Gv86 xác định góc giữa hai mặt phẳng trong không gian kiên cao văn

Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD

Chương 3: Bài 5. CÁC BÀI TỐN VỀ GĨC
Tên FB: Kiên Cao Văn. Email:
.Dạng 3: Góc giữa hai mặt phẳng trong khơng gian

_Tóm tắt lý thuyết cơ bản:
. Định nghĩa: Cho hai mặt phẳng

 P

và

 Q

cắt nhau

P  ,  Q    a , b 

a   P ,b   Q .
Ta có:
, trong đó
Chú ý:

. Nếu





 P    Q   P  ,  Q  900.

  P   Q 


P

Q





. Nếu 

 P  ,  Q   0 .
0

. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng:
. Cách 1: (Sử dụng định nghĩa)
. Cách 2: (Dựng hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và cùng vng
góc với giao tuyến)
. Cách 3: (Sử dụng phương pháp tọa độ)
 
 
n
1 .n2
cos P  ,  Q   cos n1 , n2   

 
n1 . n2
n
,n
(trong đó 1 2 lần lượt là véctơ pháp tuyến

 





của hai mặt phẳng

 P  ,  Q  ).

. Cách 4: (Sử dụng khoảng cách)

 P  ,  Q  cắt nhau theo giao
+) Cho hai mặt phẳng
tuyến là đường thẳng  .
 Q  , dựng MH   P 
+) Lấy điểm M bất kì thuộc
 P  ), MI  ,  I    .
(H thuộc
d  M , P 
sin P  ,  Q  
.
MI
+)





(Trong chủ đề này chủ yếu các bài toán định hướng theo phương pháp tọa
độ và vận dụng bấm máy để tìm nhanh kết quả)
_Phương pháp Casio:
. Các lệnh Casio.
 Lệnh đăng nhập môi trường
vectơ
 Nhập thơng số vectơ
 Tính tích vơ hướng của 2
vectơ (VtcA  VtcB)
Fb: Kiên Cao Văn

-- 1--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD

 Tính tích có hướng của hai
vecto (VtcA x VtcB)
 Lệnh tính độ dài một véctơ
(VtcA)
 Lệnh tính góc giữa hai véctơ
(VtcA, VtcB)

. Công thức Casio

 
 
n
1 .n2
cos P  ,  Q   cos n1, n2   
n1 . n2



 



hai mặt phẳng

 
n
,n
(trong đó 1 2 lần lượt là véctơ pháp tuyến của

 P  ,  Q  ).

_ Bài tập minh họa trong các đề đã thi của BGD. (5-10 câu)
Câu 1: (THPT Quốc Gia năm 2018 – Mã 102) Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có
tâm O. Gọi I là tâm của hình vng A ' B ' C ' D ' và M là điểm thuộc đoạn thẳng

1
MO  MI

2
OI sao cho
(tham khảo hình vẽ). Khi đó cosin của góc tạo bởi hai
mặt phẳng

 MC ' D '

6 13
A. 65 .

và

 MAB 

bằng

7 85
B. 85 .

6 85
C. 85 .

17 13
D. 65 .

Lời giải
Chọn D.

Khơng mất tính tổng qt ta đặt cạnh của khối lập phương là 1.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho

A '  0; 0;0  , B '  1;0; 0  , D '  0;1;0 

và

A  0;0;1

(như hình vẽ).

 1 1 1
M ; ; 
 2 2 3 .
Khi đó ta có:

Fb: Kiên Cao Văn

-- 2--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD




 1 1 2  
  2 1
AB  1; 0; 0  , AM  ; ;     AB, AM   0; ;   n1  0; 4;3 

 2 2 3
 3 2
Suy ra:
là VTPT của mặt

 MAB  .
phẳng


1 1
 1 1 1 

D ' C '  1; 0; 0  , DM  ;  ;    D ' C ', DM   0;  ;    n2  0; 2;3 
3 2
 2 2 3

là VTPT của mặt
phẳng

 MC ' D ' .

 MAB  và  MC ' D ' bằng:
cosin của góc giữa hai mặt phẳng
 

n1.n2
0.0  4.2  3.3
17 13
cos n1 , n2    


2
2
2
2
2
2
65
n1 . n2
0  4 3 . 0 2 3





_Quy trình bấm máy.
+) Nhập véctơ : VtcA =

 1;0;0  ,

VtcB =

 1 1 2
 ; ; 
 2 2 3

_Bài học kinh nghiệm
Với hình lập phương ABCD . A' B ' C ' D '
có các cạnh đều bằng a.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho:
A ( 0 ; 0 ; 0 ) , B ( a ; 0 ; 0 ) , C ( a; a ; 0 ) , D ( 0 ; a ; 0 )

A ' ( 0 ; 0 ; a ) , B' ( a ; 0 ; a ) ,C ' ( a ; a ; a ) , D ' ( 0 ; a ; a )

+) Nhập vào máy VtcA x VtcB, ấn: Tính

 
n1  AB, MA
Màn hình hiện kết quả:

 2 1 
 0; ;   n1  0; 4;3 .
Đọc kết quả :  3 2 
 1 1 1
 ; ; 
+) Nhập véctơ VtcC =  2 2 3  và tính VtcA
x VtcC

Màn hình hiện kết quả:

1 1 

 0;  ;    n2  0; 2;3 .
3 2
Đọc kết quả : 

Fb: Kiên Cao Văn

-- 3--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia

2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD

 
 
cos
n
1 , n2 .
+) Nhập hai véctơ n1 , n2 và tính

 

Màn hình hiện kết quả:

+) Kiểm tra đáp số và chọn đáp án đúng:
Màn hình hiện kết quả

 A sai.

Màn hình hiện kết quả

 B sai.

Màn hình hiện kết quả

 C sai. Vậy D đúng.

Màn hình hiện kết quả

Câu 2: (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là
hình vng có độ dài đường chéo bằng a 2 và SA vng góc với mặt phẳng

 ABCD  . Gọi

 là góc giữa hai mặt phẳng  SBD  và  ABCD  . Nếu tan   2 thì

góc giữa hai mặt phẳng

 SAC 

Fb: Kiên Cao Văn

và

 SBC 

bằng
-- 4--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD

A. 30 .

B. 60 .

C. 45 .

D. 90 .

Lời giải
Chọn B.

Gọi I  AC  BD .
Hình vng ABCD có độ dài đường chéo bằng a 2 suy ra hình vng đó có
cạnh bằng a .

Ta có

 SBD    ABCD   BD

 SI  BD
 AI  BD

 
 SBD  ;  ABCD   SI ; AI  SIA


.

  SA  SA a
tan  tan SIA
AI
Ta có
.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Ta có

A  0;0;0  B  a;0;0  C  a; a;0  S  0;0; a 
,
,
,
.



SA  0;0;  a  SC  a; a;  a  SB  a;0;  a 
Khi đó
;
;
.

 SAC  có vectơ pháp tuyến n1   1;1;0  .
Mặt phẳng

 SBC  có vectơ pháp tuyến n2  1;0;1 .
Mặt phẳng
 
n1.n2

cos  SAC  ;  SBC      1  1  
SAC  ;  SBC  60
n1 . n2
2. 2 2
Suy ra
.
_Quy trình bấm máy.
_Bài học kinh nghiệm

+) Nhập các véctơ
Với hình chóp S . ABCD có đáy ABCD
VtcA=( 0 ; 0 ;−1 ) ,VtcB=( 1 ; 1 ;−1 )
là hình vng cạnh a, SA ⊥( ABCD)
và SA=b .
VtcC=( 1 ; 0 ;−1 )
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
sao cho :
A ( 0 ; 0 ; 0 ) , B ( a ; 0 ; 0 ) , C ( a; a ; 0 ) , D( 0 ; a ; 0)
+) Tìm véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng
( SAC ) và ( SBC ).
và S ( 0 ; 0 ; b ) .
Nhập VtcA × VtcB , VtcB ×VtcC và đọc kết quả





Fb: Kiên Cao Văn





-- 5--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập

hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD

+) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và
(SBC).

Vậy góc giữa hai mặt phẳng bằng 600 .
Câu 3: (THPT Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình

 ABCD  và
vuông ABCD cạnh a . Trên hai tia Bx, Dy vng góc với mặt phẳng
a
BM  ;
4 DN 2a . Tính góc 
cùng chiều lần lượt lấy hai điểm M , N sao cho

 AMN  và  CMN  .
giữa hai mặt phẳng
A.  30 .
B.  60 .
C.  45 .
Lời giải
Chọn D.
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Ta có:

B  0;0;0 

,

A  0; a;0 

,

C  a;0;0 

Fb: Kiên Cao Văn

D.  90 .

a

M  0;0; 
4  , N  a; a; 2 a  .

,

-- 6--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD



2
 


2 a
2
a 



AM
,
AN


2
a
;
;
a
AM  0;  a; 



4
4  , AN  a;0; 2a  , 

 là vectơ pháp tuyến


 AMN  .

của mp


 2

 CM , CN    a ; 2a 2 ;  a 2 


 4
 là vectơ pháp tuyến


a

CM   a; 0;  
4  , CN  0; a; 2a  ,


 CMN  .

của mp

cos  

a4 a4
  a4
2 2
a4
a4
4 a 4   a 4 . 4a 4   a 4
16
16

Do đó:
_Quy trình bấm máy.

(

+) Nhập vào máy tính VtcA= 0 ;−1;

1
,
4

)

VtcB=(1 ; 0 ; 2)
Ấn VtcA × VtcB để tìm vtpt của mặt phẳng
( AMN ).

Kết quả màn hình

0
  90 .
_Bài học kinh nghiệm
Bước 1 : Chọn hệ trục tọa độ thích
hợp.
(Chú ý ba đường thẳng cắt nhau
đơi một vng góc)
Bước 2 : Xác định tọa độ của các
điểm liên quan.
Bước 3 : Tìm tọa độ của các véc tơ

pháp tuyến của hai mặt phẳng.
Bước 4 : Tính cosin góc xen giữa
hai mặt phẳng.

1
Suy ra n( AMN)= −2 ; ; 1 .
4

(

)

(

+) Nhập vào máy tính VtcA= −1 ; 0 ;

1
,
4

)

VtcB=( 0; 1 ; 2)
Ấn VtcA × VtcB để tìm vtpt của mặt phẳng
(CMN ).

Kết quả màn hình

( −14 ; 2;−1).

Suy ra n(CMN )=
+) Tính cosφφ .

Fb: Kiên Cao Văn

-- 7--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD

Màn hình hiện kết quả

Vậy cosφφ=0 ⇒ φ=900 .
Câu 4:

(Chuyên Hà Tĩnh –Lần 1-2018) Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có A. ABC là
tứ diện đều cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA và BB . Tính tan
của góc giữa hai mặt phẳng
2
A. 5 .

 ABC 

và

3 2
B. 4 .

 CMN  .
2 2
C. 5 .

4 2
D. 13 .

Lời giải
Chọn C.

Gọi O là trung điểm của AB . Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho

O  0; 0;0 

,




3 
3 
3 6
1

 1

; 0  H  0;
; 0  AH  a 6  A 0;
;


A  ;0;0  B   ; 0; 0  C  0;
2
6
6
3 
2
2
, 
,


, 
, 
3

3 6

 B  1;
;

6
3
n
 0;0;1
ABC





Ta có AB  AB
. Dễ thấy
có vtpt 1
.




1 3 6
3 3 6
 M  ;
;
 N  ;
;


 4 12 6  , N là trung điểm BB
 4 12 6 
M là trung điểm AA

1 5 3 6

CM  ;
;

4
12
6 
MN   1;0;0 


,


6 5 3
n2  0;
;
  3 0; 2 2;5
6
12
CMN
 có vtpt

 12
 



Fb: Kiên Cao Văn


-- 8--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD

1
5

 tan  
 1 2 2
2
cos 
cos   33
5
_Quy trình bấm máy.
+) Nhập vào máy tính VtcA=( 0 ; 0 ; 1 ) ,

VtcB=( 0; 2 √ 2; 5)
+) Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng và suy
ra tan.

Màn hình hiện kết quả cosφφ

Ấn vào máy tính
Màn hình hiện kết quả tanφ

Đối chiếu đáp số ⇒ tanφ=

_Bài học kinh nghiệm
Bước 1 : Chọn hệ trục tọa độ thích
hợp.
(Chú ý ba đường thẳng cắt nhau
đơi một vng góc)
Bước 2 : Xác định tọa độ của các
điểm liên quan.
Bước 3 : Tìm tọa độ của các véc tơ
pháp tuyến của hai mặt phẳng.
Bước 4 : Tính cosin góc xen giữa

hai mặt phẳng.
Lưu ý : Với những bài toán mà tọa
độ là số vơ tỉ, thì bước tìm tọa độ
của véc tơ pháp tuyến bằng tích có
hướng nên thực hiện ra giấy nháp.

2 √2
.
5

Câu 5: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Cho hình chóp S . ABC có
đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC 2a , tam giác SAB và tam giác

SCB lần lượt vuông tại A , C . Khoảng cách từ S đến mặt phẳng  ABC  bằng
2a . Cơsin của góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  SCB  bằng
1
1
1
1
A. 2 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn B.

Fb: Kiên Cao Văn

-- 9--

Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD










B  0;0;0  A a 2;0;0 C 0; a 2;0 S  x; y; z 
Chọn hệ trục tọa độ sao cho
,
,
,
.


 ABC  : z 0 , AS  x  a 2; y; z , CS  x; y  a 2; z
Ta có
 
 x  a 2 a 2 0  x a 2 d  S ,  ABC   2a  z 2a  z  0 
Do AS . AB 0
,











 
CS .CB 0  y  a 2 a 2 0  y a 2  S a 2; a 2; 2a .



AS  0; a 2;2a CS  a 2;0; 2a BS  a 2; a 2; 2a
Ta có
,
,
.





















1
1



m

0;
2;

1
SAB 

 SBC  có 1 vtpt

cos

3.
3

3.
,
có 1 vtpt
_Quy trình bấm máy.
_Bài học kinh nghiệm
Bước 1 : Chọn hệ trục tọa độ thích
+) Nhập vào máy tính VtcA=(− √ 2 ; 0 ; 1 ) ,
hợp.
VtcB=( 0; √ 2 ;−1)
(Chú ý ba đường thẳng cắt nhau
đơi một vng góc)
Bước 2 : Xác định tọa độ của các
+) Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng.
điểm liên quan.
Bước 3 : Tìm tọa độ của các véc tơ
pháp tuyến của hai mặt phẳng.
Màn hình hiện kết quả cosφφ
Bước 4 : Tính cosin góc xen giữa
hai mặt phẳng.
Lưu ý : Với những bài toán mà tọa
độ là số vơ tỉ, thì bước tìm tọa độ
1
của véc tơ pháp tuyến bằng tích có
Vậy cosφφ= .
3
hướng nên thực hiện ra giấy nháp.
4
y 2 x  1 D 



n   2;0;1









y 8 x 3 y 0  8 x3 0  x 0 y  0  1

lim y  lim y 

x  

x  

 0;

Fb: Kiên Cao Văn

-- 10--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD

_ Bài tập áp dụng rèn luyện trong các đề thi thử. (10-15 câu)
Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Góc giữa
hai mặt phẳng
A. 30 .

 ABCD 

và
B. 60 .

 ABC D

bằng
C. 45 .

D. 90 .

Lời giải
Chọn D.

Khơng mất tính tổng qt ta đặt cạnh của khối lập phương là 1.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho

A  0; 0;0  , B  1; 0;0  , C  1;1;0  , D  0;1;0  , A 0;0;1

và

D 0;1;1
(như hình vẽ).




 

AC  1;1;  1 , AD  0;1;  1  n  ABCD   AC , AD   0;1;1 n1.
Ta có



 

AB  1;0;0  , AD  0;1;1  n ABC D  AB, AD  0;  1;1 n2 .
 
n1.n2 0   ABCD    ABC D .
Thấy
_Quy trình bấm máy.
_Bài học kinh nghiệm
Để tính góc giữa hai mặt phẳng
+) Nhập vào máy tính VtcA=( 1 ; 1;−1 ) ,
trong hình lập phương, ta thực hiện
VtcB=( 0; 1 ;−1)
như sau :
Ấn VtcA × VtcB để tìm vtpt của mặt phẳng
Bước 1 : Chọn hệ trục tọa độ thích
( A ' B' CD).
hợp.
(Chú ý ba đường thẳng cắt nhau
đôi một vuông góc)
Kết quả màn hình
Bước 2 : Xác định tọa độ của các

điểm liên quan.
Bước 3 : Tìm tọa độ của các véc tơ
pháp tuyến của hai mặt phẳng.
Suy ra n1= ( 0 ; 1; 1 ).
Bước 4 : Tính cosin góc xen giữa
+) Nhập vào máy tính VtcA=( 1 ; 0 ; 0 ) ,
hai mặt phẳng.
VtcB=(0; 1 ; 1)
Ấn VtcA × VtcB để tìm vtpt của mặt phẳng
( ABC ' D ').

Kết quả màn hình
Fb: Kiên Cao Văn

-- 11--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD

Suy ra n2 =( 0 ;−1 ; 1 ).
+) Tính cosφφ .

Màn hình hiện kết quả

Vậy cosφφ=0 ⇒ φ=900 .
Câu 2:

(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho tứ diện OABC có
OA, OB, OC đơi một vng góc và OB OC a 6 , OA a . Khi đó góc giữa hai
mặt phẳng ( ABC ) và (OBC ) bằng
0
A. 90 .

0
B. 60 .

0
C. 45 .

0
D. 30 .

Lời giải

Chọn D
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có
O ( 0 ; 0 ; 0) , A ( 0 ; 0 ; a) , B (a √ 6 ; 0 ; 0) , C (0 ; a √ 6 ; 0) .

O
A =( 0 ; 0 ; a ) là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( OBC ) . là một véctơ
pháp tuyến của mặt phẳng ( ABC ) .
Ta tính được góc giữa hai mặt phẳng bằng 300.
_Quy trình bấm máy.
_Bài học kinh nghiệm
Để tính góc giữa hai mặt phẳng
+) Nhập vào máy tính VtcA=( √6 ; 0 ;−1 ) ,
trong tứ diện vuông, ta thực hiện

VtcB=(0; √6 ;−1)
như sau :
Ấn VtcA × VtcB để tìm vtpt của mặt phẳng
Bước 1 : Chọn hệ trục tọa độ thích
( ABC).
hợp.
(Chú ý ba đường thẳng cắt nhau
đơi một vng góc)
Kết quả màn hình
Bước 2 : Xác định tọa độ của các
điểm liên quan.
Fb: Kiên Cao Văn
-- 12--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD

Bước 3 : Tìm tọa độ của các véc tơ
pháp tuyến của hai mặt phẳng.
Bước 4 : Tính cosin góc xen giữa
hai mặt phẳng.

Suy ra n1= ( √6 ; √ 6 ; 6 ).
+) Nhập vào máy tính Vtc A =( √ 6 ; √ 6 ; 6 ) ,
VtcB=( 0 ; 0 ; 1 ) .
+) Tính cosφin góc giữa hai mặt phẳng.

Màn hình hiện kết quả

Ấn

màn hình hiện kết quả

Vậy góc giữa hai mặt phẳng bằng 300.
Câu 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có các cạnh AB 2, AD 3; AA 4 . Góc
ABD
AC D 
giữa hai mặt phẳng 
và 
là  . Tính giá trị gần đúng của góc  ?
A. 45, 2 .
B. 38,1 .
C. 53, 4 .
D. 61, 6 .
Lời giải

Gắn hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D vào hệ trục tọa độ như hình vẽ . Khi đó
A  0;0; 0  , B  2;0; 0  , D  0;3;0  , C  2;3; 0  , A 0;0; 4  , B 2;0; 4  , D 0;3; 4  , C  2;3; 4 






AB  2; 0; 4  , AD  0;3; 4  , AC   2;3;0  , AD  0;3;  4  .
Có


 


n

AB; AD   12;  8;6 


AB D 
Gọi n1 là véc tơ pháp tuyến của 
. Có 1 
.




n  AC ; AD    12;8;6 
AC D 
n
Gọi 2 là véc tơ pháp tuyến của 
. Có 2 
.
Fb: Kiên Cao Văn

-- 13--

.


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia

2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD

ABD
AC D 
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng 
và 
 
n1.n2
29
 cos     
n1 n2 61
. Vậy giá trị gần đúng của góc  là 61,6 .
_Quy trình bấm máy.
_Bài học kinh nghiệm
Để tính góc giữa hai mặt phẳng
+) Nhập vào máy tính VtcA=( 2 ; 0 ; 4 ) ,
trong hình hộp chữ nhật, ta thực
VtcB=( 0; 3 ; 4)
hiện như sau :
Ấn VtcA × VtcB để tìm vtpt của mặt phẳng
Bước 1 : Chọn hệ trục tọa độ thích
( AB ' D ' ).
hợp.
(Chú ý ba đường thẳng cắt nhau
đôi một vuông góc)
Kết quả màn hình
Bước 2 : Xác định tọa độ của các
điểm liên quan.

Bước 3 : Tìm tọa độ của các véc tơ
pháp tuyến của hai mặt phẳng.
Suy ra n1= (−12;−8 ; 6 ).
Bước 4 : Tính cosin góc xen giữa
+) Nhập vào máy tính VtcA=( 2 ; 3 ; 0 ) ,
hai mặt phẳng.
VtcB=( 0; 3 ;−4 )
Ấn VtcA × VtcB để tìm vtpt của mặt phẳng
( A ' C ' D).

Kết quả màn hình

Suy ra n2 =(−12; 8 ; 6 ).
+) Tính cosφin góc giữa hai mặt phẳng, suy ra
giá trị gần đúng góc.

Màn hình hiện kết quả

Ấn
Màn hình hiện kết quả
Fb: Kiên Cao Văn

-- 14--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD

Vậy giá trị gần đúng của góc  là 61,6 .
Câu 4: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
hình vng cạnh a, cạnh bên SA 2a vng góc với đáy. Gọi M là trung điểm
cạnh SD. Tính cos của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC).
5
A. 5 .

5
B. 3 .

3
C. 2 .

2
D. 3 .

Lời giải
Chọn B

Chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc O trùng điểm A, các cạnh AB, AD, SA tương
ứng nằm trên chiều dương các trục Ox, Oy, Oz (như hình vẽ).
 a 
A  0;0;0  , B  a;0;0  , C  a; a;0  , D  0; a; 0  , S  0;0; 2a  , M  0; ; a 
 2 .
Khi đó ta có điểm




 a 

 SB  a;0;  2a  , BC  0; a; 0  , AC  a; a;0  , AM  0; ; a 
 2 .
 

 SB, BC   2a 2 ;0; a 2  n1  2;0;1
 SBC  .

Có 
là vecto pháp tuyến của





 

 a 2 
 AM , AC    a 2 ; a 2 ;
  n 2  2;  2;1


2 
 AMC  .

Có
là vecto pháp tuyến của
 

n1.n2
5

5
cos   SBC  ;  AMC    cos n1 , n2    
 .
3
5. 9
n1 n2
Ta có:
_Quy trình bấm máy.
_Bài học kinh nghiệm
Để tính góc giữa hai mặt phẳng
+) Nhập vào máy tính VtcA=( 1 ; 0 ;−2 ) ,
trong hình chóp, ta thực hiện như
VtcB=( 0; 1 ; 0)
Ấn VtcA × VtcB để tìm vtpt của mặt phẳng ( SBC ) sau :
Bước 1 : Chọn hệ trục tọa độ thích
.
hợp.



Fb: Kiên Cao Văn



-- 15--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập

hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD

(Chú ý ba đường thẳng cắt nhau
đôi một vuông góc)
Bước 2 : Xác định tọa độ của các
điểm liên quan.
Bước 3 : Tìm tọa độ của các véc tơ
pháp tuyến của hai mặt phẳng.
Bước 4 : Tính cosin góc xen giữa
hai mặt phẳng.

Kết quả màn hình

Suy ra n1= ( 2; 0 ; 1 ) .
+) Nhập vào máy tính VtcA=( 1 ; 1; 0 ) ,
1
VtcB=( 0; ; 1)
2
Ấn VtcA × VtcB để tìm vtpt của mặt phẳng
( AMC).

Kết quả màn hình

Suy ra n2 =( 2;−2 ; 1 ).
+) Tính cosφin góc giữa hai mặt phẳng.

Màn hình hiện kết quả

Vậy

cos   SBC  ;  AMC   

5
.
3

Câu 5: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SAB là tam giác
đều và

( SCD )

( SAB )

vng góc với

( ABCD)

( SAC )
. Tính cos  với  là góc tạo bởi
và

.

3
A. 7 .

5
C. 7 .

6

B. 7 .

2
D. 7 .

Lời giải

Fb: Kiên Cao Văn

-- 16--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD
z

S

y

D

A

x

O
M

B

C

Chú ý: Ta có thể giải bài tốn với cạnh hình vng bằng 1.
Gọi O , M lần lượt là trung điểm của AB , CD . Vì SAB là tam giác đều và

( SAB)

vng góc với

( ABCD)

nên

SO ^ ( ABCD)

.

ổ 1 ử
Aỗ
0; ; 0ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
O ( 0; 0; 0) M ( 1; 0; 0)
Oxyz
è
2 ø

Xét hệ trục
như hình vẽ ta c:
,
,
,
ổ
3ử
ữ
ữ
Sỗ
0;
0;
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
2ứ
ố
.
ổ 1 ữ
ử ổ1 ử
Cỗ
1; - ; 0ữ
Dỗ
1; ; 0ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ

ữ
ỗ
ỗ
ố
ứ
ố
ứ
2
2
Khi ú,
,
.

ổ 1
ổ 1
ử

3ử
3ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ

SA = ỗ
0;
;
SC
=
1;

;
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ AC = ( 1; - 1; 0)
ỗ
ỗ
2
2 ứ
2
2 ữ
ố
ố
ứ, CD = ( 0; 1; 0) .
Suy ra:
,
,
ổ 3


3
1ử
ữ
ự= ỗ
ữ
n1 = ộ
SA

,
AC
;
;
ỗ
ữ
ờ
ỳ
ỗ
ở
ỷ ỗ
ữ
SAC )
2
2
2
(
ố
ứ
Mt phng
cú vộc t phỏp tuyn
.
ổ3
ử


ỗ ; 0; 1ữ
ự=ỗ
ữ
n2 = ộ

SC
,
CD
ữ
ờ
ỳ ỗ
ở
ỷ
ữ
ỗ2
( SAD)
ố
ứ.
Mt phng
cú vộc t phỏp tuyn

n1 ×n2
5
cos  =   =
7
n1 ×n2
Vậy
.
_Quy trình bấm máy.
_Bài học kinh nghiệm
Để tính góc giữa hai mặt phẳng
+) Nhập vào máy tính VtcA=( √3 ; √ 3 ; 1 ) ,
trong hình chóp có mặt bên vng
VtcB=( √ 3 ; 0 ; 2 )
góc với mặt phẳng đáy, ta thực

hiện như sau :
Bước 1 : Chọn hệ trục tọa độ thích
+) Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng.
hợp.
(Chú ý ba đường thẳng cắt nhau
đơi một vng góc)
Bước 2 : Xác định tọa độ của các
điểm liên quan.
Màn hình hiện kết quả cosφφ
Bước 3 : Tìm tọa độ của các véc tơ
Fb: Kiên Cao Văn

-- 17--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD

pháp tuyến của hai mặt phẳng.
Bước 4 : Tính cosin góc xen giữa
hai mặt phẳng.
5
cos 
SAC  ,  SCD   .
7
Đối chiếu đáp số
4
y 2 x  1 D 





y 8 x 3 y 0  8 x3 0  x 0 y  0  1

lim y  lim y 

x  

x  

 0;
Câu 6: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D , AB 2a ,
AD CD a , SA  2a , SA   ABCD  . Tính cơsin của góc tạo bởi  SBC  và  SCD  .

6
A. 6 .

6
B. 3 .

2
C. 3 .

3
D. 3 .

Lời giải

Chọn B
z
S

O

B

A

D
y

x

C

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Ta có:





A  0, 0, 0  , S 0, 0, 2 , D  0,1, 0  , B  2, 0, 0  , C  1,1, 0 

.

 
 SCD  : n1  SC , SD   0, 2,1 .

Vectơ pháp tuyến của

 
SBC  n2  SB, SC   2, 2, 2

Vectơ pháp tuyến của
:
.
 
n1 n2
6
cos 
 SBC  ,  SDC      
3
n1 n2
Vậy:
.







_Quy trình bấm máy.
+) Nhập vào máy tính VtcA=( 0; √ 2 ; 1 ) ,
Fb: Kiên Cao Văn



_Bài học kinh nghiệm
Để tính góc giữa hai mặt phẳng
-- 18--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD

VtcB=( √ 2; √ 2 ; 2 )

+) Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng.

Màn hình hiện kết quả cosφφ

trong hình chóp có cạnh bên vng
góc với mặt phẳng đáy, ta thực
hiện như sau :
Bước 1 : Chọn hệ trục tọa độ thích
hợp.
(Chú ý ba đường thẳng cắt nhau
đơi một vng góc)
Bước 2 : Xác định tọa độ của các
điểm liên quan.
Bước 3 : Tìm tọa độ của các véc tơ
pháp tuyến của hai mặt phẳng.
Bước 4 : Tính cosin góc xen giữa
hai mặt phẳng.

6
cos 
SBC  ,  SDC   .
3
Đối chiếu đáp số





Câu 7: (Nguyễn Khuyến) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a
, cạnh bên SA 2a và vng góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh

SD . Tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( AMC ) và ( SBC ) bằng

3
2 3
A. 2 . B. 3 .

5
C. 5 .

2 5
D. 5 .

Lời giải
Chọn D

Để thuận tiện trong việc tính tốn ta chọn a 1 .
Trong không gian, gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ sao cho gốc O trùng

với điểm A , tia Ox chứa đoạn thẳng AB , tia Oy chứa đoạn thẳng AD , tia
Oz chứa đoạn thẳng AS . Khi đó: A(0; 0; 0) , B(1; 0; 0) , C (1;1; 0) , S (0; 0; 2) , D(0;1; 0)
.

 1 
M  0; ;1
 2 .
Vì M là trung điểm SD nên tọa độ M là

 SB  (1;0;  2)
 



n

[
SB;BC ] =(2;0;1)
BC

(0;1;0)

 SBC 
Ta có 
.
Fb: Kiên Cao Văn

-- 19--

Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD


 AM

 AC


 1 
 
  0; ;1
 1


 2   n AMC   [ AM ; AC ] =   1;1; 
2 

 (1;1;0)

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( AMC ) và ( SBC ) .


n SBC  .n AMC 
5


cos   cos n SBC  ; n AMC   



3
n SBC  . n AMC 
Suy ra
.



Mặt khác,



1  tan 2  
1

tan  

 5


 3 

2

1
1
 tan  
1
2

cos 
cos 2 
.

1

2 5
.
5

Vậy
_Quy trình bấm máy.
+) Nhập vào máy tính VtcA=( 1 ; 0 ;−2 ) ,
VtcB=( 0; 1 ; 0)
Ấn VtcA × VtcB để tìm vtpt của mặt phẳng ( SBC )
.

Kết quả màn hình

Suy ra n1= ( 2; 0 ; 1 ) .
+) Nhập vào máy tính VtcA=( 1 ; 1; 0 ) ,
1
VtcB=( 0; ; 1)
2
Ấn VtcA × VtcB để tìm vtpt của mặt phẳng
( AMC).

_Bài học kinh nghiệm
Để tính góc giữa hai mặt phẳng
trong hình chóp có cạnh bên vng

góc với mặt đáy, ta thực hiện như
sau :
Bước 1 : Chọn hệ trục tọa độ thích
hợp.
(Chú ý ba đường thẳng cắt nhau
đơi một vng góc)
Bước 2 : Xác định tọa độ của các
điểm liên quan.
Bước 3 : Tìm tọa độ của các véc tơ
pháp tuyến của hai mặt phẳng.
Bước 4 : Tính cosin góc xen giữa
hai mặt phẳng.

Kết quả màn hình

Suy ra n2 =( 2;−2 ; 1 ).
+) Tính cosφin góc giữa hai mặt phẳng.

Fb: Kiên Cao Văn

-- 20--