Cd3 1 the tich khoi lang tru dung (khong deu) md3

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG I
CHỦ ĐỀ 3.1 Thể tích khối lăng trụ đứng (không đều).
MỨC ĐỘ 3
Câu 1.

[2H1-3.1-3] [THPT Ngô Sĩ Liên lần 3] Cho lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là tam giác
vng tại A, AC a , ACB 60 . Đường chéo BC  của mặt bên ( BCC B) tạo với mặt phẳng
( AAC C ) một góc 30 . Thể tích của khối lăng trụ theo a là.
A.

2 6a 3
.
3

B.

a3 6
.
2

C. a 3 6 .

D.

a3 6
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn C.
C

A

.

B

C

A

B

1
a2 3
Ta có: AB  AC.tan 600 a 3 S ABC  AB. AC 
.
2
2

Ta lại có: BA  AC , BA  AA nên BA   AAC C  .

 AC  là hình chiếu của BC  lên  AAC C  .
0
 AC C 300  AC   AB.cot 30 3a  AA  9a 2  a 2 2a 2 .

Do đó: V  AA.S ABC a 3 6 .
Câu 2.

[2H1-3.1-3] [Sở GD&ĐT Bình Phước] Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam
giác vuông cân tại A, BC 2a, A ' B 3a. Thể tích của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' bằng ?
A. a 3 7 .

B.

a3 2
.
3

C. 6a 3 .

D. 2a 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

TRANG 1


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

.
Tam giác ABC vuông cân tại A  AB  AC 

BC
a 2. .
2

Tam giác A ' AB vuông tại A  A ' A  A ' B 2  AB 2  9a 2  2a 2 a 7 .
1
a 7
 VABC . A ' B ' C '  A ' A.S ABC a 7. AB. AC 
.a 2.a 2 a 3 7. .
2
2
Câu 3.

[2H1-3.1-3] [THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG] Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy
ABC là tam giác vuông tại C , ABC 60 , cạnh BC a , đường chéo AB của mặt bên

 ABBA tạo với mặt phẳng  BCC B một góc
A. a3 3 .

B.

a3 3
.
3

30 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  .

C.

a3 6

.
3

D. a3 6 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Å

A
60o

B

C

A'

B'

C'

.

Tam giác ABC vng tại C có ABC 60 ; BC a .
suy ra AC BC tan 600 a 3 .
1
a2 3
Khi đó : S ABC  AC.BC 
.

2
2
Mặt khác: AC   BCC ' B ' suy ra góc giữa AB ' và mặt phẳng  BCC B là AB ' C 30 .
AC
3a .
Tam giác AB ' C vng tại C có AB ' C 30 ; BC a suy ra B ' C 
tan 30o
TRANG 2


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

Tam giác BB’C vng tại B có BC a ; B ' C 3a  BB ' 2 2 .
Vậy VABC . A ' B 'C ' SABC .BB ' a3 6 .
Câu 4.

[2H1-3.1-3] [THPT chuyên KHTN lần 1] Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a , góc
nhọn 60o và đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của hình hộp. Thể tích của khối
hộp đó là.
A. a 3 .

B.

a3 3
.
2

a3 6

.
2
Hướng dẫn giải

C.

D. a 3 3 .

Chọn C.
B'
A'
C'

D'

B
A
C
D

.





Giả sử ABCD. A B C D là hình hộp đứng có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BCD
60o .
Khi đó BCD là tam giác đều cạnh a , suy ra BD a , AC a 3 .
Theo đề bài thì BD  AC a 3  DD  BD2  BD 2 a 2 .

a3 6
Vậy thể tích khối hộp là V S ABCD .DD a.a.sin 60o.a 2 
.
2
Câu 5.

[2H1-3.1-3] [THPT chuyên Biên Hòa lần 2] Cho hình hộp đứng ABCD. ABC D có
a 3 
, BAD 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD , AB . Tính
2
thể tích của khối đa diện ABDMN .
AB  AD a , AA ' 

A.

3a 3
.
16

B.

3 3a 3
.
8

9a 3
.
16
Hướng dẫn giải
C.

D.

3a 3
.
8

Chọn A.

TRANG 3


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

.
Gọi S BN  AA . Suy ra : S , M , D thẳng hàng.
SM AM 1

 . Suy ra M là trung điểm của SD .
Có :
SD
AD 2
SSMN SM SN 1
3

.
  S MNBD  SSBD .
S SBD SD SB 4

4

Tam giác ABD có AB  AD a , BAD
60 nên tam giác ABD là tam giác đều.
1
1
3
3
VA.BDMN  d  A,  BDMN   .S BDMN  d  A,  SBD   . S SBD  VS . ABD .
3
3
4
4

Câu 6.

31
1
a 2 3 3a 3
.
SA.S ABD  a 3.

43
4
4
16

[2H1-3.1-3]

[THPT Chuyên Hà Tĩnh] Cho lăng trụ đứng ABC. ABC  có AB a ,

BC a 3 , AC 2a và góc giữa CB và  ABC  bằng 60o . Mặt phẳng  P  qua trọng tâm tứ
diện CABC  , song song với mặt đáy lăng trụ và cắt các cạnh AA , BB , CC  lần lượt tại E ,
F , Q . Tỉ số thể tích của khối tứ diện CEFQ và khối lăng trụ đã cho gần số nào sau đây nhất?
A. 0, 07 .
B. 0, 06 .
C. 0, 25 .
D. 0, 09 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.

.
Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB , CC  ; G là trung điểm MN . Suy ra G là trọng tâm tứ
diện CABC  .
3
 P  qua G và cắt các cạnh AA , BB , CC  lần lượt tại E , F , Q thì AE BF CQ  AA .
4
TRANG 4


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

Thể tích khối lăng trụ là V  AA.S ABC .
V
1
1 3
1
1

Thể tích tứ diện CEFQ là: VCEFQ  CQ.S EFQ  . AA.S ABC  V  CEFQ  0, 25 .
3
3 4
4
V
4
Câu 7.

[2H1-3.1-3] [Sở GD&ĐT Bình Phước] Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam
giác vuông cân tại A, BC 2a, A ' B 3a. Thể tích của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' bằng ?
A. a 3 7 .

B.

a3 2
.
3

C. 6a 3 .

D. 2a 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

.
Tam giác ABC vuông cân tại A  AB  AC 

BC
a 2. .

2

Tam giác A ' AB vuông tại A  A ' A  A ' B 2  AB 2  9a 2  2a 2 a 7 .
1
a 7
 VABC . A ' B ' C '  A ' A.S ABC a 7. AB. AC 
.a 2.a 2 a 3 7. .
2
2
Câu 8.

[2H1-3.1-3] [TTGDTX Vạn Ninh - Khánh Hòa] Cho lăng trụ đứng tam giác ABC. ABC  có
đáy ABC là tam giác vng tại B, AB a , BC a 2 góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và

 ABC 
A.

bằng 300 . Tính thể tích khối lăng trụ.

a3 6
.
2

B.

a3 6
3

.

C.

a3 3

18
Hướng dẫn giải

.

D.

a3 6
6

.

Chọn D.

TRANG 5


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

.
A'

C'

B'

C

A
a

30°

a 2
B

( A ' BC )  ( ABC ) BC

Ta có:  BC  A ' B
.
 BC  AB

2

1
a 2
.
 ((
A ' BC ), ( ABC ))  A ' BA 300 . Diện tích đáy: S ABC  AB.BC 
2
2
Đường cao AA  AB.tan 300 
Vậy: VABC . ABC  
Câu 9.

a 3
.
3

a2 2 a 3 a2 6
.
.

2
3
6

[2H1-3.1-3] [THPT TH Cao Nguyên] Cho hình lăng trụ đứng ABC. AB C  có đáy là tam giác
vng cân đỉnh A , mặt bên BCC B là hình vng, khoảng cách giữa AB và CC  bằng a .
Tính thể tích V khối lăng trụ theo a .
A. V 

a3 2
.
2

B. V a 3 .

C. V a 3 2 .

D. V 

a3 2
.

3

Hướng dẫn giải
Chọn A.

.
CA  AB
 CA   ABBA .

CA  AA
Ta có CC //AA  d  CC , AB d  CC ,  ABBA  d  C ,  ABBA  CA a .
Mặt bên BCC B là hình vng  BB BC  a 2  a 2 a 2 .
TRANG 6


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

1
a3 2
Vậy thể tích khối lăng trụ là: V  AASABC a 2  a 2 
.
2
2
Câu 10. [2H1-3.1-3]

[THPT Chuyên Hà Tĩnh] Cho lăng trụ đứng ABC. ABC  có AB a ,

BC a 3 , AC 2a và góc giữa CB và  ABC  bằng 60o . Mặt phẳng  P  qua trọng tâm tứ

diện CABC  , song song với mặt đáy lăng trụ và cắt các cạnh AA , BB , CC  lần lượt tại E ,
F , Q . Tỉ số thể tích của khối tứ diện CEFQ và khối lăng trụ đã cho gần số nào sau đây nhất?
A. 0, 07 .

B. 0, 06 .

C. 0, 25 .
Hướng dẫn giải

D. 0, 09 .

Chọn C.

.
Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB , CC  ; G là trung điểm MN . Suy ra G là trọng tâm tứ
diện CABC  .
3
 P  qua G và cắt các cạnh AA , BB , CC  lần lượt tại E , F , Q thì AE BF CQ  AA .
4
Thể tích khối lăng trụ là V  AA.S ABC .
V
1
1 3
1
1
Thể tích tứ diện CEFQ là: VCEFQ  CQ.S EFQ  . AA.S ABC  V  CEFQ  0, 25 .
3
3 4
4
V

4
Câu 11. [2H1-3.1-3] [TTLT ĐH Diệu Hiền]. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác
vuông tại A , AB 2a, AC 3a . Mặt phẳng

 ABC 

hợp với mặt phẳng

 ABC 

một góc

60 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
3
A. 6a 39 .
13

3
B. 18a 39
13 .

3
C. 9a 39 .
26

3
D. 3a 39 .
26

Hướng dẫn giải

Chọn B.

.
TRANG 7


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

 A  ABC    ABC 

  ABC    ABC   Ad //BC //BC 
 BC //BC
 BC   ABC  ; BC  ABC




Ta có 
.

Dựng AH  BC   AH  Ad

.

Dựng AK  BC  AK  Ad .
Góc mặt phẳng  ABC  với mặt phẳng  ABC  là KA
 H  KA
 H 60 .

Ta có AH 

AB2 . AC 2
6 13

a.
2
2
AB  AC 
13

Ta có BB HK tan 600. AH 

6 39
a.
13

1
1
6 39
18 39 3
Vậy VABC . ABC  BB.S ABC  AB.A C .BB  2a.3a
a
a .
2
2
13
13
Câu 12. [2H1-3.1-3] [THPT Hai Bà Trưng- Huế] Cho một tấm nhơm hình chữ nhật ABCD có
AD = 24cm . Ta gấp tấm nhôm theo hai cạnh MN và QP vào phía trong đến khi AB và

CD trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Tìm x để thể
tích khối lăng trụ lớn nhất?
M

B

Q

M

C

Q

B,C

A

x

N

P

D

x

N

P

24cm
A,D

A. x = 9 .

B. x = 8 .

C. x = 10.
Hướng dẫn giải

.
D. x = 6 .

Chọn B.
M

Q

B

I
N

P
x

x
A

.

 Gọi I là trung điểm NP  IA đường cao của D ANP cân tại A  AI = x2 - ( 12 - x) 2
1
1
= 24( x - 6)  diện tích đáy SANP = .NP .AI = .( 12 - x) . 24( x - 6) , với 6 £ x £ 12
2
2

TRANG 8


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

a
 thể tích khối lăng trụ là V = SANP .MN = .( 12 - x) . 24( x - 6) (đặt MN = a : hằng số
2
dương).
1
 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = .( 12 - x) . 24( x - 6) , ( 6 £ x £ 12) :
2
(
)ù
1é
( x - 6) + 12 12 - x ú= 6. - 3x + 24 , y¢= 0 x = 8 ẻ ( 6;12) .
24
+ yÂ= ê

ú
2ê
24( x - 6)
24( x - 6) ú
ê
ë
û
+ Tính giá trị: y ( 8) = 8 3 , y ( 6) = 0, y ( 12) = 0 .
 Thể tích khối trụ lớn nhất khi x = 8.
Câu 13. [2H1-3.1-3] [THPT Hai Bà Trưng- Huế] Hình hộp đứng ABCD.A ¢B ¢C ¢
D ¢ có đáy là một
hình thoi có góc nhọn bằng a , cạnh a . Diện tích xung quanh của hình hộp đó bằng S . Tính
thể tích của khối hộp ABCD.A ¢B ¢C ¢
D ¢?
A.

1
a.S sin a .
8

B.

1
1
C. a.S sin a .
a.S sin a .
4
6
Hướng dẫn giải

D.

1
a.S sin a .
2

Chọn B.

.
Ta có: S = 4AB .AA ¢Þ AA ¢=

S
.
4a

1
Và SABCD = 2SABC = 2. AB .BC .sin a = a2 sin a .
2
1
Vậy: V = SABCD .AA ¢= a.S sin a .
4

TRANG 9