Tài liệu Đại lượng ngẫu nhiên 1 chiều docx

Đại lượng ngẫu nhiên 1 chiều
Nguồn: thunhan.wordpress.com
I. ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
1) Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng mà trong kết quả của phép thử
sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó với một xác suất tương
ứng xác định.
Các đại lượng ngẫu nhiên thường được ký hiệu bằng chữ cái lớn ở cuối bảng chữ
cái:
X, Y, Z hoặc X
1
, X , …, X
2 n
; Y , Y , …, Y
1 2 n
và dùng các chữ nhỏ để ký hiệu
các giá trị có thể có (giá trị cụ thể) của chúng. Chẳng hạn X nhận các giá trị
x , x ,
…, x .
1 2
n
Ta chú ý rằng sở dĩ đại lượng X nào đó gọi là ngẫu nhiên vì trước khi tiến hành
phép thử ta chưa có thể nói một cách chắc chắn nó sẽ nhận giá trị bằng bao nhiêu
mà chỉ có thể dự đoán điều đó với một xác suất nhất định.
Nói một cách khác ,việc X nhận giá trị nào đó (X = x
1
) hay (X = x
2
), …, (X = x
n
)
về thực chất là các biến cố ngẫu nhiên. Hơn nữa vì trong kết quả của phép thử đại

lượng X nhất định sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó, do đó
các biến cố (X = x
1
), (X = x
2
), …, (X = x
n
) tạo nên một nhóm biến cố đầy đủ.
Thí dụ 1: Tung một con xúc xắc. Gọi X là “số chấm xuất hiện” thì X là đại lượng
ngẫu nhiên vì trong kết quả của phép thử nó sẽ nhận một trong 6 giá trị: 1, 2, 3, 4,
5, 6 với xác suất tương ứng đều bằng 1/6.
Thí dụ 2: Gọi Y là số phế phẩm có trong 50 sản phẩm lấy ra kiểm tra. Y là đại
lượng ngẫu nhiên vì trong kết quả của phép thử Y sẽ nhận một trong các giá trị 0,
1, 2, …, 50.
2) Phân loại đại lượng ngẫu nhiên
Trong số các đại lượng ngẫu nhiên thường gặp trong thực tế có thể phân thành hai
loại chủ yếu:
đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và đại lượng ngẫu nhiên liên tục.
* Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó lập
nên một tập hợp hữu hạn hoặc đếm được.
Nói cách khác đại lượng ngẫu nhiên sẽ là rời rạc nếu ta có thể liệt kê được tất cả
các giá trị có thể có của nó.
* Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp
kín một khoảng trên trục số.
Đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục ta không thể liệt kê được các giá trị có thể
có của nó.
Thí dụ 3: một phân xưởng có 4 máy hoạt động. Gọi X là: “số máy hỏng trong một
ca”
. X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể có là X = 0, 1, 2, 3, 4.
Thí dụ 4: Gọi X là “kích thước của chi tiết do một máy sản xuất ra”, X là đại

lượng ngẫu nhiên liên tục.
II. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Để xác định một đại lượng ngẫu nhiên, trước hết ta phải biết đại lượng ngẫu nhiên
ấy có thể nhận các giá trị nào. Nhưng mặt khác ta phải biết nó nhận các giá trị trên
với xác suất tương ứng là bao nhiêu.
Bất kỳ một hình thức nào cho phép biểu diễn mối quan hệ giữa các giá trị có thể
có của đại lượng ngẫu nhiên và các xác suất tương ứng đều được gọi là quy luật
phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên ấy.
Để thiết lập quy luật phân phối xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên ta có thể
dùng:
bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất và hàm mật độ xác
suất.
1. Bảng phân phối xác suất:
Bảng phân phối xác suất dùng để thiết lập quy luật phân phối xác suất của đại
lượng ngẫu nhiên rời rạc.
Giả sử đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có thể nhận một trong các giá trị có thể có
là x
1
, x
2
, …, x
n
với các xác suất tương ứng là p
1
, p
2
, …, p
n
. Bảng phân phối xác
suất của X có dạng:

Trong đó các xác suất p
i
(i = 1, 2, …, n) phải thoả mãn các điều kiện:
và
Điều kiện thứ nhất là hiển nhiên vì theo tính chất của xác suất, còn điều kiện thứ
hai là do các biến cố
(X = x ), (X =x ), …, (X = x )
1 2 n
tạo nên một nhóm biến cố đầy
đủ, nên tổng xác suất của chúng bằng một.
Thí dụ 1: Tung một con xúc xắc. Gọi X là “số chấm xuất hiện”. Bảng phân phối
xác suất X có dạng:

Thí dụ 2: Trong hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 chính phẩm. lấy ngẫu nhiên 2
sản phẩm
, xây dựng quy luật phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy
ra.
Giải: Gọi X là: “số chính phẩm được lấy ra từ hộp” thì X là đại lượng ngẫu nhiên
rời rạc có thể nhận các giá trị 0, 1, 2 với các xác suất tương ứng:



Vậy quy luật phân phối xác suất của X là:

2. Hàm phân phối xác suất:
Hàm phân phối xác suất áp dụng cho cả đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và liên
tục
.
Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên bất kỳ, x là một số thực nào đó. Xét biến cố

“đại
lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x”
. Biến cố này được ký hiệu (X < x).
Hiển nhiên là x thay đổi thì xác suất P(X < x) cũng thay đổi theo. Như vậy xác
suất này là một hàm số của x.
a) Định nghĩa: Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là
F(x) là xác suất để đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị nhỏ hơn x, với x là một số
thực bất kỳ.

Ta chú ý rằng đây là định nghĩa tổng quát của hàm phân phối xác suất. Đối với
từng loại đại lượng ngẫu nhiên hàm phân phối xác suất được tính theo công thức
riêng. Chẳng hạn nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì hàm phân phối xác suất
F(x) được xác định bằng công thức
(1)
(Trong đó ký hiệu xi < x dưới dấu Σ có nghĩa là tổng này được lấy theo mọi trị số
xi của đại lượng ngẫu nhiên bé hơn x).
Thí dụ: Tiến hành bắn 3 viên đạn độc lập. Xác suất trúng bia của mỗi viên bằng
0,4. Lập hàm phân phối của số lần trúng.
Giải: Gọi X là số lần trúng. X có thể nhận các giá trị: 0, 1, 2, 3. Với các xác suất
tương ứng là:




Ta có bảng phân phối xác suất của X:

* Khi x = 0, biến cố (X < x) là biến cố không thể có do đó F(x) = 0
* Khi 0 < x = 1 biến cố (X < x) chỉ xảy ra khi X = 0 nên F(x) = P1 = 0,216
* Khi 0 < x = 2 biến cố (X < x) sẽ xảy ra khi X = 0 hoặc khi X = 1
Do đó: F(x) = P1 + P2 = 0,216 + 0,432 = 0,643

* Khi 2 < x = 3 ta có: F(x) = P1 + P2 + P3 = 0,216 + 0,432 + 0,288 = 0,936
* Khi x > 3 ta có: F(x) = P1 + P2 + P3 + P4 = 1
Vậy hàm phân phối xác suất có dạng:

Đồ thị của F(x) được biểu diễn trên hình (3.1).

Như vậy đồ thị hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có dạng
bậc thang với số điểm gián đoạn chính bằng số giá trị có thể có của X.
Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì hàm phân phối xác suất của nó liên tục
và khả vi tại mọi điểm của X, do đó đồ thị của nó là đường cong liên tục.
Trang: 1
2
Phản hồi (20) Trackbacks (0) Để lại phản hồi Trackback
1.

Nhung
13.03.2009 lúc 20:46 |
#1
Trả lời | Trích dẫn
Ta có 2 hộp bi: hộp 1 có 3 bi trắng và 1 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 1 ra 2
viên bi và bỏ vào hộp 2 đã có sẵn 2 bi trắng và 2 bi đỏ. Sau đó, lấy ngẫu
nhiên từ hộp 2 ra 2 viên bỏ vào hộp 1. Gọi X và Y là số bi trắng ở hộp 1 và
hộp 2 sau hai lần chuyển bi như trên. Lập bảng phân phối xác suất của X và
Y
0
0
Bỏ phiếu

o

2Bo02B
13.03.2009 lúc 21:38 | #2
Trả lời | Trích dẫn
Bài này thì phải phân tích từ từ ta mới thấy được.
Trước tiên, lấy 2 viên từ hộp 1. Có thể có 2 trường hợp
TH1: 1 đỏ, 1 trắng => Hộp 1 có 2 trắng, hộp 2 có 3 đỏ, 3 trắng
TH2: 2 trắng => Hộp 1 có 1 trắng, 1đỏ, hộp 2 có 4 trắng, 2 đỏ
Bước 2: lấy 2 viên từ hộp 2.
Với TH1 ta có 3 TH nữa:
TH 1.1: 1 đỏ, 1 trắng => Hộp 2 có 2 đỏ, 2 trắng, hộp 1 có 3 trắng, 1
đỏ.
TH 1.2: 2 đỏ => Hộp 2 có 1 đỏ, 3 trắng; hộp 1 có 2 đỏ, 2 trắng.
TH 1.3: 2 trắng => Hộp 2 có 3 đỏ, 1 trắng; hộp 1 có 4 trắng
Với TH2 ta cũng có 3 TH nữa:
TH 2.1: 1 đỏ, 1 trắng => Hộp 2 có 1 đỏ, 3 trắng, hộp 1 có 2 trắng, 2
đỏ.
TH 2.2: 2 đỏ => Hộp 2 có 4 trắng; hộp 1 có 3 đỏ, 1 trắng.
TH 2.3: 2 trắng => Hộp 2 có 2 đò, 2 trắng; hộp 1 có 3 trắng, 1 đỏ.
Vậy sau khi chuyển qua, chuyển về thì hộp 1 có thể có
X = 1, 2, 3, 4
và hộp 2 có
Y = 1, 2, 3, 4
P(X=1) = P( TH2.2) = P(lần đầu chọn 2 trắng và lần sau chọn 2 đỏ)
Hay

P(X = 2) = P(TH 1.2) + P(TH 2.1)
P(X = 3) = P(TH 1.1) + P(2.3)
P(X = 4) = P(TH 1.3)
tương tự với Y
P(Y = 1) = P(TH 1.3)

P(Y = 2) = P(TH 1.1 ) + P(TH 2.3)
P(Y = 3) = P(TH 1.2) + P(TH 2.1)
P(Y = 4) = P(TH 2.2)