UBND H. QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013
Mơn: Tốn - Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2.5 điểm):
a) Cho ba số a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: ab bc ca 0 .
b) Cho f ( x) ax 2 bx c với a, b, c là các số thỏa mãn: 13a b 2c 0 .
Chứng tỏ rằng: f ( 2). f (3) 0 .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x 2 y 2 xy x y 1
Bài 2 (2.0 điểm):
Giải các phương trình sau:
a)
x 1 x 2 x 3 x 4
2013 2012 2011 2010
b) (2 x 5) 3 ( x 2) 3 ( x 3) 3
Bài 3 (2.5 điểm):
Cho hình vng ABCD. M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Hạ ME
vng góc với AB, MF vng góc với AD.
a) Chứng minh DE ^ CF.
b) Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.
c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Bài 4 (2.0 điểm):
Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi G, H lần lượt là hình chiếu của C
trên AB và AD. Chứng minh :
a) ABC đồng dạng với HCG
b) AC 2 AB.AG AD.AH
Bài 5 (1.0 điểm):
Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì: 5n (5n 1) 6n (3n 2n ) 91
HƯỚNG DẪN CHẤM
1
Bài 1(2.5 điểm):
Có: a2 + b2 2ab; a2 + c2 2ac; b2 + c2 2ac
Cộng được: 2a2 + 2b2 + 2c2 2ab + 2ac + 2bc
a2 + b2 + c2 ab + ac + bc
(1)
2
2
2
a + b + c = 0 a + b + c +2ab + 2ac + 2bc = 0
-a2 – b2 – c2 =2ab + 2ac + 2bc (2)
Cộng (1) với (2) được 3ab + 3ac + 3bc 0 ab + bc + ca 0
f(-2) = 4a – 2b + c; f(3) = 9a + 3b + c
Có f(-2) + f(3) = 13a + b + 2c = 0 nên:
Hoặc: f(-2) = 0 và f(3) = 0 f(-2).f(3) = 0
Hoặc: f(-2) và f(3) là hai số đối nhau f(-2).f(3) < 0
Từ (1) và (2) được f ( 2). f (3) 0
2
0,25
0,25
0,25
0,25
(1)
(2)
0,25
0,25
2
4M 4x 4y 4xy 4x 4y 4
(2x y 1) 2 3y 2 2y 3
2
1 8
(2x y 1) 2 3(y 2 y )
3
9 3
1
8
(2x y 1) 2 3(y ) 2
3
3
8
1
2
Giá trị nhỏ nhất của 4M là tại y ; x = nên
3
3
3
2
1
2
Giá trị nhỏ nhất của M là tại y ; x = .
3
3
3
0,50
0,50
Bài 2(2.0 điểm):
x 1
x 2
x 4
x 3
1
1
1
1
2013
2012
2010
2011
x 1 2013 x 2 2012 x 4 2010 x 3 2011
2013 2013 2012 2012 2010 2010 2011 2011
x 2014 x 2014 x 2014 x 2014
2013
2012
2010
2011
1
1
1
1
(x 2014)
0
2013 2012 2010 2011
1
1
1
1
Do
0 nên phương trình có nghiệm x = 2014
2013 2012 2010 2011
Đặt 2x - 5 = a; x - 2 = b a - b = x -3
Phương trình đã cho trở thành: a3 - b3 = (a - b)3
(a-b) (a2 + ab + b2 ) = (a-b)(a2 -2ab + b2)
(a-b)( a2 + ab + b2 - a2 +2ab - b2) = 0
3ab(a-b) = 0
5
2
0,25
0,25
0,25
0,25
0,50
0,25
a = 0 x ; b = 0 x = 2; a = b x = 3
0,25
Bài 5 (1.0 điểm):
A = 5n (5n 1) 6n (3n 2 n ) 25n 5n 18n 12 n
0,25
/>
2
A (25n 18n ) (12n 5n ) . A chia hết cho 7
A (25n 12n ) (18n 5n ) . A chia hết cho 13
Do (13,7) =1 nên A chia hết cho 91
0,25
0,25
0,25
Bài 3 (2.5 điểm):
E
A
F
B
M
D
C
Chứng tỏ được AE = DF (Cùng bằng MF)
Chứng tỏ được CDF = DAE FCD
EDA
Có EDA
phụ nhau ECD
phụ nhau hay CF^ DE
và EDC
và EDA
0,25
0,25
0,25
Tương tự có CE ^ BF
Chứng minh được CM ^ EF:
Gọi G là giao điểm của FM và BC; H là giao điểm của CM và EF.
(Hai HCN bằng nhau)
MCG
EFM
(Đối đỉnh) MHF
= 900
CMG
FMH
MGC
CM, FB, ED là ba đường cao của tam giác CEF nên chúng đồng quy
0,25
(AE - ME)2 0 nên (AE + ME)2 4AE.ME AE.ME
SAEMF
AE ME
4
AB2
. Do AB = const nên SAEMF lớn nhất khi AE = ME.
4
0,50
0,25
2
0,25
0,50
Lúc đó M là trung điểm của BD.
Bài 4 (2.0 điểm):
Chứng tỏ được: CBG đồng dạng với CDH.
CG BC BC
CH DC BA
(Cùng bù với BAD
)
ABC
HCG
0,25
0,25
0,50
ABC đồng dạng với HCG
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B, D trên AC.
AF AD
AF.AC AD.AH
AH AC
AE AB
AE.AC AG.AB
AEB đồng dạng AGC:
AG AC
0,25
Cộng được: AF.AC + AE.AC = AD.AH+AG.AB
0,25
AFD đồng dạng AHC:
/>
3
0,25
AC(AF+AE) = AD.AH+AG.AB
Chứng tỏ được AE = FC. Thay được:
AC(AF+FC) = AD.AH+AG.AB AC2 = AD.AH+AG.AB
/>
4
0,25