Bài 16 phương trình tích

KIỂM TRA
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
P ( x ) ( x 2  1)  ( x  1)( x  2)
Đáp án:

P ( x ) ( x 2  1)  ( x  1)( x  2)

P ( x) ( x  1)( x  1)  ( x  1)( x  2)
P ( x ) ( x  1)( x  1  x  2)
P ( x ) ( x  1)(2 x  3)


Muốn giải phương trình P(x) = 0, với P(x) = ( x2 – 1) + ( x +1)( x – 2)
Tức giải phương trình : ( x2 – 1) + ( x +1)( x – 2) = 0 (1)
ta có thể sử dụng kết quả phân tích :
P(x) = ( x2 – 1) + ( x +1)( x – 2) = (2x – 3)(x + 1)
để chuyển từ việc giải pt (1) thành giải pt: (2x – 3)(x + 1) = 0
Phương trình (2) là một ví dụ về phương trình tích

(2)


-Vậy

phương trình tích có dạng tổng qt như thế nào?
- Cách giải phương trình tích ra sao?


(Trong bài này ta chỉ xét các pt mà 2 vế là 2 biểu thức hữu tỉ của
ẩn và không chứa ẩn ở mẫu)

?1
I. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ CÁCH GIẢI:
?2 Hãy nhớ lại một tính chất các số, phát
biểu tiếp các khẳng định sau:
- Trong một tích, nếu có một thừa số bằng 0
tích đó bằng 0.
thì............................
Ngược lại, nếu tích bằng 0 thì ít nhất một trong
phải bằng 0.
các thừa số của tích............................
-

a.b = 0  a = 0 hoặc b = 0


I. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ CÁCH GIẢI:

?2

a.b = 0  a = 0 hoặc b = 0

VD1: Giải phương trình:
(2x – 3)(x + 1) = 0
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

( 2x – 3 ) ( x + 1 ) = 0
{
{
 2x –giống

3 =như
0 hoặc
x+1=0
a
giống như b

Do đó ta phải giải hai phương trình :

 2x = 3  x = 1,5
* 2x – 3 = 0
* x + 1 = 0  x = -1

Vậy: Tập nghiệm của phương trình là S = { 1,5; -1 }

Ptrình như VD1 được gọi là phương trình tích
* Phương trình tích có dạng : A(x).B(x) = 0 (*)
* Phương pháp giải: (*)  A(x) = 0 hoặc B(x) = 0


I.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ CÁCH GIẢI:

?2

a.b = 0  a = 0 hoặc b = 0

Phương trình tích có dạng : A(x).B(x) = 0 (*)
Phương pháp giải: (*) A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

II.ÁP DỤNG:

VD2 : giải phương trình:
(x + 1)( x + 4) = ( 2 - x)( 2 + x)
 x2 + 4x + x + 4
=
4 – x2
 x2 + 5x + 4 – 4 + x2 = 0

2x2 + 5x = 0

x(2x + 5)
= 0
 x = 0 hoặc 2x + 5 = 0
1) x = 0
2) 2x + 5 = 0  x = - 2,5
Phương trình có tập nghiệm S = { 0; - 2,5 }


VD 2 Giải phương trình :
(x + 1)( x + 4) = ( 2 - x)( 2 + x)
 x2 + 4x + x + 4
=
4 – x2
 x2 + 4x + 4 – 4 + x2 = 0

2x2 + 5x
= 0

x(2x + 5)
= 0
 x = 0 hoặc 2x + 5 = 0

1) x = 0
2) 2x + 5 = 0  x = - 2,5
Ptrình có tập nghiệm S = { 0; - 2,5 }

?
(Đưa pt đã cho về dạng pt tích)

(Giải pt tích rồi kết luận)

Nêu các bước giải phương trình
ở Ví dụ 2?


NHẬN XÉT
Trong VD2 ta đã thực hiện 2 bước giải sau:
Chuyển tất cả các hạng tử sang vế
trái (lúc này vế phải bằng 0)

Bước 1.

Đưa phương trình đã cho
về dạng phương trình tích.

rút gọn vế trái
phân tích đa thức vế trái thành
nhân tử

Bước 2.

Giải phương trình tích rồi

kết luận.


!

Chú ý:

Khi giải phương trình, sau khi biến đổi:
-Nếu

số mũ của x là 1 thì đưa phương trình về dạng ax + b = 0 (Tiết 43)

-Nếu

số mũ của x lớn hơn 1 thì đưa phương trình về dạng pt tích để giải:
A(x)B(x) = 0  A(x) = 0 hoặc B(x) = 0
(Nếu vế trái có nhiều hơn 2 nhân tử, cách giải tương tự )
Trong cách giải pt theo phương pháp này chủ yếu là việc phân tích đa
thức thành nhân tử. Vì vậy, trong khi biến đổi pt, chú ý phát hiện các nhân
tử chung sẵn có để biến đổi cho gọn


?3. Giải phương trình:
( x - 1)( x2 + 3x - 2) - ( x3 - 1) = 0 (3)
Giải

Cách 1

Cách 2

(3) (x-1)( x2 + 3x - 2) - (x-1)(x2 + x +1) =0
 ( x - 1 )( x2 + 3x - 2- x2 – x - 1)



( x – 1 )( 2x – 3 )
x-1= 0

hoặc 2x - 3 = 0

(3) x3 + 3x2 – 2x - x2 - 3x +2 - x3 + 1 = 0

=0

 2x2 - 5x + 3

=0

 (2x2 - 2x) – (3x - 3) = 0
 2x(x - 1) – 3(x - 1) = 0
 (x – 1 )(2x – 3 )

 x - 1 = 0 hoặc 2x - 3 = 0

x = - 1 hoặc x = 1,5
Vậy : S = { 1; 1,5 }

=0

=0

I. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ CÁCH GIẢI:
II. ÁP DỤNG:
VD 3: Giải phương trình: 2x3 = x2 + 2x - 1 (3)

Giải
(3)  2x3 - x2 - 2x + 1

=0

 (2x3 – x2) - (2x - 1) = 0



x2(2x -1) - (2x - 1) = 0



(2x - 1)(x- 1)(x +1) = 0



2x – 1 = 0 hoặc x - 1 = 0 hoặc x + 1 = 0

(2x - 1) (x2- 1)

1) 2x - 1= 0 
2) x -1 = 0 

x = 0,5

3) x +1 = 0 

x=-1

=0

x=1

Vậy tập nghiệm của trình là S = {-1; 0,5;1}


?4. Giải phương trình:
( x3 + x2) +( x2 + x ) = 0 (4)

Giải
(4)  x2 ( x + 1) + x ( x + 1) = 0
 ( x + 1)( x2 + x) = 0
 ( x + 1)( x + 1) x = 0
 x( x + 1)2
=0
 x = 0 hoặc x + 1 = 0
 x = 0 hoặc x = -1
Vậy: S = { - 1; 0}


Kiến thức cần nhớ
1. Nắm được dạng của phương trình tích và cách giải phương trình tích
2. Các bước cơ bản để giải phương trình đưa được về dạng phương trình tích

3. Khi giải phương trình, sau khi biến đổi:
- Nếu số mũ của x là 1 thì đưa phương trình về dạng ax + b = 0 (Tiết 43)
- Nếu số mũ của x lớn hơn 1 thì đưa phương trình về dạng pt tích để giải:
A(x)B(x) = 0  A(x) = 0 hoặc B(x) = 0
(Nếu vế trái có nhiều hơn 2 nhân tử, cách giải tương tự)
Trong cách giải pt theo phương pháp này chủ yếu là việc phân tích đa thức
thành nhân tử. Vì vậy, trong khi biến đổi pt, chú ý phát hiện các nhân tử
chung sẵn có để biến đổi cho gọn


LUYỆN TẬP
Bài 21c-(SGK-17)
Giải phương trình:
c) ( 4x + 2 )( x2 + 1 )

= 0

Bài 22f-(SGK-17)
Bằng cách phân tích vế trái thành
nhân tử , giải phương trình :
f ) x2 – x – ( 3x – 3 ) = 0


LUYỆN TẬP

Bài 21c-(SGK-17)
Giải phương trình:
c) ( 4x + 2 )( x2 + 1 )

= 0

 4x + 2 = 0 hoặc x2 + 1 = 0
*) 4x + 2 = 0  x = - 0,5
*) x2 + 1 = 0 . Pt này vơ nghiệm
Phương trình đã cho có tập
nghiệm S = { - 0,5 }

Bài 22f-(SGK-17)
Bằng cách phân tích vế trái thành
nhân tử giải phương trình:
f) x2 – x – (3x – 3) = 0
 x(x – 1) – 3(x - 1) = 0
 (x – 1)(x – 3)

=0

 x - 1 = 0 hoặc x – 3 = 0
x=1

hoặc x = 3

Phương trình đã cho có tập
nghiệm S = {1; 3 }


Bài tập: Giải các phương trình:
a) (3x - 2 ) (4x + 3 ) = ( 2 - 3x ) (x – 1)
b) x2 + ( x + 3 )( 5x – 7) = 9
C) 2x2 + 5x +3 = 0
3  2x 3  2x 3  2x 3  2x 3  2x





d)
2006 2007 2008
2009 2010