Tuyển tập các bài toán cực trị bồi dưỡng học sinh giỏi thcs

Tailieumontoan.com


Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN
CỰC TRỊ BỒI DƯỠNG HSG THCS
(Liệu hệ tài liệu word mơn tốn SĐT (zalo) : 039.373.2038)

Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 8 năm 2023


Website: tailieumontoan.com

Mơc lơc
Trang
PHẦN 1

HÌNH HỌC

Chun đề 1

Các bài tốn cực trị về tam giác

Chuyên đề 2

Các bài toán cực trị về tứ giác, đa giác

Chuyên đề 3

Các bài toán cực trị về đường tròn

PHẦN 2

SỐ HỌC, ĐẠI SỐ

Chuyên đề 4

Các bài toán cực trị về số học

Chuyên đề 5

Các bài toán cực trị về biểu thức một biến

Chuyên đề 6

Các bài toán cực trị về biểu thức nhiều biến

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

521


Website: tailieumontoan.com
Chương 1
Các bài toán cực trị về tam giác
1.1 Giản lược kiến thức cơ bản
Các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng được gọi là bài toán cực trị.
Giả sử A là một biểu thức (một biến hoặc nhiều biến).
a) số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của A nếu thỏa mãn 2 điều kiện:
•

A ≥ m với mọi giá trị của biến thuộc tập xác định biểu thức A;

• Tồn tại một giá trị của biến để A nhận giá trị m.
Kí hiệu: m = min A .
b) số M được gọi là giá trị lớn nhất của A nếu thỏa mãn hai điều kiện:
•

A ≤ M với mọi giá trị của biến thuộc tập xác định biểu thức A;

•

Tồn tại một giá trị của biến để A nhận giá trị m.

Kí hiệu: M = max A.
Bất đẳng thức tam giác
a) Với ba điểm A, B, C bất kì, ta có AB + AC ≥ BC
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi A thuộc đoạn thẳng BC.
b) Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm A và B ngắn hơn độ dài đường gấp khúc bất kì có hai đầu là A và B.
Đường vng góc, đường xiên
a) Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn vng góc với đường thẳng có độ dài
ngắn nhất.
b) Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm tới một đường thẳng, đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn
hơn và ngược lại.
Quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác
a) Trong một tam giác, đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn và ngược lại.
b) Đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau và ngược lại.
Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vng
a) Cho tam giác ABC vng tại A, có đường cao
AH, ta có:

1. AB 2 BH
=
=
.BC ; AC 2 CH .CB
2. AH 2 = HB.HC
3. AH .BC = AB. AC
2
4. BC
=
AB 2 + AC 2

5.

1
1
1
=
+
2
2
AH
AB
AC 2

b) Cho tam giác ABC vuông tại A, ta có:
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038

1

Website: tailieumontoan.com
1. AB BC
.sin C BC.cos B
=
=
2. AC BC
=
=
.sin B BC.cos C
3. AB AC
=
=
.tan C AC.cot B
4. AC AB
=
=
.tan B AB.cot C
5. S ∆ABC =

1
BA.BC.sin B
2

c) Nếu α + β = 90° thì:
• sin α cos
=
=
β ; cos α sin β
• tan α cot
=

=
β ; cot α tan β
•

0 < sin α < 1; 0 < cos α < 1

•

sin 2 α + cos 2 α =
1

•

tan α .cot α = 1

•

tan α =

sin α
cos α

•

cot α =

cos α
sin α

Bất đẳng thức về các giá trị trung bình của hai số dương a và b

a+b
≤ ab ≤
≤
1 1
2
+
a b
2

a 2 + b2
2

Hệ thức lượng trong tam giác thường
Cho tam giác ABC bất kì với AH là đường cao.
a) Nếu góc 
A nhọn thì
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AH

b) Nếu góc 
A tù thì
BC 2 = AB 2 + AC 2 + 2 AB. AH

c) Nếu M là trung điểm cạnh BC thì
AB 2 + AC 2 = 2 AM 2 +

BC 2
2

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

2


Website: tailieumontoan.com

Định lý Heron (Hêrông)
Cho đường thẳng xy và hai điểm A, B nằm về cùng một nửa mặt
phẳng có bờ là xy (A, B không thuộc xy).
Điểm C thuộc đường thẳng xy. Khi đó AC + CB nhỏ nhất
⇔ AC và BC tạo bởi xy các góc bằng nhau.
Chú ý: Hêrơng là nhà tốn học Hy Lạp sống ở thành phố cổ A – lếch – xan – đri vào thế kỉ thứ nhất sau
Công Nguyên.
Chu vi – Diện tích
a) Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vng có chu vi nhỏ nhất.
b) Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vng có diện tích lớn nhất.
c) Cho tam giác ABC có AB= c, BC= a, CA= b, a + b + c= 2 p ; r là bán kính đường trịn nội tiếp tam giác
ABC. Ta có hệ thức S ABC = p.r .
Bất đẳng thức Bunhiakopski
a) Cho các số thực a, b, x, y . Ta có bất đẳng thức

( ax + by )

2

≤ ( a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 )

Dấu " = " xảy ra ⇔ ay =
bx .
b) Cho các số thực a, b, c, x, y, z . Ta có bất đẳng thức

( ax + by + cz )
Dấu " = " xảy ra ⇔

2

≤ ( a 2 + b 2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 )

a b c
= = ( x, y, z khác 0).
x y z

Bất đẳng thức Côsi
Cho ba số a, b, c khơng âm. Ta có
a+b+c 3
≥ abc
3

Dấu " = " xảy ra ⇔ a = b = c .
1.2. Các bài toán vận dụng
Bài 1: Cho hai làng A và B nằm về một phía của một bờ sơng thẳng. Hãy tìm một vị trí M trên bờ sơng để
xây một cây cầu sao cho tổng các khoảng cách MA + MB có độ dài bé nhất.
Hướng dẫn

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

3


Website: tailieumontoan.com

Giả sử hai bờ sông là a và b.
Gọi A′ là điểm đối xứng của A qua bờ a.
A′B giao cắt bờ sơng a tại M thì M chính là vị trí đầu cầu M cần xác định (của cây cầu MN vng góc với 2

bờ sơng a, b).
Thật vậy, áp dụng định lý Hêrơng, ta có MA + MB < AC + CB với C là vị trí khác M trên bờ a.

 và một điểm M nằm trong góc đó. Hãy tìm trên Ox một điểm A, trên Oy một điểm
Bài 2: Cho góc nhọn xOy
B sao cho tam giác AMB có chu vi bé nhất.
Hướng dẫn
Gọi N, P tương ứng là các điểm đối xứng của M qua Ox và Oy.
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của NP với Ox và Oy.
Khi đó, tam giác AMB có chu vi bé nhất. Thật vậy, nếu C là 1
điểm trên Ox, C khác A, và D là 1 điểm trên Oy, D khác B.
Chu vi ( CMD ) = CM + CD + DM = CN + CD + DP > NP = Chu vi (AMB).

 và hai điểm A, B phân biệt nằm ở trong góc xOy
 . Hãy xác định điểm M trên cạnh
Bài 3: Cho góc nhọn xOy
Ox và điểm N trên cạnh Oy sao cho đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất.
Hướng dẫn
Dựng A′ đối xứng với điểm A qua cạnh Ox.
Dựng B ′ đối xứng với điểm B qua cạnh Oy.
Dựng đường thẳng đi qua hai điểm A′, B ′ . Đường thẳng này cắt
Ox, Oy lần lượt tại M, N.
Ta có độ dài đường gấp khúc AMNB bằng 1.
1 = AM + MN + NB = A′M + MN + NB ′ = A′B ′ .

Các điểm M, N chính là các điểm cần xác định thỏa yêu cầu bài toán.

 và hai điểm A và B nằm ở miền trong góc đó. Hãy xác định điểm N trên tia Oy và
Bài 4: Cho góc nhọn xOy
điểm M trên tia Ox sao cho đường gấp khúc ANMB có độ dài nhỏ nhất.
Hướng dẫn
Dựng A′ đối xứng với điểm A qua cạnh Oy. Dựng B ′ đối xứng với điểm B qua cạnh Ox. Đường thẳng A′B ′
cắt Oy và Ox tương ứng tại N và M thì có độ dài đường ANMB thỏa mãn.
Bài 5: Cho trước đoạn thẳng BC và một độ dài h. Hãy dựng điểm A cách đường thẳng BC một đoạn bằng h
sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
Hướng dẫn
Điểm A cách BC một khoảng bằng h.
Do đó, A thuộc đường thẳng xy song song với BC và cách BC một

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

4


Website: tailieumontoan.com
khoảng h.
Xét chu vi ( ABC ) = BC + AB + AC vì BC khơng đổi nên chu vi
(ABC) nhỏ nhất ⇔ ( AB + AC ) nhỏ nhất.
Bài tốn đưa về tìm A trên xy sao cho BA + CA nhỏ nhất, B và C nằm về cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy.
Áp dụng định lý Herông, ta dựng được điểm A thuộc xy và tam giác ABC cân tại A.
Bài 6: Cho đoạn thẳng BC cố định. Điểm A thay đổi sao cho tổng các khoảng cách AB + BC =
a (khơng
đổi). Hãy tìm trong số tất cả các tam giác ABC thỏa mãn điều kiện trên, một tam giác có diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn
a
Ta chứng minh cho tam giác cân ABC có AB + AC =

là tam giác có
2

diện tích lớn nhất. Thật vậy, gọi S là diện tích tam giác cân ABC có
a
.
AB + AC =
2
Nếu tam giác DBC có cùng diện tích S, thì A và D thuộc đường thẳng xy song song với BC.
Theo bài toán trên đây, ta có DB + DC > AB + AC =
a.
Nếu tam giác DBC có diện tích S ′ > S .
Khi đó, trong số các tam giác có cạnh BC cố định và cùng diện tích S ′ thì tam giác cân có chu vi nhỏ nhất.
Nhưng khi đó DB + DC > AB + AC =
a.
Vậy tam giác cân ABC có AB
= AC
=

a
có diện tích lớn nhất.
2

Bài 7: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Hãy tìm trên các cạnh BC, CA, AB các điểm tương ứng M, N, P
sao cho tam giác MNP có chu vi nhỏ nhất.
Hướng dẫn
Trước hết, nhận xét: nếu cố định điểm M trên cạnh BC thì tam
giác MNP có chu vi nhỏ nhất ⇔ N , P tương ứng là giao điểm của
M ′M ′′ với các cạnh AB, AC, trong đó M ′, M ′′ tương ứng là các điểm đối

xứng của M qua AB và AC (xem bài 1).
Bài toán đưa về dựng điểm M trên cạnh BC để đoạn thẳng M ′M ′′ có độ dài
ngắn nhất.
Ta=
có AM ′ AM
=
, AM ′′ AM
⇒ AM ′ =
AM ′′


 (không đổi).
′AM ′′ = 2 BAC
⇒ tam giác AM ′M ′′ cân tại A và có M
 nhỏ nhất ⇔ AM ′ nhỏ nhất ⇔ AM bé nhất
Do đó, M ′M ′′ = 2 AM ′.sin BAC
⇔ M là chân đường cao hạ từ A xuống cạnh BC.

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

5


Website: tailieumontoan.com
Suy ra cách dựng như sau:
- Dựng đường cao AH của tam giác ABC.
- Dựng K, L lần lượt là các điểm đối xứng với H qua các cạnh AB và AC.
- Đường thẳng KL cắt AB, AC tương ứng tại N, P. Ta có tam giác HNP có chu vi bé nhất thỏa mãn yêu cầu
đề bài.
Nhận xét: Xét tam giác HNP. Ta có NB là phân giác góc ngồi tại N, PC là phân giác góc ngồi tại đỉnh P,

hai phân giác này cắt nhau tại A, suy ra HA là phân giác của góc trong tại đỉnh H.
Ta lại có BC ⊥ AH , suy ra HB là phân giác của góc ngồi tại đỉnh H, mà HB cắt PC tại C. Do đó, NC là
phân giác trong của góc N.
Vậy CN ⊥ AB .
Lập luận tương tự, ta có BP ⊥ AC .
Vậy tam giác HNP có chu vi nhỏ nhất chính là tam giác có ba đỉnh H, N, P tương ứng là chân ba đường cao
AH, CN, BP của tam giác ABC.
Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Xét tập hợp các tam giác MNP nội tiếp tam giác ABC. Ba đỉnh
M, N, P nằm trên ba cạnh của tam giác. Hãy tìm tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Hướng dẫn
Xem nhận xét bài toán 7 trên đây.
Bài 9: Cho tam giác ABC vng tại A có=
AB c=
, AC b . Điểm M di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt
là hình chiếu của điểm M trên các cạnh AB, AC. Xác định vị trí điểm M để EF có độ dài nhỏ nhất. Tính giá
trị nhỏ nhất đó theo b và c.
Hướng dẫn
Khi M trùng với H là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC.

min EF
= AH
=

AB. AC
=
BC

bc
b + c2
2

Bài 10: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Điểm M bất kì thuộc cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu
của điểm M trên các cạnh AB và AC. Xác định vị trí điểm M để đoạn thẳng EF có độ dài nhỏ nhất.
Hướng dẫn
Gọi K là trung điểm của đoạn AM.
Ta có EK
= FK
=

AM
2

⇒ Tam giác EKF cân tại K.
= 2 BAC
 ⇒ EF= AM .sin BAC

Ta có EKF
 khơng đổi, do dó, EF nhỏ nhất
Ta có sin BAC
⇔ AM nhỏ nhất
⇔ M trùng với chân H của đường cao vẽ từ A của tam giác ABC.
Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

6


Website: tailieumontoan.com

 và một điểm C thuộc miền trong của góc vng. Hãy dựng qua C một đường
Bài 11: Cho góc vng xAy

thẳng d cắt cạnh Ax tại M và cắt cạnh Ay tại N (M, N khác A) sao cho tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất.
Hướng dẫn
Gọi K là hình chiếu của C trên cạnh Ax.
Dựng điểm M trên Ax sao cho K là trung điểm của AM.
Đường thẳng MC cắt cạnh Ay tại N. Ta có đường thẳng MN chính
là đường thẳng phải dựng.
Thật vậy, giả sử đường thẳng PQ bất kì qua C, P thuộc Ax, Q thuộc
Ay với PQ không trùng với MN.
Ta cần chứng minh S AMN < S APQ
Nhận xét C không thể là trung điểm của PQ vì C là trung điểm
MN.
Giả sử CP < CQ .
Trên CQ lấy điểm L sao cho CP = CL .
Ta có ∆PCM =∆LCN ( c − g − c )
⇒ S PCM =
S LCN
S AMN =S PMC + S PCNA =S LCN + S PCNA =S PANL < S APQ
Vậy ta có tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất.

 khác góc bẹt và một điểm C thuộc miền trong góc đó. Hãy dựng qua C đường thẳng d
Bài 12: Cho góc xAy
cắt các cạnh Ax, Ay lần lượt tại các điểm M và N khác A sao cho tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất.
Hướng dẫn
Qua C vẽ đường thẳng song song với Ay, cắt Ax tại K.
Gọi M là điểm trên cạnh Ax sao cho K là trung điểm của AM.
Dựng đường thẳng MC cắt Ay tại N.
Ta có đường thẳng MN chính là đường thẳng phải dựng.
Chứng minh tương tự như bài trên, C là trung điểm đoạn MN và tam
giác AMN có diện tích nhỏ nhất.
Bài 13: Cho đoạn thẳng BC cố định và một đường thẳng d song song với BC. Hãy dựng điểm M trên d sao

cho tam giác BMC có chu vi bé nhất.
Hướng dẫn
Xem bài 5.

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

7


Website: tailieumontoan.com
Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Điểm M di động trên cạnh BC, M khác B và C. Gọi P, Q tương
ứng là hình chiếu của các điểm B và C lên đường thẳng AM. Xác định vị trí của M để ( BP + CQ ) có giá trị
lớn nhất.
Hướng dẫn
Ta có BP ≤ BM , CQ ≤ CM
⇒ BP + CQ ≤ BM + CM =
BC

⇒ max ( BP + CQ ) =BC ⇔ các điểm P, Q trùng với M
⇔ AM ⊥ BC .

Vậy khi M là hình chiếu vng góc của điểm A trên cạnh BC thì

( BP + CQ ) lớn nhất và bằng BC.
Bài 15: Cho tam giác ABC. Đường thẳng d bất kì đi qua A khơng cắt cạnh BC. Gọi P,Q lần lượt là hình
chiếu của điểm B và C lên đường thẳng d. Tìm đường thẳng d thỏa mãn ( BP + CQ ) có giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng BC và PQ.
Ta có MN là đường trung bình của hình thang BCQP.
2 MN

⇒ BP + CQ =

Ta có MN ≤ AM ⇒ BP + CQ ≤ 2 AM
⇒ max ( BP + CQ ) = 2 AM ⇔ N trùng với A
⇔ d vng góc với trung tuyến AM tại A.

Bài 16: Cho tam giác ABC. Đường thẳng d bất kì đi qua A khơng cắt cạnh BC. Gọi P, Q lần lượt là hình
chiếu của điểm B và C lên đường thẳng d. Tìm đường thẳng d sao cho ( BP + CQ ) có giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn
Làm tương tự bài 15, ta có ⇒ min ( BP + CQ ) =
2 AH
⇔ đường thẳng d vng góc với đường cao AH của tam giác ABC tại A.

Bài 17: Cho tam giác ABC có =
AB c=
, BC a=
, CA b . Điểm M bất kì nằm trong tam giác ABC. Gọi
D, E , F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các cạnh BC , CA, AB . Xác định vị trí của điểm M để biểu

thức sau có giá trị nhỏ nhất P =

a
b
c
+
+
MD ME MF

Hướng dẫn
Đặt=

, ME y=
, MF z
MD x=
Gọi S , S1 , S 2 , S3 lần lượt là diện tích các tam giác ABC , MBC , MCA, MAB

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

8


Website: tailieumontoan.com

Ta có S = S1 + S 2 + S3 =

1
( ax + by + cz )
2

⇒ 2S = ax + by + cz

Ta có P =

a b c
+ +
x y z
a b c
 x y
y z
x z
+ +  = a 2 + b 2 + c 2 + ab  +  + bc  +  + ca  + 

 z x
x y z
 y x
 z y

( ax + by + cz ) 

≥ a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + ca =

(a + b + c)

2

a b c (a + b + c)
(không đổi)
⇒ + + ≥
x y z
2S
2

⇒ min P =

(a + b + c)
2S

2

⇔ x = y = z ⇔ MD = ME = MF

⇔ M là giao đểm ba phân giác của tam giác ABC (M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC).

Bài 18: Cho tam giác ABC; điểm M bất kì nằm trong tam giác. Tia AM cắt cạnh BC tại A′ , tia BM cắt cạnh
AC tại B ′ , tia CM cắt cạnh AB tại C ′ . Xác định vị trí của điểm M để cho biểu thức P =

MA MB MC
+
+
MA′ MB ′ MC ′

có giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn
Kí hiệu S1 , S 2 , S3 lần lượt là diện tích các tam giác
BMC , CMA, AMB .

Hai tam giác CAM và CA′M có chung đường cao vẽ từ C, do đó
SCAM
MA
=
SCA′M MA′

(1) .

Hai tam giác BAM và BA′M có chung đường cao vẽ từ B, do đó

S BAM
AM
=
S BA′M MA′

( 2) .

Từ (1) và (2) suy ra:

SCAM + S BAM
S + S3
S BAM
MA SCAM
.
= =
=
= 2
MA′ SCA′M S BA′M SCA′M + S BA′M
S1
MB S3 + S1 MC S1 + S 2
Chứng minh tương
tự:
=
=
;
MB ′
S2
MC ′
S3
P=

S 2 + S3 S3 + S1 S1 + S 2  S 2 S1   S3 S1   S3 S 2 
+
+
=  +  +  +  +  + .
S1

S2
S3
 S1 S 2   S1 S3   S 2 S3 

⇒ P ≥ 2+2+2 =
6

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

9


Website: tailieumontoan.com
⇒ min P =6 ⇔ S1 =S 2 =S3 ⇔ M là trọng tâm của tam giác ABC.
Bài 19: Cho đoạn thẳng AB = 2a cố định. Điểm M di động trên một nửa mặt phẳng có bờ AB sao cho tam
giác AMB có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm tam giác AMB và K là chân đường cao vẽ từ M của tam giác
AMB. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = KH .KM .
Hướng dẫn
Ta có ∆BKM ∽ ∆HKA ( g .g )
⇒

BK KM
=
HK
KA

⇒ BK .KA =
KM .KH

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức về giá trị trung bình:

AB 2
 BK + KA 
=
BK .KA ≤ 
a2
 =
2
4


2

=
P KM
=
.KH BK .KA ≤ a 2
max P =a 2 ⇔ BK =KA ⇔ K là trung điểm của đoạn AB.

Khi đó tam giác AMB cân tại M.
Bài 20: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Từ điểm I thuộc miền trong tam giác, vẽ các đoạn IH , IK , IL lần
lượt vng góc với BC , CA, AB . Xác định vị trí của điểm I để cho biểu thức S =AL2 + BH 2 + CK 2 có giá
trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn
Xét các tam giác vng ALI và AKI.
Ta có: AI 2 = AL2 + LI 2 = AK 2 + KI 2 .
Xét các tam giác vng BLI và BHI
Ta có: BI 2 = BH 2 + HI 2 = BL2 + LI 2 .
Xét các tam giác vuông CHI và CKI
Ta có: CI 2 = CK 2 + KI 2 = CH 2 + HI 2
⇒ AL2 + BH 2 + CK 2 = AK 2 + CH 2 + BL2

Do đó:
2S =( AL2 + BL2 ) + ( BH 2 + CH 2 ) + ( CK 2 + AK 2 )

( AL
2S ≥

2

⇒S≥

+ BL2 )
2

( BH
+

2

+ CH 2 )
2

( CK
+

2

+ AK 2 ) 1
=
AB 2 + BC 2 + AC 2 ) .

(
2
2

1
AB 2 + BC 2 + AC 2 ) (khơng đổi)
(
4

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038

10


Website: tailieumontoan.com

 AL = BL
1

⇒ min S=
AB 2 + BC 2 + AC 2 ) ⇔  BH= CH .
(
4
CK = AK

⇔ I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 21: Cho tam giác ABC. Hãy tìm điểm M thuộc miền tam giác ABC sao cho biểu thức
P = AM .BC + BM .CA + CM . AB có giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó, cho biết diện tích tam giác

ABC bằng S.
Hướng dẫn
Vì tam giác ABC bất kì, nên cần xét ba trường hợp.
Trường hợp 1) Tam giác ABC có ba góc nhọn
Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của B và C lên đường thẳng AM.
Ta có S ABM + S ACM
=
⇒ S ABM + S=
ACM

1
1
. AM .BD + . AM .CE
2
2

1
. AM . ( BD + CE )
2

1
1
≤ . AM . ( BK + CK ) =
. AM .BC
2
2

(1)

Dấu " = " xảy ra ⇔ AM ⊥ BC

Chứng minh tương tự, ta có:
1
S ABM + SCBM ≤ .BM . AC
2

( 2)

Dấu " = " xảy ra ⇔ BM ⊥ AC.
1
Tương tự: S BCM + S ACM ≤ .CM . AB
2

( 3)

Dấu " = " xảy ra ⇔ CM ⊥ AB.
Từ (1), (2), (3) suy ra:

1
P ≥ S ABM + S ACM + S ABM + SCBM + S BCM + S ACM
2

⇒ P ≥ 4 S ⇒ min P =
4S

AM ⊥ BC , BM ⊥ AC , CM ⊥ AB ⇔ M là trực tâm của tam giác ABC.

Trường hợp 2) Tam giác ABC vng, chẳng hạn góc 
A= 90°
Khi đó lập luận giống trường hợp thứ nhất, ta có M trùng với A, khi
đó

min P 2.=
AB. AC 4 S
=

Trường hợp 3) Tam giác ABC có một góc tù, chẳng hạn góc 
A > 90°

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038

11


Website: tailieumontoan.com
Vẽ tia Ax vng góc với AC, Ax và AB thuộc cùng một
nửa mặt phẳng có bờ AC. Lấy điểm P thuộc tia Ax sao cho
AP = AB .

Ta có ∆ABP cân tại A,
nên 
ABP = 
APB .
≥

Ta có MPB
APB ⇒ 
ABP ≥ MBP
⇒ MB ≥ MP .

 > CBP
 ⇒ CB > CP .

Lại có CPB
Do đó MA.BC + MB. AC + MC. AB ≥ MA.CP + MP. AC + MC. AP ≥ 4 S APC .
Tam giác APC vuông tại A nên=
4 S APC 2=
AP. AC 2 AB. AC (không đổi).

⇒ min ( MA.BC + MB. AC + MC. AB ) =
2 AB. AC khi điểm M trùng với điểm A.
Bài 22: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1 đơn vị dài. Điểm D bất kì trên cạnh BC, D khác B và C. Gọi
r1 và r2 lần lượt là bán kính đường trịn nội tiếp các tam giác ABD và ACD.
Xác định vị trí của điểm D sao cho tích P = r1 .r2 có giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
Hướng dẫn
Đặt BD = x thì CD = 1 − x .
Gọi E là hình chiếu của D trên cạnh AB.
= 60°
Xét tam giác vng BDE có EBD
=
⇒ BE BD=
.cos 60°

1
x
2

x 3
2

.sin 60°
DE BD=
=

Xét tam giác vuông ADE:
2

2
x x 3

AD =AE + DE =
1
−
 .

 +
 2   2 
2

2

2

⇒ AD 2 = x 2 − x + 1 ⇒ AD =

x 2 − x + 1.

Diện tích tam giác ABD:
=
S1 r1 .

AB + BD + DA 1
x 3

= =
.DE. AB
.
2
2
4

x
3
⇒ r1 = .
.
2 1 + x + x2 − x + 1
Chứng minh tương tự, với tam giác ACD ta tính được

r2 =

3
1− x
.
.
2 2 − x + x2 − x + 1
Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

12


Website: tailieumontoan.com
x (1 − x )
3
.

4 1 + x + x2 − x + 1 2 − x + x2 − x + 1

⇒ P= r1 .r2 =

)(

(

)

2
1
1
1 3 1
3

2
1 −  x −  +  ≤ 1 −
P= r1 .r2=
1− x − x +1 =
.

4
4
2 4 4
2 




)

(

⇒ max P =

(

)

1
1
2 − 3 ⇔ x = ⇔ D là trung điểm của BC.
8
2

Bài 23: Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh góc vng AB
= AC
= a . Gọi M là trung điểm của cạnh BC.

= 45° xoay quanh điểm M, các cạnh Mx, My cắt một hoặc hai cạnh góc vng AB, AC tại các
Một góc xMy
điểm E và F.
Xác định vị trí các điểm E và F để cho tam giác MEF có diện tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo a.
Hướng dẫn
Xét hai trường hợp
1) E và F cùng thuộc một cạnh góc vng, chẳng hạn cạnh AC.
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các cạnh AB và AC.
Ta có MF < MA, MQ < ME .
Trên đoạn AM, lấy điểm K sao cho MK = MF .

Trên đoạn ME, lấy điểm I sao cho MI = MQ .

 + IMQ
= 45°= QMF
 + IMQ

Ta có: KMI
 = QMF
 ⇒ ∆KMI = ∆FMQ ( c.g .c )
⇒ KMI

⇒ S KMI = S FMQ ⇒ S MEF < S MAQ =
Trong trường hợp này S MEF <

1
a2
.
S ABC =
4
8

a2
.
8

2) E và F thuộc hai cạnh góc vng, chẳng hạn E thuộc AB, F thuộc AC.
Trên đoạn QC lấy điểm N sao cho PE = QN .

⇒ ∆MPE = ∆MQN ( c.g .c )

 =NMF
=
⇒ ME =MN , EMF
45°
⇒ ∆MEF = ∆MNF ( c.g .c )
⇒ S APMQ = S AEF + S MPE + S MEF + S MQF
S APMQ = S AEF + S MEF + S=
S AEF + 2 S MEF
MFN

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

13


Website: tailieumontoan.com

⇒ S MEF=

=

1
( S APMQ − S AEF )
2

1  a2
 − S AEF
2 4

 a2

≤ .
 8

a2
max S MEF = ⇔ S AEF =
0 ⇔ E trùng với A hoặc F trùng A.
8
Từ các trường hợp 1 và 2 ta suy ra: max S MEF =

a2
khi điểm E hoặc điểm F trùng với điểm A.
8

Bài 24: Cho ba tam giác ABC có ba góc nhọn. Dựng hình chữ nhật MNPQ với M, N thuộc cạnh BC, điểm P
thuộc cạnh AC, điểm Q thuộc cạnh AB. Xác định vị trí các điểm M, N, P, Q để cho hình chữ nhật MNPQ có
giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất, cho biết diện tích tam giác ABC là S.
Hướng dẫn
Vẽ đường cao AH.
Xét ∆ABC có PQ / / BC ⇒

AQ QP
=.
AB BC

Xét ∆ABH có QM / / AH ⇒

BQ QM
=.
BA AH

Cộng từng vế các đẳng thức:
AQ BQ QP QM
+
=
+
AB BA BC AH
⇒

QP QM AQ + BQ
+=
= 1
BC AH
AB
2

QP QM
 QP QM 
1 
.
⇒=
+
 ≥ 4.
BC AH
 BC AH 

⇒1≥
⇔

4.S MNPQ
2S

⇒ S MNPQ ≤

S
S
⇒ max S MNPQ = .
2
2

QP QM 1
BC
AH
=
= ⇒ QP = ; QM = .
BC AH 2
2
2

⇔ QP là đường trung bình của tam giác ABC.

Vậy khi M là trung điểm của BH, N là trung điểm của CH, P là trung điểm của AC, Q là trung điểm của AB,
thì hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất và bằng

S
.
2

Bài 25: Cho tam giác ABC có góc 
A =30°, AB =c, AC =b . Trung tuyến AM. Gọi G là trọng tâm của tam
giác ABC. Đường thẳng ( d ) quay xung quanh điểm G, ( d ) cắt cạnh AB tại P và cắt cạnh AC tại Q.

a) Chứng minh:

AB AC
3
+
=
AP AQ

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

14


Website: tailieumontoan.com
b) Đặt AP = x . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x.
c) Với các giá trị nào của x thì diện tích tam giác APQ đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đó theo b và c.
Hướng dẫn
a) Vẽ BE / / PQ, CF / / PQ , các điểm E và F thuộc đường thẳng AM.

∆CMF ( g .c.g )
Ta có ∆BME =
⇒ ME =
MF .

Xét ∆ABE có PG / / BE ⇒

AB AE
=.
AP AG

Xét ∆ACF có QG / / CF ⇒
⇒

AC AF
=.
AQ AG

AB AC AE + AF
+
=
AP AQ
AG

( AM − ME ) + ( AM + MF )

=
AG

⇒

2 AM
.
AG

AB AC
3
+
=
AP AQ

b) Khi đường thẳng ( d ) đi qua B và G thì điểm P trùng với điểm B
⇒ AP = AB ⇒ x = c

Khi đường thẳng

(d )

AB ⇒ AP= AN ⇒ x=
Vậy

đi qua điểm C và G thì P trùng với điểm N là trung điểm cạnh của

c
.
2

c
≤ x ≤ c.
2

c) S APQ
=

1
1
. AQ.sin 30°
AP
=
x. AQ

2
4

Tính AQ? Áp dụng câu a), Ta có:
⇒ S APQ

c
b
bx
+
=⇒
AQ =
3
.
x AQ
3x − c

b x2
=
.
.
4 3x − c

x2
c
Ta xét sự biến thiên của hàm số y =
với ≤ x ≤ c.
3x − c
2

c 
Giả sử x1 , x2 thuộc đoạn  ; c  và x1 > x2 .
2 
Đặt x2 = x thì x=
x2 + h với h > 0 .
1

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

15


Website: tailieumontoan.com

( x + h)
=
, y2
3( x + h) − c
2

y1

x2
.
3x − c

( x + h)
x2
−=
3 ( x + h ) − c 3x − c

2

=
y1 − y2

Nhận xét: Khi x ≥

h 3 x 2 + ( 3h − 2c ) x − ch 

( 3x − c )( 3x + 3h − c )

.

c
3c
⇒ 3x ≥
> c, h > 0 ⇒ 3 x − c > 0
2
2

⇒ 3 x + 3h − c > 0 ⇒

h
>0
( 3x − c )( 3x + 3h − c )

Do đó dấu của y1 − y2 phụ thuộc vào dấu của đa thức bậc hai
c 
f ( x ) = 3 x 2 + ( 3h − 2c ) x − ch với x thuộc đoạn  ; c  .
2 

Ta có: =
∆

( 3h − 2c )

2

+ 12ch
= 9h 2 + 4c 2 > 0 , do đó đa thức f ( x ) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Theo định

lí Viet: x1 x2 =
−ch < 0

⇒

2c − 3h − 9h 2 + 4c 2
2c − 3h + 9h 2 + 4c 2
<0<
6
6

2c − 3h + 9h 2 + 4c 2 2c − 3h + ( 3h + 2c )
2c
Mặt khác
<
=
( c, h > 0 ) .
6
6

3
2

c 
Do đó đoạn  ; c  được phân thành hai miền.
2 

1) Nếu

2c
c
thì f ( x ) < 0 ⇒ y1 − y2 < 0 ⇒ y1 < y2 .
≤x≤
2
3

⇒ Hàm số y nghịch biến trên

2) Nếu

c
2c
c
≤x≤
⇒ f   ≥ f ( x) .
2
3
2

2c

≤ x ≤ c thì f ( x ) > 0 ⇒ y1 − y2 > 0 ⇒ y1 > y2 .
3

⇒ Hàm số y đồng biến trên

2c
 2c 
≤ x ≤ c ⇒ f   ≤ f (c) .
3
 3 

Do đó hàm số y đạt giá trị lớn nhất tại x =

c
và x = c .
2

c
bc
c
Khi đó f   =
.
f (c) =
⇒ max S APQ =
2
4
2

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x =

2c
 2c  4c
và f   =
.
3
 3  9

bc
.
⇒ min S APQ =
9
Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

16


Website: tailieumontoan.com
Bài 26: Cho tam giác ABC vuông tại A có=
AB c=
, AC b . Điểm M di động trên cạnh BC, M khác B và C.
Gọi D, E tương ứng là hình chiếu của điểm M. Trên các cạnh AB và AC. Kí hiệu diện tích tam giác BDM là
S1 , diện tích tam giác CEM là S 2 . Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để cho tổng ( S1 + S 2 ) có giá trị
nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo b, c.
Hướng dẫn
Nhận xét tứ giác ADME là hình chữ nhật.
Ta có:
S1 + S 2 = S ABC − S ADME =

bc
− EM .MD.

2

Do đó ( S1 + S 2 ) nhỏ nhất
⇔ ( EM .MD ) lớn nhất.
Ta có: AC = AE + EC ≥ 2 AE.EC .
AB = AD + DB ≥ 2 AD.DB .
⇒ AC. AB ≥ 4 AE.EC. AD.DB .
Ta có ∆CEM ∽ ∆MDB ( g .g ) .
⇒

CE EM
=
⇒ CE.DB = EM .MD .
MD DB

Mặt khác AE =
MD. AD =
EM ⇒ AE.EC. AD.DB =
( EM .MD )

2

⇒ AC. AB ≥ 4 EM .MD ⇒ EM .MD ≤

bc
.
4

 AE = EC
bc

.
⇒ max ( EM .MD ) =
⇒
4
 AD = DB
⇔ M là trung điểm của BC.

Vậy: Khi M là trung điểm của BC thì ( S1 + S 2 ) nhỏ nhất và min ( S1 + S 2 ) =

bc bc bc
−
= .
2
4
4

Bài 27: Cho trước tam giác ABC. Điểm O bất kì nằm trong tam giác ABC. Gọi D, E , F lần lượt là hình
chiếu của điểm O lên các cạnh BC, CA và AB. Xác dịnh vị trí của điểm O để tích P = OD.OE.OF đạt giá trị
lớn nhất.
Hướng dẫn
Đặt=
BC a=
, CA b=
, AB c .
Ta có S ABC = S BOC + SCOA + S AOB
⇒ 2 S ABC = a.OD + b.OE + c.OF .

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

17

Website: tailieumontoan.com
Ta có a.OD + b.OE + c.OF ≥ 3 3 ( a.OD )( b.OE )( c.OF )
⇒ ( abc )( OD.OE.OF ) ≤

⇒P≤

8 3
S ABC
27

3
8 S ABC
.
.
27 abc

⇒ max P =

3
8 S ABC
.
⇔ a.OD = b.OE = c.OF .
27 abc

Gọi M là giao điểm của tia AO với cạnh BC.
Ta có:

S

− S BOM
S AOB c.OF
S ABM
BM S
= = BOM
= ABM
= =
= 1.
S ACM CM SCOM S ACM − SCOM S AOC b.OE

Do a.OD = b.OE = c.OF ⇒ BM = CM ⇒ M là trung điểm của BC.
Lập luận tương tự, ta có N là trung điểm AC và L là trung điểm của AB.
Do đó O là trọng tâm của tam giác ABC thì tích P có giá trị lớn nhất.
Bài 28: Cho tam giác ABC vuông tại C. Vẽ các trung tuyến AE và BF. Đặt=
AE m=
, BF n . Gọi r là bán
kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC.
5
1) Chứng minh rằng: m 2 + n 2 =AB 2
4

2) Chứng minh rằng

r2
1
.
<
2
2
20

m +n

3) Tam giác ABC phải có điều kiện gì để P =

r2
có giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
m2 + n2
Hướng dẫn

1) Xét các tam giác vuông ACE và BCF:
AE 2 = AC 2 + CE 2 = AC 2 +

BC 2
.
4

BF 2 = BC 2 + CF 2 = BC 2 +

AC 2
.
4

⇒ AE 2 + BF 2 =

5
5
AC 2 + BC 2
4
4

5
⇒ m 2 + n 2 =AB 2 .
4

2) Kí hiệu S ABC
= S=
, c AB=
, b AC=
, a BC=
,p
Ta có S = pr ⇔

a+b+c
2

ab
ab
ab
= pr ⇔ r =
=
.
a + b + c a + b + a 2 + b2
2

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

18


Website: tailieumontoan.com

a 2 + b2
2
và ( a + b ) = a 2 + b 2 + 2ab ≥ a 2 + b 2
2

Ta có ab ≤

⇒ a + b > a 2 + b2 ⇒ a + b > a 2 + b2 > 2 a 2 + b2 .
⇒

1
a+b+ a +b
2

2

<

1

.

2 a + b2
2

1 2
a 2 + b2
c
.
r

a +=
b2
⇒=
<
=
2
2
2
2
4
4
4 a +b
a+b+ a +b
ab

1
c2
r2
c2
⇒r <
⇒ 2
<
=.
2
2
2
16
m +n
16 ( m + n ) 20
2

Vậy

r2
1
.
<
2
2
20
m +n

3) Ta có c 2 = a 2 + b 2 ≥ 2ab

⇒

r2
a 2b2
=
c2
a + b + a 2 + b2

(

) .c
2

≤

(

a 2b2

2ab a + b + a 2 + b 2

2

Mặt khác: a + b + a 2 + b 2 ≥ 2 ab +=
2ab
⇒

(

1
a + b + a 2 + b2

r2
⇒ 2 ≤
c
4

(

1

)

2 +1

2

)

2

≤
2ab

(

1

)

2 +1

2ab

(

)

2

ab
=
2
2 a + b + a 2 + b2

(

)

)

2 +1

2

3−2 2
r2
⇒ 2
≤
2
5
m +n

 r2  3 − 2 2
=
⇔ a = b ⇔ Tam giác ABC vuông cân tại C.
max  2
2 
5
m +n 
Bài 29: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường trịn tâm O, bán kính r. Kẻ các tiếp tuyến của đường tròn tâm
O, song song với ba cạnh của tam giác ABC, các tiếp tuyến này tạo với các cạnh của tam giác ABC ba tam
giác nhỏ có diện tích lần lượt là S1 , S 2 , S3 . Gọi S là diện tích tam giác ABC. Tìm điều kiện của tam giác
ABC để biểu thức P =

S1 + S 2 + S3

có giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
S

Hướng dẫn
Xét tiếp tuyến MN / / BC , M thuộc AB, N thuộc AC.
 h1 
S
Ta có ∆AMN ∽ ∆ABC ( g .g ) ⇒ 1 =
 
S 2  ha 

2

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

19


Website: tailieumontoan.com
Trong đó h1 là chiều cao của tam giác AMN ứng với cạnh MN, ha là chiều cao của tam giác ABC ứng với
cạnh BC.
2

2

S  h − 2r   2r 
Ta có h1 = ha − 2r ⇒ 1 =  a
 = 1 −  .
S  ha   ha 
Mặt khác

aha
a+b+c
với a, b, c tương ứng là độ dài các cạnh BA, CA và AB.
= r. p với nửa chu vi p =
2
2
2

ah
S  a
⇒ 2r = a ⇒ 1 =
1 −  ⇒
p
S 
p

S2
b
= 1−
S
p

Chứng minh tương tự, ta có:

Từ (1), (2), (3) suy ra:

S1
a
=−

1
(1)
S
p

( 2)

S3
c
= 1−
S
p

và

( 3) .

S3
S1
S2
a+b+c
+
+
=3−
= 3 − 2 =1
S
S
S
p

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopski:
2

 S
S3   S1 S 2 S3 
S2
1  1 .1 +
.1 +
.1 ≤
=
+
+ 
 S
S
S   S
S
S 


⇒P=
⇔ 1−

S1 + S 2 + S3 1
1
≥ ⇒ MinP = ⇔
S
3
3

S1

=
S

S2
=
S

S3
S

a
b
c
=1 − =1 − ⇔ a =b =c ⇔ ∆ABC đều
p
p
p

Vậy với điều kiện tam giác ABC đều, biểu thức P =

S1 + S 2 + S3
1
có giá trị nhỏ nhất và MinP = .
3
S

Bài 30: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn có diện tích là S. Các điểm bất kì M , N , P lần lượt thuộc các
cạnh AB, BC , CA thỏa mãn:

AM BN CP

=
=
= k > 0.
MB NC PA

a) Tính diện tích tam giác MNP, kí hiệu là S MNP theo S và k.
b) Với giá trị nào của k thì S MNP đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo S.
Hướng dẫn
Kí hiệu S1 , S 2 , S3 tương ứng là diện tích các tam giác AMP, BMN , CPN .
Ta có S1 =
=
S

1
AM . AP.sin A
2

S
1
AM . AP
AB. AC.sin
=
A⇒ 1
.
2
S
AB. AC

Tương tự ta có:

S
S 2 BM .BN
CP.CN
và 3 =
=
S
CA.CB
S
BA.BC

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

20


Website: tailieumontoan.com

Ta có:

AM k
AM
k
AM
k
=⇒
= ⇒
=
MB 1
AM + MB k + 1
AB k + 1

CP k
PA k
PA
k
PA
k
= ⇒
= ⇒
=
⇒
=
PA 1
CP 1
PA + CP k + 1
CA k + 1

S1 AM . AP
⇒=
=
S
AB. AC

k

( k + 1)

Chứng minh tương tự:

(1)

2

S2
k
=
S ( k + 1)2

( 2)

và

S3
k
=
S ( k + 1)2

( 3)

3k
Từ (1), (2), (3) suy ra S1 + S 2 + S3 =
.S
2
( k + 1)
Do đó S MNP =S − ( S1 + S 2 + S3 ) =S −
b) Ta có S MNP nhỏ nhất ⇔
Ta có ( k + 1) ≥ 4k ⇒
3k

( k + 1)

2

( k + 1)

k

2

⇒ M ax

3k

( k + 1)

2

≤

2


3k 
=
−
S
S
.
1



2
2
 ( k + 1) 
( k + 1)
3k

lớn nhất

1
3k
3
⇒
≤
2
4
( k + 1) 4

3
2
2
= ⇔ ( k + 1) =4k ⇔ ( k − 1) =0 ⇔ k =1
4

Khi đó MinS MNP=

3
⇔ M , N , P tương ứng là trung điểm các cạnh AB, BC , CA .
4

Bài 31: Xét tam giác ABC có chu vi bằng 24 đơn vị dài. Gọi đường tròn ( O; r ) nội tiếp tam giác ABC. Gọi
điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho MN tiếp xúc với đường tròn ( O; r ) và MN song song
với BC. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì để đoạn thẳng MN có giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
Hướng dẫn
Vẽ đường cao AH, cắt MN tại K.
Xét ∆ABC có MN / / BC ⇒
⇒

MN AK
=
BC AH

MN AH − 2r
=
BC
AH

2r 

⇒ MN =
1 −
 .BC
AH 


Ta có: S ABC = p.r (với p là nửa chu vi ∆ABC )
⇒
=
r

∆ABC AH .BC
1
=
⇒ MN
=
. (12 − BC ) .BC
12
24
12

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

21


Website: tailieumontoan.com
Ta có: BC + (12 − BC ) ≥ 2 (12 − BC ) .BC ⇒ (12 − BC ) .BC ≤ 36
⇒ MN ≤

36
=3 ⇒ MaxMN =3 ⇔ 12 − BC =BC
12

⇔ BC =
6 ⇒ AB + AC =
18

Như vậy ta có chẳng hạn tam giác ABC cân tại A, cạnh đáy BC
= 6, AB
= AC

= 9 thì MN có giá trị lớn nhất
bằng 3 (đvd).
Bài 32: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Điểm M bất kì nằm trong tam giác. Gọi D, E , F lần lượt là hình
chiếu của M lên các cạnh BC, CA và AB. Chứng tỏ rằng: Khoảng cách lớn nhất trong các khoảng cách từ M
đến ba đỉnh của tam giác không nhỏ hơn hai lần khoảng cách bé nhất từ điểm M đến ba cạnh của tam giác.
Hướng dẫn
Tam giác ABC có ba góc nhọn, suy ra các điểm D, E , F nằm trong các
cạnh BC, CA và AB.
, 
 , BMD
 , CMD
 có tổng bằng
Xét 6 góc tại đỉnh M: 
AME , CME
AMF , BMF
360°

⇒ góc lớn nhất trong 6 góc này khơng thể nhỏ hơn 60° (vì nếu ngược lại

tổng 6 góc nhỏ hơn 360° , vơ lí)
 ≥ 60° ⇒ cos BMD
 ≤ cos 60° = 1
Giả sử BMD
2
=
Xét tam giác vuông BMD: cos BMD

MD 1
≤ ⇒ MB ≥ 2 MD
MB 2

⇒ Max ( MB, MA, MC ) ≥ Min ( 2 MD, 2 ME , 2 MF )

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bài 33: Ở một quốc gia thuộc liên minh châu Âu có 100 phi trường, mà khoảng cách giữa các phi trường
nào cũng khác nhau. Mỗi máy bay cất cánh từ một phi trường bay đến phi trường gần nó nhất. Chứng tỏ
rằng, tại mỗi phi trường bất kì của quốc giá đó, có khơng nhiều hơn 5 máy bay đáp xuống phi trường đó.
Hướng dẫn
Bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử ngược lại, có một phi trường nào đó, kí hiệu là O thỏa
mãn có nhiều hơn 5 máy bay đáp xuống O. Điều này có nghĩa, có
ít nhất là 6 máy bay xuất phát từ các phi trường
A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 đáp xuống O là sân bay gần với chúng nhất

(theo giả thiết).
Tại

đỉnh

O

ta

có

6

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038

góc:

22


Website: tailieumontoan.com

A1OA2 , 
A2 OA3 , 
A3 OA4 , 
A4 OA5 , 
A5 OA6 , 
A6 OA1 có tổng bằng 360° , do đó có ít nhất một góc, chẳng hạn

A1OA2 ≤ 60°


Xét ∆OA1 A2 , có 
A1OA2 ≤ 60° ⇒ OA
1 A2 + OA2 A1 ≥ 120°


⇒ hoặc là góc OA
1 A2 ≥ 60° , hoặc OA2 A1 ≥ 60° .
Theo giả thiết, tam giác ∆OA1 A2 có các cạnh đơi một khác nhau.


Bởi vì OA
1 A2 ≥ 60° > A1OA2 ⇒ OA2 > A1 A2 .
Nhưng khi đó, theo giả thiết, máy bay cất cánh từ phi trường A2 sẽ phải bay đến phi trường A1 mà không thể
bay đến phi trường O (vơ lí)

Trong trường hợp 
A1OA2 = 0° , tức là ba phi trường A1 , O, A2 thẳng hàng. Giả sử A2 nằm ở giữa O và A1 thì
A1 A2 < A1O (vơ lí). Điều vơ lí đó chứng tỏ, tại một phi trường khơng có nhiều hơn 5 máy bay đáp xuống.
Bài 34: Hai thị trấn A và B ở hai phía của một con sông (Hai bờ sông a và b được xem như là hai đường
thẳng song song). Hãy tìm một vị trí để xây một cây cầu (vng góc với hai bờ sông) để sao cho quãng
đường đi từ thị trấn A đến thị trấn B là ngắn nhất.
Hướng dẫn
Tham khảo cách giải qua hai hình vẽ sau đây.

Giả sử khoảng cách giữa hai bờ sông a, b là h
Dựng điểm P sao cho BP = h và BP ⊥ b
Nối AP cắt bờ sông a tại K. Vẽ KM ⊥ b thì KM là vị trí xây cầu.
Thật vậy, KM / / BP, KM
= BP
= h nên tứ giác BMKP là hình bình hành, do đó MB = KP .
Khoảng cách từ A đến B, l =
AK + KM + MB =+
h AP .
Nếu xây

cầu

ở vị trí khác,

chẳng hạn cầu

LN, thì khoảng cách từ A đến B là

AL + LN + NB = h + AL + LP > h + AP .

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

23