2
3 0
' 4 0
m
m
− ≠

⇔

∆ = ≤


3
0
m
m
≠

⇔


=


0m⇔ =
vậy giá trị cần tìm là
0m
=
.
2)
2
mx x m
y
x m
+ +
=
+
tập xác định:
{ }
\D m= −¡
đạo hàm:
( )
2 2
2
2
'
mx m x
y
x m
+
=

+
' 0y =
⇔
( )
2 2
2 0g x mx m x= + =
(1)
( )
x m≠ −
Hàm số không có cực trị
'y⇔
không đổi dấu
⇔
phương trình (1) vô nghiệm hoặc
có nghiệm kép
• xét
0m
=
:
' 0,y x m= ∀ ≠ −

0m⇒ =
thỏa
• xét
0m
≠
:
yêu cầu bài toán
4
' 0m⇔ ∆ = ≤

: vô nghiệm
0m∀ ≠
vậy giá trị cần tìm là:
0m
=
.
Ví dụ 3. Cho hàm số
2
1
x mx m
y
x
− +
=
−
. chứng minh với mọi mhàm số luôn luôn có
cực trị và khoảng cách giữa các điểm cực trị không đổi.
GIẢI
tập xác định: D= R/1
ĐẠO HÀM
( )
2
2
2
'
1
x x
y
x
−

=
−
0
' 0
2 4
x y m
y
x y m
= ⇒ = −

= ⇔

= ⇒ = −

vậy
' 0y =
luôn luôn có hai nghiệm phân biệt
m
∀
⇒
hàm số luôn có cực trị
tọa độ các điểm cực trị
( ) ( )
0; , 2;4A m B m− −
khoảng cách giữa hai điểm A, B là :
( ) ( )
2 2
2 0 4 2 5AB m m= − + − + =
= const (đpcm)
Ví dụ4. Cho hàm số

2
1x mx
y
x m
+ +
=
+
. định m để hàm số có cực trị tại
2x
=
.
giải
tập xác định: D= R\{-m}

0914449230
Nguyễn Vũ Minh Chuyên đề : CỰC TRỊ HS
đạo hàm:
( )
2 2
2
2 1
'
x mx m
y
x m
+ + −
=
+
điều kiện cần
hàm số có cực đại tại

2x
=

( )
' 2 0y⇒ =
( )
2
2
4 3
0
2
m m
m
+ +
⇔ =
+

2
4 3 0
2
m m
m

+ + =
⇔

≠ −


1

3
m
m
= −

⇔

= −

• điều kiện đủ
+ với
1m = −
:
( )
2
2
0
2
' 0
2
1
x
x x
y
x
x
=

−
= = ⇔


=
−

bảng biến thiên
x
−∞
0 1 2
+∞

'y
+ 0 - - 0 +
cđ
+∞ +∞
y
−∞

−∞
CT
từ bảng biến thiên ta thấy hàn số đạt cực tiểu tại
2x
=
1m⇒ = −
không thỏa
+ với
3m
= −
:
( )
2

2
2
6 8
' 0
4
3
x
x x
y
x
x
=

− +
= = ⇔

=
−

bảng biến thiên
x
−∞
2 3 4
+∞

'y
+ 0 - - 0 +
CĐ
+∞ +∞
y

−∞

−∞
CT
từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại
2x =
3m
⇒ = −
thỏa yêu cầu bài toán.
vậy giá trị cần tìm là:
3m = −
.
Cách khác
Ta có
1
y x
x m
= +
+
tập xác định: D= R\ {-m}
( )
2
1
' 1y
x m
= −
+

0914449230
Nguyễn Vũ Minh Chuyên đề : CỰC TRỊ HS

( )
3
2
'y
x m
=
+
Hàm số đạt cực đại tại
2x
=
( )
( )
' 2 0
'' 2 0
y
y
=

⇔

<


( )
( )
2
3
1
1 0
2

2
0
2
m
m

− =

+

⇔


<

+


2
4 3 0
2
2
m m
m
m

+ + =

⇔ ≠ −



< −

1 3
2
m m
m
= − ∨ = −

⇔

< −


3m
⇔ = −
vậy giá trị cần tìm là:
3m = −
.
Ví dụ 5. Cho hàm số
2
ax bx ab
y
ax b
+ +
=
+
. Tìm các giá trị của a, b sao cho hàm số đạt
cực trị tại
0x

=
và
4x
=
.
giải
Hàm số xác định
0ax b+ ≠
.
( )
2 2 2 2
2
2
'
a x abx b a b
y
ax b
+ + −
=
+
• điều kiện cần:hàm số đạt cực trị tại
0x
=
và
4x
=
( )
( )
' 0 0
' 4 0

y
y
=

⇒

=


( )
2 2
2
2 2 2
2
0
16 8
0
4
b a b
b
a ab b a b
a b

−
=


⇔

+ + −


=

+


2 2
2 2 2
0
0
16 8 0
4 0
b a b
b
a ab b a b
a b

− =

≠

⇔

+ + − =


+ ≠

( )
2

2
2
0
8 2 0
4 0
b a
a a
a a

= >

⇔ + =


+ ≠


2
4
a
b
= −

⇔

=

• điều kiện đủ
với
2, 4a b= − =

, ta có:
( )
2
2
0
4
' 0
4
2
x
x x
y
x
x
=

−
= = ⇔

=
− +

bảng biến thiên:
x
−∞
0 2 4
+∞

'y
+ 0 - - 0 +

CĐ
+∞ +∞
y

0914449230
Nguyễn Vũ Minh Chuyên đề : CỰC TRỊ HS
−∞

−∞
CT
từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại
0x =
và cực tiểu tại
4x =
vậy giá trị cần tìm là:
2, 4a b= − =
.
Ví dụ6. Cho hàm số
( )
( )
3 2 2
2 1 3 2 4y x m x m m x= − + + − + +
. Xác định m để đồ thị của
hàm số có hai hai điểm cực đại và cực tiểu nằm vềhai phía của trục tung.
)
giải
tập xác định D= R
đạo hàm:
( )
2 2

' 3 2 2 1 3 2y x m x m m= − + + − +
hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung
' 0y⇔ =
hay
( ) ( )
2 2
3 2 2 1 3 2 0g x x m x m m= − + + − + =
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
thỏa
1 2
0x x< <
( )
3. 0 0g⇔ <

2
3 2 0m m⇔ − + <

1 2m⇔ < <
vậy giá trị cần tìm là:
1 2m
< <
.
Ví dụ7. Cho hàm số
3 2
2 12 13y x ax x= + − −
(a là tham số). với những giá trị nào của
a thì đồ thị của hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu, các điểm này cách đểu trục
tung

giải
tập xác định: D= R
đạo hàm:
( )
2 2
' 6 2 12 2 3 6y x ax x ax= + − = + −
hàm số có cực đại và cực tiểu cách đều trục tung
' 0y⇔ =
hay
( )
2
3 6 0g x x ax= + − =
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
thỏa
1 2
0x x+ =
2
1 2
72 0,
0
3
a a
a
x x

∆ = + > ∀


⇔

+ = − =



0a
⇔ =
vậy giá trị cần tìm là:
0a =
.
Ví dụ8. Cho hàm số
3 2
1 1
3 2
y x x mx= + +
. định m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu
tại các điểm có hoành độ
x m>
.

giải
tập xác định: D= R
đạo hàm:
2
'y x x m= + +
yêu cầu bài toán
' 0y⇔ =
hay
( )

2
0g x x x m= + + =
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
thỏa
1 2
m x x< <
( )
2
1 4 0
1. 2 0
1
2 2
m
g m m m
S
m


∆ = − >


⇔ = + >



= − >



1
4
2 0
1
2
m
m m
m

<


⇔ < − ∨ >



< −


2m
⇔ < −

0914449230
Nguyn V Minh Chuyờn : CC TR HS
vy giỏ tr cn tỡm l:
2m <
.
Vớ d. Cho hm s
( )

( )
3 2 2 2
3 1 3 7 1 1y x m x m m x m= + + + +
. nh m hm s
t cc tiu ti mt dim cú honh nh hn mt
gii
tp xỏc nh: D =R
o hm:
( )
( )
2 2
' 3 6 1 3 7 1y x m x m m= + + +
yờu cu bi toỏn
' 0y =
hay
( ) ( )
( )
2 2
3 6 1 3 7 1 0g x x m x m m= + + + =
cú hai
nghim phõn bit
1 2
,x x
tha
( )
( )
1 2
1 2
1 1
1 2

x x
x x
< <

<


( ) ( )
1 3. 1 0g <

( )
2
3 3 4 0m m + <

4
1
3
m < <
(a)
( ) ( )
' 0
2 3. 1 0
1
2
g
S


>

<



( )
( )
( )
2
2
2
9 1 3 3 7 1 0
3 3 4 0
1 1
m m m
m m
m

+ + >


+


+ <

2
3 12 0
3 4 0
0
m
m m
m
+ >


+


<

4
4
1
3
0
m
m m
m
<

<



4
3
m
(b)
kt hp (a) vaứ (b) ta cú giỏ tr cn tỡm l:
1m <
.
Vớ duù 10. Cho hm s
( )
3 2
3 2y x x C= +
. Hóy xỏc nh tt c cỏc giỏ tr ca a
im cc i v cc tiu ca th (C) nm v hai phớa khỏc nhau ca ng trũn
(phớa trong v phớa ngoi):
2 2 2
2 4 5 1 0x y ax ay a+ + =
.
gii
tp xỏc nh: D= R
o hm:
2
' 3 6y x x=
0 2
' 0

2 2
x y
y
x y
= =

=

= =


th hm s cú hai im cc tr
( ) ( )
0;2 , 2; 2A B
( )
2 2 2
: 2 4 5 1 0
a
C x y ax ay a+ + =
Hai im A, B nm v hai phhớa ca ng trũn
( )
a
C
( ) ( )
/ /
. 0
a a
A C B C
P P <
( ) ( )

2 2
5 8 3 5 4 7 0a a a a + + + <
2
5 8 3 0a a + <
(do
2
5 4 7 0,a a a+ + >
)
3
1
5
a < <

0914449230
Nguyễn Vũ Minh Chuyên đề : CỰC TRỊ HS
Cách khác
Phương trình đường tròn
( )
a
C
được viết lại
( ) ( )
2 2
2 1x a y a− + − =
( )
a
C
có tâm
( )
;2I a a

và bán kính
1R =
Ta có
( ) ( )
2 2
2 2 2IB a a= − + +

2
5 4 8a a= + +

2
2 36 6
5 1
5 5
5
a R
 
= + + ≥ > =
 ÷
 
⇒
điểm B nằm ngoài
( )
a
C
Do đó
điểm A nằm phía trong đường tròn
( )
a
C

1IA
⇔ <
( )
2
2
2 2 1a a⇔ + − <

2
5 8 3 0a a⇔ − + <

3
1
5
a⇔ < <
.
Ví duï 11. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1 1
1 3 2
3 3
y mx m x m x= − − + − +
. với giá trị nào của m thì
hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu
1 2
,x x
thỏa
1 2
2 1x x+ =

.
giải
tập xác định : D= R
đạo hàm:
( ) ( )
2
' 2 1 3 2y mx m x m= − − + −
hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
hay
( ) ( )
2
2 1 3 2 0mx m x m− − + − =
có hai
nghiệm phân biệt
1 2
,x x

( ) ( )
2
0
' 1 3 2 0
m
m m m
≠


⇔

∆ = − − − >




2
0
2 4 1 0
m
m m
≠

⇔

− + + >

0
2 6 2 6
2 2
m
m
≠


⇔

− +
< <


(*)
Theo định lí Vi-eùt và theo đề bài, ta có

( )
1 2
2 1m
x x
m
−
+ =
(1)
( )
1 2
3 2
.
m
x x
m
−
=
(2)

1 2
2 1x x+ =
(3)
từ (1) và (3), ta có
thế vào (2), ta được
( )
3 2
3 4 2
m
m m
m m m

−
− −
  
=
  
  
2
3 8 4 0m m⇔ − + =
(do
0m
≠
)

0914449230
Nguyễn Vũ Minh Chuyên đề : CỰC TRỊ HS
2
3
2
m
m

=

⇔

=


(thỏa (*))
vậy giá trị cần tìm là:

2
2
3
m m= ∨ =
.
Ví dụ 12. Cho hàm số
( )
( )
( )
3 2 2
3 1 2 7 2 2 2y x m x m m x m m= − + + + + − +
.
Tìm m để đò thị hàm số có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng qua
điểm cực đại, cực tiểu đó
)
giải
tập xác định : D= R
đạo hàm:
( )
( )
2 2
' 3 6 1 2 7 2y x m x m m= − + + + +
( )
( )
2 2
' 0 3 6 1 2 7 2 0y x m x m m= ⇔ − + + + + =
(1)
 hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
có hai nghiệm phân biệt

( )
( )
2
2
' 9 1 6 7 2 0m m m⇔ ∆ = + − + + >

( )
2
3 8 1 0m m⇔ − − >
4 17 4 17m m⇔ < − ∨ > +

lấy y chia cho y
’
ta có
( )
( ) ( )
2 3 2
1 2 2
1 . ' 8 1 5 3 2
3 3 3
y x m y m m x m m m= − − − − − + + + +
gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x y B x y
là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì
1 2
,x x
là nghiệm của
(1)

Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 3 2
1 1 1 1
1
1 2 2
1 . ' 8 1 5 3 2
3 3 3
' 0
y x m y x m m x m m m
y x

= − − − − − + + + +



=

( ) ( )
2 3 2
1 1
2 2
8 1 5 3 2
3 3
y m m x m m m⇒ = − − − + + + +
Tương tự ta cũng có
( ) ( )
2 3 2

2 2
2 2
8 1 5 3 2
3 3
y m m x m m m= − − − + + + +
vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu là:
( ) ( )
2 3 2
2 2
8 1 5 3 2
3 3
y m m x m m m= − − − + + + +
.
Ví dụ13. Cho hàm số
( )
3 2
6 3 2 6y x x m x m= − + + − −
. định m để hàm số có cực đại
và cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu.
giải
tập xác định: D= R
đạo hàm:
( )
2
' 3 12 3 2y x x m= − + +
( )
2
' 0 3 12 3 2 0y x x m= ⇔ − + + =
(1)
 hàm số có cực đại và cực tiểu

' 0y⇔ =
có hai nghiệm phân biệt
( )
' 36 9 2 0m⇔ ∆ = − + >

2 0m
⇔ − >

2m
⇔ <
(*)

0914449230
Nguyễn Vũ Minh Chuyên đề : CỰC TRỊ HS
lấy y chia cho y’, ta có:
( ) ( )
1
2 . ' 2 2 2
3
y x y m x m= − + − + −
gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x y B x y
là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì
1 2
,x x
là nghiệm của
(1)
Theo định lí Vi-eùt, ta có

1 2 1 2
4, 2x x x x m+ = = +
Ta có
( ) ( ) ( )
( )
1 1 1 1
1
1
2 . ' 2 2 2
3
' 0
y x y x m x m
y x

= − + − + −



=


( )
1 1
2 2 2y m x m⇒ = − + −
Tưng tự ta cũng có :
( )
2 2
2 2 2y m x m= − + −
Yêu cầu bài toán
1 2

. 0y y⇔ >
( ) ( )
1 2
2 2 2 2 2 2 0m x m m x m⇔ − + − − + − >   
   
( ) ( ) ( )
2
1 2
2 2 1 2 1 0m x x⇔ − + + >

( ) ( )
2
1 2 1 2
2 4 2 1 0m x x x x⇔ − + + + > 
 
( ) ( )
2
2 4 2 2.4 1 0m m⇔ − + + + > 
 

( ) ( )
2
2 4 17 0m m⇔ − + >
17
4
2
m
m

> −


⇔


≠

So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là:
17
2
4
m− < <
.
Ví dụ14. Cho hàm số
3 2 2
3y x x m x m= − + +
.
Tìm tất cả các giá trị của thamsố m để hàm số có cực đại, có cực tiểu và các điểm
cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng
1 5
2 2
y x= −
.

giải
tập xác định: D= R
đạo hàm:
2 2
' 3 6y x x m= − +
2 2
' 0 3 6 0y x x m= ⇔ − + =

(1)
 hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
có hai nghiệm phân biệt
2
' 9 3 0m⇔ ∆ = − >

3 3m⇔ − < <

gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x y B x y
là các điểm cực trị của hàm số và I là trung điểm của đoạn AB
Do
1 2
,x x
là nghiệm của (1) nên theo định lí lí Vi-eùt, ta có:
1 2
2x x+ =
,
2
1 2
.
3
m
x x =
Hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng
1 5
:

2 2
y x∆ = −
AB
I
⊥ ∆

⇔

∈∆

đường thẳng
∆
và AB có hệ số góc lần lượt là:

0914449230