Chuyên đề 17 công thức, biến đổi logarit đáp án

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

CÔNG THỨC, BIẾN ĐỔI LOGARITC, BIẾN ĐỔI LOGARITN ĐỔI LOGARITI LOGARIT

Chuyên đề 17

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
Dạng. Một số bài tốn KHĨ


 log a b   a b



log a 1 0



1
log am b  log a b
m



log a (bc) log a b  log a c



log a b.log b c log a c ,

 b 1

Câu 1.

Công thức logarit:
Cho các số a, b  0, a 1 và m, n   . Ta có:
lg b log b log10 b
ln b log e b


log a a 1

n
 log a a n
n
log a m b n  log a b
m


n
 log a b n log a b

b
log a   log a b  log a c
c


log a c
logb c
 b 1
log

b
a

,

a loga b b
 logb c
c logb a
a
 

log a b 


1
log b a ,  b 1

1
1

 2020
log
a
log
b
a
b
a
(Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho các số thực , b thỏa mãn a  b  1 và
P

. Giá trị của biểu thức
A.

2014 .

1
1

log ab b log ab a bằng
2016 .

B.

C. 2018 .
Lời giải

D.

2020 .

Chọn B
Do a  b  1 nên log a b  0 , log b a  0 và log b a  log a b .
1
1

 2020
log
a
log
b

b
a
Ta có:

 log b a  log a b  2020
 log b2 a  log 2a b  2 2020
 logb2 a  log a2 b 2018 (*)
Khi đó, P log b ab  log a ab log b a  logb b  log a a  log a b log b a  log a b
2

Suy ra:
Câu 2.

P 2  log b a  log a b  log b2 a  log 2a b  2 2018  2 2016  P  2016

(Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ 2019) Tìm số nguyên dương n sao cho
log 2018 2019  2 2 log 2018 2019  32 log 3 2018 2019  ...  n 2 log n 2018 2019 1010 2.20212 log 2018 2019
A. n 2021 .

B. n 2019 .

C. n 2020 .
D. n 2018. .
Lời giải
2
2
log 2018 2019  2 log 2018 2019  3 log 3 2018 2019  ...  n 2 log n 2018 2019 1010 2.20212 log 2018 2019
Facebook Nguyễn Vương  Trang 1

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

 log 2018 2019  23 log 2018 2019  33 log 2018 2019  ...  n3 log 2018 2019 1010 2.20212 log 2018 2019
 1  23  33  ...  n3 log 2018 2019 1010 2.20212 log 2018 2019





 1  23  33  ...  n3 10102.20212
2

  1  2  ...  n  10102.20212
2

 n  n  1 
2
2

 1010 .2021
2 

n  n  1

1010.2021
2

 n2  n  2020.2021 0
 n 2020


 n  2021  

Câu 3.

ỉ 1
17 ư
÷
2
ỉ1 ư
ỉ2 ÷
ư
ỉ2018 ÷
ư
÷
f ( x ) = log 2 ỗ
x
+
x
x
+
ỗ
ữ
ữ
T=fỗ
+fỗ
+... + f ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ 2

ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
4ứ
ỗ2019 ứ
ỗ2019 ứ
ỗ2019 ứ
ố
ố
ố
ố
Cho hm s
. Tớnh
2019
T=
2 .
A.
B. T = 2019 .
C. T = 2018 .
D. T = 1009 .

Lời giải
æ
æ 2
1

17 ử
2
ữ
ỗ x - x + 17 ữ
f (1- x ) = log 2 ỗ
1
x
+
1
x
1
x
+
=
log
ỗ
(
)
(
)
ữ
2ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ỗ
2
4ứ
4

ố
ố
Ta cú:
ổ 1
ổ 2
ửử
17 ử
17 ổ
1ữ
ữ
ữ
2
ỗ
ỗ
ữ
ữ
f ( x ) + f ( 1- x ) = log 2 ỗ
x
+
x
x
+
+
log
x
x
+
x
ỗ
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ữ
2ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ố
ứ
ỗ
ỗ
2
4
4
2
ố
ứ
ố
ứ

ộổ 1
ửổ 2
17 ữ
17
2
ỗ
ỗ

ữ
= log 2 ờ
x
+
x
x
+
x - x+ ỗ
ỗ
ữ
ờỗ
ỗ
ỗ
4ữ
4
ứỗ
ố
ờ
ởố 2
ổ1 ử
ổ2 ữ
ử
ổ2018 ử
ữ
ữ
ị T=fỗ
+fỗ
+ ... + f ç
÷
÷

÷
ç
ç
ç
÷
÷
÷
ç
ç
ç2019 ø
è2019 ø
è2019 ø
è

ỉ 1÷
ưư
÷
ç
÷
x
÷
ç
÷
ç 2÷
÷
è
øø

ù
ỉ 1÷

ưư
÷
ú
ç
÷
x
÷
ç
÷
ç
÷ú
è 2÷
øø
ú
û= log 2 4 = 2

ổ1 ử
ổ2018 ữ
ử
ổ2 ử
ổ
ử
ổ
ử
ổ
ử
2017 ữ
1009 ữ
1010 ữ
ữ

ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
=fỗ
+
f
+
f
+
f
+
...
+
f
+
f
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ

ỗ
ữ ố
ữ ố
ỗ
ỗ2019 ữ
ỗ2019 ứ
ỗ2019 ữ
ỗ2019 ữ
ỗ2019 ữ
ố2019 ứ
ứ
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ

= 1009.2 = 2018
Cõu 4.

(THPT Nguyễn Khuyến 2019) Gọi a là giá trị nhỏ nhất của

f  n 

log3 2.log 3 3.log 3 4...log 3 n
9n

f  n  a
với n   và n 2 . Hỏi có bao nhiêu giá trị của n để

.
A. 2
B. 4
C. 1
D. vô số
Lời giải
Chọn A
log 2.log3 3.log 3 4...log 3 n 1
f  n  3
 log 39 2.log 39 3.log 39 4...log 39 n
9n
9
Ta có:
1
2 n 38  0  log 39 k  1  f  n   log 39 2.log 39 3.log 39 4...log 39 n  f  38 
9
- Nếu
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

- Nếu

n 3  f  3   f  3  .log 39 3  f  3

- Nếu

n  39  log 39 n  1  f  n   f  39  .log 39  39  1 ...log 39 n  f  39 

9

Từ đó suy ra
Câu 5.

9

8

9

Min f  n   f  39   f  38 

8



.

(Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho x , y và z là các số thực lớn hơn 1 và gọi w là

log y w 40
log xyz w 12
số thực dương sao cho log x w 24 ,
và
. Tính log z w .
A. 52 .
B.  60 .
C. 60 .
D.  52 .
Lời giải

Chọn C
1
log x w 24  log w x  24
1
log y w 40  log w y  40
.
Lại do

log xyz w 12


Câu 6.



1
log w  xyz 

12 

1
1
12 
12
log w x  log w y  log w z
log w x  log w y  log w z

1
12
1

1
1
  log w z
 log w z   log w 60
z
24 40
60
.

Cho

f ( 1) = 1

,

f ( m + n) = f ( m) + f ( n) + mn

éf ( 96) - f ( 69) - 241ù
ú
T = log ê
ê
ú
2
ë
û.
A. T = 9 .
B. T = 3 .

*
với mọi m, n Ỵ  . Tính giá trị của biểu thức

C. T = 10 .
Lời giải

D. T = 4 .

Chọn B
f ( 1) = 1 f ( m + n) = f ( m) + f ( n) + mn
Có
,
Þ

f ( 96) = f ( 95 +1) = f ( 95) + f ( 1) + 95 = f ( 95) + 96 = f ( 94) + 95 + 96 = ... = f ( 1) + 2 +... + 95 + 96
Þ

f ( 96) = 1 + 2 +... + 95 + 96 =

Tương tự

96.97
= 4656
2
.

f ( 69) = 1 + 2 +... + 68 + 69 =

69.70
= 2415
2
.

éf ( 96) - f ( 69) - 241ù
æ4656 - 2415 - 241ữ
ử
ỳ= log ỗ
T = log ờ
= log1000 = 3
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ờ
ỳ
ố
ứ
2
2
ở
ỷ
Vy
.
Cõu 7.

(Chuyờn Lờ Quý Dụn Qung Tr 2019) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn đồng thời

1
1
1
1




log 2 x log 2 y log 2 z 2020 và log 2 ( xyz ) 2020 . Tính log 2  xyz  x  y  z   xy  yz  zx  1
2
A. 4040 .
B. 1010 .
C. 2020.
D. 2020 .
Lời giải
Facebook Nguyễn Vương 3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Chọn A
Đặt a log 2 x; b log 2 y; c log 2 z .
1 1 1
1
  
Ta có a b c 2020 và a  b  c 2020
 1 1 1
     a  b  c  1   a  b  c   ab  ac  bc  abc
a b c

 a 2b  ab 2  abc  abc  b 2c  bc 2  a 2c  ac 2 0
  a  b   b  c   c  a  0
2020
Vì vai trị a, b, c như nhau nên giả sử a  b 0  c 2020  z 2
và xy 1 .

log 2  xyz  x  y  z   xy  yz  zx  1 log 2  z ( x  y  z )  1  yz  zx  1
log 2  z 2  2 log 2 z 4040
Câu 8.

(Bạc Liêu – Ninh Bình 2019) Cho ba số thực dương x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số

log a x, log
nhân, đồng thời với mỗi số thực dương a (a ¹ 1) thì
P=
thành một cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức
A. 60 .

B. 2019 .

a

y, log 3 a z

theo thứ tự lập

1959 x 2019 y 60 z
+
+
y
z
x .

C. 4038 .
Lời giải

2019
D. 2 .

Chọn C
2
Ta có: x, y , z là ba số thực dường, theo thứ tự lập thành một cấp số nhân thì y = x.z (1) .
log a x, log a y, log 3 a z
Với mỗi số thực a (a ¹ 1),
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì
2 log a y = log a x + log 3 a z Û 4 log a y = log a x + 3log a z (2)
.
Thay (1) vào (2) ta được 2 log a x.z = log a x + 3log a z Û log a x = log a z Û x = z .
Từ (1) ta suy ra y = x = z .
Thay vào giả thiết thì P = 1959 + 2019 + 60 = 4038 .

Câu 9.

1
 2x 
f  x   log 2 

2
 1  x  và hai số thực m, n
(THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Cho hàm số
thuộc khoảng

 0;1 sao cho m  n 1 . Tính f  m   f  n  .
B. 0 .

A. 2 .

C. 1 .
Lời giải

1
D. 2 .

Chọn C

1
 2m  1
 2n 
f  m   f  n   log 2 
  log 2 

2
 1 m  2
 1 n 
1
 2m 
 2n  
  log 2 
  log 2 

2
 1 m 
 1 n 

1
 2m 2n 

 log 2 
.

2
 1 m 1 n 
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

1
4mn


 log 2 

2
 1  m  n  mn  , vì m  n 1
1
1
 4mn  1
 log 2 
  log 2 4  .2 1
2
2
 mn  2
.
Câu 10.

(Chuyên

-

Vĩnh

Phúc

-

2019)

1
1
1
1
190


 ... 

log 3 x log 32 x log 33 x
log 3n x log 3 x
thức P 2n  3 .
A. P 32 .

B. P 23 .

n

Gọi

là

số

nguyên

dương

sao

cho

đúng với mọi x dương, x 1 . Tìm giá trị của biểu

C. P 43 .
Lời giải

D. P 41 .

Chọn D

1
1
1
1
190


 ... 


log 3 x log 32 x log 33 x
log 3n x log 3 x
 log x 3  2 log x 3  3log x 3  ...  n log x 3 190 log x 3
 log x 3  1  2  3  ...  n  190 log x 3
 1  2  3  ...  n 190


n  n  1
190
2

 n 2  n  380 0
 n 19

 n 19
 n  20
(do n nguyên dương)  P 2n  3 41

log
Câu 11. Cho x , y , z là ba số thực dương lập thành cấp số nhân; log a x ,
p

số cộng, với a là số thực dương khác 1. Giá trị của
A. 13.
B. 3.
C. 12.
Lời giải
Chọn A

a

y log 3 a z
,
lập thành cấp

9 x y 3z
 
y z x là
D. 10.

2
x , y , z là ba số thực dương lập thành cấp số nhân nên ta có xz  y (1).

log a x , log

a

y log 3 a z
,
lập thành cấp số cộng nên:

log a x  log 3 a z 2 log

a

y  log a x  3log a z 4log a y  xz 3  y 4
(2).

Từ (1) và (2) ta suy ra x  y z .
p

Vậy

9 x y 3z
  9  1  3 13
y z x
.

Facebook Nguyễn Vương 5


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 12.

*
(Chuyên Nguyễn Huệ 2019) Cho f (1) 1; f (m  n)  f (m)  f (n)  mn với mọi m, n  N .
Tính giá trị của biểu thức
 f  2019   f  2009   145 
T log 

2


A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 10 .
Lời giải

Chọn B

Ta có f (2019)  f (2009  10)  f (2009)  f (10)  20090
Do đó f (2019)  f (2009)  145  f (10)  20090  145
f (10)  f (9)  f (1)  9
f (9)  f (8)  f (1)  8
...................
f (3)  f (2)  f (1)  2
f (2)  f (1)  f (1)  1
Từ đó cộng vế với vế ta được: f (10) 10. f (1)  1  2  ....  8  9 55.
20090  145  55
 f (2019)  f (2009)  145 
log 
log
log10000 4.

2
2


Vậy

Câu 13. Có bao nhiêu số nguyên dương n để log n 256 là một số nguyên dương?
A. 2.
B. 3.
C. 4 .
D. 1 .
Lời giải
Chọn C

log n 256 8.log n 2 

8
log 2 n là số nguyên dương

 log 2 n   1; 2; 4;8  n   2; 4;16; 256

.

Vậy có 4 số nguyên dương.
Câu 14. Cho tam giác ABC có BC a , CA b , AB c . Nếu a , b , c theo thứ tự lập thành một cấp số
nhân thì
A.

ln sin A.ln sin C  ln sin B 

2

.

C. ln sin A  ln sin C 2 ln sin B .

B. ln sin A.ln sin C 2 ln sin B .
ln sin A  ln sin C ln  2sin B 
D.
.
Lời giải

Chọn C

Theo định lý sin trong tam giác ABC ta có:
tiếp tam giác ABC .

a 2 R sin A

b 2 R sin B
c 2 R sin C


, với R là bán kính đường trịn ngoại

Vì a , b , c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên ta có:

Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
2

2

a.c b   2 R sin A  .  2 R sin C   2 R sin B   sin A.sin C  sin B 

2

.

Do 0  sin A , sin B , sin C 180 nên sin A , sin B , sin C  0 .
2
ln  sin A.sin C  ln   sin B  

  ln sin A  ln sin C 2 ln sin B .
Vì thế ta có thể suy ra

Câu 15.

(Chun
A

A.

1
log 22018 x

A

Lương


1
log 32018 x

Văn
 ... 

1
2017 .

Chánh

-

1

log 20172018 x



Phú

Yên

-

2018)

Cho

x 2018! .

Tính

1
log 20182018 x

.

A

B. A 2018 .

C.
Lời giải
1

1
1
1
A

 ... 

log 22018 x log 32018 x
log 20172018 x log 20182018 x

1
2018 .

D. A 2017 .

log x 22018  log x 32018  ...  log x 2017 2018  log x 20182018
2018.log x 2  2018.log x 3  ...  2018.log x 2017  2018.log x 2018
2018.  log x 2  log x 3  ...  log x 2017  log x 2018  2018.log x  2.3.....2017.2018 

Câu 16. ( Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2018) Tìm bộ ba số nguyên dương ( a ; b; c) thỏa mãn
log1  log(1  3)  log(1  3  5)  ...  log(1  3  5  ...  19)  2 log 5040 a  b log 2  c log 3
A. (2;6; 4) .

B. (1;3; 2) .

C. (2; 4; 4) .
Lời giải

D. (2; 4;3) .

Ta có
log1  log(1  3)  log(1  3  5)  ...  log(1  3  5  ...  19)  2 log 5040 a  b log 2  c log 3
 log1  log 22  log 32  ...  log10 2  2 log 5040 a  b log 2  c log 3

 log  1.22.32.10 2   2 log 5040 a  b log 2  c log 3
2

 log  1.2.3.10   2 log 5040 a  b log 2  c log 3
 2 log  1.2.3.10   2 log 5040 a  b log 2  c log 3
 2  log10! log 7! a  b log 2  c log 3  2 log  8.9.10  a  b log 2  c log 3

 2  6 log 2  4log 3 a  b log 2  c log 3 .
Vậy a 2 , b 6 , c 4 .
Câu 17.

S 1  22 log 2 2  32 log 3 2 2  ....  20182 log 2018 2 2
(Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - 2018) Tổng
dưới đây.
2
2
2
2
2
2
2
A. 1008 .2018 .
B. 1009 .2019 .
C. 1009 .2018 .
D. 2019 .
Lời giải

3

Ta có

3

3

1  2  3  ...  n

3

 n  n 1 

4

2

.

Mặt khác
Facebook Nguyễn Vương 7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

S 1  22 log

2
2

1  2 2 log 1 2  32 log 1 2  ....  20182 log 1 2
2

3
log
2

....

2018
log
2
3
2018
2
2
2
22
23
2 2018

 2018  2018  1 



2
1  23 log 2 2  33 log 2 2  ....  20183 log 2 2 1  23  33  ...  20183 


2

10092.20192 .
Câu 18.

20162017
(ChuyêN KHTN - 2018) Số 20172018
có bao nhiêu chữ số?
A. 147278481.
B. 147278480.
C. 147347190.

D. 147347191.

Lời giải
log x   1  log x 
Số chữ số của một số tự nhiên x là: 
(
là phần nguyên của log x ).
20162017
Vậy số chữ số của số 20172018
là

 log 2017201820162017   1 20162017 log  20172018   1 147278481.

BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI
 />Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  />Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  />Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TỐN)  />
Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương
 />Tải nhiều tài liệu hơn tại: />ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ!

Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Facebook Nguyễn Vương 9