095 đề HSG toán 8 nho quan 2012 2013

UBND HUYỆN NHO QUAN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi 23/4/2013
Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1 (4,5điểm).
1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 7 x2  7 xy  5x  5 y .
b) x4  2013x2  2012 x  2013 .
 x2  2 x
 x 2  x  2 
2x2
 2
2. Cho biểu thức Q   2

 , với x  0 và x  2 .
x2
 2 x  8 x ( x  2)  4( x  2) 

a) Rút gọn biểu thức Q.
1
b) Tìm giá trị của x để Q có giá trị là .
4
Câu 2 (5,0 điểm).
1. Giải các phương trình sau:

a) x 2  2 x  1  14 .
b)

5 x  150 5 x  102 5 x  56 5 x  12 5 x  660




0.
50
49
48
47
46

2. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x3  2x 2  3x  2  y3 .
Câu 3 (3,0 điểm).
1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 

2012
x  y  20( x  y )  2213
2

2

2. Chứng minh rằng n4  7(7  2n2 ) chia hết cho 64 với mọi n là số nguyên lẻ.
Câu 4 (6,0 điểm).
Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho
AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.
1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.

2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng:
AC = 2EF.
1
1
1
3. Chứng minh rằng:
.
=
+
2
2
AD
AM AN 2
Câu 5 (1,5 điểm).
1
1 25
Cho a và b là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng (a  )(b  ) 
.
a
b
4

Đẳng thức xảy ra khi nào?
---------------Hết---------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ............................................................................Số báo danh:.......................
Giám thị 1 (Họ tên và ký)..............................................................................................................
Giám thị 2 (Họ tên và ký)..............................................................................................................


UBND HUYỆN NHO QUAN

PHÒNG GIAÓ DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KSCL HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM 2012-2013
MÔN THI: TOÁN

(Hướng dẫn chấm có 04 trang)

Hướng dẫn giải

Câu 1

(4,5 điểm)

a) 7 x  7 xy  5x  5 y = (7 x  7 xy)  (5x  5 y) = 7x(x - y) – 5(x - y)
= (x - y)(7x – 5)
b) Ta có x4  2013x2  2012 x  2013
2

0,5
0,5

2

  x 4  x   2013x 2  2013x  2013

1
(2.0 điểm)

0.25

 x  x  1  x 2  x  1  2013  x 2  x  1

0.5

  x 2  x  1 x 2  x  2013

0.25

x  0
x  2

Với ĐK: 

 x2  2 x

 x 2  x  2 

x2


2x2

 2
Ta có Q   2

 2 x  8 x ( x  2)  4( x  2) 

2
(2.5 điểm)

 x( x  2)
  ( x  1)( x  2) 
2x2

 2


2
x2

 2( x  4) ( x  4)( x  2)  

0.75

 x( x  2) 2  4 x 2   ( x  1)( x  2) 



2
x2

 2( x  2)( x  4)  

0.5

x3  4 x 2  4 x  4 x 2 x  1 x( x 2  4)( x  1) x  1
. 2 

2( x 2  4)

x
2 x 2 ( x 2  4)
2x
x 1 1
b) Q =
=  4( x  1)  2 x  2 x   4  x  2
2x
4


0.5
0.5

x = -2 thỏa ĐKXĐ nên là giá trị cần tìm.

0.25
(5.0 điểm)

Câu 2
a) x 2  2 x  1  14   x2  2 x 114    x2  2 x 15  0
 x  2 x 1 14
 x  2 x 13  0
 2

1
(1,5 điểm)

0,5

Pt x2  2 x  15  0  ( x  5)( x  3)  0  x  5 hoÆc x  3

CM Pt x2  2 x  13  0 vô nghiệm
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S =  3;5 
b)

0.5
0.25
0.25

5 x  150 5 x  102 5 x  56 5 x  12 5 x  660




0
50
49
48
47
46

(
(1,5 điểm)

 2

5 x  150

(

50

 1)  (

5 x  102
49

 2)  (

5 x  56
48

 3)  (

5 x  12
47

 4)  (

5 x  660
46

5 x  200
5 x  200
5 x  200
5 x  200
5 x  200
)(
)(
)(
)(

)0
50
49
48
47
46

 (5 x  200)(

1
1
1
1
1



 )0
50 49 48 47 46

 10)  0

0,25
0,25
0,25


 (5x -200) = 0  x = 40.

0,5

Vậy tập nghiệm của Pt đã cho là S = 40

0,25



3

2

7

Ta có y3  x 3  2x 2  3x  2  2  x     0  x  y
4 8


(1)

0.5

(2)

0.5

2

9  15

(x  2)  y  4x  9x  6   2x     0

4  16

3

2
(2,0 điểm)

3

 y x2

2

Từ (1) và (2) ta có x < y < x + 2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1

0.25

Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được
x =  1; từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là:
(-1 ; 0) và (1; 2)
KL nghiệm

0.5
0.25
(4 điểm)

Câu 3
Ta có x  y  20( x  y)  2213  ( x  10)  ( y  10)  2013  2013
với mọi x, y.
2

2

2

2

2012
2012

( x  10) 2  ( y  10) 2  2013 2013
1
(1.0 điểm)
2012
P=
khi x = 10 và y = 10
2013
2012
Vậy Max P =
khi x = 10 và y = 10
2013
P

n4  7(7  2n2 ) = n  14n  49  (n  7)
4

2

2

2

0.25
0.25
0.25

0.25

D Do n là số nguyên lẻ nên n = 2k +1 (k  )

0.25

Khi đó (n2  7)2 16 k (k  1)  2

2

2
(2.0 điểm)

0.25

Do k(k +1) chia hết cho 2 nên  k (k  1)  2 chia hết cho 4
2

0.5
0.5

 16 k (k  1)  2 chia hết cho 64

0.25

Vậy n4  7(7  2n2 ) chia hết cho 64 với mọi n là số nguyên lẻ.

0.25

2

Câu 4

(6 điểm)


E

A

B

H
F

D

C

M

N

1

(2.0 điểm) Ta có DAM = ABF (cùng phụ BAH )
AB = AD ( gt)
BAF = ADM = 900 (ABCD là hình vuông)
 ΔADM = ΔBAF (g.c.g)
=> DM=AF, mà AF = AE (gt)
Nên AE = DM
Lại có AE // DM ( vì AB // DC )
Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành
Mặt khác. DAE = 900 (gt)

0.75

0.5
0.5

Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật

0.25

Ta có ΔABH ΔFAH (g.g)
0.5

AB BH
BC BH
hay
( AB=BC, AE=AF)
=
=
AF AH
AE AH

Lại có HAB = HBC (cùng phụ ABH )
 ΔCBH ΔEAH (c.g.c)


2
(2.0 điểm)

2

0.5

2

S
SΔCBH
 BC 
 BC 
2
2
 ΔCBH = 
= 4 (gt)  
 , mà
 = 4 nên BC = (2AE)
SΔEAH  AE 
SΔEAH
AE


 BC = 2AE  E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD

0.5

Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm)

0.5

Do AD // CN (gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:


AD AM
AD CN
=

=
CN MN
AM MN

0.5

(1)

Lại có: MC // AB ( gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:
3
(2.0 điểm)



MN MC
AB MC
AD MC

=

=
=
hay
AN AB
AN MN
AN MN
2

2

2

(2)

0.5

2

CN 2 + CM 2 MN 2
 AD   AD   CN   CM 
Từ (1),(2)  
=
=1
 +
 =
 +
 =
MN 2

MN 2
 AM   AN   MN   MN 

0.5

(Pytago)
2

2

1
1
1
 AD   AD 
 


 +
 = 1 
2
2
AM
AN
AD 2
 AM   AN 

(đpcm)

0.5

1,5 điểm

Câu 5

P  (ab 

1
a b 25
)(  )
ab
b a
4

(*)

Vì  a  b   4ab, a  b 1, ab 0 
2

(1,5 điểm)

0.25

1
4
ab

0.5

1

a b
)  (  )=
ab
b a
1
a b
15
1
15
25
 (ab 
)(  )
  2  .4  (Theo BĐT
16ab
b a 16ab 2
16
4

Mà P  (ab 

0.5

Cauchy) nên BĐT (*) đúng do đó bđt được CM.
Đẳng thức xảy ra khi a  b 

1
2

0.25

Lưu ý khi chấm bài:
-

Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu
học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.
Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.