Vectơ ngẫu nhiên hai chiều

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN
--- ---

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI

VECTƠ NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU

Giáo viên hướng dẫn

: TS. Tôn Thất Tú

Sinh viên thực hiện

: Dương Tâm Thảo

Lớp

: 19ST2

MSSV

: 3110119069

Đà Nẵng, năm 2023


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên em xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến Thầy giáo TS. Tôn

Thất Tú – thầy đã trực tiếp chỉ bảo tận tình và hướng dẫn em trong suốt q
trình nghiên cứu để em hồn thiện khóa luận tốt nghiệp này.
Em cũng xin chân thành cảm ơn Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Đà
Nẵng đã truyền đạt kiến thức, rèn luyện kỹ năng và tạo điều kiện tốt nhất để em
thực hiện khóa thực tập tốt nghiệp.
Do kiến thức của bản thân còn hạn chế và thiếu kinh nghiệm thực tiễn nên
nội dung bài nghiên cứu khó tránh những thiếu sót. Em rất mong nhận sự góp
ý, chỉ dạy thêm từ q thầy cơ.
Cuối cùng, em kính chúc q thầy cơ thật nhiều sức khỏe và tràn đầy nhiệt
huyết để tiếp tục dẫn dắt nhiều thế hệ sinh viên theo ngành học cao quý và
thiêng liêng này.
Em xin chân thành cảm ơn!

Dương Tâm Thảo

2


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 4
Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ ...................................................................... 6
1.1. Hệ tiên đề Kolmogorov ........................................................................... 6
1.2. Xác suất có điều kiện .............................................................................. 6
1.3. Cơng thức nhân xác suất ......................................................................... 7
1.4. Biến cố độc lập........................................................................................ 7
1.5. Biến ngẫu nhiên ...................................................................................... 8
1.6. Kỳ vọng và phương sai ........................................................................... 8
1.5.2. Kì vọng.............................................................................................. 8
1.5.2. Phương sai....................................................................................... 10
1.7. Một số phân phối xác suất .................................................................... 10

1.6.1 Phân phối nhị thức ........................................................................... 10
1.6.2 Phân phối chuẩn ............................................................................... 11
Chương 2. VECTƠ NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU .......................................... 13
2.1. Định nghĩa ............................................................................................. 13
2.2. Phân bố xác xuất của vectơ ngẫu nhiên ................................................ 13
2.2.1. Vectơ ngẫu nhiên hai chiều rời rạc ................................................. 13
2.2.2. Vectơ ngẫu nhiên hai chiều liên tục ............................................... 17
2.2.3. Hàm phân phối xác suất đồng thời ................................................. 20
2.3. Phân bố xác suất có điều kiện và kì vọng có điều kiện ........................ 21
2.3.1. Phân phối đồng thời rời rạc ............................................................ 21
2.3.2. Phân phối đồng thời liên tục ........................................................... 22
2.4. Hiệp phương sai, hệ số tương quan ...................................................... 25
2.4.1. Hiệp phương sai .............................................................................. 25
2.4.2. Hệ số tương quan ............................................................................ 26
2.5. Hàm hai biến ngẫu nhiên liên tục ......................................................... 29
2.6. Phân phối chuẩn hai chiều .................................................................... 34

3


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết xác suất là một ngành của Toán học, nghiên cứu các hiện tượng
ngẫu nhiên và quy luật ngẫu nhiên. Từ những ứng dụng của trò chơi may rủi,
lý thuyết xác suất đã được phát triển thành một ngành khoa học có vai trò quan
trọng trong cuộc sống. Ngày nay, lĩnh vực xác suất đã được phát triển mạnh
mẽ, chặt chẽ trong lý thuyết và có ứng dụng sâu rộng trong khoa học tự nhiên,
khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế và nhiều ngành khác.
Trong lý thuyết xác suất, để mô tả một đại lượng nhận giá trị biến thiên
trong các phép thử ngẫu nhiên ta dùng khái niệm biến ngẫu nhiên. Tổng quát

hơn, ta có khái niệm vectơ ngẫu nhiên, giúp ta mô tả đồng thời nhiều đại lượng
biến thiên trong các phép thử. Với mong muốn tìm hiểu kỹ hơn về quy luật
phân phối cũng như các tính chất của vectơ ngẫu nhiên hai chiều, dưới sự hướng
dẫn của thầy giáo TS. Tôn Thất Tú, tôi quyết định chọn đề tài: “Vectơ ngẫu
nhiên hai chiều” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp cho mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống các khái niệm cơ bản, nghiên cứu và tìm hiểu về quy luật phân
phối cũng như các tính chất liên quan đến vectơ ngẫu nhiên hai chiều.
3. Đối tượng nghiên cứu
Phân bố xác xuất của vectơ ngẫu nhiên, phân bố xác suất có điều kiện và
kì vọng có điều kiện, hiệp phương sai, hệ số tương quan trong vectơ ngẫu nhiên
hai chiều.
4. Phạm vi nghiên cứu
Vectơ ngẫu nhiên hai chiều: quy luật phân phối, các khái niệm liên quan
và tính chất.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Tham khảo tài liệu, hệ thống lại một số kiến thức về Lý thuyết xác suất.
- Thu thập các sách, các bài báo khoa học của các tác giả đi trước liên quan
đến phân bố xác xuất của vectơ ngẫu nhiên, phân bố xác suất có điều
kiện và kì vọng có điều kiện, hiệp phương sai, hệ số tương quan.
4


- Đọc kỹ và chứng minh chi tiết các kết quả đã tìm kiếm.
- Phân tích, đánh giá, tổng hợp và trao đổi với thầy hướng dẫn kết quả
đang nghiên cứu để hồn chỉnh đề tài của mình của mình.
6. Cấu trúc của đề tài
Nội dung đề tài được trình bày trong hai chương. Ngồi ra, đề tài có Lời
cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận và Tài liệu tham khảo.
Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ, trình bày một số kiến thức cơ bản của

Lý thuyết xác suất nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương 2. Gồm 6 mục:
-

1.1. Xác suất có điều kiện
1.2 Cơng thức nhân xác suất
1.3. Biến cố độc lập
1.4. Biến ngẫu nhiên
1.5 Kỳ vọng và phương sai
1.6 Một số phân phối xác suất

Chương 2. VECTƠ NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU bao gồm 6 mục:
-

2.1. Định nghĩa
2.2. Phân bố xác xuất của vectơ ngẫu nhiên
2.3. Phân bố xác xuất có điều kiện và kì vọng có điều kiện
2.4. Hiệp phương sai, hệ số tương quan
2.5. Hàm hai biến ngẫu nhiên liên tục
2.6. Phân phối chuẩn hai chiều

5


Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
Chương này dành cho việc trình bày một số kiến thức về Lý thuyết xác
suất. Các khái niệm và các tính chất trong chương này được trình bày nhằm
phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính của chương sau.

1.1. Hệ tiên đề Kolmogorov
• Tiên đề thứ nhất

Với tập bất kỳ 𝐸 ∈ 𝐹, nghĩa là với mọi biến cố E, 𝑃(𝐸) ≥ 0
Nghĩa là, xác suất của một biến cố là một số thực khơng âm.
• Tiên đề thứ hai
𝑃(𝛺) = 0
Nghĩa là, xác suất một biến cố sơ cấp nào đó trong tập mẫu sẽ xảy ra là
1. Cụ thể hơn, không có biến cố sơ cấp nào nằm ngồi tập mẫu.
Điều này thường bị bỏ qua trong một số nhầm lẫn trong tính tốn xác
suất; nếu ta khơng thể định nghĩa chính xác tồn bộ tập mẫu thì cũng sẽ khơng
thể định nghĩa xác suất của tập con bất kỳ.
• Tiên đề thứ ba
Một chuỗi đếm được bất kỳ gồm các biến cố đôi một không giao
nhau 𝐸1 , 𝐸2 , … thỏa mãn
𝑃(𝐸1 ∪ 𝐸2 ∪ … ) = ∑ 𝑃(𝐸𝑖 )
Nghĩa là, xác suất của một tập biến cố là hợp của các tập con không giao
nhau bằng tổng các xác suất của các tập con đó. Đó gọi là σ-cộng tính (σadditivity). Quan hệ này khơng đúng nếu có hai tập con giao nhau.

1.2. Xác suất có điều kiện
Định nghĩa 1.1. Cho không gian xác suất (Ω, ℱ, 𝑃) và hai biến cố 𝐴, 𝐵 ∈
ℱ với 𝑃(𝐵) ≠ 0. Xác suất của A với điều kiện B đã xảy ra, kí hiệu 𝑃(𝐴|𝐵),
xác định bởi
6


𝑃(𝐴|𝐵) =

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)

Tính chất 1.1.
1) 𝑃(∅|𝐵) = 0, 𝑃(𝐵|𝐵) = 1, 𝑃(Ω|𝐵) = 1.

2) 𝑃(𝐴|𝐵) + 𝑃(𝐴̅|𝐵) = 1.
3) Nếu (𝐴𝑖 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛) là các biến cố đơi một xung khắc thì:
𝑛

𝑛

𝑃 (⋃ 𝐴𝑖 |𝐵) = ∑ 𝑃(𝐴𝑖 |𝐵)
𝑖=1

𝑖=1

4) Nếu 𝑃(𝐵) ≠ 0 thì 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵)𝑃(𝐴|𝐵).
Nếu 𝑃(𝐴) ≠ 0 thì 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴).
5) 𝑃(𝐴|𝐵) =

𝑃(𝐵)𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐴)

𝑛ế𝑢 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) ≠ 0.

1.3. Công thức nhân xác suất
Định lí 1.1. Cho 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 là các biến có của khơng gian mẫu Ω
thỏa mãn 𝑃(𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛−1 ) ≠ 0. Khi đó:
𝑃(𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛−1 ) = 𝑃(𝐴1 )𝑃(𝐴2 |𝐴1 )𝑃(𝐴3 |𝐴1 𝐴2 ) … 𝑃(𝐴𝑛 |𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛−1 ).

1.4. Biến cố độc lập
Định nghĩa 1.2. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵).
Trong trường hợp tổng quát ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.3. Một tập hữu hạn các biến cố {𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛 } (n ≥ 2)

được gọi là độc lập nếu với mọi k (2 ≤ k ≤ n) biến cố bất kì 𝐴𝑛1 , 𝐴𝑛2 … , 𝐴𝑛𝑘 ,
1 ≤ 𝑛1 < 𝑛2 < ⋯ < 𝑛𝑘 ≤ 𝑛, ta có:
𝑃(𝐴𝑛1 . 𝐴𝑛2 … 𝐴𝑛𝑘 ) = 𝑃(𝐴𝑛1 )𝑃(𝐴𝑛2 ) … 𝑃(𝐴𝑛𝑘 ).

7


Dễ thấy rằng, một tập con các biến cố của một tập hữu hạn các biến cố
độc lập cũng độc lập. Trường hợp n = 3, ba biến cố A, B, C độc lập khi và chỉ
khi thỏa mãn 4 đẳng thức sau:
𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵),
𝑃(𝐵𝐶) = 𝑃(𝐵)𝑃(𝐶),
𝑃(𝐶𝐴) = 𝑃(𝐶)𝑃(𝐴),
𝑃(𝐴𝐵𝐶) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶).
Định lí 1.2. Nếu A và B độc lập thì A và 𝐵, 𝐴 và B, 𝐴 và 𝐵 là những cặp
biến cố độc lập.
Nhận xét 1.2. Từ Định lí 1.2, ta có: Nếu 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 là các biến cố độc
lập thì các biến cố 𝐵1 , 𝐵2 , … , 𝐵𝑛 , trong đó 𝐵𝑖 là 𝐴𝑖 hoặc 𝐴𝑖 , cũng độc lập.
Định nghĩa 1.4. Một tập hữu hạn các biến cố 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 (n ≥ 2)
được gọi là đôi một độc lập nếu với mọi 𝑖 ≠ 𝑗 ta có:
𝑃(𝐴𝑖 . 𝐴𝑗 ) = 𝑃(𝐴𝑖 )𝑃(𝐴𝑗 ).
Nhận xét 1.3. Các biến cố 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 độc lập thì chúng độc lập đơi
một. Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung là khơng đúng.

1.5. Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.5. Cho không gian xác suất (Ω, ℱ, 𝑃). Ánh xạ X : Ω → ℝ
được gọi là biến ngẫu nhiên nếu với mọi 𝐴 ∈ 𝓑(ℝ):
𝑋 −1 (𝐴) = {𝜔 ∈ Ω ∶ 𝑋(𝜔) ∈ 𝐴} ∈ ℱ.
Tập tất cả các giá trị của X được gọi là miền giá trị của X và kí hiệu là 𝑋(Ω).

1.6. Kỳ vọng và phương sai
1.5.2. Kì vọng
Định nghĩa 1.6. Cho biến ngẫu nhiên X xác định trên không gian xác suất
(Ω, ℱ, 𝑃) có hàm phân phối xác suất 𝐹𝑋 (𝑥). Khi đó, nếu
8


∫ |𝑥|𝑑 𝐹𝑋 (𝑥) < +∞,
ℝ

(trong đó tích phân vế phải là tích phân Lebesgue - Stieltjes) thì giá trị
∫ 𝑥𝑑 𝐹𝑋 (𝑥)
ℝ

được gọi là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là 𝐸(𝑋), tức là:
𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑑 𝐹𝑋 (𝑥).
ℝ

Tính chất 1.2.
1) Nếu X = C là hằng số thì E(C) = C.
2) Nếu a, b ∈ R và X, Y là hai biến ngẫu nhiên cùng xác định trên khơng
gian xác suất (Ω, ℱ, 𝑃) thì:
𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏 𝑣à 𝐸(𝑋 ± 𝑌 ) = 𝐸(𝑋) ± 𝐸(𝑌 ).
Định lí 1.3.
1) Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có hàm xác suất 𝑝(𝑥) thì:
𝐸(𝑋) =

∑

𝑥𝑘 𝑝(𝑥𝑘 ).

𝑥𝑘 ∈ 𝑋(𝛺)

2) Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất 𝑓(𝑥) thì:
+∞

𝐸(𝑋) = ∫

𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

−∞

Định lí 1.4. Cho X là biến ngẫu nhiên và g(x) là hàm Borel trên ℝ sao cho
∫ |𝑔(𝑥)|𝑑𝐹𝑋 (𝑥) < ∞.
ℝ

Khi đó:
1) Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có hàm xác suất p(x) thì:
𝐸(𝑔(𝑋)) =

∑
𝑥𝑘 ∈ 𝑋(𝛺)

9

𝑔(𝑥𝑘 )𝑝(𝑥𝑘 )


2) Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f(x) thì:
+∞

𝐸(𝑔(𝑋)) = ∫

𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

−∞

1.5.2. Phương sai
Định nghĩa 1.7. Cho biến ngẫu nhiên 𝑋 xác định trên khơng gian xác suất
(Ω, ℱ, 𝑃). Khi đó, nếu tồn tại kỳ vọng 𝐸(𝑋 − 𝐸(𝑋)) 2 thì giá trị này được gọi
là phương sai của biến ngẫu nhiên 𝑋, kí hiệu 𝑉(𝑋) (𝑉𝑎𝑟(𝑋), 𝐷(𝑋)), tức là:
V(X) = E(X − E(X)) 2 .
Tính chất 1.3.
1) 𝑉(𝑋) ≥ 0, 𝑉(𝑋) = 0 khi và chỉ khi P(X = C) = 1 (C - hằng số).
2) (𝑉 𝑋) = 𝐸(𝑋 2 ) − (𝐸(𝑋))2 .
3) 𝑉(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎2 𝑉(𝑋) với mọi 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ.
Định lí 1.5.
1) Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc 𝑋 có hàm xác suất 𝑝(𝑥) thì:
2

𝑉(𝑋) =

∑

𝑥𝑘2 𝑝(𝑥𝑘 ) − ( ∑

𝑥𝑘 ∈ 𝑋(𝛺)

𝑥𝑘 𝑝 (𝑥𝑘 )) .

𝑥𝑘 ∈ 𝑋(𝛺)

2) Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f(x) thì:
+∞

𝑉(𝑋) = ∫

2

+∞
2

𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − (∫

−∞

𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥)

−∞

1.7. Một số phân phối xác suất
1.6.1 Phân phối nhị thức
Định nghĩa 1.8. Biến ngẫu nhiên rời rạc 𝑋 được gọi là có phân phối nhị
thức với tham số 𝑛 và 𝑝(𝑛 ∈ ℕ∗ 𝑣à 0 < 𝑝 < 1) nếu 𝑋 có miền giá trị 𝑋(Ω) =
{0, 1, . . . , 𝑛} và hàm xác suất:
𝐶𝑛𝑘 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 , 𝑘 ∈ 𝑋(𝛺)
𝑝(𝑘) = {
0,
𝑘 ∉ 𝑋(𝛺)
10

Kí hiệu: 𝑋 ∼ 𝐵(𝑛, 𝑝)
Tính chất 1.4.
1) Nếu 𝑋 ∼ 𝐵(𝑛, 𝑝) thì 𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝 và 𝑉(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝).
2) Nếu 𝑋1 , 𝑋2 , . . . , 𝑋𝑛 là n biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối xác
suất với 𝑋 ∼ 𝐵𝑒𝑟(𝑝) thì biến ngẫu nhiên 𝑇 = 𝑋1 + 𝑋2 , +. . . +𝑋𝑛 có phân phối
nhị thức 𝐵(𝑛, 𝑝).
1.6.2 Phân phối chuẩn
Định nghĩa 1.9. Biến ngẫu nhiên liên tục 𝑋 được gọi là có phân phối chuẩn
với tham số 𝜇 và 𝜎(−∞ < µ < +∞, 𝜎 > 0) nếu có hàm mật độ xác suất:
𝑓(𝑥) =

1
𝜎√2𝜋

(𝑥−µ) 2
−
𝑒 2𝜎2

, 𝑥 ∈ ℝ.

Kí hiệu 𝑋 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎 2 ).
Phân phối chuẩn tắc
Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với tham số µ = 0 và 𝜎 = 1 được
gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc và kí hiệu là 𝑍. Khi đó, hàm mật
độ xác suất được kí hiệu là 𝜑(𝑥),
𝜑(𝑥) =

1

√2𝜋

𝑥2
−
𝑒 2

, 𝑥 ∈ ℝ.

Hàm phân phối xác suất được kí hiệu là 𝛷(𝑥), tức là 𝛷(𝑥) =
𝑃(𝑍 < 𝑥) hay
𝑥

𝛷(𝑥) = ∫ 𝜑(𝑡)𝑑𝑡 =
−∞

1
√2𝜋

𝑥

𝑡2
−
∫𝑒 2

𝑑𝑡, 𝑥 ∈ ℝ.

−∞

Chú ý rằng 𝛷(−𝑥) = 1 − 𝛷(𝑥), ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
Tính chất 1.5. Cho biến ngẫu nhiên 𝑋 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎 2 ). Khi đó:

1) 𝐸(𝑋) = 𝜇, 𝑉 (𝑋) = 𝜎 2 .
2) Nếu 𝑋 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) thì 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏 ∼ 𝑁(𝑎𝜇 + 𝑏, 𝑎2 𝜎 2 ), 𝑎 ≠ 0. Đặc
biệt,
𝑍=

𝑋−𝜇
∼ 𝑁(0; 1).
𝜎
11


3) Nếu 𝑋1 , . . . , 𝑋𝑛 là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn 𝑋𝑖 ∼
𝑁(𝜇𝑖 , 𝜎𝑖2 ), 𝑖 = 1, 𝑛 thì biến ngẫu nhiên 𝑋 = 𝜆1 𝑋1 + . . . + 𝜆𝑛 𝑋𝑛 + 𝐶 (𝜆𝑖 , 𝐶 là
các hằng số,
𝑛

∑ 𝜆2𝑖 ≠ 0
𝑖=1

cũng có phân phối chuẩn với
𝑛

𝑛

𝜇𝑋 = 𝐸(𝑋) = 𝐸 (∑ 𝜆𝑖̇ 𝑋𝑖 + 𝐶 ) = ∑ 𝜆𝑖̇ 𝜇𝑖 + 𝐶
𝑖=1
𝑛

{

𝑖=1
𝑛

𝜎𝑋2 = 𝐷(𝑋) = 𝐷 (∑ 𝜆𝑖̇ 𝑋𝑖 + 𝐶 ) = ∑ 𝜆2𝑖 𝜎𝑖2
𝑖=1

𝑖=1

Đặc biệt, nếu 𝑋1 , . . . , 𝑋𝑛 độc lập và có cùng phân phối chuẩn 𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) thì
𝑋1 + ⋯ + 𝑋𝑛
𝜎2
𝑋1 + ⋯ + 𝑋𝑛 ∼ 𝑁(𝑛𝜇, 𝑛𝜎 ); 𝑋 =
∼ 𝑁 (𝜇, ).
𝑛
𝑛
2

12


Chương 2. VECTƠ NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU
Chương này trình bày khái niệm về vectơ ngẫu nhiên hai chiều và hàm
phân phối xác suất đồng thời, giới thiệu về phân phối đồng thời rời rạc, phân
phối đồng thời liên tục, phân phối biên, phân phối có điều kiện, kỳ vọng có điều
kiện, hiệp phương sai, hệ số tương quan và phân phối chuẩn hai chiều.

2.1. Định nghĩa
Định nghĩa 2.1. Cho hai biến ngẫu nhiên X, Y xác định trên không gian
xác suất (Ω, ℱ, 𝑃). Ánh xạ Z : Ω → ℝ × ℝ xác định bởi Z(ω) = (X(ω), Y(ω))
được gọi là vectơ ngẫu nhiên 2 chiều và kí hiệu là Z = (X,Y), nếu với mọi A ∈

ℬ (ℝ2) (σ-đại số Borel trên ℝ2),
{𝑍 ∈ 𝐴 = {𝜔 ∈ Ω: (𝑋(𝜔), 𝑌(𝜔)) ∈ 𝐴} ∈ ℱ.
Miền giá trị của Z = (X,Y) được kí hiệu Z(Ω).

2.2. Phân bố xác xuất của vectơ ngẫu nhiên
2.2.1. Vectơ ngẫu nhiên hai chiều rời rạc
Định nghĩa 2.2. Cho vectơ ngẫu nhiên Z = (X, Y) có miền giá trị:
Z (Ω) = {(xi, yj) : i, j ≥ 1}.
Hàm xác suất đồng thời của Z = (X, Y) là hàm số p : ℝ2 → ℝ xác định
bởi:
𝑃 ( 𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦) nếu (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑍 (Ω)
𝑝(𝑥, 𝑦) = {
0
nếu (𝑥, 𝑦) ∉ 𝑍 (Ω)
Trong trường hợp X và Y có miền giá trị lần lượt là {x1, x2,..., xm}, {y1,
y2,..., yn}, đặt:
pij = P (X = xi; Y = yj), i = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚, j = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛.
Bảng chữ nhật sau được gọi là bảng phân bố xác suất đồng thời của vectơ
ngẫu nhiên (X, Y).

13


Y
y1

y2

...

yn

x1

p11

p12

...

p1n

x2

p21

p22

...

p2n

...

...

...

...

...

xm

pm1

pm2

...

pmn

X

Ví dụ 2.1 Gieo đồng thời 1 đồng xu và 1 con xúc xắc cân đối đồng chất.
Gọi X là số mặt sấp xuất hiện của đồng xu, Y là số chấm xuất hiện trên mặt con
xúc xắc. Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của (X, Y).
Giải. Gọi X là số mặt sấp xuất hiện của đồng xu, Y là số chấm xuất hiện
trên mặt con xúc xắc.
Ta có X(Ω) = {0, 1}, Y (Ω) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
𝑃(𝑋 = 0, 𝑌 = 1) =

1 1
1
. =
2 6 12

𝑃(𝑋 = 0, 𝑌 = 2) =

1 1
1
. =
2 6 12

...
𝑃(𝑋 = 1, 𝑌 = 1) =

1
12

...
Bảng phân bố xác suất đồng thời của X và Y là:
Y
1

2

3

4

5

6

0

1/12

1/12

1/12

1/12

1/12

1/12

1

1/12

1/12

1/12

1/12

1/12

1/12

X

14

Ví dụ 2.2. Trong một hộp có 5 quả bóng bàn, trong đó có 3 quả chưa sử
dụng (mới) và 2 quả đã sử dụng (cũ). Lần 1 lấy ngẫu nhiên 2 quả ra sử dụng
sau đó trả lại hộp. Lần thứ 2 lấy ra 2 quả để sử dụng. Gọi X là số bóng mới lấy
ra ở lần thứ nhất, Y là số bóng mới lấy ra ở lần thứ 2. Lập bảng phân phối xác
suất đồng thời của (X, Y ).
Giải.
𝑃(𝑋 = 0, 𝑌 = 0) = 𝑃(𝑋 = 0)𝑃(𝑌 = 0|𝑋
𝑃(𝑋 = 0, 𝑌 = 1) = 𝑃(𝑋 = 0)𝑃(𝑌 = 1|𝑋
𝑃(𝑋 = 0, 𝑌 = 2) = 𝑃(𝑋 = 0)𝑃(𝑌 = 2|𝑋
𝑃(𝑋 = 1, 𝑌 = 0) = 𝑃(𝑋 = 1)𝑃(𝑌 = 0|𝑋
𝑃(𝑋 = 1, 𝑌 = 1) = 𝑃(𝑋 = 1)𝑃(𝑌 = 1|𝑋
𝑃(𝑋 = 1, 𝑌 = 2) = 𝑃(𝑋 = 1)𝑃(𝑌 = 2|𝑋
𝑃(𝑋 = 2, 𝑌 = 0) = 𝑃(𝑋 = 2)𝑃(𝑌 = 0|𝑋
𝑃(𝑋 = 2, 𝑌 = 2) = 𝑃(𝑋 = 2)𝑃(𝑌 = 2|𝑋
𝑃(𝑋 = 2, 𝑌 = 1) = 𝑃(𝑋 = 2)𝑃(𝑌 = 1|𝑋

𝐶22 𝐶22
= 0) = 2 2 = 0,01
𝐶5 𝐶5
𝐶22 𝐶31 𝐶21
= 0) =
= 0,06
𝐶52 𝐶52
𝐶22 𝐶32
= 0) = 2 2 = 0,03
𝐶5 𝐶5
𝐶31 𝐶21 𝐶32
= 1) =
= 0,18
𝐶52 𝐶52

𝐶31 𝐶21 𝐶31 𝐶21
= 1) =
= 0,36
𝐶52 𝐶52
𝐶31 𝐶21 𝐶22
= 1) =
= 0,06
𝐶52 𝐶52
𝐶32 𝐶42
= 2) = 2 2 = 0,18
𝐶5 𝐶5
= 2) = 0
𝐶32 𝐶43
= 2) = 2 2 = 0,12
𝐶5 𝐶5

Bảng phân bố xác suất đồng thời của (X, Y ) là:
Y
0

1

2

0

0,01

0,06

0,03

1

0,18

0,36

0,06

2

0,18

0,12

0

X

Định lí 2.1. Cho vectơ ngẫu nhiên Z = (X, Y) có miền giá trị
15


𝑍(Ω) = {(𝑥𝑖, 𝑦𝑗) ∶ 𝑥𝑖 ∈ 𝑋 (Ω), 𝑦𝑗 ∈ 𝑌 (Ω)}.
Khi đó:

1)
∑

𝑝(𝑥𝑖 ; 𝑦𝑗 ) = 1

𝑥𝑖 ,𝑦𝑖 ∈𝑍(Ω)

2) Hàm xác suất của biến ngẫu nhiên X:
𝑝𝑋 (𝑥) = ∑ 𝑃 ( 𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦𝑗 )
𝑦𝑗 ∈𝑌(Ω)

3)Hàm xác suất của biến ngẫu nhiên Y:
𝑝𝑌 (𝑦) = ∑ 𝑃 ( 𝑋 = 𝑥𝑖 , 𝑌 = 𝑦)
𝑥𝑖 ∈𝑋(Ω)

Phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là phân phối
biên.
Chứng minh.
1)
∑
𝑥𝑖 ,𝑦𝑖 ∈𝑍(Ω)

𝑝(𝑥𝑖 ; 𝑦𝑗 ) = 𝑃(

{𝑋 = 𝑥𝑖 , 𝑌 = 𝑦𝑗 } = 𝑃(Ω) = 1

⋃
𝑥𝑖 ,𝑦𝑖 ∈𝑍(Ω)

2) Do {Y = y1}, {Y = y2}, ... đôi một xung khắc và
{Y = y1} ∪ {Y = y2} ∪ ... = Ω
Nên ta có
𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑃({𝑋 = 𝑥} ∩ ( {𝑌 = 𝑦1} ∪ {𝑌 = 𝑦2} ∪ … ))

= ∑ 𝑃 ( 𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦𝑗 )
𝑦𝑗 ∈𝑌(Ω)

3) Chứng minh tương tự 2).
Xét trường hợp (X, Y) có bảng phân bố xác suất đồng thời:
16


Y
y1

y2

...

yn

x1

p11

p12

...

p1n

x2

p21

p22

...

p2n

...

...

...

...

...

xm

pm1

pm2

...

pmn

X

Khi đó, trong thực hành để tìm các phân phối biên ta chỉ cần tính tổng xác

suất theo hàng và theo cột từ bảng phân bố đồng thời. Cụ thể, bảng phân phối
xác suất của X và của Y lần lượt là:
x

𝑥1

𝑥2

...

𝑥𝑚

p(x)

𝑝11 + ⋯ + 𝑝1𝑛

𝑝21 + ⋯ + 𝑝2𝑛

...

𝑝𝑚1 + ⋯ + 𝑝𝑚𝑛

y

𝑦1

𝑦2

...

𝑦𝑛

p(y)

𝑝11 + ⋯ + 𝑝𝑚1

𝑝12 + ⋯ + 𝑝𝑚2

...

𝑝1𝑛 + ⋯ + 𝑝𝑚𝑛

2.2.2. Vectơ ngẫu nhiên hai chiều liên tục
Định nghĩa 2.3. Vectơ ngẫu nhiên (X, Y) được gọi là có phân phối đồng
thời liên tục nếu tồn tại hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0, ∀ x, y sao cho với mọi a < b và c
< d ta có:
𝑏

𝑑

𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑌 ≤ 𝑑) = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑎

𝑐

Lúc đó, hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) được gọi là hàm mật độ xác suất đồng thời của (X,Y).
Định lí 2.2. Cho 𝑓(𝑥, 𝑦) là hàm mật độ đồng thời của (X,Y), 𝑓𝑋 (𝑥) và
𝑓𝑌 (𝑥) lần lượt là hàm mật độ xác suất của X và Y. Khi đó:
1)
+∞ +∞

∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1
−∞ −∞

17


2)
+∞

𝑓𝑋 (𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
−∞

3)
+∞

𝑓𝑌 (𝑦) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
−∞

Các hàm 𝑓𝑋 (𝑥) và 𝑓𝑌 (𝑦) được gọi là các hàm mật độ biên.
Chứng minh.
1)
+∞ +∞

∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑃(𝑋 ∈ ℝ, 𝑌 ∈ ℝ) = 𝑃(Ω) = 1
−∞ −∞

2) Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X:
+∞

𝑥

𝑓𝑋 (𝑥) = 𝑃(𝑋 < 𝑥) = 𝑃(𝑋 < 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ) = ∫ ( ∫ 𝑓(𝑡, 𝑦)𝑑𝑡) 𝑑𝑦
−∞

−∞

Lấy đạo hàm hai vế theo x ta được:
+∞

𝑓𝑋 (𝑥) = 𝐹 ′𝑋 (𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
−∞

3) Chứng minh tương tự 2).
Nhận xét 2.1. Cho vectơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ xác suất đồng
thời 𝑓(𝑥, 𝑦). Khi đó, với D ∈ ℬ (ℝ2) ta có:
𝑃((𝑋, 𝑌) ∈ 𝐷) = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷

Ví dụ 2.3. Cho vectơ ngẫu nhiên (𝑋, 𝑌) có hàm mật độ xác suất đồng thời:
𝑐𝑒 −𝑥−𝑦 nếu x ≥ 0 và y ≥ 0,
𝑓(𝑥, 𝑦) = {
0
nếu trái lại.
a) Tìm hằng số c.
18


b) Tìm hàm mật độ xác suất của X và của Y .
c) Tìm xác suất để (X, Y) nhận giá trị trong miền chữ nhật:

𝐷 = {(𝑥, 𝑦): 1 ≤ 𝑥 ≤ 2,0 < 𝑦 < 2}.
d) Tìm hàm mật độ của biến ngẫu nhiên 𝑍 =

𝑋
𝑌

.

Giải.
a) Ta có:
+∞ +∞

+∞ +∞

∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1 ⇔ c ∫ ∫ 𝑒 −𝑥−𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1 ⇔ c = 1.
−∞ −∞

−∞ −∞

Vì vậy:
𝑒 −𝑥−𝑦 nếu x ≥ 0 , y ≥ 0,
𝑓(𝑥, 𝑦) = {
0
nếu trái lại.
b) Các hàm mật độ biên:
−𝑥
nếu x ≥ 0
𝑓𝑋 (𝑥) = {𝑒
0
nếu x < 0

𝑒 −𝑦 nếu y ≥ 0
𝑓𝑌 (𝑦) = {
0
nếu y < 0.
c)
2 2

𝑃(1 ≤ 𝑋 ≤ 2, 0 < 𝑌 < 2) = ∫ ∫ 𝑒 −𝑥−𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑒 −4 − 𝑒 −2 − 𝑒 −3 + 𝑒 −1 .
1 0

d)

Với

𝑧 > 0,

ta

có

hàm

phân

+∞ 𝑦𝑧

𝐹𝑍 (𝑧) = 𝑃(𝑍 < 𝑧) = ∬

𝑥

<𝑧
𝑦

𝑒 −(𝑥+𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ∫ 𝑒 −(𝑥+𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦
0

+∞

+∞

=∫

0

(1 − 𝑒

−𝑦𝑧

)𝑒

−𝑦

𝑑𝑦 = (𝑒

−𝑦

0

Do đó, hàm mật độ của Z:

19

ⅇ−(𝑧+1)𝑦
+
)|
𝑧+1
0

=1−

1
.
𝑧+1

phối:


1
, 𝑧 > 0,
𝑓𝑍 (𝑧) = 𝐹′𝑍 (𝑧) = {(𝑧 + 1)2
0,
𝑧 ≤ 0.

2.2.3. Hàm phân phối xác suất đồng thời
Định nghĩa 2.4. Cho 2 biến ngẫu nhiên X và Y. Hàm số
𝐹𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑋 < 𝑥, 𝑌 < 𝑦), 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
được gọi là hàm phân phối xác suất đồng thời của vectơ ngẫu nhiên (X, Y).
1. Nếu vectơ ngẫu nhiên (X; Y) có hàm xác suất đồng thời p(x;y)
thì:
𝐹𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦) =

∑

𝑝( 𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 )

𝑥𝑖 <𝑥;𝑦𝑗 <𝑦

2. Nếu vectơ ngẫu nhiên (X; Y) có hàm mật độ xác suất đồng thời
𝑓(𝑥, 𝑦) thì:
𝑥

𝑦

𝐹𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦) = ∫ ∫ 𝑓(𝑢, 𝑣)𝑑𝑢𝑑𝑣
−∞ −∞

Ví dụ 2.4. Tìm hàm phân phối xác suất đồng thời ở Ví dụ 2.3.
Giải. Với 𝑥 ≥ 0 và 𝑦 ≥ 0 ta có:
𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

𝐹𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦) = ∫ ∫ 𝑓(𝑢, 𝑣)𝑑𝑢𝑑𝑣 = ∫ ∫ 𝑒 −𝑢−𝑣 𝑑𝑢𝑑𝑣
−∞ −∞

−∞ −∞

= 𝑒 −𝑥−𝑦 − 𝑒 −𝑥 − 𝑒 −𝑦 + 1
Vì vậy:
𝑒 −𝑥−𝑦 − 𝑒 −𝑥 − 𝑒 −𝑦 + 1
𝐹𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦) = {
0

nếu x ≥ 0, y ≥ 0,
nếu trái lại.

Từ định nghĩa về sự độc lập của hai biến ngẫu nhiên X và Y ta có:
Định lí 2.3. Hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập khi và chỉ khi:
𝐹𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦) = 𝐹𝑋 (𝑥). 𝐹𝑌 (𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
20


Định lí 2.4. Hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập khi và chỉ khi:
𝑓𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑋 (𝑥). 𝑓𝑌 (𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
Trong đó 𝑓(x,y), 𝑓𝑋 (𝑥), 𝑓𝑌 (𝑦) lần lượt là hàm mật độ xác suất (hoặc hàm
xác suất trong trường hợp biến ngẫu nhiên rời rạc) của (X, Y), X, Y.
Ví dụ 2.5. Cho vectơ ngẫu nhiên (𝑋, 𝑌) có hàm mật độ đồng thời
2𝑒 −𝑥−2𝑦 nếu x > 0, y < +∞,
𝑓(𝑥, 𝑦) = {
0
nếu trái lại.
a) Tính 𝑃(𝑋 > 1, 𝑌 < 1) và 𝑃(𝑋 < 𝑌).
b) Chứng minh X, Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập.
Giải. a) Ta có:
1

+∞

𝑃(𝑋 > 1, 𝑌 < 1) = ∫ ∫
0

2𝑒 −𝑥−2𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑒 −1 (1 − 𝑒 −2 ).

1

và đặt 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 : 𝑥 < 𝑦},
+∞

𝑃(𝑋 < 𝑌) = ∬ 2𝑒

−𝑥−2𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫

𝐷

0

𝑦

∫ 2𝑒 −𝑥−2𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 =
0

b) Các hàm mật độ biên:
+∞

𝑓𝑋 (𝑥) = ∫
−∞
+∞

𝑓𝑌 (𝑦) = ∫
−∞

𝑒 −𝑥 ,
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = {
0,

𝑥>0
𝑥≤0

2𝑒 −2𝑦 , 𝑦 > 0
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 = {
0,
𝑦≤0

Vì 𝑓𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑋 (𝑥). 𝑓𝑌 (𝑦) nên X, Y độc lập.

2.3. Phân bố xác suất có điều kiện và kì vọng có điều kiện
2.3.1. Phân phối đồng thời rời rạc
Cho (X, Y) có bảng phân bố xác suất đồng thời:

21

1
3

Y
y1

...

yj

...

yn

x1

p11

...

p1j

...

p1n

x2

p21

...

p2j

...

p2n

...

...

...

...

...

...

xm

pm1

...

pmj

...

pmn

X

Khi đó ta có:
𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 |𝑌 = 𝑦𝑗 ) =
=

𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 , 𝑌 = 𝑦𝑗 )
𝑃(𝑌 = 𝑦𝑗 )

𝑝𝑖𝑗
.
𝑝1𝑗 + 𝑝2𝑗 + ⋯ + 𝑝𝑚𝑗

Từ đó ta có hàm xác suất có điều kiện của X với điều kiện Y = 𝑦𝑗 như sau:
𝑝𝑖𝑗
𝑛ế𝑢 𝑥 = 𝑥𝑖 ∈ X(Ω)
𝑝𝑦𝑗 (𝑥) = {𝑝1𝑗 + 𝑝2𝑗 + ⋯ + 𝑝𝑚𝑗
0
𝑛ế𝑢 𝑥 ∉ X(Ω).

Kì vọng của X với điều kiện Y = yj:
𝑚

𝐸(𝑋|𝑌 = 𝑦𝑗 ) = ∑ x𝑖 P(X = x𝑖 |Y = y𝑗 ) =
𝑖=1

𝑥1 𝑝1𝑗 + 𝑥2 𝑝2𝑗 + ⋯ + 𝑥𝑚 𝑝𝑚𝑗
.
𝑝1𝑗 + 𝑝2𝑗 + ⋯ + 𝑝𝑚𝑗

2.3.2. Phân phối đồng thời liên tục
Định nghĩa 2.5. Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên liên tục và y ∈ R. Nếu
tồn tại hàm số 𝑓𝑦 (𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 sao cho với mọi a < b ta có:
𝑏

𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏|𝑌 = 𝑦) = ∫𝑎 𝑓𝑦 (𝑥)𝑑𝑥.

22


thì 𝑓𝑦 (𝑥) được gọi là hàm mật độ xác suất có điều kiện của biến ngẫu nhiên X
với điều kiện Y = y. Hàm mật độ xác suất 𝑓𝑦 (𝑥) cịn được kí hiệu bởi 𝑓(𝑥|𝑦).
Khi đó:
+∞

𝐸(𝑋|𝑌 = 𝑦) = ∫

𝑥 𝑓(𝑥|𝑦)𝑑𝑥.

+∞

Định lí 2.5. Cho (X, Y) có hàm mật độ xác suất đồng thời 𝑓(x,y). Giả sử
𝑓(𝑥|𝑦) là hàm mật độ xác suất có điều kiện của X với điều kiện Y = y và 𝑓(𝑦|𝑥)
hàm mật độ xác suất có điều kiện của Y với điều kiện X = x. Khi đó:
1) 𝑓(𝑥|𝑦) =
2) 𝑓(𝑦|𝑥) =

𝑓(𝑥,𝑦)
𝑓𝑌 (𝑦)
𝑓(𝑥,𝑦)

𝑓𝑋 (𝑥)

𝑛ế𝑢 𝑓𝑌 (𝑦) ≠ 0.
𝑛ế𝑢 𝑓𝑋 (𝑥) ≠ 0.

Chứng minh.
1) Với a < b ta có:
𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏|𝑌 = 𝑦) = lim 𝑃(𝑎 < 𝑋 < |𝑦 ≤ 𝑌 ≤ 𝑦 + 𝑡)
t→0

= lim
t→0

P(a < X < b, y ≤ Y ≤ t)
P(y ≤ Y ≤ y + t)
𝑦+𝑡

= 𝑙𝑖𝑚

∫𝑦

𝑡→0

𝑏

∫𝑎 𝑓(𝑥, 𝑣)𝑑𝑥𝑑𝑣
𝑦+𝑡

∫𝑦

𝑓𝑌 (𝑣) 𝑑𝑣

Áp dụng quy tắc l’Hôpital ta được:
𝑑 𝑦+𝑡 𝑏
∫𝑦 ∫𝑎 𝑓(𝑥, 𝑣)𝑑𝑥𝑑𝑣
𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏|𝑌 = 𝑦) = lim 𝑑𝑡
𝑑 𝑦+𝑡
t→0
𝑓𝑌 (𝑣)𝑑𝑣
𝑑𝑡 ∫𝑦
Theo tính chất của tích phân:
𝑑 𝑦+𝑡
∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑔(𝑦 + 𝑡)
𝑑𝑡 𝑦
Ta được:

23


𝑏

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏|𝑌 = 𝑦) = lim 𝑎
t→0
𝑓𝑌 (𝑦 + 𝑡)
𝑏

=

∫𝑎 lim 𝑓(𝑢, 𝑦 + 𝑡)𝑑𝑢

t→0

lim 𝑓𝑌 (𝑦 + 𝑡)

t→0
𝑏

=∫
𝑎

(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑥
𝑓𝑌 (𝑦)

Vì vậy,
𝑓 (x|y) =

(𝑥, 𝑦)
𝑓𝑌 (𝑦)

Chứng minh tương tự cho trường hợp (2).
Ví dụ 2.6. Cho vectơ ngẫu nhiên (X, Y) có hàm mật độ xác suất đồng thời:
2𝑒 −𝑥−𝑦 nếu y > x > 0,
𝑓(𝑥, 𝑦) = {
0
nếu trái lại.
a) Cho 𝑥 > 0, tìm 𝑓(𝑦|𝑥).
b) Cho 𝑦 > 0, tìm 𝑓(𝑥|𝑦).
Giải. a) Với 𝑥 > 0 ta có:
+∞

𝑓𝑋 (𝑥) = ∫

𝑥

+∞

𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 + ∫

−∞

−∞

𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦

𝑥

+∞

=0+∫

2𝑒 −𝑥−𝑦 𝑑𝑦 = 2𝑒 −2𝑥

𝑥

Do đó:
2𝑒 −𝑥−𝑦 nếu y > x,
𝑓(𝑦|𝑥) = {
0
nếu y ≤ x.

b) Với 𝑦 > 0 ta có:
+∞

𝑓𝑌 (𝑦) = ∫
−∞

𝑦

𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 = ∫ 2𝑒 −𝑥−𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑒 −𝑦 (1 − 𝑒 −𝑦 )
0

Do đó:
24


𝑒 −𝑥
nếu y > x > 0,
𝑓(x|y) = {1 − 𝑒 −𝑦
0
nếu trái lại.

2.4. Hiệp phương sai, hệ số tương quan
2.4.1. Hiệp phương sai
Định nghĩa 2.6. Cho vectơ ngẫu nhiên (X, Y). Hiệp phương sai của X và
Y là một số xác định bởi công thức:
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋))(𝑌 − 𝐸(𝑌))].
Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là tương quan với nhau nếu Cov(X,
Y) ≠ 0 và khơng tương quan nếu 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 0.
Định lí 2.6.
1) 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌).

2) 𝐶𝑜𝑣(𝑎𝑋 + 𝑎′, 𝑏𝑌 + 𝑏′) = 𝑎𝑏𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌), trong đó a, a′, b, b là các
hằng số.
3) 𝑉(𝑋 ± 𝑌) = 𝑉(𝑋) + 𝑉(𝑌) ± 2 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌).
4) Nếu X và Y độc lập thì 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 0.
Nhận xét 2.2.
1) 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐶𝑜𝑣(𝑌, 𝑋) và 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑋) = 𝐷(𝑋).
2) Nếu X, Y độc lập thì chúng khơng tương quan, tuy nhiên điều ngược lại
nói chung khơng đúng.
Định lí 2.7. Cho vectơ ngẫu nhiên Z = (X, Y). Khi đó,
∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑗 𝑝(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 ),
𝐸(𝑋𝑌) =

𝑛ế𝑢 (𝑋, 𝑌) 𝑟ờ𝑖 𝑟ạ𝑐,

𝑖,𝑗

∞

∞

∫ ∫ 𝑥𝑦𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝑛ế𝑢 (𝑋, 𝑌) 𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐,
{ −∞ −∞
Trong đó p(x,y) là hàm xác suất nếu (X,Y) là vectơ ngẫu nhiên rời rạc và
𝑓(x,y) là hàm mật độ xác suất nếu (X,Y) là vectơ ngẫu nhiên liên tục.
Định lí 2.8.
25