Cd3.1 Khoi Cau-Tinh Ban Kinh-Md2.Doc

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG II
CHỦ ĐỀ 3.1 Khối cầu: Tính bán kính.
MỨC ĐỘ 2
Câu 1.

[2H2-3.1-2] [THPT chuyên Nguyễn trãi lần 2] Cho hình chóp S . ABC có SA   ABC  ;
a

SA a đáy ABC là tam giác vuông tại B , BAC
60 và AB  . Gọi  S  là mặt cầu ngoại
2
tiếp hình chóp S . ABC . Tìm mệnh đề sai.
A. Diện tích của  S  là

2 a 2
.
3

B. Thể tích khối cầu là

a 2
C.  S  có bán kính
.
2

2 a 3
.

3

D. Tâm của  S  là trung điểm SC .
Hướng dẫn giải

Chọn A.
:
S

M

N

A

C

B

.

Gọi N , M lần lượt là trung điểm của AC ; SC .
a

ABC là tam giác vuông tại B , BAC
60o và AB  nên : NA NB NC ;
2
a 2
.
2

NM là đương trung bình của tam giác SAC nên
AC a  SC a 2  MC 

NM / / SA  NM   ABC   MS=MC=MA=MB .
 M là tâm của  S  có bán kính MC  a 2 .
2
3

4 a 2
2 a 3
.
 V S    
 
3  2 
3
2

a 2
2
Diện tích của  S  : S 4 r 4 
 2 a . .
2


2

Câu 2.

[2H2-3.1-2] [THPT chuyên Nguyễn trãi lần 2] Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy
là tam giác vng tại A , AB 2a 3 . Đường chéo BC  tạo với mặt phẳng  AAC C  một góc

bằng 60 . Gọi  S  là mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho. Bán kính của mặt cầu  S  bằng.
A. 3a .

B. 2a .

C.

a
.
2

D. a .
TRANG 1


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

Hướng dẫn giải
Chọn B.

.
Gọi M là trung điểm BC , I là trung điểm BC  . Khi đó, IM là trục của đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC . Mặt khác, IB IC IB IC  IA . Do đó, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
1
1 AB
4a
 2a .
lăng trụ ABC. ABC  . Bán kính R  BC   

2
2 sin 60
2
Câu 3.

[2H2-3.1-2] [THPT chuyên Hưng Yên lần 2] Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC
là những tam giác đều cạnh bằng 1 , AD  2 . Gọi O là trung điểm cạnh AD . Xét hai khẳng
định sau:
(I) O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .
(II) O. ABC là hình chóp tam giác đều.
Hãy chọn khẳng định đúng.
A. Chỉ (II) đúng.
B. Chỉ (I) đúng.
C. Cả (I) và (II) đều sai.
D. Cả (I) và (II) đều đúng.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
NX:
ABD vuông tại B  OA OD OB. .
ACD vuông tại C  OA OD OC  O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. .
  I  đúng.
Ta lại có: Hình chóp O. ABC có đáy ABC là tam giác đều và OA OB OC  O. ABC là
hình chóp tam giác đều   II  đúng.

.

TRANG 2


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

Câu 4.

PHƯƠNG PHÁP

[2H2-3.1-2] [CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP] Cho  S  là mặt cầu ngoại tiếp một hình tứ diện
đều cạnh 2a . Tính bán kính R của mặt cầu  S  .
A. R 

a 6
.
4

B. R 

a
C. R  .
2
Hướng dẫn giải

a 6
.
2

D. R 

a 3
.
4

Chọn B.
S

N

I
A

C
O

B

.

S . ABC là tứ diện đều nên SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC . Trong mặt
phẳng  SAO  , kẻ đường trung trực d của cạnh SA , d cắt SO tại I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện.
SAO SIN  SI 

R SI 
Vậy

Câu 5.

SN .SA
SA2

.
SO

2 SA2  AO 2
4a 2

 2 2a 3 
2 4a 2   .

3 2 

2



a 6
2 .

[2H2-3.1-2] [THPT chun Thái Bình] Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác
vng tại B , hai mặt bên SAB và SAC cùng vng góc với đáy, SB 2a, AB BC a. Bán
kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC là:
A. R a 2 .

B. R 

a 3
.
2

C. R 

a 6
.

2

D. R 

a 5
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn D.

TRANG 3


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

 SAB    ABC  ,  SAC    ABC  ,  SAB    SAC  SA 

SA   ABC  .

Gọi I là trung điểm của SC .
Ta có SAC vng tại A nên IS IA IC .
BC   SAB   SBC vuông tại B nên IS IB IC .
Do đó I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC .
R
Câu 6.

SC

SB 2  BC 2 a 5
.


2
2
2

[2H2-3.1-2] [TT Hiếu Học Minh Châu] Một hình hộp chữ nhật có độ dài 3 cạnh lần lượt là
2 , 2 , 1 . Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình hộp nói trên.
A. R 9 .
B. R 3 .
C. R  3
D. R  9 .
2.
2
Hướng dẫn giải
Chọn C.
d 3
Ta có đường chéo hình hộp d  12  2 2  22 3 .  R   .
2 2

Câu 7.

[2H2-3.1-2] [SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH L2] Bán kính hình cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của
một hình lập phương cạnh a là.
a
a
a 3
2a

A.
.
B. .
C.
.
D.
.
2
2
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn A.

.
Hình cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương có đường kính bằng đường chéo của
một mặt hình lập phương đó nên đường kính là a 2 do đó bán kính của nó bằng
Câu 8.

a
.
2

[2H2-3.1-2] [THPT Nguyễn Văn Cừ] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng
cạnh 2a . Mặt bên  SAB  là tam giác vuông cân tại S và vng góc với mặt phẳng  ABCD  .
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD là bao nhiêu?
3a
a 2
A. r  .
B. r a 2 .

C. r 
.
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn B.

D. r a .

TRANG 4


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

.
Gọi H là trung điểm AB . Từ điều kiện đề bài suy ra SH   ABCD  .
1
Ta có  SAB vuông cân tại S  SH  AB a .
2
 SHO vuông H  SO  SH 2  HO 2  a 2  a 2 a 2
ABCD là hình vng  OA OB OC OD 

 1 .

2a 2
a 2
2

 2 .

Từ  1, 2   OA OB OC OD SO a 2 . Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S . ABCD , có bán kính là R a 2 .

Câu 9.

[2H2-3.1-2] [THPT Lý Văn Thịnh] Cho hình chóp S . ABCD . Đáy ABCD là hình vng cạnh
bằng a tâm O , SAB là tam giác đều có trọng tâm G và nằm trên mặt phẳng vng góc với
mặt phẳng  ABCD  . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
a
A. R  .
2

B. R 

3
a.
3

C. R 

3
a.
6

D. R 

21
a.

6

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD .
Dựng trục Ox của đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD , Ox//SG . Dựng trục Gy của
đường tròn ngoại tiếp tam giác đều SAB , Gy//BC//AD .
Ta có Ox cắt Gy tại I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
2

 a 3   a  2 a 21
Bán kính R SI  
.
 3    2   6


S

G

I

A

D

O
B

C

.

TRANG 5


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

Câu 10. [2H2-3.1-2] [THPT Lý Thái Tổ] Ba đoạn thẳng SA, SB, SC đơi một vng góc tạo với nhau
thành một tứ diện S . ABC với SA  a, SB 2a , SC 3a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình tứ diện đó là.
A.

a 14
.
6

B.

a 6
.
2

a 3
.
6
Hướng dẫn giải
C.

D.

a 14
.
2

Chọn D.
Tam giác SAB vuông tại S nên trung điểm I của AB là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
SAB .
Từ giả thiết ta suy ra SC vuông góc với  SAB  . Do đó nếu qua I dựng đường thẳng  song
song với SC thì  vng góc với  SAB  . Suy ra  là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác

SAB. Dựng đường trung trực của SC , cắt  tại O thì O chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp
S . ABC . Gọi J là trung điểm của SC. Khi đó ta có:
IO SJ 

SC 3a
AB
SA2  SB 2 a 5
.
 ; SI 


2
2
2
2
2
2

2
3a   a 5 
a 14

Xét tam giác vng SIO ta có: SO  SI  IO     
..
 

2
 2   2 
2

2

Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC là

a 14
.
2

Câu 11. [2H2-3.1-2] [THPT Quế Võ 1] Cho hình lăng trụ đứng ABCDABC D có đáy là hình chữ
nhật, AB 3a , BC 4a . Đường chéo AC  tạo với đáy  ABCD  một góc 45o . Gọi  T  là hình
trụ có đường sinh là cạnh bên của lăng trụ, đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai đáy của lăng trụ.
Diện tích tồn phần của  T  là.
A.

75 a 2
.
2

B. 25 a 2 .

125 a 2
.
4
Hướng dẫn giải
C.

D.

75 a 2
.
4

Chọn D.
Đáp án đúng là S 

75 a 2
.
2

Câu 12. [2H2-3.1-2] [BTN 171] Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu và biết rằng ACB 900 .
Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
A. AB là đường kính của một đường trịn lớn trên mặt cầu đã cho.
B. AB là một đường kính của mặt cầu đã cho.
C. Ln ln có một đường trịn thuộc mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC .
D. ABC là một tam giác vuông cân tại C .
Hướng dẫn giải
Chọn C.

- AB là một đường kính của mặt cầu đã cho Sai, xét một đường trịn trên mặt cầu khơng đi
qua tâm, lấy 3 điểm A, B, C trên đường trịn này sao cho AB là đường kính của đường trịn ta
cũng có ACB 900 nhưng lúc này AB khơng phải là đường kính của mặt cầu.
TRANG 6


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

- Rõ ràng ABC là một tam giác vuông cân tại C Sai, vng thì có, chứ cân thì chưa khẳng
định được.
- Như phân tích thì AB có thể là đường kính của một đường trịn nhỏ trên mặt cầu.
Câu 13. [2H2-3.1-2] [Cụm 8 HCM] Cho mặt cầu có diện tích bằng

8 a 2
. Khi đó bán kính mặt cầu
3

bằng.
A.

a 6
.
2

B.

a 6
.

3

a 3
.
3
Hướng dẫn giải
C.

D.

a 2
.
3

Chọn B.
Ta có

8 a 2
6
4 R 2  R 
a.
3
3

TRANG 7