196 đề hsg toán 8 phú vang 2012 2013

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ VANG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
Mơn : TỐN 8
Năm học 2012-2013

Bài 1. (4 điểm)
a)

x
Giải phương trình :

2

2

2

 4 x   2  x  2  43

x  2 x 1

x

m
x 1
b) Cho phương trình:
Tìm giá trị m để phương trình vơ nghiệm.
Bài 2. (2 điểm) Chứng minh rằng:
1 1 1

1
1 1
  0

 2
2
b2 c 2
Nếu a b c
và a  b  c abc thì ta có a
Bài 3. (2 điểm)
1
1
1
1
7
S


 ..... 
S
101 102 103
200 . Chứng minh rằng
12
Cho
Bài 4. (4 điểm) Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1
đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào
chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị thì ta vẫn được một số chính
phương.
Bài 5. (6 điểm)
Câu 1. Cho tam giác ABC nhọn. Dựng ra phía ngoài hai tam giác đều ABE ; ACF , lại

dựng hình bình hành AEPF . Chwnngs minh rằng PBC là tam giác đều
Câu 2. Cho tam giác ABC có BC 15cm, AC 20cm, AB 25cm.
a) Tính độ dài đường cao CH của tam giác ABC
b) Gọi CD là đường phân giác của ACH . Chứng minh BCD cân
2
2
2
2
2
2
c) Chứng minh: BC  CD  BD 3CH  2 BH  DH
Bài 6. (2 điểm)
3
3
5
5
2
2
Cho a, b là các số dương thỏa mãn a  b a  b . Chứng minh rằng a  b 1  ab


ĐÁP ÁN
Bài 1.
a)

x

2

2

2

2

 4 x   2. x  2  43   x 2  4 x   2  x 2  4 x  4  43

2
Đặt x  4 x t. Điều kiện : t  4 . Khi đó ta có phương trình:
 t  7( ktm)
t 2  2t  35 0   t  7   t  5  0  
 t 5(tm)

 x 5
t 5  x 2  4 x  5 0  
 x  1
Với
Vậy S  5;  1

x  2 x 1

b) ĐK của phương trình: x  m x  1
 x  m 0  x m

 x  1 0  x 1

(*)

Từ (*)   x  2   x  1  x  1  x  m   mx 2  m  **
Với m 0 thì PT  ** có dạng 0 x 2(VN )

Với m 0 thì PT (*) có nghiệm

x

2 m
m

2 m
x
m là nghiệm của PT  * khi nó phải thỏa mãn điều kiện
Nghiệm
2 m
1  2  m m  m 1
m
Tức là:
m 1

m  2
Như vậy PT (*) vô nghiệm với các giá trị của m    2;0;1
2 m
m  m 2  m  2 0   m  1  m  2  0 
m

 x m

 x 1


Bài 2.
1 1 1

  2
Theo giả thiết: a b c
nên a 0; b 0; c 0
2

1 1 1
1
1 1
1
1 
 1 1 1
 1
  2      4  2  2  2  2 
   4
a
b c
a b c
 ab bc ca 
Ta có: a b c
1
1 1
 a b c 
 2  2  2  2
 4
a
b c
 abc 
a b c
a  b  c abc ( gt ) 
1

abc
Vì
1
1 1
1
1 1



2

4


 2  dfcm 
a 2 b2 c 2
a 2 b2 c 2
Bài 3.
1
1
1   1
1
1
1 
 1
A 


 ..... 



 .... 
 

150  +  151 152 153
200 
 101 102 103
Ta có:


Thay mỗi phân số trong từng nhóm bằng phân số nhỏ nhất trong từng nhóm ấy ta được
1
1
1 
 1
1
1


 ..... 
.50 


150  150
 101 102 103
3
1
1
1 
 1

1
1


 .... 
.50 


200  200
 151 152 153
4
1
1
1   1
1
1
1  1 1 7
 1
A 


 ..... 


 .... 
 
  
150  +  151 152 153
200  3 4 12
 101 102 103


1
1
1   1
1
1
1  7
 1
A 


 ..... 


 .... 
 

150  +  151 152 153
200  12
 101 102 103

Bài 4.
Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d  ,0 a, b, c, d 9, a 0
Ta có:
abcd k 2
k , m  ,31  k  m  100 

2
 a  1  b  3  c  5   d  3 m
2

2
Do đó: m  k 1353

  m  k   m  k  123.11 41.33  k  m  200 

2
abcd k

2
abcd  1353 m


 m  k 123

m  k 11
 

 m  k 41

 m  k 33

 m 67
(TM )

m

57


 m 37


( KTM )
 k 4

Vậy số cần tìm là abcd 3136
Bài 5.
Câu 1.

A
1

E

1
2

3

2

F

P

B

C

Ta có: AEPF là hình bình hành nên AEP  AFP
Xét EPB và FPC có:





EB FP   AE  ; EP FC   AF  ; PEB
PFC
(vi 60 0  AEP
60 0  AFP
)

 EPB FPC  c.g.c   PB PC (1)
0
0
0








Ta có: EAP  AEP 180  A3  E1 60 mà E1  E2 60  A3 E2
 EPB ABC (cgc)  PB BC  2 

Từ (1) và (2) suy ra PB PC BC . Vậy PBC đều


Câu 2.

C

B

H

D

a) Dùng định lý Pytago đảo chứng minh được: ABC vuông tại C
1
1
AC.BC 20.15
S ABC  AC.BC  AB.CH  CH 

12cm.
2
2
AB
25
Ta có:
b) Dễ dàng tính được: HA 16cm, BH 9cm

CD là tia phân giác của ACH nên suy ra AD 10cm, HD 6cm.
Do đó: BC BD  15cm 
Vậy BDC cân tại B
c) Xét các  vuông: CBH , CAH
Ta có:
BC 2 BH 2  CH 2 ( Pytago)
CD 2 DH 2  CH 2  Pytago 
BD 2 BC 2 BH 2  CH 2  Pytago 

2
2
2
2
2
2
Từ đó suy ra BC  CD  BD 3CH  2 BH  DH

A


Bài 6.
Xét 2 số dương :
2
2
2
2
Xét : a  b 1  ab  a  b  ab 1
  a  b   a 2  b 2  ab   a  b 

(Vi

a  b  0)

 a 3  b3 a  b
  a 3  b3   a 3  b3   a  b   a 5  b5 

(Vi

a 3  b3 a 5  b 5 )

 a 6  2a 3b3  b 6 a 6  ab5  a 5b  b 6
 2a 3b3 ab5  a 5b
 ab  a 4  2a 2b 2  b 4  0
2

 ab  a 2  b 2  0

đúng a, b  0
2
2
3
3
5
5
Vậy : a  b 1  ab với a, b dương và a  b a  b