050 đề thi hsg toán 9 tỉnh hà nam 2020 2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2020-2021. MƠN TỐN 9

 x 2 x x x x  6
x 1 
x  39
Q 


.
x  x  2 1  x  x  3 x  10
 x 4
Câu 1. (3,0 điểm) Cho biểu thức
a) Rút gọn Q
b) Tìm x để Q đạt giá trị nhỏ nhất
1 2
P
:
y

x


Oxy
,
2
Câu 2. (2,0 điểm) Trong mặt phẳng
cho parabol
và đường thẳng
 d  : y mx  2 (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để  d  cắt  P  tại hai

điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 5 (đơn vị diện tích)
Câu 3. (4,0 điểm)
2
2
2
x

5
x

11

x

7
2
x
1


a) Giải phương trình





 x  y y  1  x2  y 2  2


x2  4 y  4

x y  1  y x  1 
2
b) Giải hệ phương trình : 
a  b 2021
Câu 4. (2,0 điểm) Tìm các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn b  c 2021 là số hữu tỷ và

a 2  b 2  c 2 là số nguyên tố.
Câu 5. (7,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn  O  . Các đường cao AD,
BE , CF của tam giác ABC cắt nhau tại H , EF cắt  O  tại P, Q  P  cung AB 
a) Chứng minh tam giác APQ cân
b) Chứng minh DH .DA DE.DF
c) Lấy điểm M đối xứng với điểm P qua AB, điểm N đối xứng với điểm Q qua
AC. Chứng minh MN / / BC
2. Cho đường tròn  I  nội tiếp tam giác ABC ,  I  tiếp xúc với ba cạnh BC , CA, AB
lần lượt tại các điểm D, E , F . Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh các
đường thẳng AM , EF , DI đồng quy.
Câu 6.(2,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương, tùy ý. Chứng minh rằng:


a
ab  b 2



b
bc  c 2



c
ca  a 2



3 2
2


ĐÁP ÁN
 x 2 x x x x  6
x 1 
x  39
Q 


.
x  x  2 1  x  x  3 x  10
 x 4
Câu 1. Cho biểu thức
a) Rút gọn Q
ĐKXĐ: x 4; x 1; x 0 , ta có :


x

2
x
x


x
x

6
x

1
x  39
.
Q 


 x 2
x  1
x 2
x1
x 2
x 2
x 5




x




 



x  1  x  x x  6   x  1 x  2 
.
x

1
x

2











x  39

 x  5
 x  4   x  1
x x  x 4 x 4
x  39
x  39

.


.
 x  1 x  2  x  2 x  5  x  1 x  2   x  2  x  5


x 2

x  39
x 5

b) Tìm x để Q đạt giá trị nhỏ nhất
Với x 4; x 1; x 0 , ta có:
x  39
x 2  25  64
64
64

 x  5
 x 5
 10
x 5
x 5
x 5
x 5
64
x  5;
x  5 ta được :
Áp dụng BĐT Co-si cho hai số dương
Q

x 5

64
2
x 5



64

x 5
Vậy min Q 6  x 9
Câu 2.
Q 6 

x 5



x 5 .

64
16  Q 16  10 6
x 5

x  5 8  x 9(tm)

+)Xét phương trình hồnh độ giao điểm của  P  và  d  :
1 2
x mx  2  x 2  2mx  4 0  1
2

 P  cắt  d  tại hai điểm phân biệt  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
  '  0 .mà  ' m 2  4  0 đúng với mọi m  
Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình (1)
 1   1 
A  x1; x12  , B  x2 ; x22 
  P  cắt  d  tại  2   2 
 x1 x2  4
 *

 x1  x2 2m

Áp dụng định lý Vi-et, ta có :
Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của A, B trên trục Ox
Vì x1.x2  0 , khơng mất tính tỏng qt, ta giả sử x1  0  x2  x2  x1  0
 SOAB S ABNM  SOAM  SOBN
1 1
1 
1
S ABNC   x12  x22  . x2  x1    x12  x22   x2  x1 
2 2
2 
4
1
1
1
 x13  x23  x1 x2  x1  x2 
4
4

4
1 1
1
1 1
1
S AMO  . .x12   x1   x13 ; S BNO  . x22 .x2  x32
2 2
4
2 2
4
1
1
SOAB  x1 x2  x1  x2     4   x1  x2  x2  x1 5  x2 5  x1  **  SOAB 5 
4
4
 x1  5  x1   4  x12  5 x1  4 0
 x1 x2  4
 


x2 5  x1
x2 5  x1


 x2 5  x1

Từ (*) và (**)
  x1  1  0(tm)
3



2
m

x

x

3

m

1
2

 x2 4  0(tm)
2

 
  x  4  0(tm)
 2m x  x  3  m   3
 1
1
2

2
  x2 1  0(tm)

3
m 

2
Vậy
Câu 3.
2
2
a) Giải phương trình 2 x  5 x  11  x  7  2 x  1

Đặt

2 x 2  1 t  t 0  , phương trình có dạng


2

2

t 2   x  7  t  5 x  10 0 có   x  7   4  5 x  10   x  3 0, với mọi x  
 t x  2
 t 5
Phương trình có hai nghiệm 

Th1: t x  2 
Th2 : t 5 

 x  2
2 x 2  1 x  2   2

2
2
x


1

x

4
x

4


 x 2  7

 x 2  7

2 x 2  1 5  2 x 2 24  x 2 3






2  7; 2 3
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm
 x  y y  1  x 2  y 2  2  1


x2  4 y  4
x y  1  y x  1 
 2


2
b) Giải hệ phương trình
ĐKXĐ: x 1; y 1 . Ta có :

 2  2x

y  1  2 y x  1 x 2  4 y  4 



x 2  4 y  4   y 2  4 x  4  x 2  4 y  4

Áp dụng BĐT Cô si cho hai số không âm, ta được :
x2  4 y  4
y2  4x  4
2
2
x  4 y  4 
; y  4x  4 
2
2
x2  y2  4x  4 y  8
 x2  4 y  4 
2
2
2
2
 2 x  8 y  8 x  y  4 x  4 y  8  x 2  y 2  4  x  y  0
  x  y  4   x  y  0  *

Mặt khác :

 1 


x  y  2  x2  y 2 

xy  y 2

x x  y
x y 4
x 2  y 2  xy  y 2
x y 4



x y 2
x y 2
x 2  y 2  xy  y 2
x 2  y 2  xy  y 2

  x  y   x  y  4  0  **


  x  y 0

  x  y  4 0
(3)
 * ,  **   x 2 y  1


(4)
 y 2 x  1


Từ
Th1: x  y, thay vào phương trình  3 ,  4   x  y 2  1(tm)
Th2: x 4  y , thay vào phương trình (3), (4)
 y 3
 4  y  2 4  y  1

 
  y 2  8 y  16 4 y  4 
2
 y 4  3  y 
 y 2  4 y  12 0


 y 3
 2
 y  12 y  20 0
 y 2  4 y  12 0




 y 3
  y 2
 
 y 2  x 2  1(tm)
y


10


  y 2

  y  6
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm  x; y   2;2 

a  b 2021
2
2
2
Câu 4. Tìm các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn b  c 2021 là số hữu tỷ và a  b  c là
số nguyên tố.
a  b 2021 a  b 2021 b  c 2021

b 2  2021c 2
b

c
2021
Ta có :
là số hữu tỉ







2021  b  c





 là số hữu tỉ
2021  ab  2021bc   ac  b 

 a  b 2021 b  c 2021

a b
Mà

2

 ac  b 2 0  b 2 ac . Ta lại có :
2

2

a 2  b2  c 2  a  c   2ac  b 2  a  c   2b 2  b 2
2

 a  c   b 2  a  c  b   a  c  b 

2021, a; b; c  


2

2
2
Mặt khác, a  b  c là số nguyên tố với mọi a, b, c  
 a  c  b 1
 a  b  c 1
Nên ta có : 
TH 1: a  b  c 1, a, b, c    a 2  b 2  c 2 1(ktm)

a  c  b 1
a  c b  1
Th2 :  2

 *
 2
2
2
2
2
a

b

c

a

b

c
a


b

c

2


2
2
2
Có a  b  c a  b  c  a  a  1  b  b  1  c  c  1 0
Mà a, b, c    a  a  1 0; b  b  1 0; c  c  1 0
 a 1  b 1  c 1
 
;
;
;
 a 0  b 0  c 0 kết hợp với  *  a b c 1
2
2
2
Thử lại ta có :  a  b  c 3  a b c 1(tm)
Vậy a b c 1
Câu 5.
1)

B

x

P

D
M
F

A

N

H
E

O

C
Q


a) Có BE  AC , CF  AB  AEH AFH 90
 AEHF nội tiếp  AEF AHF (cùng chắn cung AF )
Mà CHD AHF (đối đỉnh)  AEF CHD
Mà CHD FBC (cùng phụ với HCD )  AEF FBC  AEP ABC

1

sd AP  sdQC
2
Lại có
(góc trong)

1
1

ABC  sd AC  sd AQ  sdQC
2
2
(nội tiếp)
 AP  AQ  APQ cân tại A
AEP 









b) Chứng minh tương tự phần a, ta được BFHD, CEHD là tứ giác nội tiếp

 FDH FBH (cùng chắn cung FH ), EDH ECH (cùng chắn EH )
FBH ECH (cùng phụ với BAC )  FDH EDH  FDA EDH  1

Lại có FAD HCD (cùng phụ với ABC ); HCD HED (cùng chắn HD )
 FAD HED  2 

DA DF

 DH .DA DE .DF
DE

DH
Từ (1), (2)
c) M đối xứng với P qua AB, N đối xứng với Q qua AC  AP  AM , AN  AQ
Mà AP  AQ (vì APQ cân tại A)  AP  AM  AN  AQ
 FDA ∽ HDE ( g .g ) 

 PMNQ là tứ giác nội tiếp  PQN PMx
 BE  AC
 BE / / QN  PQN FEB  PMx FEB  1

QN  AC

Có :
Có BFC BEC 90  BFEC là tứ giác nội tiếp  FEB FCB (cùng chắn
cung FB )  2 
Từ (1) và (2)  FCB PMx
Lại có FC  AB, PM  AB  FC / / PM  BC / / Mx  BC / / MN
2)


A

H
F

K

E

J

I
B

D

M

C

Gọi EF cắt DI tại K, vẽ đường thẳng qua K và song song với BC cắt AB, AC tại H và J
Ta có : DI  BC.HJ / / BC  IK  HJ
Từ đó IKHF là tứ giác nội tiếp (vì IKH  IFH 180 )

 KHI KFI (cùng chắn cung KI ). Tương tự thì KJI KEI
Mà KFI KEI  EIF cân tại I)  KHI KJI  HIJ cân tại I
Mà IK  HJ tại K  K là trung điểm của HJ
HK ' AK ' K ' J


 HK ' K ' J
BM
AM
CM
HJ
AM
K
'
Ta giả sử
cắt

tại
thì theo Ta let ta có:
(vì
MB MC )

 AM cắt HJ tại trung điểm của HJ  AM đi qua K

 AM , EF , DI đồng quy
Câu 6.
+)Áp dụng BĐT Cosi với mọi số a, b dương, tùy ý, ta có :


2a  a  b 3b  a

2
2
a
2a
2 2a


2b  a  b  a  3b
ab  b 2

2. ab  b 2  2b  a  b  


Áp dụng tương tự ta cũng có :
b
bc  c 2



2b



a
ab  b 2

2c  b  c 




b

2 2b
c
2c
2 2c
;


b  3c ca  a 2
2a  c  a  3a  c
c



bc  c 2

ca  a 2



2 2a 2 2b 2 2c


a  3b b  3c 3a  c

 a2
b2
c2 



2 2  2
 2

*
2  
2
2
2
a

3
ab
b


3
bc
3
ac

c
ab  b
bc  c
ca  a


Áp dụng bđt Cosi dạng phân thức (Svac-xơ), ta có :
a

b

c

2

2 2  a  b  c
 a2
b2
c2 
2 2 2
 2



2

2
2
2
 a  3ab b  3bc 3ac  c  a  b  c  3ab  3bc  3ac
2

2 2  a  b  c
 a2
b2
c2 
 2 2 2
 2


 **
2
2 
a

3
ab
b

3
bc
3
ac

c
a


b

c

ab

bc

ac






Áp dụng BĐT Cô si cho các cặp số thực dương a, b; b, c; a, c ta được :
a 2  b 2 2ab; b 2  c 2 2bc; c 2  a 2 2ac  2a 2  2b 2  2c 2 2ab  2bc  2ac
 a 2  b 2  c 2 ab  bc  ac  a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ac 3ab  3bc  3ac
  a  b  c

2

 a  b  c
3ab  3bc  3ac  ab  bc  ac 

2

3

2

  a  b  c   ab  ac  bc  a  b  c 
2 2  a  b  c

2

 a  b  c


2

3

2

4 a  b  c

3

2

2 2  a  b  c
3 2



 ***
2
4

2
 a  b  c   ab  bc  ca
 a  b  c
3

 * ,  ** ,  *** 

a



b

ab  b 2
bc  c 2
Từ
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b c



c
ca  a 2



3 2
2

2