Đề thi HSG Toán 8 Thanh Sơn

UBND HUYỆN YÊN LẬP
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
PHÒNG GD&ĐT
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN THI: TOÁN, LỚP 8
Thời gian 150 phút(Không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (6 điểm)
 x2
6
1  
10 − x 2 




+
+
:
x
−
2
+
a) Rút gọn biểu thức: A =  3
 
x + 2 
 x − 4 x 6 − 3x x + 2  
2 x 2 + 3x + 3
b) Cho biểu thức A =
. Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị
2x + 1

nguyên
c) Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất : x2 +x+1
1

1

yz

1

xz

xy

Câu 2. (2 điểm) Cho x + y + z = 0( x, y, z ≠ 0) . Tính 2 + 2 + 2
x
y
z
Câu 3. (4 điểm) Giải các phương trình sau :
a) x2 - 2012x - 2013 = 0
x 2 − 4x + 1
x 2 − 5x + 1
+2=−
b)
x +1
2x + 1

Câu 4. ( 6 điểm) Cho hình vuông ABCD . Gọi E là một điểm trên cạnh BC ( E
khác B và C ). Qua A kẻ Ax vuông góc với AE , Ax cắt CD tại F . Trung
tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K . Đường thẳng kẻ qua E , song song với

AB cắt AI ở G .
a) Chứng minh AE = AF và tứ giác EGFK là hình thoi.
b) Chứng minh ∆ AKF đồng dạng với ∆ CAF và AF 2 = FK .FC
c) Khi E thay đổi trên BC , chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi.
Câu 5. (2điểm) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng:

1
1
1
1 1 1
+
+
≥ + +
a+b−c b+c−a c+a−b a b c

Hết

Họ và tên học sinh:…………………………………, Số báo danh:………….


UBND HUYỆN YÊN LẬP
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH
PHÒNG GD&ĐT
GIỎI CẤP HUYỆNNĂM HỌC 2012-2013
MÔN THI: TOÁN, LỚP 8
Ngày thi:………..
Câu 1. (6điểm)
a) (2điểm) Rút gon biểu thức: A =

 x2
6
1  
10 − x 2
 3
 :  x − 2 +
+
+
x+2
 x − 4 x 6 − 3x x + 2  

2
1  6
 x
+
+
:
2
 x −4 2− x x + 2 x + 2
x − 2( x + 2 ) + x − 2
6
= ( x − 2)( x + 2) : x + 2





A= 

−6

x+2

(1điểm)

1

= ( x − 2 )( x + 2 ) . 6 = 2 − x

(1điểm)

2 x 2 + 3x + 3
b) (2điểm) Cho biểu thức A =
2x + 1

. Tìm giá trị nguyên của x để A nhận

giá trị nguyên Ta có ĐKXĐ x ≠ -1/2
A = (x + 1) +

2
2x + 1

(0,5điểm)

vì x∈ Z nên để A nguyên thì

2
nguyên. Hay 2x+1 là ước của 2 .
2x + 1

Vậy :
2x+1 = 2 ⇒ x=1/2 ( loại )
(0,25điểm)
2x+1 = 1 ⇒ x = 0
(0,25điểm)
2x+1 = -1 ⇒ x = -1
(0,25điểm)
2x +1 = -2 ⇒ x = -3/2 ( loại )
(0,25điểm)
KL : Với x = 0 , x= -1 thì A nhận giá trị nguyên (0,5điểm)
c) (2điểm) Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất : x2+x+1
1
2

Ta có : x2+x+1 = (x+ )2 +
Giá trị nhỏ nhất là

3 3
≥
4 4

3
1
khi (x+ )2=0
4
2

(1điểm)

Tức x = -

Câu 2.(2điểm). .
1

1

1

yz

xz

xy

Cho x + y + z = 0( x, y, z ≠ 0) . Tính 2 + 2 + 2
x
y
z
1 1
1 1 1
1
+ + = 0 ⇒ = − + ÷
x y z
z
x y

1
2

(1điểm)


3

1 1
 1
1
1
1 1
1 1
1 
⇒ 3 = −  + ÷ ⇒ 3 = −  3 + 3. 2 . + 3 . 2 + 3 ÷
z
z
x y
x y
y 
x y
x

(0,5điểm)

⇒

1 1 1
1 1 1 1
+ 3 + 3 = −3 . .  + ÷
3
x

y
z
x y x y

(0,5điểm)

⇒

1 1 1
1
1
1
1
+ 3 + 3 = 3.
Do
đó
:
xyz(
3
3 + 3 + 3 )= 3
x
y
z
xyz
y
x
z

(0,5điểm)

⇔

xyz xyz xyz
yz zx xy
+ 3 + 3 =3⇔ 2 + 2 + 2 =3
3
x
y
z
x
y
z

(0,5điểm)

Câu 3. (4điểm) Giải phương trình
a) x2 - 2012x - 2013 = 0
Phân tích vế trái bằng (x-20013)(x+1) = 0
(1điểm)
⇔ (x-2013)(x+1) = 0 ⇒ x1 = -1 ; x2 = 2013 (1điểm)
x 2 − 4x + 1
x 2 − 5x + 1
+2=−
x +1
2x + 1
1
ĐKXĐ : x ≠ −1; x ≠ −
2

b)

PT ⇔
⇔

(0,5điểm)

x 2 − 4x + 1
x 2 − 5x + 1
+1+
+1 = 0
x +1
2x + 1

x 2 − 3x + 2 x 2 − 3x + 2
+
=0
x +1
2x + 1

(0,5điểm)

1 
 1
⇔ ( x 2 − 3x + 2 ) 
+
÷= 0
 x +1 2x +1 

⇔ ( x − 1) ( x − 2 ) ( 3 x + 2 ) = 0

(0,5điểm)

⇔ x =1 ; x = 2 ; x = - 2/ 3

Cả 3 giá trị trên đều thỏa mãn ĐKXĐ .
2

Vậy PT đã cho có tập nghiệm S = 1;2;− 


3

(0,5điểm)

Câu 4. (6điểm)
Cho hình vuông ABCD . Gọi E là một điểm trên cạnh BC (
E khác B và C ). Qua A kẻ Ax vuông góc với AE , Ax cắt CD tại F . Trung
tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K . Đường thẳng kẻ qua E , song song với
AB cắt AI ở G .
a) Chứng minh AE = AF và tứ giác EGFK là hình thoi.
b) Chứng minh ∆ AKF đồng dạng với ∆ CAF và AF 2 = FK .FC
c) Khi E thay đổi trên BC , chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi.


B

A

- Vẽ hình đúng, chính xác: (0,5điểm)

E

G
I
F

D

K

C

x

·
·
a) (2điểm)Xét hai tam giác vuông ABE và ADF có AB = AD, BAE
= DAF
·
( Cùng phụ với DAE
). Vậy ∆ABE = ∆ADF ⇒ AE = AF
(0,5điểm)
Vì AE = AF và AI là trung tuyến của tam giác AEF
(0,5điểm)
⇒ AI ⊥ EF . Hai tam giác
·
·
vuông IEG và IFK có IE=IF, IEG
( So le trong) nên ∆ IEG= ∆ IFK
= IFK

⇒ EG=FK. Tứ giác EGFK có hai cạnh đối EG và FK song song và bằng nhau nên
là hình bình hành.
(0,5điểm)
Hình bình hành EGFK có hai đường chéo GK và EF vuông góc nên là hình thoi
(0,5điểm)
·
b) (2điểm)Xét hai tam giác AKF và CAF có ·AFK = CFA
( góc chung) (0,5điểm)
·
(0,5điểm)
KAF
= ·ACF = 450
(AC là đường chéo hình vuông ABCD, AK là trung tuyến của tam giác vuông cân
AEF)
Suy ra tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF.
(0,5điểm)
Vì tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF nên ta có:
AF FK
=
⇔ AF 2 = FK .FC
(0,5điểm)
FC AF
c)( 1,5điểm) Theo ý a, ta có ∆ABE = ∆ADF nên EB = FD
(0,5điểm)
Tứ giác EGFK là hình thoi nên EK=KF
(0,5điểm)
Do đó, chu vi tam giác EKC bằng
EK+KC+CE=CF+CE=CD+DF+CE=2CD ( không đổi)
(0,5điểm)
Câu 5. (2điểm)

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng:

1
1
1
1 1 1
+
+
≥ + +
a+b−c b+c−a c+a−b a b c

Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên


a+b-c > 0; b+c-a > 0; c+a-b > 0

(0,5điểm)

1 1
4
+ ≥
với x,y > 0
x y x+ y
1
1
4 2
+
≥
=

a + b − c b + c − a 2b b
1
1
2
+
≥
b+c−a c+a −b c
1
1
2
+
≥
c+a−b a+b−c a

(0,5điểm)

(0,5điểm)

Cộng từng vế 3 bất đẳng thức rồi chia cho 3 ta được điều phải chứng minh.
Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c
(0,5điểm)