B15 bat phuong trinh logarit

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT
Câu 1:

Tập nghiệm của bất phương trình log x 1 là
A.

 10;  .

B.

 0;  .

C.

 10;  .

D.

  ;10  .

Lời giải
log x 1  x 10 .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
Câu 2:

 10;  .

Số nghiệm nguyên của bất phương trình
A. Vơ số.
B. 3.

TXĐ:

D  0;  .

Ta có

log 4 x  1  x  4 .

log 4 x  1 là.
C. 4.
Lời giải

D. 5.

 x Z

Kết hợp điều kiện  x  0 , suy ra 0  x  4 , x Z .

S  1; 2;3 .

Tập hợp các nghiệm nguyên của bất phương trình trên là
Vậy bất phương trình đã cho có 3 nghiệm ngun.
Câu 3:

Tập nghiệm của bất phương trình p nghiệm của bất phương trình m của bất phương trình ln x 1 là
A.

 e;  .

B.

  ;e .

 0;e .

C.
Lời giải

D.

  ; e  .

x  0
ln x 1  
 0  x e
1
x

e

Ta có
.
Từ đây ta suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
Câu 4:

Tập nghiệm của bất phương trình
A. (0;1] .

Điều kiện:

 0;e .

log 2 x 1 là
C. 
Lời giải

B. ( ; 2] .

0; 2

.

x  0.

Bất phương trình đã cho tương đương

x  0
 0  x 2

 x 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

S (0; 2].

D. (0; 2].


Câu 5:

Tập nghiệm của bất phương trình
A.

 0;1 .

B.

log 3  x  1  log 3 (2 x)

 0;1 .

 1;  .

C.
Lời giải

 x 1  2x
log 3  x  1  log 3 (2 x)  

x  0
Ta có

Tập nghiệm S của bất phương trình
A.

S   1; 2 

.

B.

.

  ;1 .

 0;1 .

log 3  x  1  log 3  2 x  1

S    ; 2 

D.

x 1
 0  x 1

x  0
.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là khoảng
Câu 6:

là

C.
Lời giải

là:

S  2;   

.

1 
S  ; 2 
 2 .
D.

1

x
1

2
x

1

0


 x2
2

2
 x  2
log 3  x  1  log 3  2 x  1
 x 1  2 x  1
.

1 
S  ; 2 
 2 .
Vậy
Câu 7:

log 3  2 x  3  log 3  1  x 
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình
 2

 3 2
 3 
  ;  
  ; 
  ;1

A.  3
B.  2 3 
C.  2 
Lời giải

2

  ;  
3
D. 

Chọn B
2 x  3  0

3
   x 1

2
Điều kiện : 1  x  0
.

2
log 3  2 x  3  log 3  1  x   2 x  3  1  x  x   3
.
 3 2
S   ;  
 2 3 .
So với điều kiện, ta được tập nghiệm của bất phương trình là
Câu 8:

log 0,8  15 x  2   log 0,8  13 x  8 

B. 4 .

A. Vô số.

Điều kiện

x

2
15 .

là

C. 2 .
Lời giải

D. 3 .


Khi đó,

log 0,8  15 x  2   log 0,8  13 x  8   15 x  2  13 x  8  2 x  6  x  3

.

 2 
T   ;3 
 15   x   0;1; 2 .
Tập nghiệm bất phương trình là:
Câu 9:

Bất phương trình log 2 (3 x  2)  log 2 (6  5 x) có tập nghiệm là
1 
 ;3  .
A.  0;  
B.  2 
C. ( 3;1)
Lời giải

 6
 1; 
D.  5 

Vì 2  1 nên

x 1
3x  2  6  5 x
6



6  1 x  .
6  5x  0
5
 x  5
log 2 (3 x  2)  log 2 (6  5 x) 
Câu 10:

Tập nghiệm của bất phương trình
A.

 3;5

B.

2log 2  x  1 log 2  5  x   1

 1;3

là

 1;3

C.
Lời giải

D.

 1;5 

Điều kiện: 1  x  5 .
2

Ta có

2

2log 2  x  1 log 2  5  x   1  log 2  x  1 log 2  2  5  x     x  1 10  2 x

 x 2  9 0   3  x 3 . Vậy tập nghiệm của bpt là S  1;3 .

Câu 11:

Tìm tập nghiệm S của bất phương trình
 3 
3 
S   ;3
S  ;3
 8 .
4 .
A.
B.

2 log 3  4 x  3 log 3  18 x  27   *

2 log 3  4 x  3 log 3  18 x  27 
3

S  ;   
4

.
C.
Lời giải

.

4 x  3  0
3
 x

4.
Điều kiện: 18 x  27  0
Với điều kiện trên,
2

 *  log3  4 x  3

  4 x  3 18 x  27


3
 x 3

8
.

2

log 3  18 x  27 

.

D.

S  3;   

.


3 
S  ;3
4 .
Kết hợp điều kiện ta được

Câu 12:

Tập nghiệm của bất phương trình
3 
 ;6 
 0;3 .
A.  2  .
B.

x
9
4
chứa tập hợp nào sau đây?
1 
 ;2
1;5 

C.
.
D.  2  .

log 22  2 x   log 2

Lời giải
+ Điều kiện: x  0 .
+ Ta có:
x
2
 9   1  log 2 x   log 2 x  2  9  log 22 x  3log 2 x  10  0
4
1
  5  log 2 x  2  5  x  4
2

log 22  2 x   log 2

.

1 

 1 
x  5 ;4
 ;2
2
 chứa tập  2  .
Vậy
Câu 13:

log 22 x  5log 2 x  6 0 là
Tập nghiệm S của bất phương trình
 1
1

S  0; 
S  ;64 
 2 .
2
.
A.
B.
C.

S  64;  

 1
S  0;    64; 
 2
D.
.

.

Lời giải
log 22 x  5log 2 x  6 0  1

ĐK:
Đặt

x  0  *
t log 2 x  2 
 2

 1

thành

t 2  5t  6 0   1 t 6   1 log 2 x 6 

1
 x 64
2

1
 x 64
2

*  1 

So với
:

1

S  ;64 
2
.
Vậy
Câu 14:

Bất phương trình
A. 4.

x

Điều kiện: x   5 .

3

 9 x  ln  x  5 0

B. 7.

có bao nhiêu nghiệm ngun?
C. 6.
D. Vơ số.
Lời giải


 x  3
 x 0

 x  9 x 0
3
 x  9 x  ln  x  5 0   ln  x  5 0   x 3


 x  4 .
Cho
Bảng xét dấu:
3

  4  x  3
f  x  0  
 0 x 3 .
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy
x    x    4;  3;0;1; 2;3
Vì
.
Vậy có 6 giá trị ngun của x thỏa bài tốn.
Câu 15:

3
Có bao nhiêu số ngun x thỏa mãn
A. 24.

Điều kiện:

x2



 9 x .  log 3  x  25   3 0?
C. 26.
Lời giải

B. Vô số.

D. 25.

x   25  * .

Trường hợp 1:
2

3x  9 x 0


log 3  x  25   3 0
Kết hợp với điều kiện

2

3x 32 x


log 3  x  25  3

 * ta được

  x 0


  x 2 
 x 2


 x 0
 x 2 .


x    25; 0   2 .

x    x    24;  23;...;1; 0; 2 

Mà

 x 2 2 x


 x  25 27

có 26 giá trị nguyên của x thỏa mãn.

Trường hợp 2:
2

3x  9 x 0



log
x


25

3

0



 3

2

3x 32 x
 x 2 2 x





x

25

27
log
x

25


3




 3

0  x 2
 x 2  tm  .

 x 2

Kết hợp các trường hợp, ta có tất cả 26 giá trị nguyên của của x thỏa mãn đề.
Câu 16:

3
Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn
A. 30 .

B. Vô số.

x2



 9 x  log 2  x  30   5 0

C. 31 .
Lời giải

D. 29 .

Điều kiện: x   30
2

Trường hợp 1:

x
x

3  9 0


log 2  x  30   5 0


2

x
2x

3 3


log 2  x  30  5


  x 0
 x 2 2 x


   x 2 

 x  30 32
 x 2


 x 0
 x 2



  30  x 0

x    29,  28,...0, 2
Kết hợp điều kiện ta có:  x 2
. Nên
nên có 31 số nguyên
Trường hợp 2:
2

3x  9 x 0


log
x

30

5


0


 2

2

3x 32 x


log
x

30

5


 2

 x 2 2 x


x

30

32


0 x 2
 x 2

 x 2

Vậy tổng cộng có 31 số ngun thỏa mãn u cầu bài tốn.
Câu 17:

2
Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn

x2

B. 13 .

A. 14 .



 4 x  log 2  x  14   4  0
?

D. 15 .

C. Vô số.
Lời giải

 2 x2  4 x 0
 2 x2 22 x



 log 2  x  14   4 0
 log 2  x  14  4
 2
 2
 2 x  4 x 0
 2 x 22 x
2


2 x  4 x  log 2  x  14   4  0
log 2  x  14   4 0

 log 2  x  14  4

Ta có:





   x 2
 
  x 2 x
   x 0


 0  x  14 16    14  x 2



2
 0  x 2 
  x 2 x

  x  14 16
  x 2
2

 x 2
  14  x 0
 x 2


 x 2
  14  x 0 .

x    13;  12;...;0; 2
Vì x nguyên nên
. Vậy có 15 số nguyên x thỏa mãn u cầu bài tốn.
Câu 18:

2
Có bao nhiêu số ngun x thỏa mãn
A. 24 .

x2



 4 x  log 3  x  25   3 0

?
C. 25 .
D. 26 .
Lời giải

B. Vô số.

ĐK: x   25

 x 2 2 x
2  4  log 3  x  25   3 0  

x

25

27

+) Ta có



x2

x





2



f  x   2 x  4 x  log 3  x  25  3
Ta có bảng xét dấu

 x 0
 x 2



  25  x 0
f  x  0  
 x 2
+) Suy ra:
x    24;  23;...;  1; 0; 2
+) Vì x   nên ta có
. Vậy có 26 giá trị x nguyên thỏa bài toán.

Câu 19:









 log 2 x 2  1  log 2  x  31  32  2 x  1 0

x
Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn 
?
A. 27.
B. Vơ số.
C. 26.
D. 28.
Lời giải
Ta có









 log 2 x 2  1  log 2  x  31  32  2 x  1 0


  x   31
  x   31
 
 2
2
 log 2  x  1 log 2  x  31
  x  x  30 0


x 1
  x  1 5
 32 2




  x   31

x


31

 2
 log x 2  1 log x  31
  x  x  30 0




2
 2
  x  1 5
 32 2 x  1





  x   31

   x  5
   x 6

  x 6

  x   31
  x    5;6
 31  x  5


  x 6
 x 6

x    30;  29;  28;...;  5; 6
Do x nguyên nên
.
Vậy có 27 giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình đã cho.

Câu 20:









 log 3 x 2  1  log3  x  21  . 16  2 x  1 0 ?

Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn 
A. 17 .
B. 18 .
C. 16 .
D. Vô số.
Lời giải
Điều kiện: x   21.
 log 3  x 2  1  log 3  x  21 0

 16  2 x  1 0
2
x 1
 log 3  x  1  log 3  x  21  .  16  2  0  


 log 3  x 2  1  log 3  x  21 0

 16  2 x  1 0
Khi đó

log 3  x 2  1  log 3  x  21 0


x 1
I
16


2

0


Giải
ta có 
 x 2  1  x  21


 x  1 4

log 3  x 2 1 log 3  x  21
 x 1
4
2 2

  x  4
 x 2  x  20 0  
   x 5 

 x 5
 x 5


  21  x  4

 1 .
Kết hợp điều kiện ta được  x 5

 x  4
 x 5 .


(I )

( II )


Giải

 II  ta có

log 3  x 2  1  log 3  x  21 0


x 1
16  2 0

 x 2  1  x  21


 x  1 4

 x 2  x  20 0


 x 5

log 3  x 2 1 log 3  x  21

 x 1
4
2 2

 4 x 5
 x 5  2  .

 x 5

  21  x  4

1
2
Từ   và   ta có các giá trị của x thoả mãn bất phương trình đã cho là  x 5
.
x    20;  19;...;  4;5
Vì x   nên suy ra
. Vậy có tất cả 18 số nguyên x thoả mãn đề bài.

Câu 21:

 log ( x 2  1)  log 2 ( x  21)  (16  2 x  1 ) 0 ?
Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn  2
A. Vô số.
B. 17 .
C. 16 .
D. 18 .
Lời giải

Điều kiện: x  21  0  x   21

Đặt

f ( x )  log 2 ( x 2  1)  log 2 ( x  21)  (16  2 x  1 )

Ta có:

log 2 ( x 2 1)  log 2 ( x  21) 0  log 2 ( x 2 1) log 2 ( x  21)

 x   21
 2

 x  1 x  21

 x   21
 x   21

   x 5 
 2
 x  x  20 0
  x  4


 x 5
 x  4


16  2 x  1 0  2 x  1 16  2 x  1 24  x  1 4  x 5

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có: f ( x) 0   21  x  4
x  Z  x    20;  19;  18...;  4
Vì
Vậy, có 17 số nguyên x thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 22:

 log3  x 2  1  log 3 ( x  31)   32  2 x  1  0?
x

Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn 
A. 27 .
B. 26 .
C. Vô số.
D. 28 .
Lời giải









h  x   log3 x 2  1  log 3 ( x  31)  32  2 x  1
Đặt
.

Điều kiện: x   31 .





 log x 2  1  log 3 ( x  31) 0
h  x  0   3

 32  2 x  1 0
Ta có:
 x 2  1  x  31


 x 6
Bảng xét dấu



 x  5
 x 6


h  x

Từ bảng xét dấu của



 x 2  x  30 0



 x 6



 log 3 x 2  1 log 3 ( x  31)
 x 1
 2 32

h  x

ta suy ra







 log 3 x 2  1  log 3 ( x  31)  32  2 x  1 0  x  ( 31;  5]  {6}


Vậy có 27 số nguyên x thỏa mãn.
Câu 23:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
log 4  x 2  x  m  log 2  x  2 

A.

   ;6 .

B.

m

để bất phương trình

có nghiệm.

  2;    .

  2;   .

C.
Lời giải

D.

   ;6  .

 x2  x  m  0

 x  2  0
 x  2  0

2   2
2
2

log 4  x  x  m  log 4  x  2 
x  x  m  x  2 




Bất phương trình đã cho

x   2

m  5 x  4 .
Xét hàm số
Ta có

f  x   5 x  4

trên

  2;   .

f  x   5  0 x    2;   

nên

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm
Câu 24:

f  x

nghịch biến trên

 m  f   2  6

  2;   .

.

Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y ln có ít hơn 2021 số ngun x

élog ( x + 3) thoả mãn ë 2
A. 20 .

1ù
û.( log 2 x - y ) < 0
B. 9 .

C. 10 .
Lời giải

D. 11 .


Điều kiện:

ïìï x > 0
Û
í
ïỵï x + 3 > 0

ïìï x > 0

Û x>0
í
ïỵï x >- 3

éïì log ( x + 3) - 1 < 0
2
êïí
êï log x - y > 0
2
êï
Û êỵ
êïìï log 2 ( x + 3) - 1 > 0
êí
êï log x - y < 0
élog 2 ( x + 3) - 1ù.( log 2 x - y ) < 0
2
û
ëỵï
Với điều kiện trên, ta có: ë
éïì log ( x + 3) <1
2
êïí
êï log x > y
êỵï
2
Û ê
Û
êìïï log 2 ( x + 3) >1
êí
êï log x < y

2
ëïỵ

éìï x + 3 < 2
êïí
êï x > 2 y
êïỵ
Û
ê
êïìï x + 3 > 2
êí
êïïỵ x < 2 y
ë

éìï x <- 1
êïí
êï x > 2 y
êïỵ
Û
ê
êïìï x >- 1
êí
êïïỵ x < 2 y
ë

é2 y < x <- 1 ( KTM )
ê
Û - 1< x < 2y
ê
y

ê
ë- 1 < x < 2

y
Kết hợp điều kiện ta được: 0 < x < 2
y
Ứng với mỗi y ln có ít hơn 2021 số nguyên x Û 2 £ 2021 Û y £ log 2 2021

y Ỵ {1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10}
Vì y là số nguyên dương nên

Vậy có 10 số nguyên dương y thỏa mẫn u cầu bài tốn.
Câu 25:

Cho bất phương trình

m    20; 20 
A. 10.

ln  x 3  2 x 2  m  ln  x 2  5 

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

 0;3
để bất phương trình đúng nghiệm với mọi x trên đoạn
B. 12.
C. 41.
D. 11.
Lời giải

Chọn B
Theo yêu cầu bài tốn ta có:

ln  x3  2 x 2  m  ln  x 2  5  , x   0;3  x 3  2 x 2  m x 2  5 , x   0;3
 m  x3  3 x 2  5 , x   0;3
 m max   x3  3 x 2  5 
 0;3

 x 0
 f  x   3 x 2  6 x 0  
f  x   x  3x  5, x   0;3
 x 2 .
Xét hàm số
3

Ta có:

2

f  x  9
f  0  5, f  2  9, f  3  5  max
 0;3

.

m    20; 20 
m   9;10;11....; 20
Do đó ta được m 9 , kết hợp với điều kiện
nên
. Vậy có 12

m
giá trị ngun của
thỏa mãn bài tốn.
Câu 26:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình


 1
 
 7

ln x 2  2 x  m





 1
 
 7

A. 15 .

Điều kiện:

2ln  2 x  1

0
chứa đúng ba số nguyên?

B. 9 .

 x 2  2 x  m  0

2 x  1  0

C. 16 .
Lời giải

D. 14 .

.

Ta có:

 1
 
 7

ln x 2  2 x m





 1
 
 7

2ln  2 x  1

 1
0  
 7

ln x2 2 x  m





1
 
7

2ln  2 x  1

 ln  x 2  2 x  m   2ln  2 x  1

2

 x 2  2 x  m   2 x  1  m  3x 2  6 x  1

.

1

x 

f  x  3x  6 x  1 

2
Đặt:
,
2

f  x  6 x  6
f  x  0  x 1

.

Tập nghiệm bất phương trình đã cho chứa đúng ba số nguyên khi và chỉ khi:

f  3  m  f  4   10  m 25
Do

m    m   11;12;...; 25

.

.

Vậy có 15 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn u cầu bài tốn.
Câu 27:

Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 242 số nguyên y thỏa mãn
log 4  x 2  y  log 3  x  y 

A. 55 .

?

B. 28 .

C. 29 .
Lời giải

D. 56 .


Điều kiện

x  y  0
 2
x  y  0
 x, y  


. Khi đó

log 4  x 2  y  log 3  x  y   x 2  y 4log3  x  y   x 2  y  x  y 
 x2  x   x  y 

log 3 4

log3 4

  x  y   1

log 3 4
2

1
t
Đặt t  x  y  t 1 thì   được viết lại là x  x  t

 2

1
Với mỗi x nguyên cho trước có không quá 242 số nguyên y thỏa mãn bất phương trình  

Tương đương với bất phương trình

 2

có khơng quá 242 nghiệm t .

log3 4
2
f t t log3 4  t
1;  
 243 781 thì sẽ
Nhận thấy  
đồng biến trên 
nên nếu x  x  243
có ít nhất 243 nghiệm nguyên t 1 .
2
Do đó yêu cầu bài toán tương đương với x  x 781   27, 4  x 28, 4 .

x    27,  26,..., 27, 28
Mà x nguyên nên
.

Vậy có tất cả 28  28 56 số nguyên x thỏa yêu cầu bài toán.