cực trị hàm số

Cực trị của hàm số
*PP: +Dấu hiệu 1:
-TXĐ
-Tính y
/
-Giải PT y
/
= 0
-Lập bảng biến thiên
-KL:Nếu y
/
đổi dấu từ + - thì x
o
là điểm cực đại
Nếu y
/
đổi dấu từ - + thì x
o
là điểm cực tiểu
+Dấu hiệu 2:
-TXĐ
- Tính y
/
, GPT y
/
= 0 để tìm nghiệm x
1
...x
n

- Tính y

//
, y
//
(x
1
),... y
//
(x
n
)
- KL: Nếu y
//
(x
i
) < 0 thì x
i
là điểm cực đại
Nếu y
//
(x
i
) > 0 thì x
i
là điểm cực tiểu
Dạng 0 : Hai bài toán cần nhớ!
Bài 1: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm bậc 3:
y = f(x) = ax
3
+bx
2

+cx+d (a 0)
* PP: Lấy f(x) chia cho f
/
(x) ta đợc f(x) = f
/
(x).g(x) +h(x)
Vì x
o
là điểm cực trị nên f
/
(x
o
)= 0 f(x
o
) = h(x
o
)
Vậy h(x) là đờng thẳng cần tìm.
*Chú ý: Nếu là hàm bậc 4 thì câu hỏi sẽ là tìm PT parabol đi qua cực trị.
Bài 2: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm
2
u(x) ax +bx+c
y=f(x) = =
v(x) dx+e
(a0)
*PP:
/ /
/
2
u v-uv

Tính f (x)=
v
Vì f
/
(x
o
) = 0 nên
/
o
/
o
u ( )
u(x )
=
v(x ) v ( )
o
o
x
x

/
o
/
u ( )
f(x )=
v ( )
o
o
x
x

Vậy
/
/
u (x)
v (x)
là đờng thẳng cần tìm.
Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số?
Bài 1: Tìm khoảng biến thiên và cực trị của hàm số?
a,
3
3
x
y x= +
b,
2
4y x x=
c,
2y x x= +
d,
4 2
2 1y x x= +
e,
2
1
1
x x
y
x
+
=

g,
osx
2
x
y c= +
với x [0; 2]
Bài 2: Tìm cực trị của các hàm số sau?
a,
2
2 1x x
y e
+
=
b, y= x-ln(x+1)
c, y= xe
x
d,
1
x
y x=
Dạng 2: Định m để hàm số có cực trị tại x
o
?
PP: Sử dụng dấu hiệu 2:
/
( ) 0
là điểm cực tiểu
//
( ) 0

y x
o
x
o
y x
o





=

>


/
( ) 0
là điểm cực đại
//
( ) 0
y x
o
x
o
y x
o

=

<
B i 1: Tìm m để?
a, y= -m
2
x
2
+2mx-3m+2 có giá trị cực đại bằng -3
b, y= mx
3
+3x
2
+5x+2 đạt cực trị tại x= 2
Bài 2: Cho hàm số
+ +
=

2
2
1
x mx
y
x
a, Tìm m để y đạt cực tiểu tại x= 2
b, Tìm m để y đạt cực đại tại x= 3
Bài 3: Cho hàm số:
3 2

y=f(x)=x -(m+3)x +mx+m+5
a) Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số khi m = 0
b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x=2.
Bài 4: Cho hàm số:
3 2
y=x -3mx +(m-1)x+2
a) Chứng minh rằng hàm số có cực đại, cực tiểu với mọi m.
b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x=2.
Bài 5: Tìm m để hàm số:
a)
3 2
3 5 2y mx mx x= + + +
đạt cự đại tại x=2
b)
1
sin3 sin
3
y x m x= +
đạt cực đại tại
3
x

=
c)
2
2
2
2 2
x x m
y

x x
+ +
=
+
đạt cực đại tại
2x =
Dạng 3: Tìm m để hàm số đạt cực trị?
Bài 1:
+
3
2 2
x
CMR với m thì hàm số y= ( 1)
3 3
m
mx m x
luôn có cực trị.
Bài 2:Cho h m s :
1
2
222
+
++
=
x
mxmx
y
a) Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số khi m=2
b) Xỏc nh m hm s cú cc i, cc tiu.
Bài 3: Cho hàm số

2
3
4
x x p
y
x
+ +
=

a, Tìm p để y
ct
-y
cđ
= 4
b, Viết PT đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị
Bài 4:
+ +
+
2
mx
Cho hàm số y=
x m
x m
.Tìm m để hàm số
a, Đạt cực trị tại x = 4
b, Có hai cực trị thoả mãn

1 2
4y y
c, Có hai cực trị thoả mãn x

1
+x
2
=x
1
2
+x
2
2
Bài 5: Cho hàm số y = 2x
3
-3(2m+1)x
2
+6m(m+1)x +1. CMR m hàm số luôn đạt
cực trị tại hai điểm x
1
, x
2
với x
1
- x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 6: Cho hàm số
3 2
1 1
y = ( 1) 3( 2)
3 3
mx m x m x
+ +

a, Định m để hàm số có hai cực trị thuộc khoảng (-1; 1)
b, Định m để hàm số có cực đại, cực tiểu thoả mãn x
1
+2x
2
= 1
Bài 7: Cho hàm số y =x
3
-3x
2
+3mx+1-m
a, Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
b, Gọi M(x
1
; y
1
)và N(x
2
; y
2
) là hai điểm cực trị.CMR y
1
-y
2
= 2(x
1
-x
2
)(x
1

x
2
-1)
Bài 8:Cho hàm số y = (x+a)
3
+(x+b)
3
-x
3

Tìm a, b để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x
1
, x
2
.CMR y
1
y
2
> 0.
Bài 9: Cho hàm số:
3 2
y=x -(m+2)x +(1-m)x+3m-1
a) Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số khi m=1
b) Với giá trị bào của m thì hàm số có cực đại, cực tiểu tại x
1
, x
2
thoả mãn:
2
21

=
xx

Bài 10: Cho hàm số:
53)2(
23
+++=
mxxxmy
a) Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số khi m=0
b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
Bài 11: Cho hàm số: y=(m+2)x
3
+3x
2
+mx-5.
a) Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số khi m=0
b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
Bài 12: Cho hàm số: y=x
4
-2mx
2
+2m+4m
2
a) Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số khi m=1
b) Với giá trị nào của m thì hàm số có CĐ, CT .
Bài 13: Cho hàm số:
mx 2
y
x m 3

=
+
a) Xét tính đơn điệu và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số khi m = 4
b) Tìm m để hàm số nghịch biến trên TXĐ.
Bài 14:Cho hàm số : y =
)(2
4)12(
22
mx
mmxmx
+
+++++
với m là tham số.
a) Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số khi m=0
b) Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại ,cực tiểu với mọi giá trị của m; và
khoảng cách giữa các điểm cực trị không đổi.
Bài 15:Cho hàm số y=
mx
mxx

+
8
2
(1)
a) Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số khi m=6
b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu . Viết phơng trình đờng thẳng đi qua
điểm cực đại ,cực tiểu .
Bài 16:Cho hàm số y =
x
mxx

+
1
2
(1) m là tham số.
a) Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số khi m=0
b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Với giá trị nào của m thì khoảng cách
giữa hai đIểm cực trị của hàm số bằng 10
Bài 17:Cho hàm số y =
mx
mxmx

+++
1)1(
2
a) Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số khi m=2
b) Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời giá trị cực
đại,cực tiểu cùng dấu.
Bài 18: Cho hàm số:
2
x 3x m
y
x 2
+
=

a) Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số khi m=3
b) Xác định m để hàm số có cực trị. Tìm tập hợp các điểm cực đại, cực tiểu.
Bài 19: Cho hàm số:
2

x mx 2m 4
y
x 2
+ +
=
+
a) Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số khi m=-1
b) Xác định m để hàm số có CĐ, CT. Tìm quỹ tích CĐ.
Bài 20: Cho hàm số:
2
x 2x m 2
y
x m 1
+ +
=
+
a) Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số khi m=1
b) Tìm m để hàm số có CĐ, CT. Viết phơng trình đờng thẳng qua CĐ, CT
Bài 21: Cho hàm số:
1
y x 3 m
x m
= + +
+
a) Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số khi m=2
b) CMR hàm số có cực trị với mọi m.
Bài 22: Xác định m để các hàm số sau đạt cực đại và cực tiểu:
a)
( )
3 2

1
6 1
3
y x mx m x= + + +
b)
2
2
1
x mx
y
mx
+
=