164 đề hsg toán 8 huyện

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Mơn: Tốn lớp 8
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu 1. (2,0 điểm)

B
Rút gọn biểu thức

x 3  y 3  z 3  3 xyz

 x  y

2

2

  y  z   x  z

2

Câu 2. (4,0 điểm)
a) Tìm số dư trong phép chia đa thức  x  1  x  3  x  5   x  7   9 cho
x 2  8 x  12.
3
2
2
b) Tìm mọi số nguyên x sao cho x  2 x  7 x  7 chia hết cho x  3
Câu 3. (4,0 điểm)
Giải các phương trình:
3
3

3
1
 3

 x  3    x  4    1  x  0
 4

a)  4
3 x 
 3 x 
x
 x 
 2
x

1
x

1




b)
Câu 4. (4,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) A  3 x  1  x  2  4 x  3

14 x 2  8 x  9
B 2

3x  6 x  9
b)
Câu 5. (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A. M , D tương ứng là trung điểm của BC, AM. H
là hình chiếu của M trên CD. AH cắt BC tại N, BH cắt AM tại E. Chứng minh rằng
a) MHD CMD
b) E là trực tâm ABN
Câu 6. (2,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh CD và N là một
0

điểm trên đường chéo AC sao cho BNM 90 . Gọi F là điểm đối xứng của A qua
N. Chứng minh rằng FB  AC.



ĐÁP ÁN
Câu 1. Ta có:
3
x3  y 3  z 3  3xyz  x  y   3 xy  x  y   z 3  3xyz
3

 x  y  z   3  x  y  z  x  y  z   3xy  x  y  z 
2

 x  y  z    x  y  z   3 xz  3 yz  3 xy 


 x  y  z   x 2  y 2  z 2  2 xy  2 xz  2 yz  3 xz  3 yz  3 xy 
 x  y  z   x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz 

2

2

*)  x  y    y  z    x  z 

2

x 2  2 xy  y 2  y 2  2 yz  z 2  x 2  2 xz  z 2
2  x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz 
B
Vậy
Câu 2.

x

y  z   x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz 
2  x  y  z  xy  yz  xz 
2

2

2



x y z
2

a) Đặt f  x   x  1  x  3  x  5   x  7   9

Ta có: A  x  1  x  7   x  3  x  5   9
 x 2  8 x  7   x 2  8 x  15   9
 x 2  8 x  7    x 2  8 x  12   3  9
 x 2  8 x  7   x 2  8 x  12   3  x 2  8 x  7   9
 x 2  8 x  7   x 2  8 x  12   3  x 2  8 x  12   9  15
 x 2  8 x  12   x 2  8 x  10   6
2
Vậy số dư trong phép chia f  x  cho x  8 x  12 là  6
3
2
2
b) Thực hiện phép chia đa thức B x  2 x  7 x  7 cho C x  3 , ta được:
Đa thức thương: x  2; đa thức dư: 4 x  1
x3  2 x 2  7 x  7  x 2  3  x  2   4 x  1
Suy ra :
B x 2  3   4 x  1  3 x 2  3 (1)
Do đó
4 x  1 nên:
Vì 4 x 1 vs


 1   4 x  1  4 x  1 x 2  3
  16 x 2  1  x 2  3  16  x 2  3   49( x 2  3)
 49( x 2  3)
2
Vì x  3 3 nên xảy ra một tong hai trường hợp sau:

 x 2  3 49, khơng có giá trị nào thỏa mãn
 x 2(tm)
 x 2  3 7  x 2 4  

 x  2( ktm)
Vậy x 2

Câu 3.

1
3
a  x  3; b  x  4  a  b x  1  1  x   a  b 
4
4
a) Đặt
3
3
3
Ta có (pt đề)  a  b   a  b  0
 a 3  b3  a3  b3  3ab  a  b  0
  3ab  a  b  0
1
 4 x  3 0
 x  12
 a 0


3
16


 b 0

x  4 0   x 


4
3

 a  b 0
 x  1 0
 x 1



16 

S   12; ;1
3 

Vậy
b) ĐKXĐ: x  1
3 x 
3x  x 2 x 2  x  3  x
 3 x 
x
x


2

.
2



x

1
x

1
x

1
x

1



2
2
 3x  x   x  3 2

2
 x  1
 3x3  9 x  x 4  3 x 2 2 x 2  4 x  2


 x 4  3 x3  5 x 2  5 x  2 0
2

  x  1 . x 2  x  2  0
 x  1 0
 2


x

x

2

0

Vậy S  1

 x 1(tm)
 VN


Câu 4.
a) Áp dụng tính chất a a, dấu " " xảy ra  a 0, ta có:
A  3x  1  x  2  4 x  3 3x  1  x  2  4 x  3 6  A 6
1
1
x  2 0  x 
 x 
3 và x  2
3
Dấu “=” xảy ra  3x  1 0 và
1
min A 6  x 
3
Vậy

2 14 x 2  8 x  9 2
B  2

3
3
x

6
x

9
3
b) Ta có
2
14 x 2  8 x  9   2  x 2  2 x  3  12 x 2  12 x  3

2 x  1




2
3  x 2  2 x  3
3  x 2  2 x  3  x  1  2
2

2

Với mọi x, ta có: 3  2 x  1 0,  x  1  2 2  0
2

2 x  1

2
2
1

0  B  0  B   x 
2
3
3
2
 x  1  2
Câu 5.


A

D
H
E
M

B

N

C

a) Vì M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến của ABC
Mà ABC cân tại A (gt) nên AM là đường cao của ABC

0 



Xét MHD và CMD có: MHD CMD 90 ; MDH CDM

 MHD CMD  g .g 
b) MHD CMD (câu a)
HD HM
HD HM




(Vi
MD CM
AD BM

MD  AD, CM BM )

0



Mặt khác ta có: ADH 90  DMH BMH

Suy ra HDA HMB (c.g.c)
0





Do đó: AHD BHM  AHB DHM 90  BH  AN

Kết hợp với AM  BC  E là trực tâm ABN .
Câu 6.


B

E

C

I
M
F
A

N

D

Gọi I là trung điểm của BF, đường thẳng NI cắt BC tại E
Ta có: F đối xứng với A qua N (gt)  N là trung điểm của AF
Mà I là trung điểm của BF nên NI là đường trung bình ABF
1
 NI / / AB, NI  AB
2
AB

/
/
CD
; AB CD (ABCD là hình chữ nhật và M là trung điểm của
Mặt khác
CD)
CD
AB  BC ; CM 
2 suy ra NI  BC; NI / / CM và NI CM
 Tứ giác CINM là hình bình hành  CI / / MN

MN  BN BNM
900  CK  BN
Mà
tại K
Do đó I là trực tâm BCN  BF  AC.



