Sáng kiến dạy học chủ đề tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau theo định hướng phát triển năng lực, phẩm chất người học môn toán lớp 7

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
BÁO CÁO SÁNG KIẾN
DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU THEO ĐỊNH
HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC, PHẨM CHẤT NGƯỜI HỌC MÔN TỐN
LỚP 7
1. Mơ tả bản chất của sáng kiến:
Mơn Tốn là một trong những mơn học chiếm một vị trí rất quan trọng và then
chốt trong nội dung chương trình các môn học bậc THCS. Các kiến thức kĩ năng của
mơn tốn ở THCS có nhiều ứng dụng trong đời sống, chúng rất cần thiết để học các môn
học khác ở THCS và các lớp trên. Hiểu biết về toán học giúp cho người ta có thể tính
tốn, ước lượng…và nhất là có được cách thức tư duy, phương pháp suy nghĩ, suy luận
logic…trong giải quyết các vấn đề nảy sinh trong học tập cũng như trong cuộc sống hàng
ngày.
Ở trường THCS, học toán về cơ bản là hoạt động giải toán. Giải toán liên quan
đến việc lựa chọn và áp dụng chính xác các kiến thức, kĩ năng cơ bản, khám phá về các
con số, xây dựng mơ hình, giải thích số liệu, trao đởi các ý tưởng liên quan...Vì vậy, có
thể xem đó là cơ sở cho những phát minh khoa học. Kiến thức toán còn được ứng dụng,
phục vụ cho việc học các môn học khác, như: Vật lí, Hố học, Sinh học… Do đó nếu học
tốt mơn Tốn ở bậc THCS giống như việc đặt những viên gạch nền móng vững chắc cho
"căn nhà tri thức" vậy. Trong q trình học Tốn ở THCS học sinh cần phải biết tở chức
cơng việc của mình một cách sáng tạo, vì vậy người giáo viên cần rèn luyện, hướng dẫn
cho học sinh kĩ năng độc lập tư duy, sáng tạo sâu sắc. Từ đó học sinh sẽ phát triển tư duy
kiến thức về mọi mơn học. Mơn tốn góp phần rất quan trọng trong việc rèn luyện
phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề... góp phần phát triển trí thơng
minh, tư duy logic, cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo của học sinh
Do đó ở trường THCS mơn Tốn có nhiều cơ hội giúp học sinh hình thành và phát
triển các năng lực chung, như: năng lực tính tốn, năng lực tư duy, năng lực giải quyết
vấn đề, năng lực tự học, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực làm chủ bản thân,
năng lực sử dụng công nghệ thông tin.
Như chúng ta đã biết, việc dạy học theo chủ đề có tác dụng rất lớn đối với việc tiếp

thu kiến thức của học sinh, từ đó hình thành các thao tác tư duy, phương pháp suy luận
cho học sinh.
Giáo dục định hướng năng lực nhằm đảm bảo chất lượng đầu ra của việc dạy học,
thực hiện mục tiêu phát triển toàn diện các phẩm chất nhân cách, chú trọng năng lực vận
dụng tri thức trong những tình huống thực tiễn nhằm chuẩn bị cho con người năng lực
giải quyết các tình huống của cuộc sống và nghề nghiệp.
Ở lớp 7 hệ thống kiến thức về tỉ lệ thức chiếm thời l ượng tương đối lớn, đóng vai
trò quan trọng trong việc giải bài tập tốn lớp 7 nói riêng và chương trình Tốn THCS nói
chung.
Từ một tỉ lệ thức có thể chuyển thành một đẳng thức giữa hai tích và ngược lại.
Trong một tỉ lệ thức nếu biết ba số hạng ta có thể tìm được số hạng thứ tư. Khi học về đại
lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch ta thấy tỉ lệ thức là một phương tiện quan trọng
giúp ta giải tốn. Trong Hình học, để giải bài tập về định lí Ta-lét, tam giác đồng dạng (ở
lớp 8) thì khơng thể thiếu kiến thức về tỉ lệ thức.
1


Xuất phát từ thực tế trên, tôi nhận thấy muốn cho học sinh nắm vững kiến thức về tỉ
lệ thức để học khá, giỏi mơn Tốn và để thuận tiện cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi, qua
kinh nghiệm của bản thân và tham khảo ý kiến của đồng nghiệp tôi thấy: một trong các
chuyên đề cần thiết cho học sinh lớp 7 là tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau. Vì vậy tơi chọn đề
tài “Dạy học chủ đề tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau theo định hướng phát triển năng lực,
phẩm chất người học môn Toán lớp 7.”để đưa ra một số phương pháp dạy học về chủ đề
tỉ lệ thức nhằm phát huy năng lực người học
1.1. Các giải pháp thực hiện, các bước và cách thực hiện:
Nhìn chung, dạy học tốn theo định hướng hình thành và phát triển năng lực người
học đến nay đang còn là vấn đề mới, đang thảo luận và chưa có những nghiên cứu sâu.
Với kinh nghiệm trong cơng tác chun mơn và sự nhiệt tình vì chất lượng học tập của
học sinh thân yêu, tôi đã viết ra những cách làm, hướng suy nghĩ của bản thân. Cụ thể
như sau:

A. Các kiến thức trọng tâm cần nắm vững:
a c
 ( a, b, c, d  Q; b, d ≠
1. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
b d
0)
Các số hạng a, d gọi là ngoại tỉ, các số hạng b, c gọi là trung tỉ
2. Tính chất
* Tính chất 1 (Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức)
Nếu

a c
a c

thì a.d = b.c (Từ tỉ lệ thức  các em chỉ cần nhân chéo các số
b d
b d

hạng sẽ ra kết quả).
* Tính chất 2:
Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức:

a c a b d c d b
 ;  ;  ; 
b d c d b a c a
a c
 , sau đó ta làm như sau:
b d
a b
+ Đởi chỗ trung tỉ, giữ nguyên ngoại tỉ ta được  ;

c d
d c
+ Đổi chỗ ngoại tỉ, giữ nguyên trung tỉ ta được  ;
b a
d b
+ Cuối cùng ta đổi chỗ cả trung tỉ và ngoại tỉ ta được 
c a

Từ đẳng thức ad = bc ta lập được tỉ lệ thức ban đầu

Như vậy, với a, b, c, d ≠ 0 từ một trong năm đẳng thức sau đây ta có thể suy ra các
đẳng thức còn lại:

ad = bc

=

=

=
2

=


3. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
* Từ tỉ lệ thức = suy ra = = = (b ≠ d, b ≠ - d)
* Từ dãy tỉ số bằng nhau = = , ta suy ra:
= = = = = =……..
( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa )

* Chú ý.
- Khi có dãy tỉ số

a b c
  ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 4 ta cũng có
2 3 4

thể viết a : b : c = 2 : 3 : 4
- Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức

a c

b d

suy ra:
2

2

a c
a
c k1a k 2c
a  c 

(k1 , k2 0)
     . ;k. k . ;
b d
b
d k1b k 2d
b d

a c e
Từ   suy ra
b d f

3

3

3

2

a c e a
c e
a  c  e 
       . . ;    .
d f
b d   f  b d f b

Sau khi học xong tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau tôi đã
cho học sinh củng cố để nắm vững và hiểu thật sâu về các tính chất cơ bản, tính chất mở
rộng của tỉ lệ thức, của dãy tỉ số bằng nhau. Sau đó cho học sinh làm một loạt những bài
tốn cùng loại để tìm ra một định hướng, một quy luật nào đó để làm cơ sở cho việc chọn
lời giải, đồng thời cũng định hướng một số năng lực cần phát triển cho học sinh. Có thể
minh hoạ điều đó bằng các dạng toán, bằng các bài toán từ đơn giản đến phức tạp sau đây:
Dạng 1: Lập tỉ lệ thức
* Phương pháp
+ Nếu có các đẳng thức thì vận dụng tính chất 2 để lập tỉ lệ thức.
+ Nếu có các tỉ số cho trước thì tìm xem các tỉ số nào bằng nhau trong các tỉ số đã
cho.

+ Nếu có 1 tỉ lệ thức chúng ta có thể lập thêm ba tỉ lệ thức nữa, bằng cách:
- Giữ nguyên ngoại tỉ đổi chỗ trung tỉ
- Giữ nguyên trung tỉ đổi chỗ ngoại tỉ
- Đổi chỗ các ngoại tỉ với nhau, trung tỉ với nhau.
+ Nếu có các số hạng thì xem bốn số nào thỏa mãn đẳng thức dạng a.d=b.c rồi từ
đó lập các tỉ lệ thức.
Bài tốn 1: Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể từ đẳng thức sau: 6.63=9.42.
Với kiến thức cơ bản đầu tiên từ tính chất của tỉ lệ thức giáo viên hướng dẫn học
sinh lập tỉ lệ thức ban đầu. Cụ thể từ đẳng thức 6.63=9.42 lập được tỉ lệ thức ban đầu
6 42
 , sau đó ta làm như sau:
9 63
6
9
 ;
42 63
63 42
 ;
+ Đổi chỗ ngoại tỉ, giữ nguyên trung tỉ ta được
9
6

+ Đổi chỗ trung tỉ, giữ nguyên ngoại tỉ ta được

3


+ Cuối cùng ta đổi chỗ cả trung tỉ và ngoại tỉ ta được

63 9


42 6

Bài toán 2: Các tỉ số sau đây có lập thành các tỉ lệ thức hay không?
a) 0,5 : 15 và 0,15 : 50
b) 0,3 : 2,7 và 1,71 : 15,39
Từ định nghĩa tỉ lệ thức giáo viên hướng dẫn học sinh so sánh các tỉ số đã cho để xét xem
các tỉ số đó có lập thành tỉ lệ thức khơng ?
a) Ta có: 0,5 : 15 =

0, 5 1

15 30

và

0,15 : 50 =

0,15
3

50
1000

3
1

nên các tỉ số 0,5 : 15 và 0,15 : 50 không lập thành tỉ lệ thức
1000 30
0,3 1

1, 71 1


b) Ta cã : 0,3 : 2,7 =
và 1,71 : 15,39 =
2, 7 9
15,39 9
Vì

Suy ra: 0,3 : 2,7 = 1,71 : 15,39
Vậy 0,3 : 2,7 và 1,71 : 15,39 lập thành tỉ lệ thức.
Bài toán 3: Hãy lập tất cả tỉ lệ thức có thể lập được từ các số sau:
a) 0,16; 0,32; 0,4; 0,8
b) 1; 2; 4; 8
(Hướng dẫn học sinh sử dụng tính chất 2)
a) Ta có: 0,16 . 0,8 = 0,32 . 0,4 ( = 0,128)
Suy ra ta lập được các tỉ lệ thức sau:

0,32 0,8
0,16 0, 4
0,16 0,32

;

;

0,32 0,8
0, 4
0,8
0,16 0, 4

;

0, 4
0,8

0,16 0,32

b) Tương tự ta có: 1. 8 = 2 . 4 (= 8)
Suy ra ta lập được các tỉ lệ thức sau:

1 4

;
2 8

1 2

;
4 8

2 8

;
1 4

4 8

1 2

Bài toán 4: Cho tập hợp số A = {4; 8; 16; 32; 64}. Hãy liệt kê tất cả các tỉ lệ thức có các
số hạng khác nhau là các phần tử của A
Một tỉ lệ thức = có các số hạng khác nhau nếu a ≠ b, a ≠ c, d ≠ a, b ≠ c , b ≠ d, c ≠ d
và a.d = b.c . Do đó xét các nhóm 4 phần tử của A sao cho từ 4 phần tử đó có thể lập
được một đẳng thức giữa hai tích
(Để lập các nhóm gồm 4 phần tử một cách nhanh chóng, chính xác, giáo vên có thể gợi ý
cho học sinh:
4 = 22; 8 = 23; 16 = 24; 32 = 25; 64 = 26)
Giải:
* Xét nhóm {4; 8; 16; 32} ta có: 4.32 = 8.16. Từ đó ta lập được 4 tỉ lệ thức sau:
4 16

;
8 32

8 32

;
4 16

4
8

;
16 32

16 32

.
4

8

* Xét nhóm {4; 8; 32; 64} ta có: 4.64 = 8.32. Từ đó ta lập được 4 tỉ lệ thức sau:
4 32

;
8 64

8 64

;
4 32

4 16

;
32 64

32 64

.
4
8

* Xét nhóm {8; 16; 32; 64} ta có: 8.64 = 32.16. Từ đó ta lập được 4 tỉ lệ thức sau:
4


8 32


;
16 64

16 64

;
8 32

8 16

;
32 64

32 64

.
8 16

Như vậy ta có thể lập được 12 tỉ lệ thức có các số hạng khác nhau thuộc tập hợp A.
Giáo viên có thể hướng dẫn thêm: Nếu bài tốn khơng đòi hỏi các số hạng khác nhau thì
ngồi 12 tỉ lệ thức trên ta còn lập được một số tỉ lệ thức khác nữa. Ví dụ:
4 8
8 16
4 16 16 64
8 16 16 32 16 32 32 64
 ;
 ;







;
;
;
;
;
8 16
4 8
16 64
4 16
16 32
8 16 32 64 16 32

Qua dạng tốn này, các em củng cố được năng lực tính toán, năng lực
sáng
tạo (viết 8 = 2 ; 32 = 2 ; 128 = 2 ; 512 = 2 để dễ dàng lập được các đẳng thức dạng ad
= bc)
Bài tập tự luyện dạng 1
Bài 1: Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ bốn trong năm số sau:
a) 9; 81; 729; 6561; 59049
b) 5; 25; 125; 625; 3125
Bài 2: Tìm các tỉ số bằng nhau trong các tỉ số sau rồi lập các tỉ lệ thức:
(-5) : 10 ; : ; (-3,11) : 12,5 ; : 9 ; (-1,5) : 3 ; : 25
Bài 3: Cho ba số: 6; 8; 24.
a) Tìm số x sao cho x cùng với ba số trên lập thành một tỉ lệ thức.
b) Có thể lập được tất cả bao nhiêu tỉ lệ thức?
Bài 4: Cho bốn số: 2; 4; 8; 16.
a) Tìm số x sao cho x cùng với ba trong bốn số trên lập thành một tỉ lệ thức.

b) Có thể lập được tất cả bao nhiêu tỉ lệ thức?
Dạng 2: Chứng minh tỉ lệ thức
* Phương pháp
Việc hệ thống hóa, khái quát hóa các kiến thức của tỉ lệ thức còn có vai trò rất
quan trọng trong việc chứng minh tỉ lệ thức, với hệ thống các bài tập đơn giản đến phức
tạp, từ cụ thể cơ bản đến trừu tượng, mở rộng đã cho các em rất nhiều hướng để giải
quyết tốt yêu cầu bài toán.
Để chứng minh tỉ lệ thức

a c
 ta có các phương pháp sau:
b d

Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng a.d = b.c
Phương pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỉ số

a c
 có cùng 1 giá trị nếu trong đề bài đã cho
b d

trước 1 tỉ lệ thức, ta đặt giá trị chung của các tỉ số tỉ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá trị
của mỗi tỉ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k
Phương pháp 3: Dùng tính chất hốn vị, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, tính chất
của đẳng thức biến đởi tỉ số ở vế trái (của tỉ lệ thức cần chứng minh) thành vế phải.
Phương pháp 4: Dùng tính chất hốn vị, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, tính chất của
đẳng thức để từ tỉ lệ thức đã cho biến đởi thành tỉ lệ thức phải chứng minh.
Bài tốn 1: Cho tỉ lệ thức
Chứng minh :

a c

 1 Với a, b, c, d
b d

a b c d

a
c

5

0


Giải
Cách 1:

a
c

 a.d b.c
b
d

Xét tích (a.  b).c a.c  b.c
Thay b.c a.d  ( a  b).c a.c  a.d (c  d ).a
a b c d

a
c
a b c d


Như vậy để chứng minh:
.
a
c
Ta phải có đẳng thức (a  b).c (c  d ).a .

Vậy (a  b).c (c  d ).a 

a c
 k  a b.k ; c d .k
b d
a  b b.k  b b(k  1) k  1



Xét
(1)
a
b.k
b.k
k
c  d d .k  d d ( k  1) k  1



Và
(2)
c
d .k

d .k
k
a b c d

Từ (1) và (2) 
a
c
a b c d

Trong cách này ta chứng minh tỉ số
nhờ tỉ số thứ ba. Để có tỉ số thứ ba ta đặt giá
a
c

Cách 2: Đặt

trị số đã cho bằng giá trị k. Từ đó tính giá trị của một số hạng theo k.
Cách 3: Từ tỉ số

a c
a b
  
b d
c d

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b a b
a a b
c d a b
 

 


c d c d
c c d
c
a

hay

a b c d

a
c

Trong cách này sử dụng hoán vị trung tỉ rồi áp dụng tính chat của dãy tỉ số bằng
nhau rồi hoán vị ngoại tỉ mtj lần nữa.
a c
b d
  
b d
a c
a b
b
b
d c d
XÐt
1   1  1 

a

a
a
c
d
a b c d
VËy

a
c
a c
b d
Cách 5: Từ   
b d
a c

Cách 4: Từ

Lấy 1 trừ từng vế của tỉ lệ thức:
1

b
d
a b c d
1  

a
c
a
c

Trong cách này, biến đổi đồng thời ngoại tỉ cho trung tỉ. Rồi lấy số 1 trừ từng vế
của tỉ lệ thức sau đó biến đởi đẳng thức cần chứng minh.
Tãm l¹i tõ mét tØ lƯ thøc ta cã thĨ suy ra tØ lƯ thøc kh¸c b»ng c¸ch chøng minh theo
nhiỊu c¸ch khác nhau có thể sử dụng trong bài tập.
Bi toỏn 2: Cho tỉ lệ thức

a
c
 . Hãy chứng minh:
b
d

6


a  b c d

ab cd
2a  5b 2c  5d
b)

3a  4b 3c  4d
a)

Cách 1
Sử dụng phương pháp đặt giá trị của dãy tỉ số để chứng minh
a
c
 =k 
b

d

Đặt

a = b.k; c = d.k

Ta có:
a b
bk  b
b(k  1)
k  1



a b
bk  b
b(k  1)
k 1
c  d
dk  d
d ( k  1)
k  1



c  d
dk  d
d ( k  1)
k 1



a  b
c  d

a  b
c  d

Cách 2:
Sử dụng phương pháp hoán vị các số hạng của tỉ lệ thức và tính chất cơ bản của dãy tỉ
số bằng nhau ta có lời giải như sau:
Từ :

a c
a b
 

(Hốn vị trung tỉ)
b d
c d

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:


a b a  b a b
 

c d c d cd

a b c d


(Hoán vị trung tỉ)
ab cd

Cách 3:
Ngoài hai hướng trên, các em cũng đã tìm ra hướng giải khác nhờ tính chất cơ bản
của tỉ lệ thức:
a c
  ad  bc
b d
Xét tích: ( a  b)(c  d ) ac  ad  bc  bd

Từ

ac  bd (vì ad = bc 

ad - bc = 0)

(a  b)(c  d ) ac  ad  bc  bd

ac  bd (vì ad = bc  - ad + bc = 0)
Do đó ( a  b)(c  d ) (a  b)(c  d ) (cùng bằng ac – bd)


a  b
c  d

a  b
c  d

(Đpcm)

Với việc hệ thống hóa các kiến thức về tỉ lệ thức đã đưa ra một số hướng giải. Yêu
cầu học sinh chọn lựa hướng giải nào thích hợp, ngắn gọn, dễ hiểu để trình bày lời giải
cho mình trong mỗi bài, qua đó học sinh tự giải phần b của bài toán này.
Bài toán 3: Cho tỉ lệ thức

a
c
 . Hãy chứng minh:
b
d

7


2

a)

 a  b
2
c  d

c)

a 2  b2
ab

;

2
2
c  d
cd



ab
;
cd

b)

a 2  b 2 ab

;
c 2  d 2 cd

Hướng giải của bài toán 3 tương tự như bài tốn 2, song mức độ tính tốn dễ nhầm
lẫn hơn. Do đó phải phân tích, cho học sinh ơn lại về luỹ thừa và kiến thức về tính chất
mở rộng của tỉ lệ thức để các em dễ nhận biết, dễ trình bày hơn. Cần nhấn mạnh lại các
cơng thức:
2

2

a c
ac
 a
c

      
và hướng cho các em trình bày lời giải của bài
b d
bd
b
d
tốn phần a như sau:
Cách 1: Sử dụng phương pháp hoán vị các số hạng của tỉ lệ thức và tính chất cơ bản
của dãy tỉ số bằng nhau ta có lời giải như sau:
a c
a b
Từ :    (Hoán vị trung tỉ)
b d
c d
a b a b
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:  
c d c d

Nếu :

2

a b =
 

 c d 



=

Cách 2:
Sử dụng phương pháp đặt giá trị của dãy tỉ số để chứng minh
Đặt

a
c
 =k
b
d

 a = b.k ; c = d.k

Ta có : = = =
= =
Từ đó suy ra : =
Tương tự bài toán phần a học sinh rất dễ dàng hiểu và trình bày được lời giải phần b,
c và hướng cho các em tự tìm hiểu các phương pháp khác để chứng minh tỉ lệ thức.
a2  b2
a
a
b

Bài toán 4: Cho
. Hãy chứng minh : b 2  c 2  c
b
c

Để giải được bài toán này yêu cầu học sinh phải có bước suy luận cao hơn, khơng rập
khn máy móc mà phải chọn lọc tính chất của tỉ lệ thức để có hướng giải phù hợp.

Cách 1:
Sử dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức rồi thay thế vào vế trái và biến đởi ta có lời giải
sau:
Từ

a
b

b
c



b2 = ac . Thay vào vế trái ta có:

a 2  b 2 a 2  ac a (a  c)
a



2
2
2
b  c
ac  c
c(a  c)
c

(Đpcm)

Cách 2:
Sử dụng tính chất đơn điệu của phép nhân đẳng thức
8


Vì cần có a2 ; b2 ; c2 nên ta nhân từng vế của

a
b

với chính bản thân nó (hay bình
b
c

phương 2 vế của tỉ lệ thức này) ta có lời giải sau :
a b
a a b b a2 b2 a 2  b2
      2  2  2
(1)
b c
b b c c b
c
b  c2

mà

a b
a2 a2 a
  b 2  ac  2 
 (2)

b c
b
ac c

Từ (1) và (2) 

a 2  b2 a
 (Đpcm)
b2  c2 c

Cách 3: Sử dụng phương pháp đặt giá trị của dãy tỉ số để chứng minh
Đặt = = k  a = b.k và b = c.k
Do đó a = c. k2
Ta có:
= = = k2 (1)
= = k2 (2)
a2  b2 a
 (Đpcm)
Từ (1) và (2)  2
b  c2 c

Qua dạng toán này học sinh được hình thành và phát triển các năng lực sử dụng
các phép tính, năng lực tư duy logic, năng lực tự học, tự giải quyết vấn đề và đặc
biệt là năng lực sáng tạo.
Bài tập tự luyện dạng 2
a

c

Bài 1: Cho tØ lÖ thøc:  . Chøng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các

b d
tỉ số đều có nghĩa).
1)

3a 5b 3c  5d

3a  5b 3c  5d

Bài 2: Cho

2)

a b c d

a b c d

3
a b c
a b c 
a
  . Chøng minh r»ng: 
 
b c d
d
bcd 

a b c d
a
c


.
CMR: 
a b c d
b d
2a  13b 2c  13d
a c


Bài 4: Cho tØ lÖ thøc
. CMR:
3a  7b
3c  7 d
b d

Bài 3: Cho

Dạng 3: Tìm các số hạng của tỉ lệ thức.
* Phương pháp.
Để giải các bài tốn dạng tìm các số hạng của tỉ lệ thức, học sinh có thể có các hướng làm
như sau:
Phương pháp 1: Dùng phương pháp đặt giá trị của dãy số
Phương pháp 2: Dùng các tính chất của tỉ lệ thức
Phương pháp 3: Dùng các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
Tuỳ từng bài tập, học sinh có thể chọn cho mình hướng giải phù hợp nhất
Bài tốn 1: Tìm x biết
9


a) -0,52:x = -9,36:16,38
x 3 5


5 x 7

c)

b)

x
 60

 15
x
x 2 x4

d)
x  1 x 7

Ở câu a các em có thể sử dụng kiến thức tìm 1 số hạng khi biết 3 trong số 4 số hạng của tỉ
lệ thức a 

b.c
b.c
a.d
a.d
;d 
;b 
;c 
d
a
c

b

Giải
a) -0,52:x = -9,36:16,38
Suy ra: x.   9,36   0,52.16,38
 x

 0,52.16,38
0,91
 9,36

Ở câu b ta thấy có 2 số hạng chưa biết trong 4 số hạng của tỉ lệ thức nhưng có điểm đặc
biệt là hai số hạng chưa biết này giống nhau và cùng ở một vị trí là cùng ngoại tỉ nên ta
đưa về dạng luỹ thừa bậc hai
Giải
Ta có:

x
 60

suy ra x.x  15.( 60)  x 2 900  x 2 302
 15
x

Suy ra x = 30 hoặc x = -30
Ở câu c ta có nhiều cách để giải quyết bài tốn
Cách 1: Lấy tích trung tỉ bằng tích ngoại tỉ rồi tính.
Giải
x 3 5
 suy ra

5 x 7
( x  3).7 (5  x).5
 7 x  21 25  5 x
 12 x 46
5
 x 3
6

Từ

Cách 2: Biến đởi rồi áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
Giải
Từ

x 3 5
x  3 5 x
 suy ra

5 x 7
5
7

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x  3 5 x x  35 x 2 1


 
5
7
57

12 6
x 3 1
5
5

  6( x  3) 5  x  3   x 3
5
6
6
6

(Hai cách này giáo viên có thể cho học sinh làm cách nào cũng được nhưng nên cung
cấp cả hai cách cho học sinh)

10


Ở câu d x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó khi biến đởi thì
x2 bị triệt tiêu do đó khi làm bài tập ở dạng này giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh về
hệ số của biến trong tỉ lệ thức. Có thể giải quyết bài tốn trên bằng các cách như sau
Giải
Cách 1: Biến đổi.
x 2 x4

x  1 x 7
 (x  2).( x  7) ( x  1).( x  4)







x 2  7 x  2 x  14  x 2  x  4 x  4
5 x  14 3 x  4
5 x  3 x  4  14
2 x 10
x 5

Cách 2: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
x 2 x4

x  1 x 7

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x 2 x4 x 2 x 4  6 3


 
x  1 x  7 x  1 x  7  8 4
x 2 3


x 1 4
 4 x  8 3 x  3
 x 5

Bài tốn 2: Tìm x, y biết:
x
y


và x  y 20
2 3
x
y

b)
và x.y = 90.
2
5
x
y

c)
và x.y = 252.
7
9
x
y

d)
và x2 – y2 = 4 (x, y > 0)
5
3

a)

Phân tích câu a: Khởi điểm bài tốn đi từ đâu? Có áp dụng được tính chất của dãy tỉ
số bằng nhau khơng? Có áp dụng được tính chất c ơ bản của tỉ lệ thức khơng? Nếu áp
dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức thì nên theo tính chất nào?
Tơi đã u cầu học sinh nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan và hướng cho các em các

hướng giải sau:
Cách 1: Giáo viên hướng dẫn các em sử dụng phương pháp đặt giá trị của dãy tỉ số
Đặt

x y
 k, suy ra: x = 2.k, y = 3.k
2 3

Theo giả thiết: x  y 20  2k  3k 20 
Do đó: x = 2.4 = 8, y 3.4 12
Vậy x 8, y 12

5k 20  k 4

11


Cách 2: Giáo viên hướng dẫn các em sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x y x  y 20
x
y
 
 4 Do đó: 4  x 8 ,
4  y 12
2 3 23
5
2
3

Vậy x 8, y 12
Cách 3: Giáo viên hướng dẫn các em sử dụng phương pháp thế
x y
2y
  x
2 3
3
2y
2.12
 y 20  5 y 60  y 12 . Do đó: x 
8
mà x  y 20 
3
3

Từ giả thiết

Vậy x 8, y 12
Đối với câu b bài toán này các em sử dụng các phương pháp tương tự như ở câu a nhưng
lưu ý ở phương pháp sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau học sinh thường mắc sai
lầm như sau:
x y x. y 90
 

9
2 5 2.5 10

 x = 2.9 = 18.
y = 5.9 = 45.
Trong quá trình giảng dạy cần lưu ý ở dạng bài tập này học sinh khơng sử dụng tính chất

dãy tỉ số bằng nhau
Cách 1: Dùng phương pháp đặt giá trị của dãy số để tính. Đó là hình thức hệ thống hoá,
khái quát hoá về kiến thức và học sinh đã chọn lời giải thích hợp.
Đặt

x y
 k , suy ra x = 2.k, y 5k
2 5

Theo giả thiết: x. y 90  2k .5k 90  10k 2 90  k 2 49  k 3
+ Với k 3 ta có: x 2.3 6
y 5.3 15

+ Với k  3 ta có: x 2.( 3)  6
y 5.( 3)  15

Vậy x 6, y 15 hoặc x  6, y  15
Cách 2:
Từ tính chất của tỉ lệ thức xem có tính chất nào liên quan đến tích các tử số với nhau
và học sinh đã chọn lời giải theo hướng thứ hai
2

2

x y
 x
 y
 x. y 
Ta có:         
 (tính chất mở rộng của tỉ lệ thức)

2 5
 2
5
 2.5 

x2 y2
xy 90



9
4 25 10 10
x2

 9  x 2  36  x  6
4
y2
 9  y 2  32.52  y 15.
25


12


Mà = nên x và y cùng dấu.
Vậy (x; y) = (6; 15); (-6; -15)
Cách 3:
Làm thế nào để xuất hiện một tỉ lệ thức mà có một trung tỉ là tích xy?
(Gợi ý: Nhớ lại tính chất a = b  ac = bc (với c ≠ 0))
Học sinh đã chọn lời giải theo hướng thứ ba như sau:

Hiển nhiên ta thấy x ≠ 0
Ta có =  . x = . x
 = = = 18
 x2 = 2.18 = 36  x =  6
=  y=
Với x = 6 ta có : y = = 15
Với x = -6 ta có : y = = -15
Vậy (x; y) = (6;15); (-6; -15)
Tương tự, học sinh có thể biến đổi =  . y = . y
 = = = 45
…………………………
Cách 4:
Nếu đi từ tính chất cơ bản của tỉ lệ thức thì làm như thế nào? Từ tỉ lệ thức đã cho có
tính được một ẩn theo ẩn kia rồi thay vào biểu thức còn lại không? Học sinh đã chọn
lời giải theo hướng thứ tư như sau:
Có =  y =
Thay y = vào biểu thức xy = 90 ta có :
x. = 90  5x2 = 180  x2 = 36  x =  6
Với x = 6 ta có : y = = 15
Với x = -6 ta có : y = = -15
Vậy (x; y) = (6;15); (-6; -15)
Qua việc hệ thống hố, khái qt hố tơi đã định hướng cho các em để có lời giải thích
hợp, các em đã vận dụng để làm tốt các phần còn lại.
Qua dạng tốn trên tơi đã hình thành và củng cố cho học sinh một số năng lực
cần thiết: năng lực tính toán, năng lực tư duy logic, năng lực sáng tạo, năng lực tự
tìm tịi nghiên cứu
Bài tập tự luyện dạng III
Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)

x y z
  và x + 2y – 3z = - 20
2 3 4

b) = = và x - 2y + 3z = 14
c) x = = và 4x - 3y + 2z = 36
d) x : y : z = 3 : 5 : (-2) và 5x - y + 3z = 124
13


x 1 y 2 z 3


 1 và 2x + 3y –z = 50
2
3
4
2x 2 y 4z
   2  và x + y +z = 49
g)
3
4
5
e)

h) 2x = 3y = 5z và x + y –z = 95
i)

x y z
  và xyz = 810

2 3 5

Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)

x y z
  và x2 – y 2 + 2z2 = 108
2 3 4

b)

x y
 và x 2  y 2 4 (x, y > 0)
5 3

c) = = và xy + yz + zx = 104
d) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 2x2 + 2y2 - 3z2 = - 100
Bài 3. Tìm x, y, z biết
x y
y z
 ;  và x + y + z = 98
2 3 5 7
x y
y z
 và 2 x  3 y  z 372
b,  ;
3 4
5 7

a,

c, 3x = 2y ; 7y = 5z và x - y + z = 32
d, 2x = 3y ; 5y = 7z và 3x - 7y + 5z = -30
Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức
* Phương pháp
Phương pháp 1:
Đặt

x y z
  k suy ra x = ak; y = bk; z = ck rồi thay vào biểu thức và thực hiện
a b c

biến đởi tính tốn.
- Phương pháp 2:
+) Dùng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

x y z xyz
  
(tùy vào từng bài để
a b c a b c

biến đổi phù hợp).
+) Dùng các tính chất của tỉ lệ thức:

x y
  x.b y.a,...
a b

Bài toán 1:
Cho tỉ lệ thức

3x  y 3
x
 . Tính giá trị của tỉ số
x y 4
y

Bài giải :
Cách 1: Giáo viên hướng dẫn học sinh nhân chéo tỉ lệ thức
đởi và tính x/y
14

3x  y 3
 sau đó biến
x y 4


Từ

3x  y 3
  4(3x – y) = 3(x+y)  12x – 4y = 3x + 3y  9x = 7y
x y 4

Vậy

x
7
=
y
9

Cách 2 : Giáo viên hướng dẫn ta chia vế trái của

3x  y 3
 với y sau đó đặt x/y
x y 4

bằng một hằng số a.
3x
1
3x  y 3
x
3
y
3a  1
3
 
 , Đặt = a 
Từ
=
x
x y 4
y
a 1
4
1 4
y
3a  1 3
=  4(3a - 1) = 3(a +1)
a 1

4
x 7
7
Vậy a  hay 
y 9
9

Từ

Bài 2: Cho

yz x
x y z
  . Tính giá trị của biểu thức P =
x yz
2 3 4

Cách 1: Giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp đặt giá trị của dãy số
x y z
  = k  x = 2k ; y = 3k ; z = 4k ( k  0)
2 3 4
3k  4k  2k 5k 5
 
P=
2k  3k  4k 3k 3
5
Vậy P =
3

Đặt

Cách 2 : Giáo viên hướng dẫn học sinh áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
x y z yz x yz x x yz x yz
  =



2 3 4 34 2
5
2 34
3
yz x x yz
yz x 5




5
3
x yz 3

Có

Vậy P =

5
3

Qua dạng tốn trên tơi đã hình thành và củng cố cho học sinh một số năng lực
cần thiết: năng lực tính toán, năng lực tư duy logic, năng lực sáng tạo, năng lực tự

tìm tịi nghiên cứu
Bài tập tự luyện dạng 4
Bài 1: Cho

2x  y  z
x y z
  . Tính B 
x  6 y  5z
4 7 5

x y
5x2  3 y 2

C

Bài 2: Cho
. Tính
3 5
10 x 2  3 y 2

Bài 3: Cho

x  4y  2
y
 . Tính
2x  y 3
x
15

Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức
Để dạy dạng toán chứng minh bất đẳng thức trước hết tôi phải cung cấp thêm cho học
sinh một số tính chất của bất đẳng thức mà SGK lớp 7 chưa đưa ra:
+ Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức
mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
+ Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất
đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
+ Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng
thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.
Bài tốn 1 ( Tính chất 1): Cho 2 số hữu tỷ
Chứng minh :

a
c
và với b> 0; d >0.
b
d

a c
  ad  bc
b d

Giải:
 Có < , chứng minh ad < bc
Ta có <  < (1)
Vì b > 0; d > 0 nên bd > 0. Nhân cả 2 vế của (1) với bd > 0 ta có:
ad < bc (đpcm)
 Có ad < bc, chứng minh <
Vì b > 0; d > 0 nên bd > 0. Chia cả 2 vế của bất đẳng thức ad < bc cho bd >
0 ta có:

 < (đpcm)
<
Vậy <  ad < bc ( với b > 0; d > 0 )
Bài tốn 2 ( Tính chất 2): Cho < (b > 0; d > 0).
Chứng minh < <
Giải:
Ta có < ; b > 0; d > 0  ad < bc (1) ( theo tính chất 1 )
+ Cộng cả 2 vế của (1) với ab ta có:
ad + ab < bc + ab
 a.(b + d ) < b.( a + c )

< (2) ( theo tính chất 1 )
+ Cộng cả hai vế của (1) với dc ta có:
ad + dc < bc + dc
 d.(a + c ) < c. ( b + d )
 < (3) ( theo tính chất 1 )
+ Từ (2) và (3) ta có: < < ( đpcm )
Tính chất 3: Cho a; b; c là các số dương:
a
a a c
 1 thì

b
b bc
a
a a c

b) Nếu  1 thì
b
b b c

a) Nếu

Bài toán 3. Cho a; b; c; d > 0.
16


Chứng minh rằng : 1 

a
b
c
d



2
a b c b c d c d a d a b

Giải:
* Ta có: d > 0  < (1)
Mặt khác : a , b, c > 0  < 1
Mà d > 0 nên theo tính chất 3 ta có: < (2)
Từ (1) và (2) ta có:

a
a
a d



 3
a b c d a b c a b c d

* Tương tự ta có:
b
b
ba


 4
a b c  d b c  d a b c  d
c
c
c b


 5
a b c d c d a c d a b
d
d
d c


 6
d+a+b+c d  a  b a  b  c  d

Cộng từng vế của các bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) ta được:
1

a

b
c
d



 2 (đpcm)
a b c b c  d c  d  a d a b

Qua dạng tốn này học sinh được hình thành và phát triển một số năng lực như:
năng lực tư duy logic, năng lực sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề.
Bài tập tự luyện dạng 5
Bài 1. Cho < ( b > 0; d > 0 ). Chứng minh :

a ab  cd c


b b2  d 2 d

Bài 2. Cho a; b; c là các số dương. Chứng minh
1 < + + < 2
Bài 3: Cho các số dương a1; a2; a3; b1; b2; b3 thoả mãn: ≤ ≤
Chứng minh rằng : ≤ ≤
Dạng 6: Các bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch
Phương pháp
Bước 1: Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
Bước 2: Xác định tương quan tỉ lệ thuận hoặc tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng rồi áp
dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận hoặc tỉ lệ nghịch đẻ lập tỉ lệ thức.
Bước 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức hoặc tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm
ẩn

Bước 4: Đối chiếu với điều kiện để kết luận đáp số của bài tốn
Bài tốn 1:
Người ta phân tích số M thành tởng của 4 số sao cho số thứ nhất và số thứ hai tỉ lệ
với 2 và 3; số thứ hai và số thứ ba tỉ lệ với 4 và 5; số thứ ba và số thứ tư tỉ lệ với 6 và 7 và
số thứ tư hơn số thứ hai 22 đơn vị. Tìm số M.
Để giải bài tốn này tơi u cầu học sinh đọc kĩ đề bài, tóm tắt, phân tích kĩ mối
tương quan giữa các số liệu, từ đó có lời giải sau:
Giải:
17


Gọi các số thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư lần lượt là a; b; c; d. Theo đề bài ta có:
= ; = ; = và d - b = 22
Từ = => =
Từ = => =
Từ = => =
Do đó ta có : = = =
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
= = = = = =2
Do đó: a = 2.16 = 32
b = 2.24 = 48
c = 2.30 = 60
d = 2.35 = 70
M = a + b + c + d = 32 + 48 + 60 + 70 = 210
Vậy số M là 210.
Sau khi hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài tốn trên, tơi hướng dẫn học sinh
khai thác bài tốn bằng cách thay đởi số liệu, dữ kiện và gắn với thực tế để được những
bài tốn thực tế có phương pháp giải tương tự. Thơng qua việc giải quyết các bài tốn
thực tế đó hình thành và phát triển cho học sinh năng lực giải quyết các vấn đề thực tế.
Bài toán 2:

Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, khi chuyển đi
kho II và

1
1
số thóc ở kho I, số thóc ở
5
6

1
số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi
11

kho có bao nhiêu thóc?
Giải:
Gọi số thóc của ba kho I, II, III lần lựợt là a, b, c (tấn, a, b, c >0)
Số thóc của kho I sau khi chuyển là:
a

1
4
a a
5
5

Số thóc của kho II sau khi chuyển là:
b

1
5

b b
6
6

Số thóc của kho III sau khi chuyển là:
c

1
10
c c
11
11

Theo bài rat a có:
4
5
10
a  b  c và a  b  c 710
5
6
11
4
5
10
a b
c
a b c  
5 6 11
Từ 5
6

11
4 5 10
18


Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b
c
a b c
710
  

200
5 6 11 5 6 11 71
 
4 5 10 4 5 10 20

Suy ra:
a
5
200  a 200. 250
5
4
4
b
6
200  b 200. 240
6
5
5

c
11
200  c 200. 220
11
10
10

Vậy số thóc lúc đầu của kho I, II, III lần lượt là: 250 tấn, 240 tấn, 220 tấn.
Qua việc giải các bài tập trên học sinh được hình thành và phát triển một số
năng lực như: năng lực tính tốn, năng lực tư duy logic, đặc biệt là năng lực giải
quyết các vấn đề thực tế.
Bài tập tự luyện dạng 6
Bài 1: Người ta chia 210m vải thành 4 tấm vải sao cho độ dài tấm thứ nhất và tấm
thứ hai tỉ lệ với 2 và 3; độ dài tấm thứ hai và tấm thứ ba tỉ lệ với 4 và 5; độ dài tấm thứ ba
và tấm thứ tư tỉ lệ với 6 và 7. Hãy tính độ dài mỗi tấm vải đó
Bài 2 : Trường có 3 lớp 7, biết
bằng

2
3
có số học sinh lớp 7A bằng số học sinh 7B và
3
4

4
số học sinh 7C. Lớp 7C có số học sinh ít hơn tởng số học sinh của 2 lớp kia là 57
5

bạn. Tính số học sinh mỗi lớp?
Bài 3: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h và dự định đến B lúc

11h45phút. Sau khi đi được quãng đường thì ô tô giảm vận tốc chỉ còn 30 km/h trên
quãng đường còn lại nên đến B lúc 12 giờ. Hỏi xe đó khởi hành lúc mấy giờ và quãng
đường AB dài bao nhiêu kilơmét?
1.2 Phân tích tình trạng của giải pháp:
1.2.1. Thuận lợi:
Sáng kiến kinh nghiệm giúp cho học sinh:
- Khơng còn sợ dạng tốn chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước, dạng
tốn có tham số các em cũng nắm được và vận dụng tốt vào giải các bài toán tương tự.
- Khi đưa ra một bài toán các em nhận dạng nhanh được bài toán đó ở dạng nào.
- Các em có kỹ năng tính tốn nhanh nhẹn, các em đã biết cách biến đởi từ những
dạng toán phức tạp về dạng đã biết cách giải.
- Các em khơng còn sợ dạng tốn này nữa.

19


- Qua những bài tập đó rèn luyện tư duy sáng tạo, linh hoạt đối với những bài tập
phù hợp kiến thức trong chương trình.
1.2.2. Khó khăn:
- Do thời gian còn hạn chế nên muốn thực hiện được giải pháp thì phải đưa vào giờ
dạy tự chọn hoặc bồi dưỡng học sinh giỏi nếu khơng sẽ khơng có thời gian để luyện tập
cho học sinh.
- Nhiều học sinh rỗng nhiều kiến thức, không nắm được các kiến thức, kĩ năng cơ
bản, và còn lười học.
- Nhiều gia đình chưa thực sự quan tâm tạo điều kiện cho các em học tập
- Toán về chứng minh các đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước, nếu ta nghiên cứu
sâu hơn đối với các đẳng thức phức tạp còn rất nhiều dạng toán phức tạp mà chưa đưa ra
trong sáng kiến kinh nghiệm này được. Do đó, giáo viên còn phải tiếp tục nghiên cứu, đó
là một phần hạn chế mà đề tài chưa đề cập đến.

1.3 Nội dung cải tiến:
Sáng kiến “Dạy học chủ đề tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau theo định hướng phát
triển năng lực, phẩm chất người học mơn Tốn lớp 7.” đã được áp dụng và triển khai có
hiệu quả ở khối lớp 7, tại trường nơi tôi đang công tác. Khả năng áp dụng nhân rộng:
Người dạy có thể vận dụng linh hoạt trong từng tiết dạy. Áp dụng trong chương trình bồi
dưỡng HSG
Với cách làm trên trong phương pháp giảng dạy môn Tốn 7 đã góp phần phát triển tư
duy cho học sinh, rèn luyện được ý thức tự tìm tòi, độc lập suy nghĩ để nhớ kĩ, nhớ lâu và
sáng tạo khi giải Tốn. Tuy khơng tránh khỏi những hạn chế nhưng nhìn chung giải pháp
“Dạy học chủ đề tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau theo định hướng phát triển năng lực,
phẩm chất người học mơn Tốn lớp 7.” trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản và
chuyên sâu nhằm vận dụng nó để giải các bài tập toán nâng cao về tỉ lệ thức và các bài
toán về dãy tỉ số bằng nhau một cách có hiệu quả. Đó chính là cơng cụ giải tốn của mỗi
học sinh.
Sau khi thực hiện đề tài tôi thấy các em làm bài tập tốn với một tinh thần tích cực,
hứng thú học tập và có nhiều sáng tạo trong cách giải. Rất nhiều học sinh chủ động tìm
tòi và định hướng phương pháp làm bài khi chưa có sự gợi ý của giáo viên, mang lại
nhiều sáng tạo và kết quả tốt từ việc vận dụng tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau vào giải
toán. Các em học sinh yếu có hứng thú học tốn hơn, các em học sinh khá giỏi say sưa
giải tốn, u thích học toán hơn. Các em tiếp cận dần dần từ dễ đến khó, tự tìm tòi và
phát hiện ra các cách giải khác nhau cũng như cách giải hay, rèn tính tự giác trong học
tốn, giúp các em có kỹ năng phát hiện ra các cách giải toán nhanh. Các em có kỹ năng
tính tốn nhanh nhẹn, các em đã biết cách biến đởi từ những dạng tốn phức tạp về dạng
đã biết cách giải. Kỹ năng trình bày của các em tốt hơn hẳn: Do hiểu được bản chất của
từng dạng tốn nên các em khơng còn mắc lỗi kỹ năng khi trình bày.
20