SKKN Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH
GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Phần i - mở đầu
i. lý do chọn đề tài.
Chúng ta đã biết Toán học nói chung là một nghành khoa học gắn liền
với những suy luận logic chặt chẽ, đòi hỏi tính chính xác và ngắn gọn. Có
nhiều ý kiến cho rằng toán học rất khô khan và nhàm chán bởi những rắc rối
của kí hiệu và sự trừu tượng của ngôn từ vµ h×nh ¶nh. Nhìn nhận vấn đề gần
hơn trong trường THPT đa số các em thấy khó khăn, rắc rối, khó nhớ và lo sợ
khi họ
c môn toán đặc biệt là môn hình học không gian . Vỡ vậy, để giúp các
em tự tin hơn trong việc học toỏn, tôi xây dựng “ Phương pháp xác định
góc giữa hai mặt phẳng ” trong các trường hợp củ thể từ các bài toán đơn
giãn. Qua quỏ trỡnh thực hiện tụi thấy từ phương pháp này giúp các em giải
quyết bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng một cách dễ dàng hơn và
từ đó tạo niềm đam mê tìm hiểu xây dự
ng phương pháp giải các bài toán khác
và đặc biệt giúp các em yêu thích hình học không gian nhiều hơn.
Chính những lí do trên mà tôi quyết định chọn đề tài này.
II. mục đích của đề tài
* Khắc phục những khó khăn hiện tại, tìm ra phương án thích hợp giải
quyết vấn đề bài toán tìm góc giữa hai mặt phẳng.

* Góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn theo hướng phát
huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh. Góp phần nâng cao chất
lượng đội ngũ học sinh khá, giỏi về bộ môn Toán ở trường THPT.
* Góp phần hình thành lòng say mê, sự hào hứng học tập môn Toán, từ
đó hình thành và phát tri
ển năng lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học
sinh.
* Ngoài ra, đề tài còn có thể là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các
bạn đồng nghiệp.
Iii - đối tượng áp dụng
* Học sinh các lớp 11, 12 Trường THPT Quỳ Hợp 2.
Phần ii - nội dung sáng kiến
A. cơ sở lý thuyết về góc giữa hai mặt phẳng.
1. Khái niệm: “ Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần
lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó ”.
2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng (SGK Hình học 11cơ bản).
- Giả sử hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến c.
- Từ một điểm I bắt kỳ trên c ta dựng trong (P) đường thẳng a vuông góc
với c và dựng trong (Q) đường thẳng b vuông góc với c.
- Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đườ
ng thẳng a
và b.
- Tuy nhiên khi sử dụng phương pháp trên học sinh sẽ gặp khó khăn với
những bài toán phức tạp đó là việc chọn vị trí điểm I trên giao tuyến c để xác
định được các đường thẳng a, b thoã mãn bài toán .
- Để khắc phục khó khăn trên, trong nội dung sáng kiến này tôi nêu ba
trường hợp thường gặp và hướng khắc phục cụ thể cho từng trường hợp.
b. các trường hợp thường gặp của bài “ toán tìm góc giữa hai mặt phẳng ” và phương
pháp giải.
i. trường hợp 1.

Tìm góc giữa hai mặt phẳng khi giao tuyến của chúng là một cạnh đáy cuả
hình chóp.
I.1. Các bài toán.
Bài toán 1:(Bài 3.32-SBT Hình học 11 cơ
bản).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang
vuông ABCD vuông tại A và D, có AB = 2a,
AD = DC = a, có cạnh SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD) và SA = a. Xác định góc giữa
hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
Giải:
Theo giả thiết:
SA  (ABCD)  SA  CB. (1).
Mặt khác: Xét tam giác vuông ADC có AD = a, DC = a  AC = a
2 .
Gọi I là trung điểm của AB  IC  IB và IC = IB = AD = a.
Xét tam giác vuông ICB ta có: CB =
22
IBIC 
= a
2
.
Xét tam giác vuông ACB ta có: AC
2
+ CB
2
= 2a
2
+ 2a
2

= 4a
2

AB
2
= 4a
2
.
 AC
2
+ CB
2
= AB
2
 AC  CB (2).
Từ (1) và (2)  (SAC)  CB  SC  CB (3).
Từ (2) và (3)  góc SCA là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
Nhận xét.
Trong bài tập dựa vào hai điều kiện để xét góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
và (ABCD) là:
S
A
B
C
D
I
1. A là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) hay SA

CB.
2. AC


CB.
Từ nhận xét trên hãy giải bài toán sau:
Bài toán 1.2.
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.
SA  (ABCD). Xác định góc giữa hai mặt
phẳng (SBC) và (ABCD).
Ta thấy bài toán 1.2 thiếu điều kiện 2, để
giải quyết bài toán này ta cần tạo nên điều kiện
vuông góc.
Giải:
Theo giả thiết:
SA  BC [vì SA  (ABCD)].
Từ A dựng AH  CB tại H (1).  (SAH)  CB  SH  CB (2).
Từ (1) và (2)  góc SHA là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
Bài toán 1.3.
Hình chóp S.ABCD có SA = SB = SC = SD. Đ
áy ABCD là hình bình
hành.Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
Ta thấy bài toán 1.3 chưa có cả hai điều kiện trong nhận xét trên, khi đó ta
giải bài toán này như sau.
Giải:
Gọi o = AC  BD.
Theo giả thiết ta có: ÄSAC, ÄSBD cân tại S
với SO là đường trung tuyến.

)(ABCDSO
BDSO
ACSO







.
[hay O là hình chiếu của S lên (ABCD)]
Từ O dựng OH  BC tại H (1).
 (SOH)  BC
 SH  BC (2).
Từ (1) và (2)  góc SHO là góc giữa hai mặt
phẳng (SBC) và (ABCD).
I.2. Phương pháp giải.
Xác định góc giữa hai mặt phẳng (

) và (

) trong đó a = (

)

(

) thuộc
mặt phẳng đáy.
Phương pháp giải:
- Xác định hình chiếu O của đỉnh S lên mặt phẳng đáy ( P ).
- Từ O dựng đường thẳng OH

a tại H.


góc SHO là góc giữa hai mặt phẳng (

) và (

).


S
A
B
C
D
H
C
S
A
B
D
O
H
I.3. Bài tập vận dụng.
Bài 1. (Đề thi TSĐH - CĐ -2004 khối B). Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng  (0
0
<  <
90
0
). Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo .
Bài 2. Cho hình chốp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, Â = 60

0
, SA
= SB = SD =
2
3
a
. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).
II- trường hợp 2.
Tìm góc giữa hai mặt phẳng khi giao tuyến của chúng là một cạnh bên của
hình chóp.
II.1. Các bài toán.
Bài toán 2.1.
Hình chóp S.ABCD có ÄSAB, ÄSAD đều.
Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và
(SAD).
Giải:
Gọi I là trung điểm SA.
Theo giả thiết ÄSAB, ÄSAD đều.






SADI
SABI

 góc BID là góc giữa hai mặt phẳng (SAB)
và (SAD).
Nhận xét:

Trong bài tập 2.1 dựa vào điều kiện ÄSAB, ÄSAD đều nên xác định được
hai đường thẳng IB

(SAB); ID

(SAD) cùng vuông góc với SA tại I (I


SA).
Từ nhận xét đó giải bài toán sau.
Bài toán 2.2.
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cạnh
a, SB = a. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
(SAB) và (SAD).
Ta thấy, bài toán 2.2 không có điều kiện
tam giác đều giống như bài toán 2.1 do đó ta
giải bài toán 2.2 như sau.
Giải:
Gọi I là trung điểm của SA.
Theo giả thiết: SB = a = AB.
 BI  SA.
Trong mặt phẳng (SAD), từ I dựng IK  SA tại I cắt AD tại K.
 góc BIK là góc giữa hai mặt phẳ
ng (SAB)
và (SAD).
Bài toán 2.3.
S
A
I
B

C
D
I
S
A
B
C
D
K
Hình chóp S.ABCD. Xác định góc giữa hai
mặt phẳng (SBC) và (SDC).
Ta thấy, bài tập này không có điều kiện gì
đặc biệt để xác định hai đường thẳng thuộc
hai mặt phẳng vuông góc với SC tại một điểm.
Vì vậy ta giải như sau.
Giải:
Trong mặt phẳng (SBC) dựng BH  SC tại H.
Trong mặt phẳng (SDC) dựng KH  SC tại H
cát DC tại K.
 góc BHK là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC).
II.2. Phương pháp giải.
Xác định góc gi
ữa hai mặt phẳng (

) và (

) trong đó a = (

)


(

) là một
cạnh bên của hình chóp.
- Trong mặt phẳng (

) dựng đường thẳng từ một đỉnh vuông góc với a tại
H.
- Trong mặt phẳng (

) dựng HK

a tại H cắt một cạnh của (

) tại K.

góc AHK là góc giữa hai mặt phẳng (

) và (

).
II.3. Bài tập vận dụng.
Bài 1. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a.
Gọi C
1
là trung điểm của CC’. Tính góc giữa hai mặt phẳng (C
1
AB) và
(ABC).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Đường cao

SA = h. Tính góc  giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) theo a, h. Chứng tỏ
rằng  > 90
0
.
III - trường hợp 3.
III.1. Các bài toán.
Bài toán 3.
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang. Xác
định góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Giải:
Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có điểm chung
S và AB // CD.
Qua S dựng Sx // AB (//CD).

Sx = (SAB)  (SCD).
Dựng SH  AB

SH  Sx.
 góc HSK là góc giữa hai mặt phẳng (SAB)
Dựng SK  CD

SK  Sx. và (SCD).
Nhận xét.
Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) song song với mặt phẳng
đáy.
S
K
H
A
B

C
D
S
x
A
H
B
C

K
D
III.2. Phương pháp giải.
Xác định góc giữa hai mặt phẳng (

) và (

) trong đó (

) và (

) chứa hai
đường thẳng a, b song song.
- Gọi S là điểm chung của (

) và (

).
- Qua S dựng đường thẳng SH

a.

- Qua S dựng đường thẳng SK

b.

góc HSK là góc giữa hai mặt phẳng (

) và (

).
III.3. Bài tập vận dụng.
Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh a; đường cao hình chóp
bằng
2
a
. Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD. AB = a, BC = 2a. Lấy điểm S trong
không gian sao cho SO  (ABCD), SO = h. Xác định và tính góc giữa hai mặt
phẳng (SAB) và (SCD). Tính h theo a để (SAB)  (SCD).




Phần iii – kết luận.
Sau khi tổ chức dạy học theo phương đề xuất trên ở lớp 11A2 với n
1
= 46
học sinh (HS) và khi dạy học phương pháp của sách giáo khoa hình học 11 -
ban cơ bản ở lớp 11A4 với n
2
= 36 HS, rồi tổ chức kiểm tra như nhau ở hai

lớp ta thu được kết quả sau:
Bảng 1
x
i
- Điểm 012345678 9 10
f
i
- Lớp 11A2 001256976 6 4
f
i
- Lớp 11A4 004559632 2 0
Từ bảng 1 ta tính được các thông số thống kê.
* Tính trị trung bình số học: Công thứ tính
n
xf
X
ii

 với n
1
= 46; n
2

= 36.
* Lớp 11A2:
59.6
46
10*49*68*67*76*95*64*53*22*11*00*0
1










X

* Lớp 11A4:
97.4
36
10*09*28*27*36*65*94*53*52*41*00*0
2









X

Ta có: d =
44.1
21
 XX

và
1
X >
2
X
* Tính phương sai: Công thức tính
1
)(
2
2




n
Xxf
ii

Ta có các bảng số liệu sau:
Bảng 2
Lớp
11A2

x
i
0 1 23456789 10
f
i
0 0 1 2 5 6 9 7 6 6 4


i
f = 46
x
i
f
i
0 0 2 6 20 30 54 49 48 54 40

ii
fx
=303
(x
i
-
1
X )
-6.59 -5.59 -4.59 -3.59 -2.59 -1.59 -0.59 0.41 1.41 2.41 3.41
(x
i
-
1
X
)
2
43.43 31.23 21.07 12.89 6.71 2.53 0.35 0.17 1.99 5.81 11.63
(x
i
-
1
X )

2
f
i
0.00 0.00 21.07 25.78 33.55 15.18 3.15 1.19 11.94 34.86 46.52


193.24
Bảng 3
Lớp
11A4

x
i
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f
i
0 0 4 5 5 9 6 3 2 2 0

i
f
= 36
x
i
f
i
0 0 8 15 20 45 36 21 16 18 0

ii
fx = 179
(x

i
-
2
X
)
-4.97 -3.97 -2.97 -1.97 -0.97 -0.03 1.03 2.03 3.03 4.03 5.03
(x
i
-
2
X )
2
24.70 15.76 8.82 3.88 0.94 0.00 1.06 4.12 9.18 16.24 25.30
(x
i
-
2
X )
2
f
i

0 0 35.28 19.40 4.70 0.00 6.36 12.36 18.36 32.48 0.00

 128.94
*
29.4
45
24.193
1

)(
1
2
1
2
1





n
Xxf
ii
.
*
68.3
35
94.128
1
)(
2
2
2
2
2






n
Xxf
ii
.
* Tính độ lệch chuẩn: Công thức tính
1
)(
2
2




n
Xxf
ii

* Lớp 11A2:
07.2
45
24.193
1
)(
1
2
1
2
11






n
Xxf
ii

* Lớp 11A4:
92.1
35
94.128
1
)(
2
2
2
2
22





n
Xxf
ii

* Tính độ tin cậy: Công thức tính t =
2

2
2
1
2
1
21
2
2
2
1
21
nn
XX
mm
XX
m
d
d









Ta có: t
=
88.2

36
92.1
46
07.2
97.459.6
22



.
Kết luận :
• Từ kết quả thực nghiệm và những tính toán ở trên ta thấy có sự sai lệch
giữa
1
X và
2
X (cụ thể
1
X >
2
X ).
• Giả sử sự sai lệch giữa
1
X
và
2
X
(cụ thể
1
X

>
2
X
) là không đáng tin
cậy, tức là phương pháp mới không có tác dụng;
1
X
>
2
X
chỉ là một sự trùng
lặp do ngẫu nhiên mà có. Như vậy, để xem xét tác động tích cực của phương
pháp mới chúng ta hãy kiểm định tính khách quan của kết quả thực nghiệm
trên.
• Gọi H
0
là giả thiết thống kê: Sự sai lệch giữa
1
X
và
2
X
(cụ thể
1
X
>
2
X
)
là không thực chất (tức là do ngẫu nhiên mà có) với mức ý nghĩa  = 0.05 =

5%.
• Gọi H
1
là đối giả thiết: Sự sai lệch giữa
1
X
và
2
X
(cụ thể
1
X
>
2
X
) là
thực chất (tức là do tác động của phương pháp mới mà có, chứ không phải do
ngẫu nhiên mà có).
• Theo các tính toán ở trên ta có:
+ Độ tin cậy t theo các số liệu thực nghiệm: t = 2.88
• Với N = 46 + 36 -2 = 80 và mức ý nghĩa  = 0.05 = 5% tra trên bảng
Student (dạng II), ở cột N = từ 63 đến 175, ta được t

= 2.0 , với xác suất
tương ứng 95%.
• Với giá trị thực nghiệm t = 2.88, như vậy ta có kết quả so sánh: t > t


nghĩa là ta bác bỏ giả thiết H
0

và chấp nhận giả thiết H
1
. Vậy:
Với độ tin cậy là 95% (hay với sai số 5%) sự sai lệch giữa
1
X và
2
X (cụ
thể
1
X
>
2
X
) là do kết quả của tác động sư phạm mà có ( do đó có thể áp
dụng phương pháp mới một cách rộng rãi).