163 đề hsg toán 8 huyện

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Mơn thi: TỐN LỚP 8
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. (3,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
3
2
a) 12 x  16 x  5 x  3

x

2

2

 x  1  5 x  x 2  x  1  4 x 2

b)
Câu 2. (3,0 điểm)

2
2
2
a) Chứng minh rằng: Nếu x  y  z xy  yz  zx thì x  y z
a 2 b2 c 2 a c b
 2 2  
2
c
a
c b a
b) Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn : b

Chứng minh rằng a b c

Câu 3. (4,0 điểm)
Giải các phương trình:
a) 2 x  1  2 x  5 4 (1)
Câu 4. (4,0 điểm)

2
2
2
 x 3
 x  3  7  x  9
0

  6
 
2
x

2
x

2
x

4





b)
2

2

1 
1

 x     y   8
x 
y
a) Cho x, y  0 thỏa mãn x  y 2. Chứng minh rằng : 
2015
A
,
x3
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
với x là số nguyên.
Câu 5. (6,0 điểm)
Cho hình thang ABCD  AB / / CD, AB  CD  . Qua A vẽ đường thẳng song
song với BC cắt BD ở E và cắt CD ở K. Qua B kẻ đường thẳng song song với AD
cắt AC ở F và cắt CD ở I. Chứng minh rằng:
a) DK CI
b) EF / /CD
2
c) AB CD.EF


ĐÁP ÁN
Câu 1.

a)
12 x3  16 x 2  5 x  3
12 x3  6 x 2  22 x 2  11x  6 x  3
6 x 2  2 x  1  11x  2 x  1  3  2 x  1
 2 x  1  6 x 2  11x  3 
 2 x  1  6 x 2  9 x  2 x  3
 2 x  1  3x  2 x  3   2 x  3 
 2 x  1  3 x  1  2 x  3

x
b) A=

2

2

 x  1  5 x  x 2  x  1  4 x 2

2
Đặt x  x  1  y , ta có:
A 4 x 2  5 xy  y 2  4 x  y   x  y 

 4 x  x 2  x  1  x  x 2  x  1
 x 2  5 x  1  x 2  2 x  1  x  1

2

x

2

 5 x  1

5  21  
5  21 
2
 x  1  x 
x



2 
2 

Câu 2.
2
2
2
a) Ta có: x  y  z xy  yz  zx
 2 x 2  2 y 2  2 z 2 2 xy  2 yz  2 zx

  x 2  2 xy  y 2    y 2  2 yz  z 2    z 2  2 zx  x 2  0
2

2

2

  x  y    y  z    z  x  0
2

2

(1)
2

Ta có:  x  y  0,  y  z  0,  z  x  0


 x  y 0
 1   y  z 0  x  y z
 z  x 0

Do đó

a 2 b2 c2 a c b
    
b2 c2 a2 c b a
 a 4c 2  b 4a 2  c 4b 2 abc  a 2c  c 2a  b 2c 

b) Ta có:
2
2
2
2
2
2
Đặt x a c, y b a, z c b. Ta được: x  y  z xy  yz  zx
Áp dụng kết quả câu a ta được:
2

2
2
 x  y    y  z    z  x  0  x  y z

 a 2c b 2 a c 2b  ac b 2 ; bc a 2 ; ab c 2
 a b c (dfcm)
Câu 3.
a) 2 x  1  2 x  5 4  1
Ta có:
 1  2 x  1  5  2 x  2 x  1  5  2 x
  2 x  1  5  2 x  0
(Áp dụng tính chất: a  b  a  b  ab 0 )
1
5
 x 
2
2
2
2
2
 x 3
 x  3  7  x  9
0

  6
 
2
x

2

x

2
x

4




b)
(1)
x

2
ĐKXĐ:


2

 1   x  3  x  2 

2

 6  x  3

2

 x  2

2

 7  x 2  9   x 2  4  0

  x 2  6 x  9   x 2  4 x  4    6 x 2  36 x  54   x 2  4 x  4 
  7 x 2  63  x 2  4  0
 50 x3  350 x 2  300 x 0
 x3  7 x 2  6 x 0
 x 0 (tm)
  x 1 (tm)

 x 6 (tm)

Câu 4.

a 2  b2 

a) Bài toán phụ : Chứng minh rằng
2
2
2
2
Chứng minh  1  2a  2b a  2ab  b

1
2
 a  b  (1)
2

2

 a 2  2ab  b 2 0   a  b  0
Áp dụng bài tốn phụ (1) ta có:
2
2
2
1 
1  1
1
1

 x    y     x   y  
x 
y
2
x
y

2

2

(2)
2


1
1 
xy 
2 

 x  x  y  y   2  xy   2  xy 
 
 
 (vì x  y 2)
Mà 
2
x  y

2
2
0  xy 
x

y

0

x

y
4 xy )
x
,
y

0





4
Với
ta có:
(vì
1
4
2
8




2
xy  x  y 
xy  x  y  2
2


2  
8
2
  2    2 
 2  2  16(Vi
2 
xy  
 x  y  


x  y 2)

2


1
1
  x   y   16 (3)
x
y

2

2

1 
1

 x     y   8
x 
y
Từ (2) và (3) suy ra : 
2015
B
x5
b)
với x là số nguyên
Xét x  3  x  3  0  B  0
Xét x  3 thì do x nên x   0;1;2
+Khi x 0  B  403
+Khi x 1  x 1  B  503,75

+Khi x 2  x 2  B  2015
Vậy min B  2015  x 2

Câu 5.

B

A
F

E
D

I

K

a) Tứ giác ABCK có:
AB / /CK  AB / /CD, K  CD  ; AK / / BC  gt 

 ABCK là hình bình hành  CK  AB
 DK CD  CK CD  AB (1)

C


Chứng minh tương tự , ta có: DI  AB
 IC CD  DI CD  AB
(2)
Từ (1) và (2) suy ra DK IC

AE AB

AB
/
/
DK
EK
DK (3)

DEK
b)
có
, theo hệ quả định lý ta let ta có:
AF AB

(4)
FIC có AB / / IC , theo hệ quả định lý Ta let ta có : FC IC
Mà DK IC (câu a) (5)
AE AF

EK
FC
Từ (3) (4) (5) suy ra
AE AF

 EF / / KC
AKC có EK FC
(Định lý Ta let đảo)  EF / / CD
AB CK


c) Ta có: CD CD (vì AB CK ) (6)
CK BE

(7)
BCD có EK / / BC , theo định lý Ta let ta có: CD BD
BE EF

BDI có EF / / DI , theo định lý Ta let BD DI mà DI = AB
BE EF

(8)
Suy ra BD AB
AB EF


 AB 2 CD.EF
CD AB
Từ (6), (7), (8)