166 đề hsg toán 8 lam sơn

TRƯỜNG THCS LAM SƠN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 2
MƠN: TỐN 8

Bài 1 (4,0 điểm) Phân tích thành nhân tử:
2
a) a  7a  12
4
2
b) x  2015 x  2014 x  2015
3
3
3
c) x  y  z  3xyz

x

2

2

 8   36

d)
Bài 2. (4,0 điểm) Tìm x biết:
2
a) x  4  12
3
3 1
 : x  3

b) 4 4
c) 3x  5 4
x  4 x  3 x  2 x 1



d) 2011 2012 2013 2014
Bài 3. (2,0 điểm )

a 2  4a  4
A 3
.
2
a

2
a

4
a

8
a) Cho
Tìm a để A là số nguyên.
5
3
b) Tìm số tự nhiên n để n  1 chia hết cho n  1
Bài 4. (2,0 điểm )
a  1 b 3 c  5



a
,
b
,
c
2
4
6
5
a

3
b

4
c

46
a) Tìm
biết
và
b) Tìm 2 số hữu tỉ a và b biết: a  b ab a : b  b 0 
Bài 5. (2,0 điểm)
1 1 1
  0.
2
2
2
a) Cho a  b  c 1và a b c

Tính a  b  c
1
1
1
1



b) Cho a  b  c 2014 và a  b a  c b  c 2014
a
b
c
S


b c a c a b
Tính


0
Bài 6. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhỏ hơn 90 . Trên nửa mặt phẳng không
chứa điểm C, bờ là đường thẳng AB vẽ AF vuông góc với AB và AF  AB. Trên nửa
mặt phẳng không chứa điểm B, bờ là đường thẳng AC vẽ AH vng góc với AC và
AH  AC. Gọi D là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia DA lấy điểm I sao cho
DI DA. Chứng minh rằng:
a) AI FH
b) DA  FH

Bài 7. (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD có E, F thứ tự là trung điểm AB, CD.
a) Chứng minh rằng các đường thẳng AC , BD, EF cắt nhau tại trung điểm mỗi

đường
b) Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N.Chứng minh rằng
EMFN là hình bình hành.
Bài 8 (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của :

A( x )  x  1  x  3  x  4   x  6   10


ĐÁP ÁN
Bài 1.
2
2
a) a  7a  12 a  3a  4a  12  a  3   a  4 
4
2
b) x  2015 x  2014 x  2015

x 4  x 3  x 2  2014 x 2  2014 x  2014  x 3  1
x 2  x 2  x  1  2014  x 2  x  1   x  1  x 2  x  1
 x 2  x  1  x 4  2014  x  1
 x 2  x  1  x 4  x  2015 
3

3
3
3
x

y


z
 3xyz  x  y   3xy  x  y   3xyz
c)
3

 x  y  z   3 z  x  y   x  y  z   3xy  x  y  z 
2
 x  y  z    x  y  z   3z  x  y   3xy 



 x  y  z   x 2  y 2  z 2  2 xy  2 yz  2 zx  3zx  3zy  3xy 
 x  y  z   x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz 
d)
Bài 2.

x

2

2

 8   36  x 2  6 x  10   x 2  6 x  10 

2
x  4  12  x  24
a) 3
3 1
1
 : x  3  x 

15
b) 4 4
5

3
x

5

4(
x

)

3
3x  5 4  

 3 x  5  4  x  5 



3


c)

 x 3(tm)

1
 x  (tm)

3



x  4 x  3 x  2 x 1
x4
x 3
x2
x 1




1 
1 
1 
1
2011 2012 2013 2014
2011
2012
2013
2014
x  2015 x  2015 x  2015 x  2015




2011
2012
2013

2014
1
1
1 
 1
  x  2015  



 0
 2011 2012 2013 2014 
1
1
1
1
 x  2015 0
(Vi



0)
2011 2012 2013 2014
Vậy x  2015
d)

Bài 3.
a) Rút gọn

A

1
a 2

Để A nguyên
b)



1
 1 a  2  
a  2 nguyên

 a 1
 a 3


n5  1n3  1  n 2  n3  1   n 2  1  n3  1   n  1  n  1  n3  1

  n  1  n  1  n  1  n 2  n  1   n  1  n 2  n  1 (Vi

n  1 0)

+) Nếu n 1  01
2
+)Nếu n  1 thì  n  1  n  n  1  1  n  n  1 nên không thể xảy ra

 n  1n 2  n  1
Vậy n 1
Bài 4.
a) Ta có:

a  1 b  3 c  5 5a  5 3b  9 4c  20





2
4
6
10
12
24
a  1 b  3 c  5  5a  3b  4c   5  9  20 46  6





 2(Vi5a  3b  4c 46)
2
4
6
10  12  24
 26
a  1  4
a  3


 b  3  8  b  11
c  5  12 c  7





b) Ta có: a  b ab  a ab  b b  a  1
Do đó: a : b b  a  1 : b a  1
Nên a  b a  1  b  1 và
1
a  ; b  1
2
Vậy

a  1 a  1  a  a  1  a 

Bài 5.
a) Phân tích 2 giả thiết để suy ra đfcm
1 1 1
 
Phân tích a b c , phần nào có a  b  c thì thay bằng 1
1
1
1
1



b) Ta có: a  b a  c b  c 2011
a  b  c 2014  a 2014   b  c  ;
b 2014  ( a  c); c 2014  (a  b)

Do đó:
2014   b  c  2014   a  c  2014   a  b 
S


bc
a c
a b
2014
2014
2014

 1
 1
1
bc
a c
a b
1
1 
 1
2014.


 3
 b c a c a b 
1
2014.
 3 1  3  2
2014

Vậy S  2

1
2


Bài 6.

H

K
F

A

B

C

D
I



a) Xét BDI và CDA có DB DC ( gt ), BDI CDA (đối đỉnh), DA DI ( gt )
 BDI CDA(c.g .c)  BI CA (hai cạnh tương ứng)



BID

CAD
(2 góc tương ứng ) mà 2 góc này ở vị trí so le trong  BI / / AC
- Xét ABI và FAH có:


AB  AF ( gt ); ABI FAH
(cùng bù với BAC )
BI = AH (cùng  AC )  ABI EAH  c.g .c   AI FH (2 cạnh tương ứng)
b) Gọi K là giao điểm của DA và FH ta có:


0






BAI
 FAK
900 mà AFH BAI
hay AFK BAI
nên AFH  FAK 90

 FKA
900  AK  FK  AI  FH

(Vì I , K thuộc đường thẳng AD, K thuộc EH)
Bài 7.

E

A
M

B

O
N

D

F

C

a)
Gọi O là giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD, ta có O là trung điểm
của BD.
Chứng minh BEDF là hình bình hành
Có O là trung điểm của BD nên O cũng là trung điểm EF
Vậy EF , BD, AC đồng quy tại O
1
OM  OA
3
b) Xét ABD có M là trọng tâm , nên
1
ON  OC
3
Xét BCD có N là trọng tâm nên

Mà OA OC nên OM ON
Tứ giác EMFN có OM ON , OE OF nên là hình bình hành
Bài 8.


A x   x 2  7 x  6   x 2  7 x  12   10
Đặt

x 2  7 x  6 t  A t  t  t  6   10
2

t 2  6t  9  1  t  3  1 1

7  13
x
2
t  3  x 2  7 x  6  3  

7  13
x

2
Khi đó:

7  13
x
2
MinA x  1  

7  13

x

2
Vậy