ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Mơn: Tốn lớp 8
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu 1. (2,0 điểm)
B
Rút gọn biểu thức
x 3 y 3 z 3 3 xyz
x y
2
2
y z x z
2
Câu 2. (4,0 điểm)
a) Tìm số dư trong phép chia đa thức x 1 x 3 x 5 x 7 9 cho
x 2 8 x 12.
3
2
2
b) Tìm mọi số nguyên x sao cho x 2 x 7 x 7 chia hết cho x 3
Câu 3. (4,0 điểm)
Giải các phương trình:
3
3
3
1
3
x 3 x 4 1 x 0
4
a) 4
3 x
3 x
x
x
2
x
1
x
1
b)
Câu 4. (4,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) A 3 x 1 x 2 4 x 3
14 x 2 8 x 9
B 2
3x 6 x 9
b)
Câu 5. (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A. M , D tương ứng là trung điểm của BC, AM. H
là hình chiếu của M trên CD. AH cắt BC tại N, BH cắt AM tại E. Chứng minh rằng
a) MHD CMD
b) E là trực tâm ABN
Câu 6. (2,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh CD và N là một
0
điểm trên đường chéo AC sao cho BNM 90 . Gọi F là điểm đối xứng của A qua
N. Chứng minh rằng FB AC.
ĐÁP ÁN
Câu 1. Ta có:
3
x3 y 3 z 3 3xyz x y 3 xy x y z 3 3xyz
3
x y z 3 x y z x y z 3xy x y z
2
x y z x y z 3 xz 3 yz 3 xy
x y z x 2 y 2 z 2 2 xy 2 xz 2 yz 3 xz 3 yz 3 xy
x y z x 2 y 2 z 2 xy yz xz
2
2
*) x y y z x z
2
x 2 2 xy y 2 y 2 2 yz z 2 x 2 2 xz z 2
2 x 2 y 2 z 2 xy yz xz
B
Vậy
Câu 2.
x
y z x 2 y 2 z 2 xy yz xz
2 x y z xy yz xz
2
2
2
x y z
2
a) Đặt f x x 1 x 3 x 5 x 7 9
Ta có: A x 1 x 7 x 3 x 5 9
x 2 8 x 7 x 2 8 x 15 9
x 2 8 x 7 x 2 8 x 12 3 9
x 2 8 x 7 x 2 8 x 12 3 x 2 8 x 7 9
x 2 8 x 7 x 2 8 x 12 3 x 2 8 x 12 9 15
x 2 8 x 12 x 2 8 x 10 6
2
Vậy số dư trong phép chia f x cho x 8 x 12 là 6
3
2
2
b) Thực hiện phép chia đa thức B x 2 x 7 x 7 cho C x 3 , ta được:
Đa thức thương: x 2; đa thức dư: 4 x 1
x3 2 x 2 7 x 7 x 2 3 x 2 4 x 1
Suy ra :
B x 2 3 4 x 1 3 x 2 3 (1)
Do đó
4 x 1 nên:
Vì 4 x 1 vs
1 4 x 1 4 x 1 x 2 3
16 x 2 1 x 2 3 16 x 2 3 49( x 2 3)
49( x 2 3)
2
Vì x 3 3 nên xảy ra một tong hai trường hợp sau:
x 2 3 49, khơng có giá trị nào thỏa mãn
x 2(tm)
x 2 3 7 x 2 4
x 2( ktm)
Vậy x 2
Câu 3.
1
3
a x 3; b x 4 a b x 1 1 x a b
4
4
a) Đặt
3
3
3
Ta có (pt đề) a b a b 0
a 3 b3 a3 b3 3ab a b 0
3ab a b 0
1
4 x 3 0
x 12
a 0
3
16
b 0
x 4 0 x
4
3
a b 0
x 1 0
x 1
16
S 12; ;1
3
Vậy
b) ĐKXĐ: x 1
3 x
3x x 2 x 2 x 3 x
3 x
x
x
2
.
2
x
1
x
1
x
1
x
1
2
2
3x x x 3 2
2
x 1
3x3 9 x x 4 3 x 2 2 x 2 4 x 2
x 4 3 x3 5 x 2 5 x 2 0
2
x 1 . x 2 x 2 0
x 1 0
2
x
x
2
0
Vậy S 1
x 1(tm)
VN
Câu 4.
a) Áp dụng tính chất a a, dấu " " xảy ra a 0, ta có:
A 3x 1 x 2 4 x 3 3x 1 x 2 4 x 3 6 A 6
1
1
x 2 0 x
x
3 và x 2
3
Dấu “=” xảy ra 3x 1 0 và
1
min A 6 x
3
Vậy
2 14 x 2 8 x 9 2
B 2
3
3
x
6
x
9
3
b) Ta có
2
14 x 2 8 x 9 2 x 2 2 x 3 12 x 2 12 x 3
2 x 1
2
3 x 2 2 x 3
3 x 2 2 x 3 x 1 2
2
2
Với mọi x, ta có: 3 2 x 1 0, x 1 2 2 0
2
2 x 1
2
2
1
0 B 0 B x
2
3
3
2
x 1 2
Câu 5.
A
D
H
E
M
B
N
C
a) Vì M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến của ABC
Mà ABC cân tại A (gt) nên AM là đường cao của ABC
0
Xét MHD và CMD có: MHD CMD 90 ; MDH CDM
MHD CMD g .g
b) MHD CMD (câu a)
HD HM
HD HM
(Vi
MD CM
AD BM
MD AD, CM BM )
0
Mặt khác ta có: ADH 90 DMH BMH
Suy ra HDA HMB (c.g.c)
0
Do đó: AHD BHM AHB DHM 90 BH AN
Kết hợp với AM BC E là trực tâm ABN .
Câu 6.
B
E
C
I
M
F
A
N
D
Gọi I là trung điểm của BF, đường thẳng NI cắt BC tại E
Ta có: F đối xứng với A qua N (gt) N là trung điểm của AF
Mà I là trung điểm của BF nên NI là đường trung bình ABF
1
NI / / AB, NI AB
2
AB
/
/
CD
; AB CD (ABCD là hình chữ nhật và M là trung điểm của
Mặt khác
CD)
CD
AB BC ; CM
2 suy ra NI BC; NI / / CM và NI CM
Tứ giác CINM là hình bình hành CI / / MN
MN BN BNM
900 CK BN
Mà
tại K
Do đó I là trực tâm BCN BF AC.