Toan 11 c8 b4 2 khoang cach phần thể tích tuluan p1 de

CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

VIII

QUAN HỆ VNG GĨC
TRONG KHƠNG GIAN

C
H
Ư
Ơ
N

BÀI 4: KHOẢNG CÁCH

I
LÝ THUYẾT
.
=
=
=
4. CƠNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP, KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI HỘP
I
..
4.1. Thể tích khối hợp chữ nhật có ba kích thước a, b, c : V = abc
3
4.2. Thể tích khối lập phương có kích thước a : V = a
4.3. Thể tích khối chóp

S

1
V  .S.h
3
+ Thể tích khối chóp

h
C
A

Trong đó: S là diện tích đa giác đáy.
h : là chiều cao của khối chóp.

H
B

4.4. Thể tích khối chóp cụt đều

1
V  .h. S  S.S  S 
3
+ Thể tích khối chóp cụt đều





Trong đó: S , S  là diện tích hai đáy.
h : là chiều cao của khối chóp.
4.5. Thể tích khối lăng trụ

C1

A1
B1

Thể tích khối lăng trụ V S.h

S là diện tích đa giác đáy.
h : là chiều cao của khối lăng trụ.
Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao là độ dài cạnh bên.

A

C

G

H
B

Page 80

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
5. Tỉ số thể tích.
Cho hình chóp S . ABC . Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm M , N , K khác
S
với S , khi đó ta có:

VS .MNK SM SN SK

.
.
VS . ABC
SA SB SC .

M

A

K
n
N
C
B

+ Các công thức tính nhanh (nếu có), có chứng minh các cơng thức tính nhanh (nếu có thể).
CÁC CƠNG THỨC ĐẶC BIỆT SỬ DỤNG ĐỂ LÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
CÔNG THỨC 1: Với tứ diện ABCD có AB, AC , AD đơi mợt vng góc và

AB a, AC b, AD c , ta có

1
VABCD  abc
6
.
Chứng minh

1
1
1
1
VABCD  AD.SABC  AD. AB. AC  abc
3
3
2
6
Ta có
.
a3 2
V
12 .
CƠNG THỨC 2: Thể tích khối tứ diện đều cạnh a :
Chứng minh

Page 81

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

Xét tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi G là trọng tâm tam giác BCD .
a2 a 6
a 3
2
AG


a


DG 
3
3 .
3
Ta có
, suy ra

Diện tích tam giác BCD :

S BCD

a2 3

4 .

1 a 6 a2 3 a3 2
V .
.

3 3
4
12 .
Thể tích khối tứ diện đều cạnh a là:

1
V  h B  B ' BB
3

CƠNG THỨC 3: Thể tích của khối chóp cụt
với h là khoảng cách
giữa hai đáy, B, B là diện tích của hai đáy





CÔNG THỨC 4: Thể tích khối tứ diện biết các góc  ,  ,  và các cạnh a , b, c tại cùng một
đỉnh:

V

abc
. 1  2 cos  cos  cos   cos 2   cos2   cos 2 
6
Chứng minh

Page 82

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

Xét tứ diện S . ABC có các góc  ,  ,  và các cạnh a , b, c tại đỉnh S như hình vẽ trên.
Dựng mặt phẳng qua A , vng góc với SA , cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại B, C .
SB 
Ta có

SA
a
SA
a

; SC  

cos  cos 
cos  cos  và AB a tan  , AC  a tan  .

VS . ABC SB SC 
bc

.
 2
VS . ABC  SB SC a cos  cos  .
Áp dụng định lí cosin trong SBC  , có
 AC   AB2  AC 2  BC 2
2 ABAC .cos B
 1
1
2 cos  
 2 cos 

a 2 tan 2   a 2 tan 2   a 2 


a 2 
 2


2
2
 cos  cos  cos  cos  
 cos  .cos 

 AC  a. cos   cos  .cos 
 AB. AC .cos B
cos  .cos 
.

 AB. AC.sin B AC
Ta có
a 4 tan 2  tan 2   a 4 .
2

a

4

2

2
 AC 
 AB. AC   AB. AC .cos B



2

cos 2   cos 2   cos 2   2 cos  cos  cos 

cos2  cos2 
2

 1  cos    1  cos    cos

a 4 .



2

  cos 2   cos2   2 cos  cos  cos 

cos 2  cos2 
1  cos 2   cos 2   cos2   2 cos  cos  cos 
cos 2  cos 2 

 S ABC  

 AC  a 2 1  cos2   cos2   cos2   2 cos  cos  cos 
AB. AC .sin B

2
2 cos  cos 
.

Page 83

Sưu tầm và biên soạn

CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

Suy ra

VS . ABC 

bc
VS . ABC   abc . 1  2 cos  cos  cos   cos 2   cos 2   cos 2 
a cos  cos 
6
.
2

AB a; CD b; d  AB, CD  d ;  AB; CD  
CÔNG THỨC 5: Cho tứ diện ABCD có
. Khi

1
VABCD  abd sin 
6
đó
Chứng minh

Trong mặt phẳng

 ABC 

vẽ hình bình hành CBAA .

Ta có AA  BC nên VABCD VABCD .
Gọi MN là đoạn vng góc chung của AB và CD với M  AB, N  CD .
Vì BM CA nên VBACD VMACD . Ta có MN  AB nên MN  CA .
MN   CDA
Ngồi ra MN  CD nên
.

Ta có

 AB, CD   AC , CD   .

1
1 1
1
VMACD  S ACD MN   CA CD sin  MN  AB CD d sin 
3
3 2
6
Do đó
.
1
VABCD  AB CD.d .sin 
6
Vậy
.
CÔNG THỨC 6: Tỉ số thể tích hai hình chóp có đáy hình bình hành. Cho hình chóp S . ABCD
có đáy là hình bình hành; và hình chóp tứ giác S . ABC D có A, B, C , D lần lượt nằm trên
VS . ABC D 1 SA SC   SB SD 
 .
.




2 SA SC  SB SD  .
các cạnh SA, SB, SC , SD ; khi đó: VS . ABCD
Page 84

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
Chứng minh

VS . ABC D VS . AC D VS . AC B 1 SA SC  SD  1 SA SC  SB


 .
.
.
 .
.
.
V
2
V
2
V
2
SA
SC

SD
2
SA
SC
SB
S
.
ABCD
S
.
ACD
S
.
ACB
Ta có
1 SA SC   SB SD 
 .
.
.


2 SA SC  SB SD  .
CÔNG THỨC 7: Mặt phẳng

 

cắt các cạnh của khối lăng trụ ABC. ABC  lần lượt tại

AM
BN

CP
x yz
 x,   y ,
z
VABC .MNP 
VABC . ABC 

M , N , P sao cho AA
BB
CC
3
. Khi đó
.
Chứng minh

Ta có VABCMNP  VNACB  VNACPM .

VNACB 

BN
BN 1
VBACB 
 VABCAB C 
BB
BB 3

 1

.

1
VNACPM
S ACPM (CP  AM ) 2 1  CP AM 


 


VBACC A S ACC A
AA
2  CC  AA 
Page 85

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

1  CP AM  2
 VNACPM  

  VABCABC 
2  CC  AA  3

 2

.

1  BN CP AM 
VABCMNP  VNACB  VNACPM = 



 VABCABC 
1
2





3
BB
CC
AA


Từ
và
suy ra
.

A , B ,C , D
CƠNG THỨC 8: Cho hình hợp ABCD. ABC D, lấy 1 1 1 1 lần lượt trên các cạnh

AA, BB, CC , DD sao cho bốn điểm ấy đồng phẳng. Ta có tỉ số thể tích hai khối đa diện:
VABCD. A1B1C1D1
VABCD. ABCD

1  AA CC1  1  BB1 DD1 
  1


 

2  AA CC   2  BB DD 
Chứng minh

Gọi I , I  lần lượt là trung điểm AC , AC  . Ta chứng minh được ba mặt phẳng

 ACC A ,  BDDB ,  A1B1C1D1 
Ta có
Suy ra

 ABBA

//  CDDC 

đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến đồng quy tại

, suy ra

I1 .

A1 B1 // C1D1 . Tương tự, ta cũng được A1 D1 // B1C1 .

A1B1C1D1 là hình bình hành, ta có I1 là trung điểm A1C1 .

II1 là đường trung bình trong các hình thang AA1C1C và BB1D1D , suy ra
2II1  AA1  CC1 BB1  DD1 .

Ta có

AA1 CC1 BB1 DD1



Suy ra: AA CC  BB DD .
Áp dụng công thức tỉ số thể tích trong khối lăng trụ tam giác, ta có:

VABCD. A1B1C1D1 VABC . A1B1C1  VACD . A1C1D1
1  AA BB CC  1
1  AA DD1 CC1  1
  1  1  1  . VABCD . ABC D   1 

 . VABCD . ABC D
3  AA BB  CC   2
3  AA DD CC   2
1  AA CC 
1  BB DD1 
  1  1  .VABCD. ABCD   1 
 .VABCD. ABCD
2  AA CC  
2  BB DD 
.
Page 86

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

 SAB  ,  SBC  ,  SCA  vng góc
CƠNG THỨC 9: Cho hình chóp S . ABC với các mặt phẳng
S ,S ,S
với nhau từng đôi một, diện tích các tam giác SAB, SBC , SAC lần lượt là 1 2 3 .

Khi đó:

VS . ABC 

2 S1S2 S3
3
.
Chứng minh

Đặt SA  a, SB  b, SC  c .

1
1
1
S1  ab; S 2  bc; S3  ca
2
2
2 .
Suy ra
 1  1  1 
2  ab   bc   ca 
2.S1.S2 .S3
1
abc
 2  2  2 

 abc 


6
6
3
3
.
2 2 2

VS . ABC

 ABC  , hai mặt phẳng
CƠNG THỨC 10: Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với

 SAB  và  SBC  vng góc với nhau, BSC
 ; ASB  .
Khi đó:

VS . ABC 

SB 3 .sin 2 .tan 
12

Chứng minh

SA SB.cos  .

 SAB 

và

 SBC 

vng góc với nhau.
Page 87

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

 SAB  .
Nên BC vng góc
1
1
BC SB .tan   SSBC  .SB.BC  .SB 2. tan 
2
2
Tam giác SBC vuông tại B nên

Kẻ AK vng góc SB . Lúc này AK sẽ là khoảng cách từ A đến SBC . Do AK vng góc
BC và SB .
Ta có AK  SA.sin  SB.sin .cos .

AK 

SB sin 2
2
.

VS . ABC 

SB 3 .sin 2 .tan 
12
.

CƠNG THỨC 11: Cho hình chóp đều S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh
bên bằng b .

VSABC 

a 2 3b 2  a 2
12
.

Khi đó:
Chứng minh

2
2 3
3
AG  AM  .
a a
3
3 2
3 .
2

 3 

3b 2  a 2
SG  b  
a  
3
 3 
.
2

VS . ABC

1 1 3 2 3b 2  a 2 a 2 3b 2  a 2
 . .
a .

3 2 2
3
12
.

CÔNG THỨC 12: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với
mặt phẳng đáy góc  .

Khi đó:

VS . ABC 

a 3 tan 
24 .

Chứng minh

Page 88

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

1
1 3
3
GM  AM   a  a
3
3 2
6 .
SG 

3
a tan 
6
.

1 1 3
3
a 3tan
VS . ABC  . . a 2 . atan 
3 2 2
6
24 .
CƠNG THỨC 13: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có các cạnh bên bằng b và cạnh bên

tạo với mặt phẳng đáy góc  .

Khi đó:

VS . ABC 

3b3 .sin  .cos 2 
4
.
Chứng minh

SG b sin  .

3
3
AM  AG  .b.cos  BC  3.b.cos
2
2
.

S ABC 

3 3 2 2
3b3 .sin  .cos 2 
b cos   VS . ABC 
4
4
.

CÔNG THỨC 14: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng

a , và SA SB SC SD b .

Page 89

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

Khi đó:

VABCD 

a 2 4b 2  2a 2
6
.
Chứng minh

SO  SA2  OA2  b 2 

a2
2 .

1
a 2 a 2 4b 2  2a 2
VS . ABCD  .a 2 . b 2 

3
2
6

.
CÔNG THỨC 15: Cho tứ diện ABCD có AB CD a, AC BD b, AD BC c (tứ diện
gần đều).

Khi đó:

VABCD 

1
6 2

( a 2  b 2  c 2 )(a 2  b 2  c 2 )(a 2  b 2  c 2 )

.
Chứng minh

Cách 1:
A'

B

C
D

B'

A

C'

Dựng tứ diện D. A’B’C’ sao cho A, B, C lần lượt là trung điểm của B’C’, C’ A’, A’B’ . Khi đó
tứ diện D. A’B’C có các cạnh DA’, DB’, DC’ đơi mợt vng góc.

1
1
VABCD  VDA ' B ' C '  DA '.DB '.DC '
4
24
Ta có
.

Page 90

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
 DA '2  DC '2 4b 2

2
2
2
 DA '  DB ' 4a 
 DB '2  DC '2 4c 2
Ta có 

Khi đó:

VABCD 

 DA '2 2( a 2  b 2  c 2 )

2
2
2
2
 DB ' 2(a  b  c )
 DC '2 2( a 2  b 2  c 2 )

.

1
1
( a 2  b2  c 2 )( a 2  b2  c 2 )( a 2  b 2  c 2 )
DA '.DB '.DC ' 
6 2
24
.

Cách 2: Dựng lăng trụ AMNBCD như hình bên.
N
n

A

m

h
a

B

M
I

b

D

C

c

Từ giả thiết ta có: MNDC là hình thoi; các tam giác CAN , DAM là các tam giác cân, suy ra:
AI  NC , AI  DM  AI  (CDMN ) .

1
1
1
1
VABCD  VA.MNDC  .4VA.IMN 2VA.IMN  IA.IM .IN  h.m.n
2
2
3
3
Ta có:
.
 2  a 2  b2  c 2
m 
2

 h 2  m 2 c 2

2
2
 2
 2 a  b  c2
2
2
h

n

b


n 
2
 m 2  n 2 a 2


 2 a2  b2  c2
h 
2

Từ
.
Suy ra:
VABCD 

1

6 2

( a 2  b 2  c 2 )(a 2  b 2  c 2 )(a 2  b 2  c 2 )

.

Cách 3: Dựng hình hợp chữ nhật AMCN .PBQD như hình bên.

Page 91

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
N
C

n
b

A

m
c

p

M

D

a

Q

P
B

Gọi các kích thước của hình hộp là m, n, p .

1
VPADB VMABC VQBCD VNACD  VAMCN .PBQD
6
Ta có:
. Suy ra:
1
1
VABCD  VAMCN .PBQD  m.n. p
3
3
.
 2 a 2  b2  c 2
m 
2
2
2
2
 m  n b

2
 2

 2  a  b2  c 2
2
2
 m  p a  n 
2
 p 2  n2 c 2

2

 2 a  b2  c 2
p 
2

Ta có:
.
VABCD 

1
6 2

( a 2  b 2  c 2 )(a 2  b 2  c 2 )(a 2  b 2  c 2 )
.

Cách 4:
A

b
I

P

a
c

M
G

B

Q

N
D

J
C

Gọi I , J , M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, AC , BD, AD, BC .

Page 92

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
Ta thấy tứ giác MINJ là hình thoi. Ta chứng minh được PQ vng góc với AD và BC nên

PQ vng góc với mp  IMJN  .
Gọi G là giao điểm của các đường IJ , MN , PQ . Ta có

1
1
1
VPMINJQ 2VP.MINJ 2. PG. IJ .MN  PQ.IJ .MN
3
2
6
.
1
VAIMP VBINQ VCQMJ VDPNJ  VABCD
8
Vì
nên
1
VPIMJNQ VABCD  (VAIMP  VBINQ  VCQMJ  VDPNJ )  VABCD
2
.
1
VABCD 2VPIMJN  PQ.IJ .MN
3
Suy ra
.
Ta tính được:
IJ 2 IC 2  CJ 2 

AC 2  BC 2 AB 2 CD 2 b 2  c 2  a 2



2

4
4
2
.

Tương tự:
PQ 2 

b2  a2  c2
a 2  b2  c2
MN 2 
2
2
;

Từ đó:
VABCD 

1
6 2

( a 2  b 2  c 2 )(a 2  b 2  c 2 )(a 2  b 2  c 2 )
.

Page 93

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

II HỆ THỐNG
BÀI TẬP TỰ
LUẬN.
=
=
=
DẠNG 1. THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CĨ CẠNH BÊN VNG GĨC VỚI ĐÁY
I
Kiến thức cần nhớ:

1
V  B.h
3
1) Công thức tính:
( B : diện tích đáy và h là chiều cao của khối chóp).
2) Chiều cao của khối chóp thường tính bằng đợ dài cạnh vng góc với đáy
Loại 1: Tính bằng cơng thức
Phương pháp giải (kiến thức cần nhớ):
Ở loại tốn này trình bày cách tính thể tích khối chóp có mợt cạnh vng góc với đáy bằng sử

1
V  B.h
3
dụng đơn thuần cơng thức
, trong đó B : diện tích đáy và h là chiều cao của khối
chóp. Ta cần nhớ một số kiến thức cơ bản sau:
1. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông
2
2

2
 BC  AB  AC
 AH .BC  AB. AC
2
2
 AB  BH .BC , AC CH .CB
1
1
1
 2
2
AB
AC 2 , AH 2  BH .CH
 AH

2. Các hệ thức trong tam giác thường
 Định lý hàm cosin:
2
2
2
 a b  c  2bc cos A
2
2
2
 b a  c  2ac cos B
2
2
2
 c a  b  2ab cos C

 Định lý hàm sin:
a
b
c


2 R
 sin A sin B sin C
( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC )

Page 94

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
 Cơng thức tính diện tích tam giác:
1
1
1
SABC  a.ha  b.hb  c.hc
2
2
2




S ABC

A

SABC 

abc
4 R , S ABC  pr




mc2 

2  b2  c 2   a 2
4

,

mb2 

B

C

a bc
2
Trong đó:
, r bán
kính đường trịn nợi tiếp
p

S  p  p  a   p  b  p  c 

 Công thức tính độ dài đường trung tuyến:
ma2 

ha

1
1
1
 bc sin A  ac sin B  ab sin C
2
2
2

A

2  a 2  c 2   b2
4

b

c
ma

2  a 2  b2   c 2

B

4

C

a

3. Diện tích đa giác:
 Tam giác vng

A

1
SABC  AB. AC
2
 Diện tích:
B

C
A

 Diện tích tam giác đều
 Diện tích:

S

AB 2 . 3
4
.

h

AB 3
h
2 .
 Đường cao:

B

 Hình vng:
 Diện tích: S  AB

H

C

A

D

B

C

2

 Đường chéo: AC  BD  AB 2

 Hình chữ nhật:
 Diện tích: S  AB. AD

D

A

2
2
 Đường chéo: AC  BD  AB  AD

O
B

C

Page 95

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
 Hình thoi:

A

B

1
S  AC.BD
2
 Diện tích:
 Đặt biệt: 1 trong các góc trong của hình thoi bằng 60 ,
khi đó hình thoi được tạo bởi 2 tam giác đều.

C

 Hình thang:
S

A

D
D

 AD  BC  AH

2
 Diện tích:
 Đặc biệt: Hình thang vng, hình thang cân
B

Câu 1:

Câu 2:

Câu 3:

H

C

Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a, AC 2a . Cạnh bên SA
vng góc với đáy và SA 2a . Tính thể tích V của khối chóp S . ABC .
SA   ABC  , ABC

Cho hình chóp S . ABC có
vng cân tại A, SA  BC a. Tính theo a
thể tích V của khối chóp S . ABC
SA   ABC 
Cho khối chóp S . ABC có
, tam giác ABC vng tại B , AB a , AC a 3 .

Tính thể tích khối chóp S . ABC , biết rằng SB a 5 .
Câu 4:

Cho hình chóp tam giác S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vng góc
đáy và SA 2 3a . Tính thể tích V của khối chóp S . ABC .

Câu 5:

Câu 6:

Câu 7:

Câu 8:


SA   ABC  SA a AB a AC 2a
Cho khối chóp S . ABC có
,
,
,
và BAC 120 . Tính thể
tích khối chóp S . ABC .
Hình chóp S . ABCD có đáy hình vng, SA vng góc với đáy và SA a 3 , AC a 2 . Khi

đó thể tích khối chóp S . ABCD là
SA   ABCD  , AB 3a AD 2a
Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật,
,
,
SB 5a. Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD theo a.
ABCD  ,
Cho hình chóp S . ABCD có SA vng góc với mặt phẳng 
đáy ABCD là hình thang

vng tại A và B có AB a, AD 3a, BC a. Biết SA a 3, tính thể tích khối chóp
S .BCD theo a.
Câu 9:


Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc BAD 60 ,

a 6
SA   ABCD  SA  2
,
. Thể tích khối chóp S . ABCD là

Page 96

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
Câu 10: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng, cạnh bên SA a 2 và SA vng góc
với mặt phẳng đáy, tam giác SBD là tam giác đều. Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng

LOẠI 2: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CĨ CẠNH BÊN VNG GĨC VỚI ĐÁY KHI BIẾT
GÓC GIỮA ĐƯỜNG VÀ MẶT
PHƯƠNG PHÁP GIẢI (KIẾN THỨC CẦN NHỚ):
Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
- Nếu

d   P

thì

d ,  P   90 .

d , P  d , d '
P
  
 với d ' là hình chiếu của d trên  P 


d
- Nếu khơng vng góc với
thì
0 d ,  P   90 .
Chú ý:
Câu 11: Cho hình chóp SABCD, ABCD là hình vng cạnh 2a, SA vng góc với mặt phẳng đáy.
ABCD 
Góc giữa SC và 
là 60 . Tính thể tích khối chóp SABCD.

Câu 12: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B với AC a biết SA vng
góc với đáy

 ABC 

SAB 
và SC hợp với 
mợt góc 30 . Tính thể tích khối chóp SABC.

Câu 13: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vng góc với đáy ABC
SBC 
và SA hợp với 
mợt góc 45 . Tính thể tích khối chóp SABC.

LOẠI 3: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CĨ CẠNH BÊN VNG GĨC ĐÁY KHI BIẾT GĨC
GIỮA HAI MẶT PHẲNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI (KIẾN THỨC CẦN NHỚ):
- Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau: Cho hai mặt phẳng

 P

và

 Q

cắt nhau

P
theo giao tuyến d . Từ một điểm I bất kì trên d ta dựng đường thẳng a trong   vng góc
Q
P
Q

với d và dựng đường thẳng b trong   vng góc với d . Khi đó góc giữa   và   là
góc giữa hai đường thẳng a và b.

- Diện tích hình chiếu của đa giác: S '  S .cos 
P
(với S là diện tích đa giác nằm trong   và S ' là diện tích hình chiếu vng góc của đa giác

đó trên

 Q , 

là góc giữa

 P

và

 Q )

Câu 14: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng
đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng
S . ABCD.

 SBD 

và

 ABCD 

là 30 . Tính thể tích khối chóp

Page 97

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
Câu 15: Cho khối chóp S . ABC có ABC là tam giác vng cân tại A, BC a 2, SA vng góc với
mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng
S . ABC.

 SBC 

và

 ABC 

là 45 . Tính thể tích khối chóp

Câu 16: Cho khối chóp S . ABC có cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng

 SBC 

và

 ABC 

là 60 . Tính thể tích khối chóp S . ABC biết SA a và diện tích tam giác

SBC bằng 3a 2 .

Câu 17: Cho khối chóp S . ABCD có ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy.
Góc giữa hai mặt phẳng

 SAD 

và

 SBC 

là 60 . Tính thể tích khối chóp S . ABCD.

Page 98

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
LOẠI 4. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CĨ CẠNH BÊN VNG GĨC VỚI ĐÁY KHI BIẾT
KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI (KIẾN THỨC CẦN NHỚ):
1) Cần nhớ kiến thức cơ bản về xác định khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên.

Xét tam giác SHM vuông tại H , HM vng góc với BC và HK là đường cao

 SBC  ta sử dụng công thức
 Tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt bên
HM .SH
HK 
HM 2  SH 2

 Tính độ dài cạnh SH ta sử dụng công thức
HM .HK
SH 
HM 2  HK 2
2) Trong trường hợp bài toán cho khoảng cách từ mợt điểm bất kì tḥc đáy đến mặt bên, ta
phải dùng tỷ lệ để đưa về khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên.
Câu 18: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Cạnh bên SA vng góc với mặt

 ABC  . Khoảng cách
đáy

d từ A

 SBC  bằng
đến mặt phẳng

a 15
5 . Tính VS . ABC .

Câu 19: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD 2a ; cạnh bên SA
vng góc với đáy. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
khối chóp S . ABCD .

 SBD 

2a
bằng 3 . Tính thể tích

Câu 20: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B , AD 2 BC ,

AB  BC a 3 . Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  . Gọi E là trung điểm
của cạnh AD , khoảng cách d từ điểm E đến mặt phẳng
chóp S . ABCD

 SCD 

a 3
bằng 4 . Tính thể tích khối
Page 99

Sưu tầm và biên soạn