Phân thức đại số

Chuyên đề: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ
Tỉnh, thành phố
HSG Bà Rịa Vũng Tàu
HSG Đơng Sơn
HSG Thường Tín
HSG Kinh Mơn
HSG Quốc Oai
HSG Chương Mỹ
HSG Tỉnh Bắc Ninh
HSG Sầm Sơn
HSG Cẩm Thủy
HSG Quảng Xương
HSG Kiến Xương
HSG Vũng Tàu
HSG Vĩnh Bảo
HSG Việt Yên
HSG Nghi Lộc
Olymlic Bà Rịa Vũng Tàu
HSG Ý Yên
HSG Sóc Sơn
HSG Thuận Thành
HSG Gia Lâm
HSG Quận Tây Hồ
Olymlic Huyện Thường Tín

Năm học
2020 - 2021
2019-2020
2018-2019
216-2017

2018-2019
2020 - 2021
2020 - 2021
2019-2020; 2020 - 2021
2017 – 2018;
2016-2016
2021
2018-2019
2018-2019
2019-2020; 2020 - 2021
2020 - 2021
2018-2019
2020 - 2021
2018-2019
2020 - 2021
2019-2020
2020 - 2021

A. Các bài tốn về biểu thức ngun
Ghi nhớ các cơng thức sau:
2
2
2
2
1. (a  b  c) a  b  c  2(ab  bc  ca)
n
n
n 1
n 2
n 3 2

n 1
2. a  b (a  b)(a  a b  a b  ...  b )
2n
2n
2 n 1
2 n 2
2n 3 2
2n 1
3. a  b (a  b)(a  a b  a b  ...  b )
n
n
n 1
n 2
n 3 2
n 1
4. a  b (a  b)( a  a b  a b  ...  b ) (n: lẻ)

1


5. Nhị thức Newton:

( a  b) n a n  n.a n  1.b 

n(n  1) n  2 2
a b  ...  b n
2

Bài 1:
2

2
2
4
4
4
Cho a  b  c 0 và a  b  c 14 . Tính A a  b  c

Lời giải
2
2
2
2
Ta có: a  b  c 0  (a  b  c) 0  a  b  c  2ab  2bc  2ca 0  14  2(ab  bc  ca )

 ab  bc  ca  7 (1)
2
2
2
4
4
4
2 2
2 2
2 2
2
Lại có a  b  c 14  a  b  c  2a b  2a c  2b c 14 169 (2)

 1 

a 2b 2  b 2c 2  c 2 a 2  2ab 2c  2a 2bc  2abc 2 49  a 2b 2  b 2c 2  c 2 a 2  2abc (a  b  c ) 49

 a 2b 2  b 2c 2  c 2 a 2 49  (2) : a 4  b 4  c 4 142  2.49 98

Bài 2:
2019
2020
2021
Cho x  y  z 0 và xy  yz  zx 0 . Tính A ( x  1)  y  ( z 1)

Lời giải
2
2
2
2
2
2
Từ x  y  z 0  x  y  z  2( xy  yz  zx) 0  x  y  z 0  x  y  z 0

 A  12019  02020  12021 0

Bài 3:
Cho x  y  z 0 . Chứng minh rằng :
2
2
2 2
4
4
4
a. ( x  y  z ) 2( x  y  z )

3
3
3
2
2
2
5
5
5
b. 5( x  y  z )( x  y  z ) 6( x  y  z )

5
5
5
2
2
2
c. 2( x  y  z ) 5 xyz( x  y  z )

Lời giải
2
2
2 2
4
4
4
2 2
2 2
2 2
a. ( x  y  z ) x  y  z  2( x y  y z  z x )(1)

x  y  z 0  x 2  y 2  z 2  2( xy  yz  zx)  ( x 2  y 2  z 2 ) 2 4( xy  yz  zx) 2 (2)
4
4
4
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
Từ (1)(2)  x  y  z  2( x y  y z  z x ) 4( x y  y z  z x  2 xy z  2 x yz  2 xyz )

2




4  x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2  2 xyz ( x  y  z )  =4(x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2 )  x 4  y 4  z 4 2( x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2 )
      

=0

Thay
2
2
2 2

4
4
4
vào (1), ta được : ( x  y  z ) 2( x  y  z )

1
VT x 5  y 5  z 5  x 2 y 2 ( x  y )  x 2 z 2 ( x  z )  y 2 z 2 ( y  z )
b. 5

Từ

x  y  z 0  x  y  z ; x  z  y; y  z  x 

1
VT x 5  y 5  z 5  xyz ( xy  yz  zx )(1)
5

x  y  z 0  ( x  y  z ) 2 0  x 2  y 2  z 2  2( xy  yz  zx)  xy  yz  zx 

x2  y 2  z 2
2

3
3
3
Theo câu a, ta có : x  y  z 3xyz khi x + y + z = 0

  ( xy  yz  zx ).xyz 

x2  y 2  z 2 x3  y3  z 3

.
(2)
2
3

3
3
3
2
2
2
5
5
5
Thay vào (1), ta được: 5( x  y  z )( x  y  z ) 6( x  y  z )(*)
3
3
3
c. Ta có : x  y  z 3xyz , thay vào (*) ta được :

5.3xyz ( x 2  y 2  z 2 ) 6( x 5  y 5  z 5 )  5 xyz ( x 2  y 2  z 2 ) 2( x 5  y 5  z 5 )(dpcm)

Bài 4: Chứng minh rằng
a.

2( a 3  b3  c3  3abc) ( a  b  c)  (a  b) 2  (b  c) 2  (c  a ) 2 

2
2
2

b. (a  b)(b  c)(c  a)  4abc c(a  b)  a(b  c )  b(c  a )

Lời giải
2
2
2
a. VP (a  b  c)(a  b  c  ab  bc  ca)

1
VT a 3  b 3  c 3  3abc (a  b)3  c 3  3ab (a  b)  3abc (a  b) 3  c 3  3ab(a  b  c )
2
(a  b  c )  (a  b)2  (a  b)c  c 2  3ab  (a  b  c)(a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca )  VT VP
2
2
2
2
2
2
b. VT 6abc  ca  ac  ab  a b  bc  b c

VP 6abc  ca 2  ac 2  ab 2  a 2b  bc 2  b 2c VT

Bài 5:
Cho a  b  c 4m . Chứng minh rằng:
3


2
2
2

2
a. 2ab  b  a  c 16m  8mc
2

2

2

 a b  c   a c  b    a b c 
2
2
2
2

 
 
 a  b  c  4m
2

b.  2   2  

Lời giải
2
2
2
2
2
a. VT (a  b)  c (4m  c )  c 16m  8mc VP

b. Từ

a  b  c 4m  a  b  c 4m  2c 

a b  c
2m  c
2

Tương tự:
VT (2m  c) 2  (2m  b) 2  (2m  a) 2 a 2  b 2  c 2  12m 2  4m(a  b  c ) a 2  b 2  c 2  4m 2 VP

Bài 6:
2019
2019
2019
2019
a. Cho ( x  y  z )( xy  yz  zx) xyz (*).CMR : x  y  z ( x  y  z )

b. Nếu x  y  z 6  A ( x  y )( y  z )( z  x)  2 xyz 6
Lời giải
a. Theo (*)
 ( x  y  z )( xy  yz  zx )  xyz 0  xy 2  x 2 y  xyz  xyz  y 2 z  z 2 y  x 2 z  xz 2  xyz  xyz 0
 xy ( x  y )  yz ( x  y )  z 2 ( x  y )  xz ( x  y ) 0  ( x  y )( xy  yz  z 2  xz ) 0
 x  y 0
 ( x  y )( y  z )( z  x) 0   y  z 0 
 z  x 0

 x  y
 y  z

 z  x

2013
2013
2013
2013
2013
2013
2013
2013
Giả sử: x  y  x  y  x  y  z z ;( x  y  z ) z  dpcm

b. Theo câu a, ta có:
( x  y )( y  z )( z  x) ( x  y  z )( xy  yz  zx)  xyz  A 

( x  y  z )( xy  yz  zx)
 xyz
3

Vì x  y  z 6  x  y  z là số chẵn  1 trong 3 số x, y, z là số chẵn  3 xyz 6  A6
Bài 7:
2
2
2
3
5
7
2
9
1945
Cho a  b  c a  b  c 1 . Tính A a  b  c

Lời giải
Ta có

a 2  b 2  c 2 1  0 a 2 1  a 1   1 a 1;  1 b, c 1
4


 a 0
 1 a 1  a 2 (1  a) 0  a 2 a 3 , '' ''  
 a 1
 b 0
 1 b 1  b3 1  (1  b3 ).b 2 0  b 2 b5 , '' ''  
 b 1
 c 0
c 2 c 7 , '' ''  
 c 1
Tương tự :
2
2
2
3
5
7
2
3
2
5
2
7

Mặt khác ta lại có : a  b  c a  b  c 1  a a ; b b ; c c  a, b, c

Có 1 số = 1 và 2 số = 0  A 1
Bài 8:
3
2
Tìm các số a, b, c sao cho x  ax  bx  c ( x  a )( x  b)( x  c)x  R

Lời giải
2
3
3
2
Ta có: ( x  a)( x  b)( x  c) (a  b  c) x  (ab  bc  ac) x  abc  x x  ax  bx  c

a  b  c a

 ab  bc  ca b 
abc c


b  c 0

 a (b  c )  bc b  bc b 
c(1  ab) 0


 b c 0, a
 a b  1; c 1


Bài 9:
3
2
3
2
Cho a, b thỏa mãn a  3a  5a  17 0; b  3b  5b  11 0. Tính A a  b

Lời giải
(a 3  b 3 )  3(a 2  b 2 )  5(a  b)  6 0  (a  b)3  3ab(a  b)  3  ( a  b) 2  2ab   5(a  b)  6 0

 (a  b)3  3(a  b) 2  5(a  b)  6  3ab(a  b)  6ab 0
 (a  b) 3  3( a  b) 2  5(a  b)  6  3ab( a  b  2) 0(a  b 2  a  b  2 0)

 (a  b)3  2(a  b) 2  (a  b) 2  2(a  b)  3(a  b)  6  3ab(a  b  2) 0
 (a  b) 2 (a  b  2)  (a  b)(a  b  2)  3( a  b  2)  3ab(a  b  2) 0

5


 a  b  2 0
 ( a  b  2)[(a+b) 2  (a  b)  3  3ab] 0  
2
 (a  b)  (a  b)  3  3ab 0

 A 2
 A 2

  a 2  ab  b 2  a  b  3 0  2a 2  2ab  2b 2  
2

2
2
 (a  b)  (a  1)  (b  1)  4 0(voly )
  2a  2b  6 0

 A 2

Bài 10:
8
7
5
3
Chứng minh rằng A x  x  x  x  1  0

Lời giải
7
8
7
3
2
5
3
+) Xét x 1  x ( x  1) 0  x x ; x ( x  1) 0  x x  A 1  0
3
5
2
3
5
7
8

3
5
7
+) 0 x 1  1  x 0; x (1  x ) 0  1 x ; x x  A x  1  x  x  x 0  A  0

+)

7
  x  0
x0  3
  x  0

5
3
8
5
- x  1  x ( x  1) 0  x  x 0  A 1
5
-  1 x  0  1  x  0  A  0

Vậy A > 0 với mọi x.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
4
3
2
Tìm các số a, b, c, d sao cho: A( x) x  ax  bx  8 x  4 là bình phương của đa thức

B ( x)  x 2  cx  d

Lời giải
2c a
 2
c  2d b
2
2
2
4
3
2
2
2
2
[B ( x )] ( x  cx  d ) x  2cx  (c  2d ) x  2cdx  d  A( x ) B ( x )  
2cd  8
d 2 4

6


+) d 2  c  2; a  4; d 8
+)

d  2  c 2, a 4, b 0

Bài 2:
3
2
3
2

2
2
Cho a  3ab 19; b  3a b 98. Tính E a  b

Lời giải
3
2 2
2
6
4 2
2 4
2
3
2
6
4 2
4 2
Ta có: (a  3ab ) 19 a  6a b  9a b ;98 (b  3a b) b  6b a  9a b

192  982 a 6  b 6  3a 4b 2  3a 2b 4 (a 2  b 2 )3  a 2  b 2  3 9965

Bài 3:
12
9
4
Chứng minh rằng A x  x  x  x  1  0x  R

Lời giải
 x9 ( x3  1) 0
x 1   3

 A 1  0x  R
x
(
x

1)

0


+) Với
 x  0
x0  9
 A0

x

0

+) Với

+) Với

1  x 0
0  x 1   4 9
 A0
4
5
 x  x  x (1  x ) 0

Do dấu “ =” không xảy ra.
Bài 4:
Chứng minh rằng
3
3
3
a. Nếu a  b  c 0 thì a  b  c  3abc 0(a, b, c  R )
4
4
4
4
b. a  b  c  d  4abcd 0a, b, c, d  R

Lời giải
3
3
3
2
2
2
a. Có a  b  c  3abc (a  b  c )(a  b  c  ab  bc  ca )

7


2
2
2
2
2

2
2
2
2
mà a  b  c 02( gt );(a  b) 0  a  2ab  b 0  a  b 2ab; a  c 2ac; b  c 2bc

 a 2  b 2  c 2 ab  bc  ca  a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca 0
4
4
4
4
4
4
2 2
4
4
2 2
2 2
2 2
b. a  b  c  d  4abcd a  b  2a b  c  d  2c d  2a b  2c d  4abcd

(a 2  b 2 ) 2  (c 2  d 2 ) 2  2(ab  cd ) 2 a, b, c, d  R

CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. Rút gọn, tính giá trị biểu thức thỏa mãn điều kiện của biến
Loại tốn 1: Tính được giá trị cụ thể của biến rồi thay thế vào biểu thức ban đầu
Bài 1: Chuyên Trà Vinh, năm học 2016 - 2017
M

Tính giá trị của biểu thức

 x  5  y 1
x  x  5
. Biết

x 2  9 y 2 6 xy  x  3

Lời giải
 x  3 y 0
x 2  9 y 2  4 xy 2 xy  x  3  ( x  3 y ) 2  x  3 0  

 x  3 0
Ta cos

 x 3
8
 M

3
 y 1

Bài 2:
 x  y  z 1
 2
2
2
 x  y  z 1
 3
3
3

4
5
6
Cho các số x, y, z thỏa mãn  x  y  z 1 . Tính giá trị của biểu thức Q x  y  z .

Lời giải
Ta có

3

1 3  x  y  z   x 3  y 3  z 3 3  x  y   y  z   z  x 

 x  y
x  y  z 1   x  y   y  z   z  x  0   y  z
 z  x
mà
3

3

3

8


2
2
2
+ Nếu x  y  x  y 0  z 1  z 1; x  y 0  x  y 0  Q 1

Xét tương tự các trường hợp còn lại ta được Q 1 .
Bài 3:

Cho ba số a, b, c thỏa mãn

a  b  c 1
 2 2 2
a  b  c 1
a 3  b3  c 3 1


2017
2017
2017
. Chứng minh rằng a  b  c 1.

Lời giải
Ta có

a 3  b3  c3  3abc  a  b  c   a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca   1  3abc 1  ab  bc  ca

 ab  bc  ca 3abc
2

1  a  b  c 

Mà

- Nếu

2

 a 0
a b  c  2  ab  bc  ca   ab  bc  ca 0  abc 0   b 0
 c 0
2

2

2

b  c 1

a 0  b 2  c 2 1  b 2  c 2  2bc 1  2bc 0   a; b; c   0;0;1
b3  c3 1


0;1;0 
hoặc 

  0;0;1
b 0   a; b; c  
  1;0;0 
- Nếu
  0;1;0 
b 0   a; b; c  
  1;0;0 
- Nếu
2017
2017

2017
Vậy mọi trường hợp ta có: a  b  c 1

Bài 4:
2
2
2
Cho biế x  y  z xy  yz  zx và

 2017 x  2018 y  4034 z 
P 

3



x 2017  y 2017  z 2017 91009. Tính giá trị của biểu thức

2017

 2018

.
Lời giải

2
2
2
2
2

2
2
2
2
Ta có x  y  z  xy  yz  zx  2 x  2 y  2 z 2 xy  2 yz  2 zx   x  y    y  z    z  x  0

9


 x  y  z  x 2017  y 2017  z 2017 91009  3.x 2017  32 
 2017 x  2018 y  4034 z 
P 

3


Khi đó

2017

 z
 2018  
 3

1009

 3.x 2017 32019  x 3  y  z

2017

 2018 2019

.

Bài 5:
a) Cho a  2b 5 . Tính giá trị biểu thức
b) Biết 2a  b 7 . Tính
2

2

B

A

5a  b 3b  2a

3a  7 2b  7
2

2

c) Biết 10a  3b  5ab 0;9a  b 0 . Tính
2

2

d) Cho 3a  3b 10ab và b  a  0. Tính
2

e) Biết

2

3a  2b 3b  a

2a  5 b  5

x  9 y  4 xy 2 xy  x  3

. Tính

C

D

E

2a  b 5b  a

3a  b 3a  b

a b
a b

x 2  25
y 2
: 2
3
2

x  10 x  25 x y  y  2

Lời giải
a) Ta có

a  2b 5  a 2b  5  A 

3(2b  5)  2b 3b  (2b  5)

2
2(2b  5)  5
b 5

b) Ta có 2a  b 7  b 2a  7  B 2
(2a  b)(3a  b)  (5b  a)(3a  b) 3a 2  15ab  6b 2
C

(1)
(3a  b)(3a  b)
9a 2  b 2
c)

Từ giải thiết

10a 2  3b 2  5ab 0  5ab 3b 2  10a 2  A 

3a 2  3(3b2  10a 2 )  6b 2  27a 2  3b 2

 3
9a 2  b 2

9a 2  b 2

d) Cách 1:
 b 3a
a  3a  1
3a 2  3b 2 10ab  3a 2  3b 2  10ab 0  (3a  b)(a  3b) 0  
 A

a

3
b
(
loai
)
a

3
a
2

Từ

Cách 2:

A2 

(a  b)2 a 2  2ab  b 2 3a 2  3b 2  6ab 1
1
 2

 2
  A
2
2
2
(a  b)
a  2ab  b
3a  3b  6ab 4
2

a  b  0
1
ba 
 A0 A
2
a  b  0
Do
10


 x  3 y 0
 x 3
8
x 2  9 y 2  4 xy 2 xy  x  3  ( x  3 y )2  x  3 0  

 A
3
 x  3 0
 y 1
e) Có:

Bài 6: Học sinh giỏi Yên Phong Bắc Ninh, năm học 2015
2
2
2
2013
2013
2013
Cho a, b, c thỏa mãn a(b  c) b(c  a )  c (a  b) 4abc; a  b c 1 .

Tính

A

1
a

2015



1
b

2015



1
c

2015

Lời giải
Ta có:

a (b  c) 2 b(c  a ) 2  c(a  b) 2  4abc 0  ab 2  2abc  ac 2  bc 2  2abc  ba 2  ca 2

2abc  cb 2  4abc 0
 ab 2  2abc  ac 2  ba 2  bc 2  ca 2  cb 2 0  a (b 2  c 2 )  (b  c )(a 2  bc )  2abc 0
 a (b 2 c 2  2bc )  (b  c)(a 2  bc ) 0  (b  c)(ab  ac  bc  a 2 ) 0  (a  b)(b  c)(c  a ) 0
 a  b 0
  b  c 0 
 c  a 0

 a  b  a 2013  b 2013 ; a 2015  b 2015  M 1

 b  c  M 1
 c  a  M 1


Vậy M 1 với a b c 1.
Bài 7:

x 
y 
z
A  1    1    1  
y 
z 

x  , biết x, y, z 0; x 3  y 3  z 3 3xyz

Tính

Lời giải
 x  y  z 0
x 3  y 3  z 3 3xyz  ....  ( x  y  z )( x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx) 0   2
2
2
 x  y  z  xy  yz  zx 0

x  y  z 0  x  y  z; x  z  y; y  z  x  A 

x  y y  z x  z  xyz
.
.

 1
y
y
x
xyz

TH1:
2
2
2
2
2
2

TH2: x  y  z  xy  yz  zx 0  ( x  y )  ( x  z )  ( y  z ) 0

 x  y 0

  y  z 0  x  y  z  A 8
 z  x 0

11


BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1:
2

2

Cho 4a  b 5ab và 2a  b  0 . Tính giá trị của

A

ab
4a  b 2
2

Hướng dẫn giải
2
2
2
2
4a  b   a  b  0

Từ 4a  b 5ab  4a  4ab  ab  b 0  

TH 1: 4a  b 0  4a b ( mâu thẫn vì 2a > b)
a  b 0  a b  A 

a2
1

2
2
4a  a
3

TH 2:
Bài 2:
Cho

2

2

9 x  4 y 20 xy  2 y  3x  0 

. Tính

A

3x  2 y
3x  2 y

Hướng dẫn giải
9 x 2  4 y 2 20 xy   x  2 y   9 x  2 y  0

Từ:

TH1:

x 2 y  A 

3x  x 1

3x  x 2

TH2: 9 x 2 y (mâu thuẫn vì 2 y  3x  0 )
Bài 3:
Cho

x 2  2 y 2  xy,  y 0, x  y 0 

. Tính

A

x y
x y

Hướng dẫn giải
Từ

x 2  2 y 2  xy  x 2  xy  2 y 2 0   x  2 y   x  y  0

TH1:

x  2 y 0  x 2 y  A 

2y  y 1

2y  y 3

TH2: x  y 0 (mâu thuẫn vì x  y 0 )
Bài 4:

12


2

2

Cho x  y  0 và 2 x  2 y 5 xy . Tính

A

x y
x y

Hướng dẫn giải
Từ:

2 x 2  2 y 2 5 xy  2 x 2  5 xy  2 y 2 0   x  2 y   2 x  y  0

x 2 y  A 

2y  y
3
2y  y

TH1:
TH2: 2x  y (mâu thuẫn vì x  y  0 )
Bài 5:
Cho 3x  y 3z và 2 x  y 7 z . Tính

A

x 2  2 xy
x 2  y 2  x, y 0 

Hướng dẫn giải
3 x  y 3 z


2 x  y 7 z
Từ giả thiết ta có: 

 x 2 z
4 z 2  12 z 2  8
 A 2


4 z  9 z 2 13
 y 3z

Bài 6:
Cho xy  1 . Tính

P

1
1
 2
y  xy x  xy
2

Hướng dẫn giải
P
Ta có:

  x  y
1
1
 x y



1
y  y  x  x  x  y  xy  x  y   1 x  y 

Bài 7:
Cho 3 y  x 6 . Tính giá trị của

A

x
2x  3y

y 2
x 6

Hướng dẫn giải
3 y  x 6  x 3 y  6  A 

3 y  6 2  3 y  6  3 y

3  1 12
y 2
3y  6  6

Ta có
13


Bài 8:
Cho biểu thức:

P

2a  1 5  a 
1

,  a  
3a  1 3a  1 

3  . Tính giá trị của P biết 10a 2  5a 3

Hướng dẫn giải
P

Ta có:

 2a  1  3a  1   5  a   3a  1
 3a  a   3a  1



6a 2  2a  3a  1  15a  5  3a 2  a

 3a 

2

 12

2
2
2
Mặt khác 10a  5a 3  9a  a  5a  3 , thay vào P ta được:

P



3a 2  15a  6

9a 2  1

3a 2  15a  6
 3
 a 2  5a  2

BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Bài 1: Học sinh giỏi Ninh Bình, năm 2014 – 2015
100
100
101
101
102
102
Cho các số thực dương a, b thỏa mãn: a  b a  b a  b . Tính giá trị của biểu
2015
2015
thức P a  b

14


Hướng dẫn
2015
2015
Ta tính được P a  b 2

Bài 2: Chuyên Long An, năm 2017 – 2018
1 1 1
2 1

  2
 2 4.
Cho x, y, z khác 0 thỏa mãn đồng thời x y z
và xy z
Tính giá trị của biểu thức
P  x  2 y  z 

2018

.

Hướng dẫn
1
1
1  1
1
x  y  ; z   P   2.  
2
2
2 2 
2

2018

12018 1.

Ta tính được

Bài 3: Học sinh giỏi Tuyên Quang, năm 2016 - 2017
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn

P  a  2 

2015

  b  3

2016

  c  4

a  b  c 9
.
 2
2
2
a  b  c 27 Tính giá trị của biểu thức

2017

Hướng dẫn
Ta tính được a b c  P 1  0  1 0
Bài 4: Tạp chí Tốn tuổi thơ

Cho các số x, y, z thỏa mãn:

4 x 2  4 z 2 17

.
4 y  x  2  5


2
20 y  27  16 z

Tính giá trị biểu thức A 30 x  4 y  2017 z

Hướng dẫn

 x  y

2

  2 y  1 2   z  2 

Cộng theo vế của hệ trên ta được:
15

2

1

x 2

1

0   y 
2

 z  2



(thỏa mãn)


1
1
A 30 x  4 y  2017 z 30.  4.  2017.   2   4017
2
2
Vậy

Loại tốn 2: Khơng tính được giá trị cụ thể của biến
Bài 1:

16


Cho
a.
c.

x

1
3
x
. Tính giá trị của các biểu thức sau:

A x2 

1

x2

C x4 

1
x4

b.
d.

B x3 

1
x3

D  x5 

1
x5

Lời giải
2

1
1
1

A  x  2  2.x.  2  x    2 7
x
x

x

a.
2

3

1 
1 
1 
B x     x    x 2  1  2  3.6 18
x 
x 
 x 
b.
3

2

1
1
1
1 

C x  4 x 4  4  2.x 2 . 2  2  x 2  2   2 47
x
x
x
x 


c.
4

5

1 
1
1
1 1  
1 
1
1 
1 
D  x     x    x 4  x 3 .  x 2 . 2  x. 3  4   x    x 4  4  x 2  1  2 
x 
x
x
x
x  
x 
x
x 
 x 
d.
5

3.(47  7  1) 123
( x2 

1

1
1 1
)( x3  3 )  x 5  x   5 123
2
x
x
x x

Cách 2:
Bài 2:
2

2

x y z
a b c
a b c
A        
  0(1);   2 (2)
x y z
 x  y  z
Cho a b c
. Tính

2

Lời giải
x y z
bcx  acy  abz
  0 

0  bcz  acy  abx 0(3)
abc
Ta có: a b c
2

2

2

2

a b c
 ab ac bc 
a b c
a b c
  2      4           2 
   4
 x  y  z
 x y z
 xy xz yz 
Từ (2) x y z
2

2

2

 abz  acy  bcx 
a  b c
        2

 4(4)
xyz
 x  y  z



17


2

2

2

a b c
A         4
 x  y  z
Thay (3) vào (4), ta được:

Bài 3:
Cho abc 2 . Rút gọn

A

a
b
2c



ab  a  2 bc  b  1 ac  2c  2

Lời giải
A

a
b
2c
a
2
ab





(nhanvoi : a )
ab  a  2 bc  b  1 ac  2c  abc ab  a  2 ab  a  2 abc  ab  a

A

a  2  ab
1
a  2  ab

Bài 4:
Cho a  b  c 0 , rút gọn

A

a2
b2
c2


a 2  b2  c 2 b2  c 2  a 2 c 2  b 2  a 2

Lời giải
2
2
2
2
2
2
Từ: a  b  c 0  a  (b  c)  a b  c  2bc  a  b  c 2bc

Tương tự:

b 2  a 2  c 2 2ac; c 2  a 2  b 2 2ab  B 

a2
b2
c2
a 3  b3  c 3



(*)
2bc 2ac 2ab
2abc

3
3
3
3
3
3
3
Từ: a  b  c 0  b  c  a  (b  c )  a   a b  c  3bc(b  c ) b  c  3abc

 a 3  b3  c3 3abc   * : B 

3abc 3

2abc 2

Bài 5:
Cho ba số a, b, c khác 0 và thỏa mãn a  b  c 0
A

Tính

a 2  bc
b 2  ac
c 2  ab


a 2  b2  c 2 b2  c2  a 2 c 2  a 2  b 2

Lời giải

2
2
2
2
2
2
Từ a  b  c 0  b  c  a  b  2bc  c a  a  b  c 2bc

Tương tự:
 A

b 2  c 2  a 2 2ac; c 2  a 2  b 2 2ab  S 

a 3  b3  c 3 3
3abc 3
  A
  A 3
2abc
2
2abc 2
18

a 2  bc b 2  ca c 2  ab a 2
b2
c2 3







2bc
2ac
2 ab
2bc 2ac 2ab 2


Bài 6:
Cho ba số a, b, c khác 0 và thỏa mãn a  b  c 0.
A

Tính

1
1
1
 2 2
 2
2
2
2
a  b  c b  c  a c  a 2  b2
2

Lời giải

Từ:

 a 2  b2  c 2  2ab


a  b  c 0  a  (b  c )  a  b  c  (a  b) 2 c 2  b 2  c 2  a 2  2bc
c 2  a 2  b 2  2ac


 A

1
1
1
 ( a  b  c)


 A
0
 2ab  2bc  2ac
2abc

Từ:
Bài 7:
1 1 1
yz
xz
xy
  0
A 2
 2
 2
x  2 yz y  2 xz z  2 xy
Cho x, y, z đôi một khác nhau và từ x y z . Tính

Lời giải
1 1 1
xy  yz  zx
  0 
0  xy  yz  zx 0  yz  xy  xz
xyz
Từ x y z
2
2
2
2
Có x 2 yz x  yz  ( xy  xz ) ( x  y )( x  z ); y  2 xz ( y  x)( y  z ); z  2 xy ( z  x)( z  y )

 A

yz
xz
xy
 yz ( y  z )  xz ( z  x )  xy ( x  y )



( x  y )( x  z ) ( y  x)( y  z ) ( z  x)( z  y)
( x  y )( y  z )( z  x )

Tử số của
A  yz 2  y 2 z  xz 2  xz 2  xy 2  x 2 y z 2 ( y  x )  z ( x 2  y 2 )  xy ( y  x ) ( y  x )( z 2  xy )  z ( x  y )( x  y )
( x  y )  z ( x  y )  z 2  xy  ( x  y )( y  z )( z  x )  A 1

Bài 8:

2

2
2
2
Cho ba số a, b, c từng đôi một khác nhau và thỏa mãn:  a  b  c  a  b  c .

C

Rút gọn biểu thức

a2
b2
c2


a 2  2bc b 2  2ac c 2  2ab
19


Lời giải
Từ

 a  b  c

2

a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca 0  a 2  2bc a 2  2bc   ab  bc  ca 

a 2  ab  bc  ac  a  b   a  c 

Tương tự ta có:
 C



b 2 2ac  b  a   b  c  ; c 2  2ab  c  a   c  b 

a2
b2
c2
a2
b2
c2





a 2  2bc b 2  2ac c 2  2ab  a  b   a  c   b  a   b  c   c  a   c  b 

a2  b  c 
b2  a  c 
c2  b  c 
 a  b   a  c   b  c  1



 a  b  a  c   b  c  a  b  a  c   b  c   a  b   a  c   b  c   a  b   a  c   b  c 

Bài 9:
3
3
3
Biết a  b  c 3abc và a  b  c 0 . Tính

A

a 2  b2  c2
(a  b  c ) 2

Lời giải
3
3
3
2
2
2
2
2
2
Ta có: a  b  c  3abc (a  b  c )(a  b  c  ab  bc  ca)  a  b  c  ab  bc  ca 0

3a 2
1
 (a  b)  (b  c)  (c  a ) 0  a b c  A 

2
(3a)
3

2

2

2

Bài 10:
Tính

A

bc( y  z ) 2  ac( z  x) 2  ab( x  y ) 2
ax 2  by 2  cz 2
, biết

ax  by  cz 0

a  b  c 25

Lời giải
2
2
2
2
2
2
Đặt M bc( y  z )  ac( z  x)  ab( x  y ) by (a  c)  cz (a  b)  ax (b  c)  2(bcyz  acxz  abxy )

Ta phải tạo ra nhân tử: a  b  c
M by 2 (a  b  c)  cz 2 (a  b  c)  ax 2 (a  b  c )  2(......)  b 2 y 2  c 2 z 2  a 2 x 2

(a  b  c)(by 2  cz 2  ax 2 )  2(...)  (b 2 y 2  c 2 z 2  a 2 x 2 )

Lại có :
( ax  by  cz ) 2 0  a 2 x 2  b 2 y 2  c 2 z 2  2(abxy  acxz  bcyz ) 0  M (a  b  c )(by 2  cz 2  ax 2 )
 A a  b  c 25

Bài 11:
20