Cd16 (câu 19 38 46) vtcp của đt pt đthẳng de

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022 – PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO 2022

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
DỰA THEO CẤU TRÚC ĐỀ THAM KHẢO NĂM HỌC 2021 – 2022
DẠNG TỐN 16: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG CƠ BẢN – ĐIỂM THUỘC HOẶC
KHÔNG THUỘC ĐƯỜNG THẲNG – VTCP CỦA ĐƯỜNG THẲNG
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
DẠNG 1. XÁC ĐỊNH VTCP

 Véctơ chỉ phương u của đường thẳng d là véctơ có giá song song hoặc trùng


với đường thẳng d . Nếu d có một véctơ chỉ phương là u thì k .u cũng là một
véctơ chỉ phương của d .


 Nếu có hai véctơ n1 và n2 cùng vng góc với d thì d có một véctơ chỉ phương
  
u
[n1 , n2 ].
là
 Để viết phương trình đường thẳng d , ta cần tìm điểm đi qua và một véctơ chỉ
phương.
Qua M ( x ; y ; z )
d :

VTCP : ud (a1 ; a2 ; a3 )

Nếu đường thẳng
thì ta có hai dạng phương trình đường
thẳng:

Phương trình đường thẳng d dạng tham số

 x  x  a1t

 y  y  a2t , (t  ).
 z z  a t

3


x  x y  y z  z


, ( a1a2 a3 0).
a1
a2
a3

Phương trình đường thẳng d dạng chính tắc
DẠNG 2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng d dạng tham sớ và dạng

M ( x ; y ; z ) và có véctơ chỉ
chính tắc (nếu có), biết d đi qua điểm

u
(a1 ; a2 ; a3 ).
phương d
 Qua M ( x ; y ; z )

d :

 VTCP : ud (a1; a2 ; a3 )
Phương pháp. Ta có:

Phương trình đường thẳng d dạng tham sớ
Phương

d:

trình

đường

thẳng

 x  x  a1t

d :  y  y  a2t , (t  ).
 z z  a t

3

d

dạng

chính

tắc

x  x y  y z  z


, (a1a2 a3 0).
a1
a2
a3

Dạng 2. Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của đường
B
thẳng d đi qua A và B.
A


TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022 – PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO 2022

 Qua A (hay B)
d :
 
 VTCP : ud  AB


Phương pháp. Đường thẳng
(dạng 1)
Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số và chính tắc
(nếu có), biết d đi qua điểm M và song song với đường thẳng .
 Qua M ( x ; y ; z )
 
d :

 VTCP : ud u


Phương pháp. Ta có
(dạng 1)


TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022 – PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO 2022
Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số và chính tắc
d
(nếu có), biết d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng
M
( P) : ax  by  cz  d 0.
P
 Qua M
d :
 
 VTCP : ud n( P ) (a; b; c) (dạng 1)
Phương pháp. Ta có
5. Dạng 5. Viết phương trình tham sớ và chính tắc của đường thẳng
d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P) và (Q) cho trước.

 Qua A ( P )  (Q)
A
d :

 
 VTCP : ud [ n( P ) , n(Q ) ] (dạng 1)
Phương pháp. Ta có
6. Dạng 6. Viết phương trình tham sớ và chính tắc (nếu có) của

đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng

d1 , d 2 cho trước.
 Qua M
d :

 
 VTCP : ud [ud1 , ud2 ]

Phương pháp. Ta có
(dạng 1)
7. Dạng 7. Viết phương trình đường thẳng d qua M và song song với
hai mặt phẳng ( P ), (Q).
 Qua M
d :

 
 VTCP : ud [ nP , nQ ]

Phương pháp. Ta có
(dạng 1)

8. Dạng 8. Viết phương trình đường thẳng d qua M , vuông góc đường
d  và song song mặt ( P).
 Qua M
d :

 
 VTCP : ud [ud  , nP ] (dạng 1)
Phương pháp. Ta có

9. Dạng 9. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt ( P), song
song mặt (Q) và qua M .
 Qua M
d :

 
 VTCP : ud [ nP , nQ ]

Phương pháp. Ta có
(dạng 1)
10. Dạng 10. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vng
góc và cắt đường thẳng d .
Phương pháp.
Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua A, vng góc d .
d
 Qua A
A
B
( P) : 
  
P
 VTPT : nP ud 
Nghĩa là mặt phẳng
Tìm B d   ( P). Suy ra đường thẳng d qua A và B (dạng 1)
Lưu ý: Trường hợp d  là các trục tọa độ thì d  AB, với B là hình chiếu của A
lên trục.


TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022 – PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO 2022

11. Dạng 11. Viết phương trình tham sớ và chính tắc (nếu có) của

d
đường thẳng d đi qua điểm M và cắt đường thẳng 1 và vuông góc

d 2 cho trước.
d  d1 H , ( H  d1 , H  d )
Phương pháp. Giả sử
 H ( x1  a1t; x2  a2t ; x3  a2t )  d1.
M
d
H
 
MH  d 2  MH .ud2 0  t  H .
Vì
 Qua M
d :
 
 VTCP : ud MH


Suy ra đường thẳng
(dạng 1)
M (x ; y ; z )
d,d
Dạng 12. d đi qua điểm 0 0 0 0 và cắt hai đường thẳng 1 2 :
M  d1 , M 2  d 2 Từ điều kiện M, M1 , M 2 thẳng hàng ta tìm được
 Cách 1: Gọi 1
M1 , M 2 . Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d .
P  ( M 0 , d1 )  Q  ( M 0 , d 2 )

P
Q
 Cách 2: Gọi  
,
. Khi đó d      , do đó, một VTCP
  
a  nP , nQ 
d
của có thể chọn là
.
P
d,d
Dạng 13. d nằm trong mặt phẳng   và cắt cả hai đường thẳng 1 2 :
A  d1   P  , B  d 2   P  .
Tìm các giao điểm
Khi đó d chính là đường thẳng AB .
d,d
Dạng 14. d song song với  và cắt cả hai đường thẳng 1 2 :
Viết phương trình mặt phẳng
P
Q
Khi đó d      .

 P

Q
d
d
chứa  và 1 , mặt phẳng   chứa  và 2 .

d,d
Dạng 15. d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng 1 2 chéo nhau:
 MN  d1

MN  d 2
M

d
,
N

d
.
1
2
 Cách 1: Gọi
Từ điều kiện 
, ta tìm được M , N .
Khi đó, d là đường thẳng MN .
 Cách 2:

  
a  ad1 , ad2 
d

d
d

d
1

2
d
– Vì
và
nên một VTCP của
có thể là:
.
P
d
– Lập phương trình mặt phẳng   chứa d và 1 , bằng cách:
d
+ Lấy một điểm A trên 1 .

 
nP  a , ad1 
P

+ Một VTPT của
có thể là:
.
Q
d
– Tương tự lập phương trình mặt phẳng   chứa d và 1 .
P
Q
Khi đó d      .
Dạng 16. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu vng góc
của đường thẳng  lên mặt ( P).
Phương pháp: Xét vị trí tương đối của đường thẳng  và ( P).


Nếu  ( P).


TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022 – PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO 2022
Chọn một điểm M trên .
Tìm H là hình chiếu của M lên ( P).
Qua H
d :

 
VTCP : ud u

Hình chiếu


Nếu   ( P)  I .

Chọn một điểm M  I trên .
Tìm H là hình chiếu của M lên ( P).
Hình chiếu vng góc của  lên ( P ) là d IH .


TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022 – PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO 2022
Dạng 17. Viết đường thẳng d là đường thẳng đối xứng với đường
thẳng  qua mặt phẳng ( P).
Phương pháp: Xét vị trí tương đối của đường thẳng  và ( P).


Nếu  ( P).

Chọn một điểm M trên .
Tìm H là hình chiếu của M lên ( P).
Tìm M  đối xứng với M qua ( P).
Qua M 
d :

 
VTCP : ud u

Đường thẳng đối xứng


Nếu   ( P) I .

Chọn một điểm M trên .
Tìm H là hình chiếu của M lên ( P).
Tìm M  đối xứng với M qua ( P).

Qua M 
d :
  .

VTCP
:
u

d IM
Đường thẳng đối xứng
DẠNG 3. BÀI TỐN LIÊN QUAN KHOẢNG CÁCH, GĨC

1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng – Khoảng cách giữa hai
đường thẳng


Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng d qua điểm


u
véctơ chỉ phương d được xác định bởi cơng thức

M  có


 M  M , ud 


d (M , d ) 


ud

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một
điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: d đi qua điểm M và có


véctơ chỉ phương u và d  đi qua điểm M  và có véctơ chỉ phương u  là
 
 u , u .M  M
d ( d , d ) 



 u , u
2. Góc giữa hai đường thẳng


d
d
u
(a1 ; b1 ; c1 ) và
1
2
Góc giữa hai đường thẳng
và
có véctơ chỉ phương 1

u2 (a2 ; b2 ; c2 ).
 
u1.u2
a1a2  b1b2  c1c2
cos(d1 ; d 2 ) cos     
2
u1 . u2
a1  b12  c12 . a22  b22  c22

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

với 0    90 .

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022 – PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO 2022



u (a; b; c) và mặt phẳng ( P)
Góc giữa đường thẳng d có véctơ chỉ phương d
có véctơ pháp tuyến


n( P ) ( A; B; C )

được xác định bởi công thức:

 
ud .n( P )
aA  bB  cC
 
sin   cos(n( P ) ; ud )    
ud . n( P )
a 2  b 2  c 2 A2  B 2  C 2

với 0    90 .

Câu 19_ĐTK2022 Trong không gian Oxyz , đường thẳng
nào dưới đây?
A. Điểm

Q  2;2;3

.

B. Điểm

C. Điểm

M  1;2;  3 

. D. Điểm

N  2;  2;  3

 x 1  2t

d :  y 2  2t
 z  3  3t


đi qua điểm

.

P  1;2;3

.
Lời giải

Chọn C









 1
t  2
 2 1  2t
1 2t



 2 2  2t  0  2t  t 0  Q  d
3  3  3t
6  3t
t  2



Q  2;2;3

Với điểm
ta có
.
 1
t  2
 2 1  2t
1 2t




  2 2  2t   4  2t  t 2  N  d
  3  3  3t
0  3t
t 0



N  2;  2;  3

Với điểm
ta có
.
1 1  2t
0 2t


 2 2  2t  0  2t  t 0  M  d
  3  3  3t
0  3t
M  1;2;  3 

Với điểm
ta có 
.
1 1  2t
0 2t
t 0




 2 2  2t  0  2t  t 0  P  d
3  3  3t
6  3t
t  2
P  1;2;3


Với điểm
ta có 
.

A  2;  2;3 ; B  1;3;4 
Câu 38_ĐTK2022 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm
và
C  3;  1;5 

. Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là:
x 2 y4 z  1
x 2 y  2 z 3


.


.
2
3
4

1 .
A. 2
B. 2
x 2 y2 z  3
x 2 y2 z  3


.


.
2
9
4
1
C. 4
D. 2
Lời giải
Chọn D


TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022 – PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO 2022

BC  2;  4;1
Véctơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm:
.
x 2 y 2 z  3


4

1 .
Phương trình cần tìm là: 2

A   4;  3;3
Câu 46_ĐTK2022 Trong không gian Oxyz , cho điểm
và mặt phẳng

 P  : x  y  z 0 . Đường thẳng đi qua

A , cắt trục Oz và song song với  P  có

phương trình là
x 4 y 3 z 3


3
7 .
A. 4

x  4 y 3 z  3


3
1 .
B. 4
x  8 y  6 z  10


3
7 .

D. 4

x 4 y 3 z  3


3
1 .
C.  4

Lời giải
Chọn D
Gọi  là đường thẳng cần lập.

P
n  1;1;1

Mặt phẳng
có một VTPT
.

  Oz B  0;0; c   AB  4;3; c  3
Theo đề, ta có
là một VTCP của  .


 
AB  n  AB.n 0  4.1  3.1   c  3 .1 0  c  3  7
Khi đó
.


AB  4;3;  7 
Suy ra
.
x 4 y 3 z  3
x  8 y  6 z  10
:


:


4
3
 7 hay
4
3
7 .
Vậy
TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu 19_ĐTK2022 Trong không gian Oxyz , đường

thẳng

 x 1  2t

d :  y 2  2t
 z  3  3t


A. Điểm

Q  2;2;3

.
Câu 1:

Câu 2:

.

đi qua điểm nào dưới đây?
B. Điểm

N  2;  2;  3

D. Điểm

P  1;2;3

.

C. Điểm

M  1;2;  3

.

(Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz , đường thẳng
điểm nào dưới đây?
Q  2;  1; 2 
M   1;  2;  3

P  1; 2;3
A.
B.
C.

d:

x 1 y 2 z 3


2
1
2 đi qua

D.

N   2;1;  2 

(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng

d:
A.

x 1 y  2 z  1


1
3
3 ?

P   1;2;1

.

B.

Q  1;  2;  1

.

C.

N   1;3;2 

.

D.

P  1;2;1

.


TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022 – PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO 2022
Câu 3:

(Đề

Tham

Khảo

2020

Lần

2)

Trong không gian

Oxyz ,

x  1 y  2 z 1


.
2
3
 1 Điểm nào sau đây thuộc d ?
P 1;2;  1 .
M  1;  2;1 .
N 2;3;  1 .
A. 
B. 
C. 

cho đường thẳng

d:

Câu 4:

Câu 5:

(Mã 101 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
nào dưới đây thuộc d?
Q 4;  2;1 .
N 4; 2;1 .
P 2;1;  3 .
A. 
B. 
C. 

x  2 y  1 z 3


4
2
1 . Điểm

C. M (4; 2;1) .

D.
d:

M  2;1;3 .
x  4 z  2 z 1


2

5
1 .

D. P (2;  5;1) .

B.

Q   1;1;3

C.

M  1;1;3

D.

P  1; 2;5 

(Mã 103 2018) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thằng
d:

A.
Câu 8:

B. Q(2;5;1) .

Q   2;  3;1 .

(Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường

 x 1  t


 y 5  t
 z 2  3t
thẳng d : 
?
N  1;5; 2 
A.
Câu 7:

d:

(Mã 102 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
Điểm nào sau đây thuộc d ?
A. N (4; 2;  1) .

Câu 6:

D.

x2 y  1 z 2


1
1
2 .

N  2;  1; 2 

B.

Q   2;1;  2 

C.

M   2;  2;1

D.

P  1;1; 2 

(KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường

x  1 y 2 z  3


3
4
 5 . Hỏi d đi qua điểm nào trong các điểm sau:
thẳng
C  3; 4;5 
D 3;  4;  5 
B  1; 2;  3
A 1;  2;3
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 

.
d:

Câu 9:

(ĐTK2021) Trong không gian Oxyz , vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường

M  1;  2;1
thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm
?



u1  1;1;1
u2  1; 2;1
u3  0;1; 0 
A.
.
B.
.
C.
.

D.


u4  1;  2;1

.

x  3 y  4 z 1
d:


Oxyz
2
5
3 .
Câu 10: (Mã 101 - 2020 Lần 1) Trong không gian
, cho đường thẳng
Vecto nào dưới đây là một vecto chỉ phương của d ?




u2  2; 4;  1
u1  2;  5;3
u3  2;5;3
u4  3; 4;1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.


TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022 – PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO 2022

Câu 11:

Câu 12:

Câu 13:

Câu 14:

d:

x  2 y 5 z  2


3
4
1 .

(Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
d
Vectơ nào dưới đây là một vectơ
 chỉ phương của ?


u2  3; 4;  1
u1  2;  5; 2 
u3  2;5;  2 
u3  3; 4;1
A.
.

B.
.
C.
.
D.
.

 x 2  t

d :  y 1  2t
 z 3  t


(Mã 101 2018) Trong không gian Oxyz , đường thẳng
là:



u1   1; 2;3
u3  2;1;3
u4   1; 2;1
A.
B.
C.

có một vectơ chỉ phương
D.


u2  2;1;1

A 1;1;0 
B 0;1; 2 
(Mã 104 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm 
và 
.
Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB .




a   1; 0;  2 
c  1; 2; 2 
d   1;1; 2 
b   1;0; 2 
A.
B.
C.
D.

(Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng

d:

d
nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
 ?


u

A. 2 (1;  2;3)


u
B. 3 (2;6;  4) .

x  3 y 1 z  5


1
2
3 . Vectơ

C. u4 ( 2;  4;6) .


u
D. 1 (3;  1;5) .

x  2 y  1 z 3
d:


Oxyz
1
2
1 . Vectơ
Câu 15: (Mã 101 - 2019) Trong không gian
, cho đường thẳng
nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d ?





u (1; 2;  3) .
u ( 1; 2;1) .
u (2;1;  3) .
u (2;1;1) .
A. 4
B. 3
C. 1
D. 2

x y 4 z 3
d: 

Oxyz
1
2
3 . Hỏi trong các
Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
vectơ sau, đâu không phải là vectơ chỉ phương của d ?



u1   1; 2;3
u2  3;  6;  9 
u3  1;  2;  3
u4   2; 4;3

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

u  a; 2; b 
tơ
làm véc tơ chỉ phương. Tính a  b .
A.  8 .
B. 8 .
C. 4 .

d:

x  1 y  2 z 1


2
1
2 nhận véc

D.  4 .

TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu 38_ĐTK2022 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm

A  2;  2;3 ; B  1;3;4 

và

trình là:
x 2 y4 z  1


.
2
3
A. 2
x 2 y2 z  3


.
2
9
C. 4

C  3;  1;5 

. Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương
x 2 y  2 z 3


.
4
1 .
B. 2

x 2 y2 z  3


.
4
1
D. 2


TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022 – PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO 2022

A   4;  3;3
TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu 46_ĐTK2022 Trong không gian Oxyz , cho điểm

 P  : x  y  z 0 . Đường thẳng đi qua A , cắt trục Oz và song song với  P  có
và mặt phẳng
phương trình là
x 4 y 3 z 3
x  4 y 3 z  3




3
7 .
3
1 .
A. 4
B. 4
x  4 y 3 z  3



3
1 .
C.  4

Câu 18:

x  8 y  6 z  10


3
7 .
D. 4

A  1;0;1 B  1;1;0 
(Mã 101 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm
,
và
C  3; 4;  1

. Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là
x 1 y z 1
x 1 y z 1
x 1 y z 1
x 1 y z 1
 
 
 
 

5
1 .
3
 1 . C. 2
3
 1 . D. 4
5
1 .
A. 4
B. 2
Câu 19:

(Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm
Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là

x 1 y  2 z  3


5
1 .
A. 4
x 1 y 2 z 3


3
1 .
C. 2

A  1; 2;3 , B  1;1;1 , C  3; 4; 0 

x 1 y 2 z 3


5
1 .
B. 4
x 1 y  2 z  3


3
1 .
D. 2

.


TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022 – PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO 2022
Câu 20:

(Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(1; 2;0), B (1;1; 2) và C (2;3;1) .
Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là

x 1 y 2 z

 .
2
1
A. 1
Câu 21:

x 1 y 2 z

 .
4
3
B. 3

x 1 y  2 z

 .
4
3
C. 3

x 1 y  2 z

 .
2
1
D. 1

A  1;  2;  3  B   1; 4;1
(Mã 105 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm
;

và đường thẳng

d:

x2 y 2 z3



1
1
2 . Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường

thẳng đi qua trung điểm của đoạn AB và song song với d ?
x y  1 z 1
x y  1 z 1
x  1 y  1 z 1
x y 2 z2








1
2
1
2
1
2 D. 1
1
2
A. 1
B. 1
C. 1

Câu 22:

A  1;2;  1
B  2;  1;1
(ĐTK2021) Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua hai điểm
và
có
phương trình tham số là:

A.
Câu 23:

 x 1  t

 y 2  3t
 z  1  2t


.

B.

 x 1  t

 y 2  3t
 z 1  2t


.

C.

 x 1  t

 y  3  2t
 z 2  t


.

D.

 x 1  t

 y 1  2t
 z  t


.

(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M (1;0;1) và
N (3; 2;  1) . Đường thẳng MN có phương trình tham số là

 x 1  2t

 y 2t .
 z 1  t
A. 

 x 1  t


 y t .
 z 1  t
B. 

 x 1  t

 y t .
 z 1  t
C. 

 x 1  t

 y t .
 z 1  t
D. 

M  1;  2;1 N  0;1; 3 
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm
,
. Phương trình
đường thẳng qua hai điểm M , N là
x 1 y  2 z 1
x 1 y  3 z  2





1

3
2
1

2
1 .
A.
.
B.
x y 1 z 3
x y 1 z 3




3
2 .
2
1 .
C.  1
D. 1

M  2;0;  1
Câu 25: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  đi qua điểm
và có một vectơ chỉ

a  4;  6; 2 
phương
.Phương trình tham số của  là
 x  2  4t

 x 2  2t
 x 4  2t
 x  2  2t




 y  3t
 y  6
 y 6t
 y 3t
 z 1  2t
 z  1  t
 z 2  t
 z 1  t
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
Câu 26: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình tham số trục Oz là


TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022 – PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO 2022

A. z 0 .

B.

 x 0

 y t
 z 0


.

C.

 x t

 y 0
 z 0


.

Câu 27: Trong khơng gian Oxyz , trục Ox có phương trình tham số
 x 0

 y 0.
 z t
A. x 0.
B. y  z 0.
C. 

M  1;  2;3

Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho điểm
và mặt phẳng
Phương trình của đường thẳng đi qua M và vng góc với

 x 1  2t

 y  2  t
 z 3  3t
A. 
.

 P

D.

 x 0

 y 0
 z t


D.

 x t

 y 0.
 z 0


 P  : 2x 

.

y  3 z  1 0

.

là

 x  1  2t

 y 2  t
 z  3  3t
B. 
.

 x 2  t
 x 1  2t


 y  1  2t
 y  2  t
 z 3  3t
 z 3  3t
C. 
.
D. 
.
M  1; 2;  3
Câu 29: (Mã 102 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho

và mặt phẳng
( P) : 2x  y  3z  1 0 . Phương trình của đường thẳng đi qua điểm M và vng góc với ( P)
là

A.

 x 2  t

 y  1  2t
 z 3  3t


B.

.

 x 1  2t

 y 2  t
 z  3  3t


 x 1  2t

 y 2  t
 z  3  3t


C.
.

D.
.
Oxyz
Câu 30: (Mã 123 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình nào dưới đây là phương
A  2; 3; 0 
 P  : x  3 y  z  5 0 ?
trình của đường thẳng đi qua
và vng góc với mặt phẳng
 x 1  t
 x 1  t
 x 1  3t
 x 1  3t




 y 1  3t
 y 3t
 y 1  3t
 y 1  3t
 z 1  t
 z 1  t
 z 1  t
 z 1  t
A. 
B. 
C. 
D. 
A 2;0;  1

P : x  y  1 0
Câu 31: Trong không gian Oxyz , cho điểm 
và mặt phẳng  
. Đường thẳng
P
Oxy
 có phương trình là
đi qua A đồng thời song song với   và mặt phẳng 
 x 3  t
 x 2  t
 x 1  2t
 x 3  t




 y 2t
 y  t
 y  1
 y 1  2t
 z 1  t
 z  1
 z  t
 z  t
A. 
.
B. 
.
C. 
.

D. 
.
Câu 32:

.

 x  1  2t

 y  2  t
 z 3  3t


(Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
thẳng đi qua điểm

M  2;1;  1

x  2 y 1 z  1


.

1
2

1
A.
x 1 y  2 z 1



.
1
1
C. 2

d:

x  1 y 1 z  2


.
1
2
 1 Đường

và song song với đường thẳng d có phương trình là:

x y  5 z 3


.
1

2
1
B.
x  2 y  1 z 1


.

1
2
D. 1


TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022 – PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO 2022
Câu 33:

Câu 34:

(Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng
   : x  2 y  z  1 0 ,    : 2 x  y  z 0 và điểm A  1; 2;  1 . Đường thẳng  đi qua điểm A
   ,    có phương trình là
và song song với cả hai mặt phẳng
x  1 y  2 z 1
x  1 y  2 z 1




4
2 .
3
5 .
A.  2
B. 1
x  1 y  2 z 1
x y2 z 3





2
1 .
2
1 .
C. 1
D. 1
(Mã 101 2018) Trong không gian Oxyz

cho điểm

A  1; 2;3

và đường thẳng

x 3 y  1 z 7


2
1
 2 . Đường thẳng đi qua A , vng góc với d và cắt trục Ox có phương
trình là
 x  1  2t
 x 1  t
 x  1  2t
 x 1  t





 y  2t
 y 2  2t
 y 2t
 y 2  2t
 z t
 z 3  3t
 z 3t
 z 3  2t
A. 
B. 
C. 
D. 
d:

Câu 35:

A ( 1;0; 2) , B ( 1; 2;1) , C ( 3; 2;0)
(Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz, cho các điểm
và
D ( 1;1;3) .

( BCD) có phương trình là
Đường thẳng đi qua A và vng góc với mặt phẳng
ìï x = 1- t
ìï x = 1 + t
ìï x = 2 + t
ìï x =1- t
ïï
ïï

ïï
ïï
y
=
4
t
.
y
=
4
.
y
=
4
+
4
t
.
í
í
í
í y = 2 - 4t
ïï
ïï
ïï
ïï
ïïỵ z = 2 + 2t
ïïỵ z = 2 + 2t
ïïỵ z = 4 + 2t
ï z = 2 - 2t

A.
B.
C.
D. ïỵ
Câu 36:

(Đề

d1 :

Tham

Khảo

2018)

khơng

x 3 y  3 z 2
x  5 y 1 z  2


d2 :


1
2
1 ;
3
2

1

Đường thẳng vng góc với
x  1 y 1 z


2
1
A. 3

x 3 y  3 z 2


2
3
C. 1
Câu 37:

Trong

 P  , cắt d1 và d2

gian

Oxyz ,

cho

và mặt phẳng

hai

đường

thẳng

 P  : x  2 y  3z  5 0 .

có phương trình là
x 2 y 3 z 1


2
3
B. 1

x  1 y 1 z


2
3
D. 1

(Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm

A  2;1;3

và đường thẳng

x 1 y  1 z  2



1
2
2 . Đường thẳng đi qua A , vng góc với d và cắt trục Oy có phương
trình là.
 x 2t
 x 2  2t
 x 2  2t
 x 2t




 y  3  4t
 y  3  3t
 y 1  t
 y 1  3t
 z 3t
 z 3  3t
 z 3  2t
 z 2t
A. 
B. 
C. 
D. 
d:


TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022 – PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO 2022

Câu 38:

(Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm

A(2; 2;1), B( 

8 4 8
; ; )
3 3 3 . Đường

thẳng qua tâm đường trịn nội tiếp tam giác OAB và vng góc với mặt phẳng (OAB) có
phương trình là:
2
2
5
x
y
z
x 1 y  8 z  4
9
9 9


2
2
2
2
A. 1
B. 1

1
5
11
x
y
z
x 1 y  3 z 1
3
3
6


2
2
2
2
C. 1
D. 1
x 1 y z  2
d:
 
2
1
2 và mặt phẳng
Câu 39: (Mã 103 2018) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
( P) : x  y  z  1 0 . Đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( P) đồng thời cắt và vuông góc với

d có phương trình là:

A.

Câu 40:

 x  1  t

 y  4t
 z  3t


2 y  z  3 0

. Đường thẳng nằm trong

phương trình là:
 x 1  2t

 y 1  t
 z 2
A. 

Câu 41:

C.

 x 3  t

 y  2  4t
 z 2  3t


 x 3  2t


 y  2  6t
 z 2  t


D.
x y 1 z  1
: 

Oxyz
1
2
1 và mặt phẳng
(Mã 104 2018) Trong không gian
cho đường thẳng

 P : x 

B.

 x 3  t

 y  2  4t
 z 2  t


B.

 x  3


 y  t
 z 2t


 P

C.

đồng thời cắt và vng góc với  có

 x 1  t

 y 1  2t
 z 2  3t


D.

 x 1

 y 1  t
 z 2  2t


(Mã 123 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
d2 :

x 1 y2 z



2
1
2 và mặt phẳng

 P  : 2 x  2 y  3z 0.

 x 1  3t

d1 :  y  2  t
 z 2


,

Phương trình nào dưới đây là

 P  , đồng thời vng góc với d2 ?
phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm của d1 và
A. 2 x  y  2 z  13 0 B. 2 x  y  2 z  22 0
C. 2 x  y  2 z  13 0
Câu 42:

D. 2 x  y  2 z  22 0

(Kinh Môn - Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm

A  1;  1;3

và

x 3 y2 z  1
x  2 y 1 z  1


d2 :


3
3
1 ,
1
1
1 . Phương trình đường thẳng
hai đường thẳng
d đi qua A , vng góc với đường thẳng d1 và cắt thẳng d 2 .
x  1 y 1 z  3
x  1 y 1 z  3




4
2 .
2
3 .
A. 5
B. 3
d1 :

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022 – PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO 2022

x  1 y 1 z  3


5
3 .
C. 6

x  1 y 1 z  3


1
3 .
D. 2

M  1;  1; 2 
Câu 43: Trong không gian Oxyz , cho điểm
và hai đường thẳng

 x t

d :  y  1  4t ,
 z 6  6t


x y 1 z2


.

2
1
 5 Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua M ,
vng góc với d và d  ?
d :

x  1 y 1 z  2


.
14
9
A. 17
x  1 y 1 z  2


.
9
14
C. 17

x  1 y 1 z  2


.
17
9
B. 14
x  1 y 1 z  2



.
17
9
D. 14

 x 2  t

 d1  :  y 1  t
x y 7 z

 d2  : 
 z 1  t

1
3
 1 . Đường thẳng    là đường
Câu 44: Cho hai đường thẳng
và
d
d

vuông góc chung của  1  và  2  . Phương trình nào sau đâu là phương trình của  
x 2 y 1 z2
x 2 y 1 z 1




1

2 .
1
2 .
A. 1
B. 1

x  1 y  4 z 1


1
2 .
C. 1

x  3 y 2 z 3


1
2 .
D. 1

P : 3 x  y  z 0
Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  
và đường thẳng

x  1 y z 3
 
1
2
2 . Gọi  là đường thẳng nằm trong  P  , cắt và vng góc với d . Phương
trình nào sau đây là phương trình tham số của  ?

d:

A.

 x  2  4t

 y 3  5t
 z 3  7t


.

B.

 x  3  4t

 y 5  5t
 z 4  7t


.

C.

 x 1  4t

 y 1  5t
 z  4  7t


.

D.

 x  3  4t

 y 7  5t
 z 2  7t


.

A  1;  1;3
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
và hai đường thẳng:
x 4 y 2 z  1
x  2 y 1 z  1
d1 :


, d2 :


1
4
2
1
1
1 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A ,
d

d
vng góc với đường thẳng 1 và cắt đường thẳng 2 .
x  1 y 1 z  3
x  1 y 1 z  3




1
1 .
1
5 .
A. 2
B. 6
x  1 y 1 z  3


4
1 .
C. 6

x  1 y 1 z  3


1
3 .
D. 2


TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022 – PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO 2022

A  1;0; 2 
Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm
và đường thẳng d có phương trình:
x  1 y z 1
 
1
1
2 . Viết phương trình đường thẳng  đi qua A , vng góc và cắt d .
x 1 y z 2
x 1 y z 2
x 1 y z 2
x 1 y z 2
 
 
 
 
1
1
1
1
2
1
3
1
A. 1
B. 1
C. 2
D. 1
P : 2 x  y  2 z  9 0

Câu 48: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  
và đường

thẳng

d:

x  1 y 3 z  3


1
2
1 . Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua A  0;  1; 4  ,

P
vng góc với d và nằm trong   là:
 x 5t
 x 2t


Δ :  y  1  t
Δ :  y t
 z 4  5t
 z 4  2t


A.
.
B.
.

C.

 x t

Δ :  y  1
 z 4  t


.

D.

 x  t

Δ :  y  1  2t
 z 4  t


.


TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022 – PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO 2022

A  1;  2;3
(Mã 110 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm
và hai mặt phẳng

Câu 49:

 P :

x  y  z 1 0

,

 Q :

x  y  z  2 0

. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường

 P  và  Q  ?
thẳng đi qua A , song song với
 x 1  t
 x  1  t


 y  2
 y 2
 z 3  t
 z  3  t
A. 
B. 

C.

 x 1  2t

 y  2

 z 3  2t


D.

 x 1

 y  2
 z 3  2t


M  1;  3; 4 
Câu 50: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm
, đường thẳng d có phương trình:

x2 y  5 z  2


3
5
 1 và mặt phẳng  P  : 2 x  z  2 0 . Viết phương trình đường thẳng  qua

M vng góc với d và song song với  P  .
x  1 y 3 z  4


1
2 .
A.  : 1
x  1 y 3 z  4



1
2 .
C.  : 1

x  1 y 3 z  4


1
2 .
B.  :  1
x  1 y 3 z 4


1
2 .
D.  : 1

Câu 51: Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm
A  3;  1;5 

và cùng song song với hai mặt phẳng

 P : x 

y  z  4 0

,

 Q  : 2 x  y  z  4 0

.
A.

d:

x  3 y 1 z  5


2
1
3 .

x  3 y 1 z  5


1
3 .
B. 2

x 3 y  1 z 5
x 3 y  1 z 5




1
 3 . D. 2
1

3 .
C. 2
P : x  y  z  2 0
Câu 52: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  
và hai đường

thẳng
với

 x 1  t

d :  y t
 z 2  2t


 P  ; cắt

1
A. 5 .

;

 x 3  t 

d ' :  y 1  t  .
 z 1  2t 


Biết rằng có 2 đường thẳng có các đặc điểm: song song

d , d  và tạo với d góc 30O. Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đó.
1
2
1
B. 2 .
C. 3 .
D. 2 .

Câu 53: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
d2 :

x  2 y  1 z 1


2
1
1 và mặt phẳng

 P  : x  3 y  2 z  5 0 .

x 3 y  2 z  1


1
1
2 ,

Đường thẳng vng góc với

 P  , cắt cả d1

d
và 2 có phương trình là:
x 3 y 2 z  1


3
2 .
A. 1

d1 :

x y z 2
 
2 .
B. 1 3


TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022 – PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO 2022
x  4 y  3 z 1


3
2 .
C. 1

x 7 y  6 z 7


3

2 .
D. 1

Câu 54: Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng

d:

x 1 y2 z


1
1
 1 và cắt hai đường

x 1 y 1 z  2
x 1 y 2 z 3


d2 :


2
1
1 ;
1
1
3 là:
thẳng
x 1 y 1 z  2
x 1 y z 1



 
1
1 .
1
1 .
A.  1
B. 1
d1 :

x 1 y 2 z 3


1
1 .
C. 1

x 1 y z 1
 
1
1 .
D. 1
d
d
Câu 55: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng 1 và 2 lần lượt có phương trình là
x y 1 z
x y 1 z 1





1
2
1 và 1
2
3 . Đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 và song song
x 4 y 7 z 3


1
4
 2 có phương trình là
với đường thẳng
x 1 y 1 z  4
x  1 y 1 z  4




4
2 .
4
2 .
A. 1
B. 1
:

x 1 y  1 z  4



4
2 .
C. 1

x 1 y 1 z 4


4
2 .
D. 1
x y
z
x 1 y z 1
a:   ; b:
 
Oxyz
,
1 1 2
2
1
1
Câu 56: Trong không gian với hệ tọa độ
cho hai đường thẳng

và mặt phẳng

 P : x 

y  z 0.

 P  , cắt
Viết phương trình của đường thẳng d song song với

a và b lần lượt tại M và N mà MN  2. .
A.
C.

d:

7x  1 7 y  4 7z 8


3
8
5 .

d:

7x  4 7 y  4 7z  8


3
8
5 .

B.
D.

d:

7x  4 7 y  4 7z 8


3
8
5 .

d:

7x  1 7 y  4 7z  3


3
8
5 .

d ,d
Câu 57: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 2 có phương trình lần
 x  1  2t
x y  1 z 2 


,  y 1  t (t  )
2
1
1 
 z 3
lượt là
. Phương trình đường thẳng vng góc với

( P) 7 x  y  4 z 0 và cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 là.
x  2 y z 1
x 1 y  1 z  3
 


1
4 .
1
4 .
A. 7
B. 7
1
1
x
z

x y  1 z 2
2 y 1 
2


1
4 .
1
4 .
C. 7
D. 7

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022 – PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO 2022

M  0; m;0 
Câu 58: Trong không gian Oxyz , biết rằng tồn tại một đường  đi qua điểm
cắt đồng thời
 x t3
 x 1
 x  1



1 :  y t1  2 :  y  t2  3 :  y 1
 z t
 z t
 z  t
3

1

2

cả ba đường thẳng
;
;
.
Khẳng định nào sau đây là đúng.
A. m 1 .
B. m 1 .
C. m 1 .

D. m  1 .

M  2;  1;  6 
Câu 59: Trong không gian Oxyz , cho điểm
và hai đường thẳng

d2 :

d1 :

x  1 y  1 z 1


2
1
1 ,

x  2 y 1 z  2


3
1
2 . Đường thẳng đi qua điểm M và cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 tại A

, B . Độ dài đoạn thẳng AB bằng

B. 8 .

A. 12 .

C.

38 .

D. 2 10 .

A 1;  1; 2 
Câu 60: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi d đi qua điểm 
, song song với

 P  : 2x 

y  z  3 0

, đồng thời tạo với đường thẳng
Phương trình đường thẳng d là
x  1 y 1 z  2
x  1 y 1 z  2




5
7 . B. 4
5
7 .
A. 1

:

x 1 y  1 z


1
 2 2 một góc lớn nhất.

x  1 y 1 z  2
x  1 y 1 z  2




5
7 . D. 1
5
7 .
C. 4
x 1 y 2 z 2
1 :


A

1;
0;

1


Oxyz

2
1
1 ,
Câu 61: Trong không gian với hệ tọa độ
gọi d đi qua
, cắt
sao cho góc giữa d và
x 1 y z 1
 
2
1 .
A. 2

x  3 y  2 z 3


1
2
2 là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là
x 1 y z 1
x 1 y z 1
x 1 y z 1
 
 
 
5
 2 . C. 4
 5  2 . D. 2
2
1 .

B. 4

2 :

Câu 62: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng

d1 :

x 1 y z2
 
2
1
 1 và

x 1 y 2 z  2


1
3
 2 . Gọi  là đường thẳng song song với  P  : x  y  z  7 0 và cắt
d1 , d 2 lần lượt tại hai điểm A, B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng  là.
d2 :

A.

 x 12  t

 y 5
 z  9  t


.


 x 6  t

5

y 
2

9

 z  2  t
B.
.


 x 6

5

y   t
2

9

 z  2  t
C.
.


 x 6  2t

5

y  t
2

9

 z  2  t
D.
.