Chuyen de 2 PHUONG PHAP BIEN DOI SO FULL

Chứa (biểu thức)n
Chứa
Chứa
Chứa
Chứa

Đặt
Đặt
Đặt
Đặt

mẫu
sinx.dx
cosx.dx
dx
x

Chứa

Đặt u = biểu thức
u=
u = mẫu
u = cosx
u = sinx

∫

dx
a −x
2

2

dx
∫ a + x2

, a>0

Đặt x = a.sint , t

2

Đặt u = lnx

,

a>0

Đặt x = a.tant , t

Chuyên đề 2:PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ
Phương pháp 2. Đổi biến
+) Lấy vi phân

x = ϕ (t )

dx = ϕ '(t )dt

+) Biểu thị f(x) theo t và dt, Giả sử: f(x)dx= g(t)dt. Khi đó

I = ∫ g (t )dt

Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc chọn ẩn phụ:
Dấu hiệu

Có thể chọn

a 2 − x2

π
π

 x =| a | sin t , − 2 ≤ t ≤ 2

 x =| a | cost , 0 ≤ t ≤ π

x2 − a2

|a| π
π

 x = sin t , − 2 ≤ t ≤ 2 ; t ≠ 0

x = | a | , 0 ≤ t ≤ π ;t ≠ π

cost
2

x2 + a2

π

π

 x =| a | tan t , − 2 < t < 2

 x =| a | cott , 0 < t < π

a+x
a−x

a−x
a+x

x = a cos 2t
Đặt

hoặc

x = a + (b − a )sin 2 t

( x − a)(b − x)
Đặt

•

I = ∫ x 2004 + 1.x 2003 dx

 π π
∈ − ; 
 2 2

 π π
∈− ; 
 2 2


t = x 2004 + 1 ⇒ dt = 2004 x 2003dx ⇒ x 2003dx =
Đặt
1
2

1
1
t3 + C =
3006
3006

=

•

. Từ đó ta được:

3
2

1
1
1 2
tdt =
t dt =

. t +C
∫
∫
2004
2004
2004 3

I=

I = ∫ ee

1
dt
2004

x

(x

2004

+ 1) + C
3

dx = ∫ ee +1.e x dx
x

+ x +1

e x = t ⇒ e x dx = dt

Đặt
. Thay vào ta được:
x
L = ∫ et +1dt = ∫ et +1d ( t + 1) = et +1 + C = ee +1 + C

•

I = ∫ e2 x

2

+ln x

dx

M = ∫ e 2 x .eln x dx = ∫ e 2 x .xdx
2

Ta có:

2

2 x 2 = t ⇒ 4 xdx = dt ⇒ xdx =
Đặt
Ta được
I = ∫ 10
•

M = ∫ et

dt 1 t
1 2
= e + C = e2 x + C
4 4
4

x
dx
x +1
10

Đặt
N =∫

=

x + 1 = t ⇒ x + 1 = t10 ⇒ dx = 10t 9 dt

. Từ đó ta được:

t −1
10
10
.10t 9dt = 10∫ ( t 10 − 1) t 8dt = 10 ∫ ( t 18 − t 8 ) dt = t 19 − t 9 + C
t
19
9
10

10 10
10
19
9
( x + +1) − 10 ( x + 1) + C
19
9

I = ∫ x 2 ( 1 − x ) dx
10

•

dt
4


Đặt

1 − x = t ⇒ dx = − dt

O = ∫(1− t) t

2 10

=−

I =∫

•

(1 − x)

•
I =∫
•

( −dt ) = − ∫ ( 1 − 2t + t 2 ) .t 10dt = − ∫ t10dt + 2 ∫ t11dt − ∫ t12dt

1 11 1 12 1 13
1
1
1
11
12
13
t + t − t + C = − (1− x) + (1− x) − (1− x) + C
11
6
13
11
6
13

x2

I =∫

. Từ đó ta được:

100

dx

(Đặt

x2
dx
2− x
x5
1 − x2

1− x = t

(Đặt

dx
(Đặt

)

2− x =t

)

1 − x2 = t

)
sin x.cos x
1 2sin x cos x.cos 2 x

1 cos 2 x
I =∫
dx
=
dx
=
.sin 2 xdx
1 + cos 2 x
2∫
1 + cos 2 x
2 ∫ 1 + cos 2 x
3

•

Đặt

1 + cos 2 x = t ⇒ sin 2 xdx = −dt

⇒S=

1 t −1
1
1 dt
1 1
( −dt ) = − ∫ dt + ∫ = − t + ln t + C
2 t
2
2 t
2 2

Bai tap

01.

∫

x 3 + 5 x 2 dx
02.

∫x

2x
dx
+4

∫x e

2 x 3 +1

2

03.

dx


04.

07.

∫ tan xdx

05.

sin x
∫ cos 4 x dx

∫ cos

16.

19.

∫ sin

3

2

14.

∫ cot

x tan xdx

∫

−x

∫x

34.

∫
37.

∫

3

xdx
15.
xdx
18.

x2

1
x dx
21.

sin 2 x
∫ (1 + cos 2 x) 2 dx

dx
23.

1 + x dx
2

29.

sin 4 x
∫ 1 + cos 2 x dx

3

4

sin

20.

−x

35.

tan x
dx
cos 2 x

a sin 2 + b cos 2 x + c

40.

sin xdx
27.

2 x dx

∫ 1+ 2x

∫

38.
dx
41.

54
2
∫ x 1 − x dx

cos x

ln x3 1 + 7 ln 2 x
dx
∫
x

32.

sin x + cos x
dx
sin x − cos x

sin 2 x

24.

∫e

26.

∫

43.

dx

x

∫ cos

17.

∫1+ e

ln x + 1
dx
x

2 x +6

12.

xdx

25.

31.

3

∫

dx
∫ x(1 + ln x)

28.

∫

4

09.

e
dx
(e x + 3)

e tan x
∫ cos 2 x dx
e

22.

06.

11.

∫ cos

∫ cot xdx

x + 1)dx

08.

10.
13.

2

1
cos(3 x + 1)dx
x

∫

x

2

∫ tan x(tan

30.

∫
44.

10

5

∫ tan

x cos 3 xdx

xdx
4

xdx

ln 4 x
∫ x dx

∫x

3

x 2 + 1dx

sin 3 xdx
∫ 1 + cos x

2

x cos 3 xdx

( tan x + 1) 3

33.

∫ ( sin x + 3 cos x )
sin 2 x

∫ 1 + 4 cos 2 x dx

36.

sin 4 x
∫ sin 4 x + cos 4 x + 2 dx

∫ sin

∫ sin

sin x cos xdx

sin x − cos x
∫ sin x + cos x dx

∫ sin

39.

ln 7 x
∫ x dx

∫

42.

dx
x (1 + x ) 2

∫ (1 +
45.

9x 2
1+ x3
x
x)

dx

dx

2

dx


46.

∫ sin 4 x cos

2

xdx
Huong dan

t = x + 5 ⇒ dt = ?
3

1)
3)
5)
7)

9)

t=e

x 3 +1

t = tan x

2)

t = x +1
3

hoặc

4)

t = ln x + 1

13)
15)

17)

20)
22)
24)
26)
28)
30)

t =2 x +6
t = sin x

14) hạbậc
t = cos x
16)
f ( x) = tan 2 x(1 + tan 2 x) − (1 + tan 2 x ) + 1

t = cos x
t = cot x

18)

1
t=
x

21)
t = 1 + cos 2 x
23)

t = x2 +1

25) t=1+lnx
t = 1 + cos x
27)

cos x

t = 1+ x2

29)

t = sin x

[ (tan x + 3) − 2] 3
cos 2 x(tan x + 3) 2

33)đưa hàm
t = sin x
35)
37 t=tanx
39) t=lnx

t = a sin x + b cos x + c
2

42)

t = 1 + cos 2 x

f ( x) =

32)
t = 3 sin x − cos x
34
t = 1 + 4 cos 2 x
36)
t = sin x + cos x
38)

t = 1− x

t = 3 1 + 7 ln 2 x

31)

t = 1+ 2x

40)

19)

t = e tan x

t = ln x

t = 1 + e−x

t =e

t = cos x

t = sin x
6)
t = 3 x +1
8)
ex + 3
t=
2
10)
t = sin x
12)

t = cos x

11)

t = x 2 + 4 ⇒ dt = ?

2

41)

t = sin 4 x + cos 4 x + 2

t = 4 1− x2

3

43)

đặt t=tanx+3


44)
46)

t = 1+ x

45)

t = 1+ x

t = cos 2 x
LUYEN TAP

Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số

∫

∫ (2 x + 1) dx
3

a.

d.

g.

l.

1− x

3

e.

dx

1

1

∫x

p.

sin(3x + 1)

∫ cos (3x + 1) dx

∫x

2

r.

u.

s.

x 3dx
∫ x4 − x2 − 2

2

4

∫x

2

xdx
− 2x2 − 2

t.

2x
dx
+ 4x + 3
2x −1
x − x + 2012

∫

1
dx
x (1 + x ) 2

∫ sin

q.

+ 1)dx

2

n.

1
1
sin .cos dx
x
x

2

∫
k.

2
4
∫ x 1 − x dx

m.

∫ cos (5 x + 2) dx

f.

1
∫ 1 + e− x dx

h.

∫ 2 x( x

c.

1+ x
∫ xe dx

2

o.

dz

2

2012
∫ sin x.cos xdx

∫

z2 + 5

3

b.

∫ sin(7 x + 6)dx

9x2

2z

∫x

2

4

dx

x.cos xdx

xdx
− 4x − 5

x2
∫ (1 − x)39 dx

v.
TRẮC NGHIỆM

f ( x) = x 1 + x 2
Câu 1. Một nguyên hàm của hàm số:
2
1

1
F ( x) =
1 + x2
F ( x) =
2
3
A.
B.

)

(

Câu2. Nguyên hàm của hàm số: y =

A.

1
x−a
ln
2a x + a

+C

B.

(

∫x

1 + x2

)

là:
3

F ( x) =
C.

x2
2

(

1 + x2

)

2

F ( x) =
D.

1
3

(

1 + x2

dx
2

− a2

1
x+a
ln
2a x − a

là:

+C

C.

1 x −a
ln
a x+a

+C

D.

1 x+a
ln
a x−a

+C

)

2


Câu 3. Nguyên hàm của hàm số: y =

A.

1
a−x
ln
2a a + x

+C

B.

∫a

Câu 4. Nguyên hàm của hàm số: y =

C.

C.

2

là:

+C

x3
dx
x −1

1 3 1 2
x + x + x + ln x − 1 + C
3
2

1 x −a
ln
a x+a

C.

5
3
1 2
( 4 x + 7 ) 2 − 7 ×2 ( 4 x + 7 ) 2  + C

20  5
3
5
3
1 2
( 4 x + 7 ) 2 − 7 ×2 ( 4 x + 7 ) 2  + C


14  5
3

D.

+C

1 3 1 2
x + x + x + ln x + 1 + C
3
2
1 3 1 2
x + x + x + ln x − 1 + C
3
4

D.

∫x

+C

1 x+a
ln
a x−a

là:

B.

1 3 1 2
x + x + x + ln x − 1 + C
6
2

Câu 5. Nguyên hàm của hàm số: y =

A.

−x

1
a+x
ln
2a a − x

∫

A.

dx
2

4 x + 7 dx
là:

B.

5
3

1 2
( 4 x + 7 ) 2 − 7 ×2 ( 4 x + 7 ) 2  + C

18  5
3

D.

5
3
1 2
( 4 x + 7 ) 2 − 7 ×2 ( 4 x + 7 ) 2  + C

16  5
3

3x − 1

∫ x + 2 dx

Câu 6:
bằng:
3x + 7 ln x + 2 + C
3x − ln x + 2 + C
A)
B)
2
x + 2x + 3
∫ x + 1 dx
Câu 7:

bằng:
2
x
x2
+ x + 2 ln x + 1 + C
+ x + ln x + 1 + C
2
2
A)
B)
2
x − x+3
∫ x + 1 dx
Câu 8:
bằng:
x2
− 2 x + 5ln x + 1 + C
x + 5ln x + 1 + C
2
A)
B)

3 x + ln x + 2 + C
C)

C)

C)

3 x − 7 ln x + 2 + C

D)

x2
+ x + 2 ln x − 1 + C
2

x2
− 2 x − 5ln x − 1 + C
2

x + 2 ln x + 1 + C
D)

2 x + 5ln x + 1 + C
D)


∫ x ( 1− x )

2 10

Câu 9:

dx
bằng:

( 1− x )
−

2 11

A)
x

∫ ( x + 1)

2

+C

11

C)

2 11

+C

11

D)

dx
bằng:

ln x + 1 + x + 1 + C
A)
e
dx
+1

A)

x 2 +1

ln e + 1 + C
x

B)

2 x2 + 3

ln x
dx
x

Câu 14:
3
2

D)

( ln x )

B)

ex

2

+1

+C

C)

2e x

2

+1

+C

D)

x 2 .e x

2

+1

+C

dx
bằng:

1
3x 2 + 2 + C
2

∫

C)

1
+C
ln e x + 1

ex
+C
ex + x

dx

x

Câu 13:

D)

1
+C
x +1

bằng:

bằng:
1 x2 +1
e +C

2

∫

ln x + 1 +

x

ex + x + C

A)

C)

1
+C
x +1

x

∫ x.e

A)

ln x + 1 + C
B)

∫e

A)

Câu 12:

( 1− x )
−

2 22

+C

22

B)

Câu 10:

Câu 11:

( 1− x )
−

2 11

+C

22

(1− x )

B)

1
2 x2 + 3 + C
2

2 x2 + 3 + C

C)

D)

2 2x2 + 3 + C

bằng:
3

+C

2
B)

( ln x )

3

+C
C)

2
3

( ln x )

3

+C

3
D)

( ln x )

3

+C