olimpic hung vuong vat li

OLYMPIAD TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG – THÁI NGUYÊN 2010

ĐỀ THI MÔN VẬT LÝ
(Thời gian làm bài:180 phút)
(Đề gồm 02 trang)
Câu 1: Một động cơ nhiệt làm việc theo chu trình 1 – 2 – 3 – 4 – 1 như hình 1, tác
nhân là khí lý tưởng đơn ngun tử.
1) Tìm hiệu suất của chu trình theo các nhiệt độ

P2

P

2
đoạn nhiệt

tuyệt đối T1, T2, T3, T4 của các trạng thái 1, 2,
3, 4 tương ứng.

P1

2) Biết V2 = 3V1. Tính giá trị hiệu suất của chu
trình. Cho phương trình của quá trình đoạn

4

đoạn nhiệt

0

nhiệt: T.V  1 const , với  5 / 3 là chỉ số

3

1

V1

đoạn nhiệt của khí lý tưởng đơn ngun tử.

Hình 1

V2

V

Câu 2: Một xylanh có chiều dài là 2L chứa pittơng có diện tích tiết diện S có thể trượt
trên sàn nằm ngang với hệ số ma sát trượt là . Trong xylanh chứa khí ở áp suất p 0,
nhiệt độ T0. Tổng khối lượng của xylanh, píttơng và khí là m. Bên ngồi áp suất khí
quyển là p0. Pittơng nối với tường cố định bằng một lị xo có độ cứng k (hình 2). Ban
đầu pittơng ở chính giữa xylanh. Bỏ qua ma sát giữa xylanh và pittơng. Hỏi phải tăng
nhiệt độ của khí lên bao nhiêu lần để thể tích của khí tăng gấp đôi. Xét 2 trường hợp:
1) Ma sát giữa xylanh và sàn đủ lớn để xy

2L

lanh luôn đứng yên.
2) Ma sát nhỏ nên trong q trình khí giãn
nở thì xylanh bị dịch chuyển .

p0

p0, T0

k



Câu 3:
Một hình trụ bán kính R khối lượng M đặt

Hình 2

lên mặt phẳng nghiêng góc  với phương ngang và lăn không trượt xuống. Hệ số ma
sát giữa hình trụ với mặt phẳng nghiêng là .
1) Tìm điều kiện về góc  để hình trụ lăn khơng trượt trong 2 trường hợp: hình
trụ đặc và hình trụ rỗng.

1


2) Tìm gia tốc của tâm hình trụ trong 2 trường hợp trên.
3) Đặt vào trong hình trụ rỗng bán kính R,
khối lượng M một hình trụ đặc đồng chất
có bán kính r = R/2, có khối lượng là m
rồi đặt hệ lên mặt phẳng nghiêng góc 
và thả ra khơng vận tốc đầu (hình 3). Biết


Hình 3

rằng khơng xảy ra sự trượt giữa các hình
trụ và giữa hình trụ với mặt phẳng nghiêng khi hệ lăn xuống. Tìm gia tốc của
hệ khi chuyển động ổn định.
C©u 4:
Một trạm thăm dò vũ trụ P bay quanh hành tinh E theo quỹ đạo trịn có bán kính
R. Khối lượng của hành tinh E là M.
1) Tìm vận tốc và chu kỳ quay quanh hành tinh E của trạm P.
2) Một sự kiện khơng may xảy ra: có một thiên thạch T bay đến hành tinh E
theo đường thẳng đi qua tâm của hành tinh với vận tốc u 

58 GM
. Thiên
R

thạch va chạm rồi dính vào trạm P nói trên. Sau va chạm thì trạm vũ trụ cùng
với thiên thạch chuyển sang quỹ đạo elip. Biết khối lượng của trạm P gấp 10
lần khối lượng của thiên thạch T. Hãy xác định:
a) vận tốc của hệ (P và T) ngay sau va chạm.
b) khoảng cách cực tiểu từ hệ đó đến tâm hành tinh E.

HẾT

2


ĐÁP ÁN
Câu 1.
1) Nhiệt lượng thu vào trong quá trình 1 – 2:
P2

Q12 = n.CV(T2 – T1)

P

2
đoạn nhiệt

Nhiệt lượng tỏa ra trong quá trình 3 – 4:
Q34 = n.CV(T3 – T4)

P1

Hiệu suất:
 1 

Q34
T T
1  3 4 .
Q12
T2  T1

0

3

1
đoạn nhiệt

V1

4

V2

V

2) Phương trình đoạn nhiệt: T.V  1 const , với
 5 / 3 là chỉ số đoạn nhiệt của khí lý tưởng đơn ngun tử. Ta có:
T2 V1 1 T3 V2 1 ;

Suy ra:

T1V1 1 T4 V2 1

T2 T3

T1 T4

T
T
T  T V 
Viết lại thành: 2  1  2 1  2 
T3 T4 T3  T4  V1 

Vậy:  1  T3  T4 1 
T2  T1

 V1 



 V2 

 1

 1

2

 13
1    0,52 .
 3

Câu 2.
1) Trường hợp ma sát lớn đến mức mà cho đến khi thể tích của khí tăng gấp đơi (lị xo
bị nén L) thì xylanh vẫn đứng n: mg kL .
Áp suất khí trong xy lanh khi thể tích tăng gấp đơi là p. Phương trình cân bằng lực của
pít tơng: (p – p0)S = kL.
Phương trình trạng thái áp dụng cho khí trong xylang: p

3

2S.L
S.L
p0
T
T0


Suy ra:


T
kL 
2  1 
.
T0
p0 S 


2) Nếu mg  k .L thì ống trụ sẽ đứng yên đến khi lực ma sát nghỉ cực đại bằng ma sát
trượt và sau đó xylanh trượt, sự tăng thể tích xảy ra với áp suất khơng đổi.
Khi bắt đầu trượt thì lò xo biến dạng là: x 

mg
.
k

Tại thời điểm ấy nhiệt độ khí là T’, áp suất là p. Ta có các phương trình:
- Cân bằng của pittơng: (p – p0)S = kx = mg.
- Phương trình trạng thái:
Suy ra:

pS( L  x ) p0SL

.
T'
T0

T' 
mg  

mg 
 1 
  1
.
T0 
p0 S  
xL 

T V
2 LS
2
2
 


Trong khi trượt áp suất không đổi, nên: T ' V ' ( L  x )S 1  x 1  mg
L
kL

Vậy phải tăng nhiệt độ lên:


T
mg 
2  1 
 lần.
T0
p0S 


N

Câu 3.
1) Hình trụ lăn khơng trượt: tác dụng lên hình trụ
gồm trọng lực P, lực ma sát nghỉ F và lực pháp tuyến

F
P

N của mặt phẳng nghiêng (hình vẽ).
Phương trình động lực học cho chuyển động tịnh
tiến:
Mg sin   F M .a

Phương trình động lực học cho chuyển động quay:
F.R I I

a
,
R
1
2

trong đó I MR 2 đối với hình trụ rỗng và I  MR 2 đối với hình trụ đặc.

4



Suy ra: a 

Mg sin 
I
và F Mg sin 
.
2
M ( I / R )
MR 2  I

Điều kiện lăn không trượt ứng với điều kiện về lực ma sát: F N Mg cos  .
1
2

1) Đối với hình trụ rỗng, I MR 2 thì F  Mg sin  , điều kiện lăn khơng trượt tìm
1
2

được là:   tan  .
1
2

1
3

1
2

Với hình trụ đặc, I  MR 2 thì F  Mg sin  , điều kiện lăn không trượt:   tan  .
2) Gia tốc lăn khơng trượt của:

1
2

- Tâm hình trụ rỗng: a  g sin  .
2
3

- Tâm hình trụ đặc: a  g sin  .
3) Ký hiệu khối lượng của hình trụ rỗng và hình trụ đặc lần lượt là M và m. Khi chuyển
động ổn định, cả hai vật có cùng vận tốc tịnh tiến là v và cùng gia tốc tịnh tiến a. Vận
tốc góc của hình trụ rỗng là 1 và của hình trụ đặc là 2. Các lực tác dụng lên từng hình
trụ như hình vẽ.
F1

1

N1

F2 N’2

F’2

N2
PM

2

Pm



Từ phương trình v 1R 2



R
, suy ra 2 21 , đồng thời ta cũng có được liên hệ
2

gia tốc góc: 2 2 1 .
Phương trình động lực học cho chuyển động quay của hình trụ đặc:

5


2

F2

R 1 R
1 R2
 m   2  m
2 1 .
2 2 2
2
4
a
R

Do lăn không trượt nên 1  , suy ra: F2 

ma
.
2

Phương trình động lực học cho chuyển động quay của hình trụ rỗng:
( F1  F2' )R MR 2 1 MR 2

a
.
R



Vì F2' F2 là lực tương tác giữa hai hình trụ (lực ma sát), nên F1  M 

m
a .
2

Phương trình động lực học cho chuyển động tịnh tiến của hệ:
( M  m )g sin   F1 ( M  m )a .

Thay biểu thức của F1 ở trên vào ta thu được kết quả: a 

2( M  m )g sin 
4 M  3m

Câu 4.


1) Ký hiệu m0 là khối lượng trạm P, v1 là vận tốc của trạm vũ trục trước va chạm. Lực
hấp dẫn giữa trạm P và hành tinh E đóng vai trị lực hướng tâm trong chuyển động của
P quanh E:
2

G

Suy ra:

m0 M m0 v12
 2 

m0 
 R
2
R
R
 T 
v1 

GM
R

(2)

và

(1)
T

2
R 3/ 2 .
GM

(3)



2) Ký hiệu m là khối lượng của thiên thạch, v 2 là vận tốc của hệ sau va chạm, u là vận

tốc của thiên thạch trước va chạm. Theo định luật
bảo toàn động lượng:



mu  10 mv1 11mv 2

v1

(4)

x

Chiếu lên 2 trục Ox và Oy (hình vẽ):
10m.v1 = 11m.v2x

(5)

m.u = 11m.v2y

(6)

u

m

v2

M

r

R
v

6
y


Thay v1 

GM
58 GM
và u 
ta tìm được:
R
R
2

v2 
v2 

v 22 x

 v 22 y

2

 10   1 
  v1    u  .
 11   11 

1 158 GM
.
11
R

(7)

Sau va chạm thì hệ chuyển sang quỹ đạo elip (đường đứt nét đậm). Tại điểm cận
nhật hệ có vận tốc là v vng góc với đoạn thẳng r nối điểm cận nhật với tâm hành
tinh. Ta viết phương trình bảo tồn năng lượng và bảo tồn mơ men động lượng của hệ
tại vị trí va chạm và vị ví cận nhật:
G

11mM 11m 2
11mM 11m 2

v 2  G


v ,
R
2
r
2

(8)

v.r v 2 x R

Từ (9) suy ra: v v 2 x

(9)

R 10 GM R

r 11 R r

(10)

Thay v2 từ (7) và v từ (10) vào (8) ta thu được phương trình bậc hai đối với r:
42 r 2  121R .r  50 R 0

Phương trình có 2 nghiệm: r 
tiểu cần tìm, cịn r 

R
50
R

và r  R . Giá trị r  là khoảng cách cực
2
21
2

50
R là khoảng cách cực từ hệ đó đến tâm hành tinh E (tại điểm
21

viễn nhật). Dựa vào định luật Kếp-le 3 có thể tìm được chu kỳ quay của hệ (P + T).

7