Toán 8 buổi 4,5 các hằng đẳng thức đáng nhớ

Ngày dạy: 10/10/2023, 15/10/2023
Buổi 4,5: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
A.KIẾN THỨC TRỌNG TÂM.
(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2 = 𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏2 .
(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)2 = 𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏2 .
𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏2 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) = (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏).
(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)3 = 𝑎𝑎3 + 3𝑎𝑎2 𝑏𝑏 + 3𝑎𝑎𝑏𝑏2 + 𝑏𝑏3 .
(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)3 = 𝑎𝑎3 − 3𝑎𝑎2 𝑏𝑏 + 3𝑎𝑎𝑏𝑏2 − 𝑏𝑏3 .
𝑎𝑎3 + 𝑏𝑏3 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)(𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏2 ).
𝑎𝑎3 − 𝑏𝑏3 = (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏2 ).
B.CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức. Rút gọn biểu thức
Bài 1. Khai triển biểu thức sau
b) (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 3)2 ;
c) (2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 ;
d) (𝑥𝑥 + 3)2 ;
a) (2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦)2 ;
1 2

e) �𝑥𝑥 − � ;

i) �𝑥𝑥 −

f) (3𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2

3
2
1 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦� ;
2

k) (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 2)2 .
p) (2𝑥𝑥 − 1)2 ;

o) (𝑥𝑥 + 1)2

1 2

g) (2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥)2 ;

m) (4𝑥𝑥 + 7)2 ;
2

1

h) (𝑥𝑥 2 + 2)2 .
1

2

n) �6𝑥𝑥 − 𝑦𝑦� ;
3

q) � 𝑥𝑥 + 4� ; r) (7𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦)2 ;
2

s) (3 − 𝑦𝑦)2 ;
t) �𝑥𝑥 − � .
2
Bài 2. Tính:
a) (𝑥𝑥 − 3)(3 + 𝑥𝑥);

b) (2𝑥𝑥𝑦𝑦 2 − 1)(1 + 2𝑥𝑥𝑦𝑦 2 );
c) (6𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 )(𝑦𝑦 2 − 6𝑥𝑥 2 );
e) (𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦)(𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦);
f) (2𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1)(2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1);
d) (𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦)2 ;
1 2
1
2
g) 2 � 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦� (𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦)
.h) (3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦)(3𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦);
i) 2 �𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦� (2𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦).
2
2
k) (3𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥𝑦𝑦 3 )(3𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥𝑦𝑦 3 ).
Bài 3. Thực hiện phép tính
1
1
1
1
a) (4𝑥𝑥 + 5)(16𝑥𝑥 2 − 20𝑥𝑥 + 25)
b)�6𝑥𝑥 − � �36𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + �.
c)�6𝑥𝑥 + � �36𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + �;
3
9
2
4
d) (𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 2 )(𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥𝑦𝑦 2 + 25𝑦𝑦 4 )
f)(2𝑥𝑥 + 1)(4𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 1)
e)(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 4);
𝑥𝑥

𝑥𝑥

g) �1 − � �1 + +
2

2

𝑥𝑥 2
4

�;

3)(𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 9)
k)𝑁𝑁 = (1 − 3𝑥𝑥)(1 + 3𝑥𝑥 + 9𝑥𝑥 2 )
6𝑥𝑥𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦 2 )
o) (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 9);

𝑥𝑥 2
4

𝑥𝑥

b) (3𝑥𝑥 3 − 4𝑥𝑥𝑥𝑥)3 ;
1 3

𝑦𝑦

1

𝑥𝑥

𝑥𝑥 2

𝑦𝑦 2

1

m)𝑃𝑃 = �𝑥𝑥 − � �𝑥𝑥 2 + + �

�;

Bài 4. Tính:
a) (2𝑥𝑥 2 + 5𝑦𝑦)3 ;

h) �𝑦𝑦 − � �𝑦𝑦 2 + 𝑥𝑥 +
2

2

4

p) (3𝑥𝑥 − 1)(9𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 1);
c) (5𝑥𝑥 + 1)3 ;

�.

i) 𝑀𝑀 = (𝑥𝑥 +

n)𝑄𝑄 = (2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦)(4𝑥𝑥 2 −

𝑥𝑥

𝑥𝑥

q) �1 − � �1 + +
2

d) (𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦)3 ;
𝑦𝑦 2

3

2

f) �𝑥𝑥 − � ;
g) (𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦) ;
h) �𝑥𝑥 + � .
e) (𝑥𝑥 + 3) ;
3
3
Bài 5 . Rút gọn các biểu thức sau
b) 𝑄𝑄 = (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2 − 4(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦) + 4(𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦)2 .
a) 𝑀𝑀 = (𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦)2 − (𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦)2 ;
d) 𝐵𝐵 = (𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2)3 − 6(𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2)2 + 12(𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2) −
c) 𝐴𝐴 = (𝑥𝑥 + 2)3 + (𝑥𝑥 − 2)3 − 2𝑥𝑥 (𝑥𝑥 2 + 12);
8.
f) 𝐵𝐵 = (2𝑥𝑥 + 1)(4𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 1) − 8 �𝑥𝑥 +
e) 𝐴𝐴 = (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 9) − (𝑥𝑥 3 + 3);
3

1

1

1

3

� �𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + �
2
4
c) 𝐶𝐶 = (𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦)(𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 2 ) − (2𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥)(4𝑦𝑦 2 + 6𝑥𝑥𝑥𝑥 + 9𝑥𝑥 2 )
2


Bài 7. Rút gọn biểu thức
b) 𝐵𝐵 = (𝑥𝑥 + 1)2 − 2(2𝑥𝑥 − 1)(1 + 𝑥𝑥) + 4𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 1.
a) 𝐴𝐴 = (2𝑥𝑥 − 3)2 − (2𝑥𝑥 + 3)2 ;
d) 𝐷𝐷 = (𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦)2 − 4(𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦)𝑦𝑦 + 4𝑦𝑦 2 .
c) 𝐶𝐶 = (2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 − (2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2 ;
Bài 8. Rút gọn biểu thức:
a) 𝑃𝑃 = (2𝑥𝑥 − 1)(4𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 1) + (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 1);
b) 𝑄𝑄 = (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 ) − (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 ) + 2𝑦𝑦 3 .
a) 𝐴𝐴 = (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 4) − 𝑥𝑥 3 + 2;
b) 𝐵𝐵 = (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 1) − (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 1);
c) 𝐶𝐶 = (2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(4𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 ) + (𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥)(𝑦𝑦 2 + 3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 9𝑥𝑥 2 ).
Bài 9. Rút gọn các biểu thức
a)(3𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)(9𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 ) − (3𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)3 − 27𝑥𝑥 2 𝑦𝑦.
c) 2(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) + (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 + (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2 .
b) (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 − (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2 ;

Bài 10 Khai triển các biểu thức sau
b) 𝐷𝐷 = (𝑎𝑎 + 1 − 𝑏𝑏)2 .
a) 𝐶𝐶 = (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧)2 ;
Bài 11. Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của 𝑥𝑥
a) 𝐴𝐴 = 6(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 4) − 6𝑥𝑥 3 − 2; b) 𝐵𝐵 = 2(3𝑥𝑥 + 1)(9𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 1) − 54𝑥𝑥 3 .
Bài 12. Chứng minh các đẳng thức sau
a) (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)2 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎;
b) (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 + (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2 = 2(𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 ).
d) (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2 + (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 + 2(𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 ) = 4𝑥𝑥 2 .
c) (𝑎𝑎2 − 1)2 + 4𝑎𝑎2 = (𝑎𝑎2 + 1)2 .
Dạng 2: Viết biểu thức dưới dạng tích
Bài 1 Viết các biểu thức dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu
1
b) 9𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 1;
c) 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 + 𝑥𝑥𝑥𝑥 + ;
d) (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2 + 6(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) + 9.
a) 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 9;
4
2

1

f) 49 + 𝑥𝑥 + 14𝑥𝑥;
g) 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + .
e) 𝑥𝑥 − 10𝑥𝑥 + 25;
4
Bài 2. Viết các biểu thức dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu
b) 9𝑥𝑥 2 − 24𝑥𝑥 + 16;
a) 𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 + 16;
9

c) 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + ;
d) 4𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 4 − 4𝑥𝑥𝑦𝑦 3 + 𝑦𝑦 2 ;
4
e) (𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦)2 − 4(𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦) + 4;
f) (𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦)2 − 12𝑥𝑥𝑥𝑥.
Bài 3. Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu.
b) 4𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 1.
c) 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 4;
d) 4𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 1;
a) 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦 2 ;
1
e) 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + ;
f) 4(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 − 4(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) + 1.
4
Bài 4. Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc hiệu:
1
1
a) −𝑥𝑥 3 + 3𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 1;
b) 𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + ;
2

2

3

27

1

1

c) 𝑥𝑥 6 − 3𝑥𝑥 4 𝑦𝑦 + 3𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 − 𝑦𝑦 3 ;
d) (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)3 + (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2 + (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) + .
3
27
Bài 5. Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu:
𝑥𝑥 3

3

3

a) 𝑥𝑥 3 − 9𝑥𝑥 2 + 27𝑥𝑥 − 27;
b) − + 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 1;
8
4
2
Bài 6. Viết các biểu thức sau dưới dạng tích:
1
a) 𝑥𝑥 3 + 27;
b) 𝑥𝑥 3 − ;
c) 8𝑥𝑥 3 + 𝑦𝑦 3 ;
8

𝑥𝑥 3

3

3

3

3

1

c) 𝑥𝑥 6 − 𝑥𝑥 4 𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 − 𝑦𝑦 3 .
2

4

d) 8𝑥𝑥 3 − 27𝑦𝑦 3 .
3

8

3

1

a) 𝑥𝑥 3 − 9𝑥𝑥 2 + 27𝑥𝑥 − 27;
b) − + 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 1;
c) 𝑥𝑥 6 − 𝑥𝑥 4 𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 − 𝑦𝑦 3 .
8
4
2
2
4
8
Bài 7. Viết các biểu thức sau dưới dạng tích:

1
a) 𝑥𝑥 3 + 1;
b) 𝑥𝑥 3 − ;
c) 𝑥𝑥 3 − 27𝑦𝑦 3 ;
d) 27𝑥𝑥 3 + 8𝑦𝑦 3 .
27
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức
Bài 1. Tính giá trị của biểu thức 𝑄𝑄 = 9𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 1 trong mỗi trường hợp sau
−1
−11
a) 𝑥𝑥 = 33;
b) 𝑥𝑥 = ;
c) 𝑥𝑥 =
.
3
3
Bài 1 Tính giá trị biểu thức:
1
a) 𝐴𝐴 = −𝑥𝑥 3 + 6𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 + 8 tại 𝑥𝑥 = −28;
b) 𝐵𝐵 = 8𝑥𝑥 3 + 12𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 1 tại 𝑥𝑥 = ;
2
c) 𝐶𝐶 = (𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦)3 − 6(𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦)2 + 12(𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦) − 8 tại 𝑥𝑥 = 20, 𝑦𝑦 = 1.
d) 𝑀𝑀 = (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 9) − (3 − 2𝑥𝑥)(4𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 9) tại 𝑥𝑥 = 20;


e) 𝑁𝑁 = (𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦)(𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 2 ) + 16𝑦𝑦 3 biết
Bài 4. Tính giá trị biểu thức:
a) 𝑀𝑀 = 8𝑥𝑥 3 − 12𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 − 1 tại 𝑥𝑥 = 25,5;

c) 𝑄𝑄 =

𝑥𝑥 3

𝑦𝑦 3

+6

𝑥𝑥 2

𝑦𝑦 2

𝑥𝑥

+ 12 + 8 tại 𝑥𝑥 = 36, 𝑦𝑦 = 2.
𝑦𝑦

Bài 5. Tính giá trị của biểu thức

b) 𝑁𝑁 = 1 − 𝑥𝑥 +

𝑥𝑥 2
3

𝑥𝑥 4

−

𝑥𝑥 3

27

tại 𝑥𝑥 = −27;
1

a) 𝑁𝑁 = 𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 + 25 tại 𝑥𝑥 = 55;
b) 𝑃𝑃 = − 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 2 tại 𝑥𝑥 = 4; 𝑦𝑦 = .
4
2
Bài 9. Tính giá trị biểu thức:
a) 𝑃𝑃 = (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 16) − (64 − 𝑥𝑥 3 ) tại 𝑥𝑥 = 100;
b) 𝑄𝑄 = (2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(4𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 ) + 2𝑦𝑦 3 biết 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 0.
Bài 22.a) Rút gọn, tính giá trị của bt với 𝑥𝑥 = −19. 𝐴𝐴 = (3𝑥𝑥 + 2)2 + (2𝑥𝑥 − 7)2 − 2(3𝑥𝑥 + 2)(2𝑥𝑥 +
5).
1
b) Rút gọn, tính giá trị của biểu thức với 𝑥𝑥 = . 𝐵𝐵 = (3𝑥𝑥 − 1)2 − (𝑥𝑥 + 7)2 − 2(2𝑥𝑥 − 5)(2𝑥𝑥 + 5).
5

1

c)Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức 𝐴𝐴 với 𝑥𝑥 = − .𝐴𝐴 = 5(𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 3) + (2𝑥𝑥 + 3)2 + (𝑥𝑥 −
5
6)2 .
Bài 2. Tính bằng cách hợp lí:
a) Tính 113 − 1;
b) Tính giá trị biểu thức 𝑥𝑥 3 − 𝑦𝑦 3 biết 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 6 và 𝑥𝑥 ⋅ 𝑦𝑦 = 9.
Dạng 4: Tính nhanh
Bài 1. Tính nhanh
b) 752 − 50 ⋅ 75 + 252 ;
c) 103 ⋅ 97.
a) 1012 ;

b) 632 − 372 ;
c) 1052 ;
a) 982 ;
b) 392 + 78 ⋅ 61 + 612 ;
c) 502 − 49 ⋅ 51.
a) 972 − 9.
Bài 2 . Tính nhanh
b) 983 + 6 ⋅ 982 + 12 ⋅ 98 + 8;
a) 1013 ;
3
d) 133 − 9 ⋅ 132 + 27 ⋅ 13 − 27.
c) 99 ;
Bài 3. Tính nhanh
a) 1032 ;
b) 962 + 8 ⋅ 96 + 42 ;
c) 99 ⋅ 101.
2
2
2
b) 88 + 24 ⋅ 88 + 12 ;
c) 52 ⋅ 48.
a) 501 ;
Bài 4. Tính nhanh:
b) 893 + 33 ⋅ 892 + 3 ⋅ 121 ⋅ 89 + 113 ; c) 233 − 9 ⋅ 232 + 27 ⋅ 23 − 27.
a) 513 ;
C. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1. Khai triển các biểu thức sau
a) 𝐴𝐴 = (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧)2 ;
ĐS: 𝐴𝐴 = 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 + 2𝑧𝑧𝑧𝑧
2

ĐS: 𝐵𝐵 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐 2 − 2𝑎𝑎𝑎𝑎 − 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏𝑏𝑏
b) 𝐵𝐵 = (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐) .
Bài 2. Chứng minh rằng (2𝑛𝑛 + 3)2 − (2𝑛𝑛 − 1)2 chia hết cho 8 với 𝑛𝑛 ∈ ℤ.
Bài 3. Tính giá trị biểu thức:
b) 𝐵𝐵 = 𝑥𝑥 3 − 𝑦𝑦 3 − 3𝑥𝑥𝑥𝑥 biết 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 1.
a) 𝐴𝐴 = (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)3 + 𝑥𝑥 3 biết 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 0;
c) Cho 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 15 và 𝑥𝑥𝑥𝑥 = −100. Tính giá trị của biểu thức 𝐵𝐵 = 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 .
d) Cho 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 1, tính giá trị của biểu thức 𝑀𝑀 = 2(𝑥𝑥 3 − 𝑦𝑦 3 ) − 3(𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 ).

e) Cho a + b =1. Hãy tính giá trị của biểu thức 𝑁𝑁 = 𝑎𝑎3 + 𝑏𝑏 3 + 3𝑎𝑎𝑎𝑎.
Bài 4: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
b)
c)
d)

𝐴𝐴 = 2(𝑚𝑚3 + 𝑛𝑛3 ) − 3(𝑚𝑚2 + 𝑛𝑛2 ), với m + n = 1;
𝐵𝐵 = 2𝑚𝑚6 + 3𝑚𝑚3 𝑛𝑛3 + 𝑛𝑛6 + 𝑛𝑛3 , với 𝑚𝑚3 + 𝑛𝑛3 = 1.
𝐶𝐶 = (𝑎𝑎 − 1)3 − 4𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 1)(𝑎𝑎 − 1) + 3(𝑎𝑎 − 1)(𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 + 1), với
𝐷𝐷 = (𝑦𝑦 − 1)(𝑦𝑦 − 2)(1 + 𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 2 )(4 + 2𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 2 ), với y = 1.

a = -3;

Bài 5. a) Chứng minh 𝐴𝐴3 + 𝐵𝐵3 = (𝐴𝐴 + 𝐵𝐵)3 − 3𝐴𝐴𝐴𝐴(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) và 𝐴𝐴3 − 𝐵𝐵3 = (𝐴𝐴 − 𝐵𝐵)3 + 3𝐴𝐴𝐴𝐴(𝐴𝐴 − 𝐵𝐵)
b) Áp dụng để tính 1013 − 1.
c) Tính giá trị biểu thức 𝑥𝑥 3 + 𝑦𝑦 3 biết 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 2 và 𝑥𝑥 ⋅ 𝑦𝑦 = −3.
Bài 6. Chứng minh đẳng thức


3(𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 ) − (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2 − (𝑦𝑦 − 𝑧𝑧)2 − (𝑧𝑧 − 𝑥𝑥)2 = (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧)2 .

;
𝑦𝑦)2 = 4𝑥𝑥𝑥𝑥
(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)3 − (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)3 = 2𝑦𝑦(3𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 ).
;
2
𝑏𝑏)[(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) + 𝑎𝑎𝑎𝑎]
Bài 7. Cho 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐 2 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐𝑐𝑐. Chứng minh rằng 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐.

Bài 8: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng : 𝑎𝑎3 + 𝑏𝑏 3 + 𝑐𝑐 3 = 3𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎.
Cho a + b + c = 0 và 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 + 𝑐𝑐 2 = 10. Tính 𝑎𝑎4 + 𝑏𝑏 4 + 𝑐𝑐 4 .

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 − (𝑥𝑥 −
𝑎𝑎 3 + 𝑏𝑏3 = (𝑎𝑎 +

Dạng toán Chứng minh bất đẳng thức; tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức
Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
a) 𝑀𝑀 = 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 5;
b) 𝑁𝑁 = 𝑦𝑦 2 − 𝑦𝑦 − 3;
c) 𝑃𝑃 = 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 − 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 7.
b) 𝑄𝑄 = 𝑦𝑦 2 + 𝑦𝑦;
c) 𝐾𝐾 = 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 − 6𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 10.
a) 𝑃𝑃 = 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 11;
Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
b) 𝐵𝐵 = 𝑦𝑦 2 − 𝑦𝑦 + 1;
c) 𝐶𝐶 = 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 − 𝑦𝑦 + 5
a) 𝐴𝐴 = 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 6;
2
2
e)𝑄𝑄 = 5𝑥𝑥 − 10𝑥𝑥.
d)𝑃𝑃 = 𝑥𝑥 + 10𝑥𝑥 + 28.

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
𝐴𝐴 = −𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 1.
𝐵𝐵 = 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 + 5.
𝑃𝑃 = 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 − 1.
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
b) 𝐵𝐵 = 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 − 2.
a) 𝐴𝐴 = 4𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 + 10;
Bài 5: Chứng minh
b) Biểu thức 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 2 − 1 luôn âm với mọi 𝑦𝑦.
a) Biểu thức 4𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 3 luôn dương với mọi 𝑥𝑥.
Bài 6. Chứng minh giá trị của biểu thức 𝑃𝑃 = 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 3 luôn luôn dương với mọi 𝑥𝑥.
Bài 7. Chứng minh giá trị của biểu thức 𝑄𝑄 = 6𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 − 10 luôn luôn âm với mọi giá trị của 𝑥𝑥.
b) 4𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 2 − 5 < 0 với mọi 𝑦𝑦
Bài 8. Chứng tỏa) 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 10 > 0 với mọi 𝑥𝑥;