197 đề hsg toán 8 hạ hòa 2012 2013

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA

KÌ THI HỌC SINH C SINH GIỎI LỚP 8P 8
Năm học: 2012 – 2013
Mơn: Tốn
Thời gian: 120 phut (khụng kờ thi gian giao ờ)

Bài 1. (3 điểm).
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 3x2 7x + 2;
Bài 2. (6 điểm). Cho biu thc:

b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).

2
1  
10  x 2 
 x
A  2


:
x

2


 
x 2 
 x  4 2  x x 2  

a. Rút gọn biểu thức A.
1
b. Tính giá trị của A, biết x = .
2
c. Tìm giá trị của x để A < 0.
d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị ngun.
Bµi 3. (5 điểm)
a. Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
b. Cho

a b c
x y z
x2 y 2 z 2
  1 và   0 . Chứng minh rằng: 2  2  2 1 .
x y z
a b c
a
b
c

Bµi 4. (1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a 4  2a3  3a 2  4a  5 .
Bài 5. (5 điểm)
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng
qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a. Chứng minh rằng OM = ON.
b. Chứng minh rằng

1

1
2


AB CD MN

.

c. Biết SAOB= 20122 (đơn vị diện tích); SCOD= 20132 (đơn vị diện tích). Tính SABCD.
----------------------------Lu ý: Thí sinh không đợc sử dụng Máy tính cầm tay.

hớng dÉn chÊm THI HỌC SINH C SINH GIỎI LỚP 8P 8
Năm học: 2012 – 2013
Mơn: Tốn
1
/>PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA


Bài 1: (3 điểm)
a. (1,5 3x2 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 =
®iĨm) = 3x(x -2) – (x - 2)
= (x - 2)(3x - 1).
b. (1,5 a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x =
®iĨm) = ax(x - a) – (x - a) =
= (x - a)(ax - 1).

0,5
0,5
0,5
0,5

0,5
0,5

1
x 2
1
1
1
b. x   x  hoặc x 
Bµi 2
2
2
2
6 điểm
4
4
 A  hoặc A 
3
5
c. A  0  x  2
1
 Z ...  x   1;3
d. A  Z 
x 2
a. Rút gọn được kq: A 

1,5

1,5
1,5

1,5

Bài 3 (5 ®iĨm)
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0
 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)
Do : ( x  1)2 0;( y  3)2 0;( z  1)2 0
Nên : (*)  x = 1; y = 3; z = -1
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1).

a. (2,5)

a b c
ayz+bxz+cxy
  0 
0
x y z
xyz
 ayz + bxz + cxy = 0
x y z
x y z
  1  (   ) 2 1
Ta có :
a b c
a b c
2
2
2
x
y

z
xy xz yz
 2  2  2  2(   ) 1
a
b
c
ab ac bc
2
2
2
x
y
z
cxy  bxz  ayz
 2  2  2 2
1
a
b
c
abc
x2 y2 z 2
 2  2  2 1(dfcm)
a
b
c

Từ :

b. (2,5)

Bài 4

Biến đổi để có A= a 2 (a 2  2)  2a(a 2  2)  (a 2  2)  3
= (a 2  2)(a 2  2a  1)  3 (a 2  2)(a  1) 2  3
Vì a 2  2  0 a và (a  1) 2 0a nên (a 2  2)(a  1) 2
2

2

( a  2)(a  1)  3 3a

/>
2

0a

1
0,5
0,5
0,5
1
0,5
0,5
0,5

do đó

0,25đ
0,25đ
0,25đ

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a  1 0  a 1
KL

0,25đ

Bài 5 (5 điểm

B

A

M

O

N

C

D

a, (1,5
điểm)

Lập luận để có

OM
OD


AB
BD

Lập luận để có

OD OC

DB
AC



b, (1,5
điểm)

c, (2
điểm)

OM
ON

AB
AB

0,5đ

ON OC

AB

AC

,

0,5đ
0,5đ

 OM = ON

OM
DM
OM
AM


ADC để có
(1),
xét
AB
AD
DC
AD
1
1
AM  DM
AD

1
Từ (1) và (2)  OM.( AB  CD )  AD
AD

1
1
Chứng minh tương tự ON. ( AB  CD ) 1
1
1
1
1
2
từ đó có (OM + ON). ( AB  CD ) 2  AB  CD  MN

Xét ABD để có

S AOB
OB

S AOD OD

S

OB

S

S

BOC

 AOB  BOC 
, S
OD

S AOD
S DOC
DOC
Chứng minh được S AOD  S BOC

 S AOB .S DOC ( S AOD )

S AOB .S DOC  S BOC .S AOD

2

Thay sè ®Ĩ cã 20122.20132 = (SAOD)2 
Do đó SABCD= 20122 + 2.2012.2013 + 20132 = (2012 + 2013)2 =
40252 (đơn vị DT)

/>
3

(2) 0,5đ

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ