Slide bài giảng lý thuyết xác suất – thống kê toán đại lượng ngẫu nhiên hai chiều hàm của các đại lượng ngẫu nhiên

Chương 4
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU
HÀM CỦA CÁC
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
§1. ĐẠI LƯỢNG
NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU
BẢNG PHÂN PHỐI XÁC
SUẤT ĐỒNG THỜI
CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU
NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠC

BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI CỦA
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠC
Tương tự trường hợp một
chiều, để
mô tả quy luật phân
phối xác suất của đại lượng
ngẫu nhiên hai chiều
rời rạc
ta dùng bảng phân phối xác
suất đồng thời có dạng như
sau:
BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI CỦA
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠC
Y
X
y
1
y
2
…

y
n
x
1
p
11
p
12
…
p
1n
x
2
p
21
p
22
…
p
2n
…
…
…
…
…
x
m
p
m1
p

m2
…
p
mn
BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI CỦA
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠC
Trong đó
( )
( )
( )
( )
ij i j i j
P = P X = x Y = y = P X = x , Y = y
(i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n)
n m
ij
j=1 i=1
p = 1
∑∑
BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI CỦA
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠC

Bảng phân phối xác suất của
thành phần X
X
x
1
x
2
…

x
m
P
p
1
p
2
…
p
m
m
i
i=1
p = 1
∑
BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI CỦA ĐẠI
LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠC

Bảng phân phối xác suất của
thành phần Y
Y
y
1
y
2
…
y
n
P
q

1
q
2
…
q
n
n
j
j=1
q = 1
∑
BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI CỦA
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠC

Hai đại lượng ngẫu nhiên rời
rạc X, Y độc lập với nhau
i j i j
P(X = x , Y = y ) = P(X = x )P(Y = y )
i, j
⇔
∀
BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI CỦA
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠC
Ví dụ 1.1 Chi phí quảng cáo (triệu
đồng/tuần) và doanh thu (triệu
đồng/tuần) của một công ty có bảng
phân phối xác suất đồng thời như
sau:
Doanh thu Y
Chi phí quảng cáo X

1000 1200 1500
20 0,08 0,05 0,01
30 0,2 0,3 0,02
40 0,12 0,2 0,02
BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI CỦA
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠC
Hãy lập bảng phân phối
xác suất của X, Y và tính
E(X), Var(X), E(Y), Var(Y)
BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI CỦA
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠC

Bảng phân phối xác suất của
thành phần X

E(X) = 32

Var(X) = 44
X 20 30 40
P 0,14 0,52 0,34
BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI CỦA
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠC

Bảng phân phối xác suất của
thành phần Y

E(Y) = 1135

Var(Y) = 16275
Y 1000 1200 1500

P 0,4 0,55 0,05
§2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ
ĐIỀU KIỆN CỦA CÁC THÀNH PHẦN CỦA
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU
- KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN
1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC
SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA CÁC
THÀNH PHẦN
2. KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN

1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU
KIỆN CỦA CÁC THÀNH PHẦN

Giả sử (X, Y) là đại lượng ngẫu nhiên
hai chiều rời rạc có bảng phân phối
xác suất đồng thời
Y
X
y
1
y
2
…
y
n
x
1
p
11
p

12
…
p
1n
x
2
p
21
p
22
…
p
2n
…
…
…
…
…
x
m
p
m1
p
m2
…
p
mn
1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU
KIỆN CỦA CÁC THÀNH PHẦN
Bảng phân phối xác suất có điều kiện

của thành phần X với điều kiện Y nhận
giá trị y
j
(cố định)
X
i
X
1
…
X
m

( )
i j
P X = x Y = y
( )
1 j
P X = x Y = y
( )
m j
P X = x Y = y

Trong đó các xác suất có điều
kiện được tính bằng công thức:

Ta có
( )
( )
( )
( )

( )
i j
ij
i j
j
j
P X x Y y
p
P X x Y y
q
P Y y
= =
= = = =
=
( )
m m
ij j
i j
i 1 i 1
j j
p q
P X x Y y 1
q q
= =
= = = = =
∑ ∑
1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU
KIỆN CỦA CÁC THÀNH PHẦN
1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU
KIỆN CỦA CÁC THÀNH PHẦN

Tương tự, bảng phân phối xác suất
có điều kiện của thành phần Y với
điều kiện X nhận giá trị x
i
(cố định)
Y
j
Y
1
…
Y
n

( )
j i
P Y = y X = x
( )
1 i
P Y = y X = x
( )
n i
P Y = y X = x
1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU
KIỆN CỦA CÁC THÀNH PHẦN
( )
( )
( )
( )
( )
j i

ij
j i
i i
P Y y X x
p
P Y y X x
P X x p
= =
= = = =
=
( )
n n
ij
i
j i
j 1 j 1
i i
p
p
P Y y X x 1
p p
= =
= = = = =
∑ ∑
2. KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN
Trường hợp (X, Y) là đại lượng
ngẫu nhiên hai chiều rời rạc

Kỳ vọng của X với điều kiện
Y = y

j
, ký kiệu là
được xác định như sau:
( )
j
E X | Y = y
( ) ( )
m
j i i j
i 1
E X Y y x P X x Y y
=
= = = =
∑
2. KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN
Kỳ vọng của X với điều kiện
X = x
i
, ký kiệu là ,
được xác định như sau:
( )
i
E Y | X = x
( )
( )
n
i j j i
j 1
E Y X x y P Y y X x
=

= = = =
∑
2. KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN
Ví dụ Với số liệu ở ví dụ 1.1.

Ta tính:

Tương tự:
E(Y | X = 30) = 1134,63
( )
P(X = 30, Y = 1000)
P Y = 1000 X = 30 = = 0, 3846
P(X = 30)
( )
P Y = 1200 X = 30 = 0,5769
( )
P Y = 1500 X = 30 = 0,0385
Y 1000 1200 1500
P(Y = y
j
| X = 30)
0,3846 0,5769 0,0385
2. KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN
Ví dụ Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều
(X, Y) có bảng phân phối xác suất
như sau:
Tính E(X | Y = 2)
X
Y
1 3 4 7

2 0,15 0,06 0,20 0,10
5 0,30 0,10 0,05 0,04
§3. HIỆP PHƯƠNG SAI
HỆ SỐ TƯƠNG QUAN
1. HIỆP PHƯƠNG SAI
2. HỆ SỐ TƯƠNG QUAN
1. HIỆP PHƯƠNG SAI

Hiệp phương sai của hai đại lượng
ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu là
Cov(X, Y) , xác định như sau:
Cov(X, Y) = E[(X – E(X))(Y – E(Y))]

Từ định nghĩa ta có:
• Cov(X,X) = Var(X)
• Cov(X,Y) = Cov(Y,X)
• Cov(X,Y) = E(XY) – E(X)E(Y)
1. HIỆP PHƯƠNG SAI

Trường hợp X, Y rời rạc:

Trường hợp X, Y liên tục:
m n
i j ij
i 1 j 1
Cov(X, Y) x y p E(X)E(Y)
= =
= −
∑∑
Cov(X, Y) xyf (x, y)dxdy E(X)E(Y)

+∞ +∞
−∞ −∞
= −
∫ ∫