RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CHO HỌC SINH THPT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
------

MÃ TRUNG DŨNG

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN
VỀ KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
CHO HỌC SINH THPT

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Nguyễn Anh Tuấn

Hà Nội, Năm 2015


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, PGS. TS Nguyễn Anh Tuấn,
người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ bộ môn Phương
pháp dạy học - Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tận tình giảng dạy,
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của Ban giám hiệu, các thầy
cô giáo trong tổ Toán - Tin trường THPT số 1 Bảo Thắng, Tỉnh Lào Cai đã tạo điều
kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt công việc học tập của mình.
Tác giả luận văn

Mã Trung Dũng


DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT

Viết tắt

Viết đầy đủ

ĐHSP

Đại học sư phạm

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

Nxb

Nhà xuất bản

PPDH

Phương pháp dạy học

THPT

Trung học phổ thông


MỤC LỤC


MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Môn Toán trong trường phổ thông trang bị cho học sinh những kiến thức
toán học phổ thông, cơ bản, hiện đại, rèn luyện các kĩ năng tính toán và phát triển tư
duy Toán học, góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và các năng lực trí tuệ
chung, đặc biệt là khả năng phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa. Do
đó rèn luyện kĩ năng giải toán là một trong những mục tiêu dạy học môn Toán.
Thông qua đó học sinh nắm vững và hiểu sâu kiến thức hơn, đồng thời học sinh
được tập dượt vận dụng những tri thức đã được trang bị vào các môn học.
Các bài toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện là một nội dung quan
trọng trong chương trình môn Toán trung học phổ thông, và cũng là dạng toán có
mặt hầu hết trong các kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông và thi tuyển sinh Đại
học. Việc trang bị kiến thức và rèn luyện kĩ năng giải toán về khoảng cách và thể
tích khối đa diện cho học sinh như thế nào để học sinh có kiến thức một cách hệ
thống và kĩ năng tốt là vấn đề được nhiều giáo viên chú ý và quan tâm.
Thực tế hiện nay, ở một số trường trung học phổ thông, kết quả của việc dạy
và học các bài toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện đạt được chưa cao. Vì
không có thời gian nên giáo viên không thể hướng dẫn tỉ mỉ học sinh trong giải
toán, còn học sinh cũng đã biết áp dụng công thức, biết các bước thực hiện để giải
bài toán, song vẫn còn nhiều lúng túng, hạn chế. Vì vậy, để rèn luyện cho học sinh
kĩ năng giải toán, nâng cao chất lượng dạy học, giáo viên cần đề xuất những biện
pháp thích hợp.
Vì những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “RÈN LUYỆN KĨ

NĂNG GIẢI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Xây dựng một giải pháp rèn luyện kĩ năng giải bài tập về khoảng cách, thể
tích khối đa diện trên cơ sở xác định những kĩ năng giải toán, lựa chọn xây dựng
một hệ thống bài tập và đề xuất biện pháp thực hiện trong dạy học giải toán thuộc
chủ đề nội dung trên ở trường THPT.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu những lí luận về dạy học giải toán, kĩ năng giải toán.

5


- Tìm hiểu nội dung và tình hình dạy học hình học cuối lớp 11 và đầu lớp 12
THPT từ góc độ rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
- Làm rõ những kĩ năng giải một số bài tập về khoảng cách, thể tích khối đa diện.
- Xác định định hướng để rèn luyện kĩ năng giải toán về khoảng cách, thể
tích khối đa diện.
- Xây dựng hệ thống câu hỏi, bài tập và đề xuất những biện pháp sư phạm để
rèn luyện kĩ năng về khoảng cách, thể tích khối đa diện.
- Thực nghiệm sư phạm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của giải pháp.
4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Quá trình dạy học giải toán về khoảng cách, thể tích khối đa diện.
- Nội dung và biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán về khoảng cách, thể tích
khối đa diện cho học sinh THPT.
- Nghiên cứu quá trình dạy học giải toán về khoảng cách và thể tích khối đa
diện cho học sinh ở trường THPT số 1 Bảo Thắng.
5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
- Nếu xây dựng được nội dung và biện pháp phù hợp trong dạy học giải toán
về khoảng cách và thể tích khối đa diện thì học sinh sẽ rèn luyện được kĩ năng giải

toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện, góp phần nâng cao chất lượng dạy học
nội dung này ở trường THPT.
6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Phương pháp nghiên cứu lí luận
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm
7. CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn bao
gồm ba chương
Chương 1 - Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2 - Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh thông qua nội dung
khoảng cách và thể tích khối đa diện ở trường THPT
Chương 3 - Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 - CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. BÀI TẬP TOÁN VÀ DẠY HỌC BÀI TẬP TOÁN
1.1.1. Bài tập toán

Hiện nay có nhiều quan niệm khác nhau về hai khái niệm Bài toán và Bài
tập. Tham khảo tài liệu [20], có thể thấy những quan niệm về các khái niệm này: bài
toán là tất cả những câu hỏi cần giải đáp về một kết quả chưa biết cần tìm bắt đầu từ
6


một số dữ kiện, hoặc về phương pháp cần khám phá, mà theo phương pháp này sẽ
đạt được kết quả đã biết. Tuy nhiên, cũng cần phân biệt giữa bài tập và bài toán. Để
giải bài tập, chỉ cần yêu cầu áp dụng theo khuôn mẫu các kiến thức, quy tắc hay
thuật toán đã học. Nhưng đối với bài toán, để giải được phải tìm tòi giữa các kiến
thức có thể sử dụng và việc áp dụng để xử lí tình huống còn có một khoảng cách, vì
các kiến thức đó không dẫn trực tiếp đến phương tiện xử lí thích hợp. Muốn sử

dụng được những điều đã biết, cần kết hợp, biến đổi chúng, làm cho chúng thích
hợp với tình huống. Như vậy, trong phạm vi dạy học toán, ta đồng nhất hai khái
niệm bài toán và bài tập.
1.1.2. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học

Trong thực tiễn dạy học môn toán, bài tập được sử dụng với các dụng ý khác
nhau về chức năng dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ làm việc với
nội dung mới, củng cố kiến thức, ôn tập hay kiểm tra đánh giá kiến thức của học
sinh, giúp giáo viên nắm bắt được thông tin hai chiều trong quá trình dạy học.
Trong cuốn “Phương pháp dạy học môn Toán” ([5]), tác giả Nguyễn Bá Kim viết:
Điều căn bản là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của HS. Vai trò của bài tập
toán thể hiện trên 3 bình diện:
•

Thứ nhất: Là giá mang HĐ để đạt được mục đích dạy học Toán.
Trên bình diện mục đích dạy học, bài tập ở trường phổ thông là giá mang

những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu.
Bài tập góp phần: hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn
khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn;
phát triển năng lực trí tuệ (rèn luyện những thao tác tư duy, hình thành những phẩm
chất trí tuệ); Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm
chất đạo đức của người lao động mới.
Ví dụ 1.1.
Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a.

7


Hình 1.1

Bài tập này góp phần củng cố tri thức về phân chia khối đa diện, khối bát diện
đều, khối tứ diện đều, công thức thể tích khối chóp, giúp HS hình thành kĩ năng tìm
hiểu nội dung bài toán và vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán.
•

Thứ hai: Là phương tiện để truyền tải nội dung:
Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập là giá mang những hoạt động

liên hệ với những nội dung nhất định, làm cho bài tập đó trở thành một phương tiện
để đặt nội dung dưới dạng những tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho
những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lí thuyết.

Hình 1.2
Ví dụ 1.2. Cho điểm O và mặt phẳng
điểm O đến mặt phẳng
bất kì của mặt phẳng

(α)

(α)

(α)

. Chứng minh rằng khoảng cách từ

là bé nhất so với khoảng cách từ điểm O tới một điểm

.

8

Bài tập này là phương tiện chứa đựng tri thức về khoảng cách từ điểm đến một
mặt phẳng. Qua bài tập GV bổ sung cho học sinh khía cạnh cực trị của khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng.
•

Thứ ba: Là phương tiện để thực hiện PPDH:
Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập là giá mang những hoạt động

để người học kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó, thực hiện các mục
tiêu dạy học khác. Khai thác tốt những bài tập như vậy, sẽ góp phần tổ chức cho học
sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo, được
thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Ví dụ 1.3. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết diện tích đáy ABC bằng B và
chiều cao bằng h.

Hình 1.3
a) Chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành ba khối tứ diện bởi các mặt phẳng (A’BC’) và
(A’BC), hãy kể tên ba khối tứ diện đó.
b) Chứng tỏ rằng ba khối tứ diện kể tên ở trên có thể tích bằng nhau.
c) Từ đó suy ra công thức

V = B.h.

Hãy phát biểu thành lời công thức đó.

Với bài tập này, GV có điều kiện tổ chức hoạt động nhận dạng định lí về công
thức thể tích khối chóp, chứng minh hai khối chóp có thể tích bằng nhau, phân tích,
tổng hợp và hoạt động ngôn ngữ cho HS.

1.1.3. Những yêu cầu của một lời giải toán

Lời giải của một bài toán được hiểu là một tập hợp đã xếp thứ tự các thao tác
cần thực hiện để đạt được mục đích nêu trong bài toán đó. Theo Nguyễn Bá Kim [5],
9


để phát huy tác dụng của bài tập toán, trước hết cần nắm vững các yêu cầu của lời giải.
Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt. Để thuận tiện cho việc thực hiện các yêu
cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học sinh, cần thiết phải cụ thể hóa
yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận nhưng yếu tố trùng lặp nhất định trong các yêu
cầu chi tiết:
- Lời giải phải cho kết quả đúng, kể cả các bước trung gian. Kết quả cuối cùng
phải là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, một hình vẽ,…thỏa mãn các yêu
cầu đề ra. Như vậy, lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, hình vẽ, biến đổi
biểu thức.
- Lập luận giải toán phải chặt chẽ. Một chứng minh bao gồm ba bộ phận: Luận
đề, luận chứng và luận cứ. Luận đề là một mệnh đề cần chứng minh, yêu cầu phải nhất
quán, nghĩa là không được đánh tráo. Luận cứ là những tiên đề, những định nghĩa và
những định lí đã biết, yêu cầu phải đúng. Luận chứng là những phép suy luận được sử
dụng trong chứng minh, yêu cầu phải hợp logic.
- Lời giải nên được chọn lựa từ nhiều cách giải khả dĩ khác nhau. Bài giải toán
được chọn để trình bày là lời giải ngắn gọn và hợp lí nhất.
Ví dụ 1.4.
Cho tứ diện OABC với OA = a, OB = b, OC = c. Các góc
cùng bằng

60 0

. Tính thể tích tứ diện OABC.

Lời giải:
Xét bài toán trong trường hợp đặc biệt a = b = c

ta được tứ diện đều cạnh a và

a3 2
V=
12

. Trên tia OB

lấy điểm B’, trên tia OC lấy điểm C’, sao cho
OB' = OC ' = a.

Ta được

10

·
AOB

,

·
BOC

,

·

COA


VOABC
a.b.c
abc 2
= 3 ⇒ VOABC =
VOA 'B'C'
a
12

Hình 1.4

.

Hình 1.5
Lời giải này đã thể hiện được kết quả chính xác của bài tập cũng như bước
trung gian là trường hợp tứ diện đều. Lập luận của lời giải này là chặt chẽ, từ luận cứ là
thể tích của khối tứ diện đều và định lí về tỉ số thể tích và những luận chứng logic để
đưa ra kết quả chính xác như yêu cầu của đề bài. Lời giải trên là ngắn gọn và hợp lí,
tuy nhiên cũng có thể giải bài tập này theo cách khác:
Lấy

∆OAB

làm đáy, tính khoảng cách CH từ C đến mặt phẳng (OAB) dựa vào

khoảng cách CE, CF từ C đến OA, OB.
OE = OF =

Ta có
OH =

Suy ra

c
2

.

OE
c
c 2
=
⇒ CH =
0
cos 30
3
3

Vậy ta có, thể tích khối chóp là:

1 ab 3 c 2 abc 2
1
.
=
VOABC = .SOAB .CH = .
3 4
12
3

3

.

1.2. KĨ NĂNG VÀ KĨ NĂNG GIẢI TOÁN
1.2.1. Kĩ năng

Theo từ điển Tiếng Việt [9] “kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học
vào thực tiễn” trong đó khả năng được hiểu là sức đã có (về một mặt nào đó) để có
thể làm tốt một công việc.
11


Như vậy kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào đó
theo một mục đích trong những điều kiện nhất định. Nếu ta tách riêng tri thức và kĩ
năng để xem xét thì tri thức thuộc về phạm vi nhận thức , thuộc về khả năng “biết”
còn kĩ năng thuộc về phạm vi hành động, thuộc khả năng “biết làm”.
Kĩ năng có những đặc điểm sau:
Kĩ năng nào cũng phải dự trên cơ sở lí thuyết - đó là kiến thức. Bởi vì cấu
trúc của kĩ năng bao gồm: hiểu mục đích - biết cách đi đến kết quả - hiểu những
điều kiện để triển khai các cách thức đó. Kiến thức là cơ sở của kĩ năng. Như vậy kĩ
năng giải toán cũng phải dựa trên cơ sở tri thức toán học (bao gồm tri thức sự vật,
tri thức phương pháp). Do vậy nói đến kĩ năng giải toán không thể tách rời với
phương pháp toán học nhằm hình thành và rèn luyện những kĩ năng đó.
Kĩ năng chỉ có thể hình thành trong hoạt động và bằng hoạt động. Kĩ năng và
tri thức thống nhất trong hoạt động. Tri thức là cần thiết để tiến hành các thao tác,
độ thành thạo của các thao tác được hiểu như là kĩ năng, các thao tác này được thực
hiện dưới sự kiểm tra của tri thức. Con đường đi từ chỗ có tri thức đến chỗ có kĩ
năng tương ứng đó là con đường tập luyện. Nội dung của sự luyện tập này rất phong
phú. Nói như vậy là để khẳng định vai trò quan trọng của việc tổ chức các hoạt

động học tập trong quá trình hình thành và phát triển kĩ năng cho học sinh. Nhưng
cũng đồng thời phải chú ý rằng các hoạt động phải được thực hiện nhiều lần, mang
tính liên tục và đến một mức độ nhất định nào đó, kĩ năng mới được hình thành.
Theo những cơ sở lí luận trên, chúng tôi hiểu: kĩ năng là khả năng thực hiện
được một việc nào đó. Kĩ năng chỉ được hình thành qua hoạt động và được biểu
hiện ra bởi hoạt động. Do đó, đánh giá kĩ năng phải thông qua phân tích, đánh giá
hoạt động. Kĩ năng thì gắn liền với kiến thức; không có kiến thức thì không có hiểu
biết để thực hiện hoạt động đó và do đó không có kĩ năng. Tri thức là điều kiện cần
để có kĩ năng, nhưng chưa đủ. Điều kiện đủ là học sinh phải tiến hành hoạt động
ứng với một kĩ năng nào đó nhiều lần, qua đó kĩ năng mới dần được hình thành và
phát triển.
1.2.2. Kĩ năng giải toán

1.2.2.1. Về kĩ năng giải toán
12


Theo G.Polya [13], trong Toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán,
thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng
minh nhận được. Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức Toán học để
giải các bài tập toán học. Kĩ năng giải toán dựa trên cơ sở tri thức Toán học bao
gồm: Kiến thức, kĩ năng và phương pháp. Học sinh sau khi nắm vững lí thuyết,
trong quá trình tập luyện, củng cố, đào sâu kiến thức thì kĩ năng được hình thành,
phát triển, đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hóa tri thức Toán học.
Do sự trừu tượng hóa trong Toán học diễn ra trên nhiều cấp độ nên cần rèn
luyện cho học sinh kĩ năng trên những bình diện khác nhau: Kĩ năng vận dụng tri
thức trong nội bộ môn Toán; kĩ năng vận dụng tri thức Toán học vào các môn học
khác nhau; và kĩ năng vận dụng Toán học vào thực tiễn đời sống.
Kĩ năng trên bình diện thứ nhất là một sự thể hiện mức độ thông hiểu tri thức
Toán học. Không thể hình dung một người hiểu tri thức Toán học mà lại không biết

vận dụng chúng để làm toán.
Kĩ năng trên bình diện thứ hai thể hiện vai trò công cụ của Toán học đối với
những môn học khác, điều này cũng thể hiện mối liên hệ liên môn giữa các môn
học trong nhà trường và đòi hỏi người giáo viên dạy toán cần có quan điểm tích hợp
trong việc dạy học bộ môn.
Kĩ năng trên bình diện thứ ba là mục tiêu quan trọng của môn Toán. Nó cũng
cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và đời sống.
Ví dụ 1.5. Kim tự tháp Kê-ốp ở Ai Cập (h.1.6) được xây dựng vào khoảng
2500 năm trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có
chiều cao 147m, cạnh đáy dài 230m. Hãy tính thể tích của nó.

13


Hình 1.6
Để giải quyết được bài tập này, HS cần có kĩ năng vận dụng Toán học vào
thực tiễn cuộc sống. Để có được kĩ năng này học sinh cần phải hiểu công thức thể
tích khối chóp, hiểu thế nào là chóp tứ giác đều và công thức tính diện tích hình
vuông. Từ việc giải quyết bài tập này HS thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học với
cuộc sống, ở đây thể hiện công cụ Toán học là nhờ phương pháp và công thức Toán
học người ta có thể tính được thể tích của Kim tự tháp. Đồng thời, nhờ học công
thức thể tích và vận dụng vào giải bài toán thực tế, thì HS có được kỹ năng tính toán
- là một trong những mục đích học Toán.
1.2.2.2. Nhóm kĩ năng cơ bản
• Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài toán:
Đó là kĩ năng phân tích bài toán để làm rõ dữ kiện đặt ra. Nếu bài toán có tính
chất là một vấn đề thì tìm khâu nào chưa biết một quy tắc tổng quát hoặc một
phương pháp có yếu tố thuật toán để giải bài toán và cần xác định đó là trọng tâm
suy nghĩ tìm hướng giải. Đây là kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, một trong
những kĩ năng quan trọng nhất khi gặp các bài toán có tính chất tìm tòi giải quyết

vấn đề. Học sinh cần làm rõ các thành phần, mối liên hệ (tường minh hoặc không
tường minh) qua các yếu tố (cho trước hoặc không cho trước) của bài toán.

14


Ví dụ 1.6. Cho tứ diện ABCD có AB = x, các cạnh còn lại có độ dài bằng a.
Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a và x.
Để phân tích, làm rõ dữ kiện đặt ra của bài toán:
+ HS cần viết giả thiết, kết luận của bài toán.
+ HS cần vẽ hình chính xác.

Hình 1.7
•

Kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược, hướng giải bài toán.
Học sinh cần huy động tri thức, kinh nghiệm của bản thân có liên quan để

giải bài toán, bao gồm hai dạng: Dạng 1 là hướng giải của học sinh tìm ra một cách
tích cực bằng các thao tác tư duy, bằng lao động trí óc và thực hành. Dạng 2 là
hướng giải được học sinh nhận ra xuất phát từ những ý tưởng “lóe sáng” tự phát,
được hiểu theo nghĩa “bừng sáng” của quá trình tư duy sáng tạo, chuyển dịch về
những vấn đề quen thuộc đã có thuật giải: quy nạp, tìm kiếm, dự báo, bổ sung vào
thuật giải đã có hoặc tìm kiếm thuật giải mới.
Ví dụ 1.7. Cho tứ diện ABCD có AB = x, các cạnh còn lại có độ dài bằng a.
Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a và x.
Để tìm ra hướng giải bài toán, GV có thể hướng dẫn HS thông qua hệ thống
câu hỏi:
+ Muốn tính thể tích khối chóp em sử dụng công thức nào?
+ Trong công thức ấy, Muốn tính V em phải tính đại lượng nào?

+ Trong bài toán đã cho, đâu là đáy B? đâu là chiều cao h?
+ Tính diện tích tam giác ABC.
+ Tính chiều cao DH dựa vào tam giác nào?
+ Tính CH như thế nào?
+ Suy ra DH như thế nào?
Từ đó tính thể tích khối tứ diện ABCD.
15


Qua việc hoạt động trên lớp, HS hình thành kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến
lược, hướng giải bài toán.
•

Kĩ năng kiểm tra đánh giá tiến trình và kết quả, tránh sai lầm khi giải toán.
Trong hoạt động giải toán, việc phát hiện và sửa chữa được sai lầm là một

thành công của người học toán. Khi mắc sai lầm trong giải toán, nếu học sinh tự
mình hoặc có học sinh khác, hoặc giáo viên giúp để học sinh nhận ra và sữa chữa
được sai lầm thì lần sau, khi gặp lại bài toán đó hoặc một bài toán tương tự, học
sinh sẽ nhận ra chỗ dễ mắc sai lầm, nhanh chóng vượt qua, tiến đến kết quả đúng.
Ví dụ 1.8.

Hình 1.8
Cho tứ giác có độ dài 4 cạnh là a, b, c, d và diện tích S. Chứng minh rằng
S≤

ab + cd
2

.

Nhiều HS giải bài toán như sau:

S = SABC + SACD =

Ta có
≤

ab sin B cd sin D
+
2
2

ab cd ab + cd
+
=
2
2
2

GV hướng dẫn HS nhận ra sai lầm là còn xét thiếu trường hợp khi cạnh có độ
dài a đối diện với cạnh có độ dài b. Từ đó HS có thể tránh được những sai lầm khi
xét trường hợp của các bài toán tương tự
•

Kĩ năng thu nhận, hợp thức hóa bài toán thành kiến thức mới của học sinh.

16


Ví dụ 1.9. Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt

lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S. Chứng minh rằng

VS.A 'B'C' SA ' SB' SC '
=
.
.
VS.A BC SA SB SC

.

Sau khi giải xong bài toán này, HS sẽ thu được phương pháp mới để tính thể
tích khối đa diện cũng như tỉ số thể tích của hai khối đa diện. Khi gặp bài toán thể
tích HS sẽ có nhiều phương án hơn, lời giải ngắn gọn hơn (ví dụ 4).
1.2.2.3. Nhóm kĩ năng chuyên biệt
a) Nhóm kĩ năng thực hành
• Kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán.
Kĩ năng này được rèn luyện trong quá trình tìm tòi lời giải của bài toán. Cần
chú ý, kĩ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch để nắm vững và vận dụng
kiến thức (một thành phần của tư duy Toán học), kĩ năng biến đổi xuôi chiều và
biến đổi ngược chiều song song với nhau giúp cho việc hình thành các liên tưởng
ngược diễn ra đồng thời với nhau giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược
diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận.
Ví dụ 1.10. Trong mặt phẳng Oxy, Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn
x 2 + y 2 +2ax +2by +c = 0

phương trình
.
Để giải bài toán này, HS cần phải nhận dạng được thế nào là phương trình
đường tròn, đồng thời bồi dưỡng tư duy của học sinh từ chỗ hiểu được phương trình

đường tròn là phương trình có dạng như thế nào sang phương trình cho trước có
phải là phương trình đường tròn hay không?
• Kĩ năng tính toán.
Đây là đòi hỏi cần thiết, thường gặp trong thực tiễn cuộc sống. Ở đâu cũng
đòi hỏi kĩ năng tính toán, đó là tính đúng, tính nhanh và tính hợp lí. Các đức tính để
có được kĩ năng này là cẩn thận, chu đáo, nhanh trí, kiên trì và luôn có ý thức tìm
tòi các phương pháp tính toán khác nhau. Kĩ năng tính toán được rèn luyện qua các
bài luyện tập, thông qua tính nhẩm, sử dụng bảng số, máy tính và thực hiện các
phép tính gần đúng.
Ví dụ 1.11. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a

17


Trong quá trình giải bài toán, HS cần tính diện tích một mặt của khối tứ diện
đều (chọn là mặt đáy), tính chiều cao tương ứng với mặt đáy đó và cuối cùng là tính
thể tích của khối tứ diện.
•

Kĩ năng trình bày lời giải khoa học; sử dụng biểu đồ, sơ đồ, đồ thị; đọc và vẽ

đồ thị chính xác, rõ ràng.
• Kĩ năng ước lượng, đo đạc có ý nghĩa giáo dục và ý nghĩa thực tiễn.
• Kĩ năng Toán học hóa các tình huống thực tiễn.
b) Nhóm kĩ năng về tư duy
• Kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức trong giải toán.
Đó là sắp xếp kiến thức theo trình tự giải, nhớ lại và huy động kiến thức,
kinh nghiệm hữu ích để giải toán. Là phân loại bài toán để lựa chọn kế hoạch và
phương pháp giải; tập hợp các dữ kiện, xác định ẩn, biểu thị qua các mối liên hệ;
xác định rõ giả thiết, kết luận phản ánh rõ các kí hiệu trong bài toán và biết sử dụng

các phương pháp suy luận, các phương pháp tư duy khái quát hóa, đặc biệt hóa,
tương tự hóa trong tiến trình giải toán; biết giải quyết từng cái riêng, bộ phận trong
bài toán. Từ đó, đi đến giải quyết cái chung, tổng thể của bài toán (và ngược lại).
• Kĩ năng tổng hợp.
Đó là kĩ năng liên kết các dữ kiện trong bài toán; khái quát các dấu hiệu, tóm
tắt nội dung bài toán; xác định rõ giả thiết, kết luận; kết cấu lại đề toán, định hướng
tiến trình bài giải toán.
• Kĩ năng phân tích.
Có kĩ năng này, học sinh biết phân tích các quan hệ và cấu trúc của bài toán;
nhận dạng các ý trọng tâm; dự đoán, phân tích và khắc phục các sai lầm trong quá
trình giải toán; phân loại các khả năng có lời giải hoặc cách đi đến lời giải và xác
định trọng tâm cần giải quyết trong bài toán.
• Kĩ năng mô hình hóa.
Hành động mô hình hóa bài toán là hành động chuyển bài toán thành mô
hình và phân tích quan hệ Toán học cũng như các phương pháp Toán học sử dụng
trên mô hình đó. Đây là một kĩ năng cần thiết để giải toán có ứng dụng thực tiễn và
các bài toán liên môn khác.
• Kĩ năng sử dụng thông tin.
Đó là kĩ năng cần thiết, thu nhập và ghi nhận thông tin từ nội dung bài toán;
phân loại, sắp xếp và thể hiện qua các kênh thông tin trong hoạt động giải toán để

18


tạo cơ sở huy động kiến thức, vốn kinh nghiệm có liên quan hữu ích đến việc giải
bài toán
1.2.3. Vai trò của dạy học giải toán với việc rèn luyện kĩ năng giải toán

Như chúng ta đã biết, cơ sở của kĩ năng là kiến thức. Người có kĩ năng thực
hiện một hành động nào đó phải biết vận dụng những khái niệm và những kiến thức

đã lĩnh hội được vào giải quyết những nhiệm vụ cụ thể; phải biết lựa chọn tri thức
một cách đúng đắn và phù hợp với mục tiêu của hành động.
Con đường đi từ kiến thức đến kĩ năng rất phong phú và nó phụ thuộc vào
nhiều “tham số” như kiến thức (xác định kĩ năng), yêu cầu rèn luyện kĩ năng, mức
độ chủ động, tích cực của học sinh. Kĩ năng Toán học được hình thành và phát triển
thông qua việc thực hiện các hoạt động Toán học và các hoạt động học tập khác
trong môn Toán. Vì thế, con đường tốt nhất và đảm bảo tính sư phạm cho sự hình
thành kĩ năng là: học sinh - chủ thể hoạt động và thu nhận kĩ năng - tham gia các
quá trình dạy học giải toán bằng những hoạt động học tập, chủ động và tích cực.
Ví dụ 1.12. Cho tứ diện ABCD có AB = x, các cạnh còn lại có độ dài bằng a.
Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a và x.
GV tổ chức HS tham gia 4 bước của quy trình G.Polya
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài toán: HS phân tích, làm rõ dữ kiện đặt ra của
bài toán.
+ HS viết giả thiết, kết
luận của bài toán:
+ HS vẽ hình chính xác.
Bước 2: Tìm cách giải
Kĩ năng tìm kiếm, đề ra hướng giải bài
toán: HS xác định được công thức tính thể tích
khối tứ diện, xác định đáy của khối chóp, công
thức tính diện tích đáy và hướng tính độ dài
đường cao DH qua độ dài đoạn thẳng CH.

19


Kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán: HS vận dụng tri thức về
thể tích khối chóp, công thức diện tích tam giác, định lí Pythagore.

Kĩ năng tính toán: Tính độ dài đoạn thẳng, tính diện tích tam giác, tính thể
tích khối tứ diện.
Bước 3: Trình bày lời giải
Kĩ năng trình bày lời giải khoa học.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá tiến trình và kết quả của bài toán.
+ Có thể tính diện tích đáy ABC theo công thức Hê-rông hoặc công thức

1
S∆ABC = AB.AC.sinA
2

.

+ Có thể tính thể tích bằng cách chia khối tứ diện ABCD thành hai khối chóp
bằng nhau C.ABE và D.ABE với E là trung điểm của CD
Kĩ năng thu nhận, hợp thức hóa bài toán thành kiến thức mới của HS.
+ Nếu cho x = a, ta có ABCD là khối tứ diện đều.
+ Nếu coi a là hằng số thì thể tích ABCD là một hàm số theo biến x. Khi đó
ta có thể tìm x để thể tích ABCD là lớn nhất.

1.3. NỘI DUNG VÀ TÌNH HÌNH DẠY HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ
TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Ở TRƯỜNG THPT
1.3.1. Nội dung dạy học khoảng cách và thể tích khối đa diện
Trong chương trình THPT, vấn đề khoảng cách được trình bày trong bài
trong bài 5, bài cuối chương 3 hình học lớp 11. Với thời lượng 3 tiết, bài “§5.
Khoảng cách” trình bày khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một
mặt phẳng; Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau; Khoảng cách giữa đường
thẳng và mặt phẳng; Khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
Trong các loại khoảng cách thì vấn đề xét khoảng cách giữa hai đường thẳng

chéo nhau có phần rắc rối hơn cả. Để đơn giản, SGK chỉ đưa ra định nghĩa đường
vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và sau đó đưa ra định nghĩa

20


khoảng cách giũa hai đường thẳng này và trình bày cách tìm đường vuông góc
chung đó mà không chứng minh định lí về sự tồn tại và duy nhất của đường vuông
góc chung.
Trong khi làm toán, chúng ta thường thấy bài toán xác định đường vuông
góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thường khó hơn bài toán tìm khoảng
cách giữa hai đường thẳng đó. Khi nói về đường vuông góc chung của hai đường
thằng chéo nhau cần lưu ý cho học sinh chú ý tới hai tính chất quan trọng của
đường thẳng này là:
+ Vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau cho trước.
+ Cắt cả hai đường thẳng này.
Do tính chất của đoạn vuông góc chung so với các đoạn thẳng nối hai điểm
bất kì khác lần lượt nằm trên hai đường thẳng chéo nhau cho trước, người ta mới
đưa ra định nghĩa khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Còn vấn đề thể tích khối đa diện được trình bày trong 3 tiết ở bài 3, cuối
chương 1 hình học lớp 12. Bài “§3. Khái niệm thể tích khối đa diện” trình bày về
khái niệm thể tích khối đa diện, thể tích khối hộp chữ nhật, công thức tính thể tích
khối chóp, khối lăng trụ. Như vậy, nội dung bài học giúp cho học sinh biết khái
niệm về thể tích khối đa diện, biết công thức tính thể tích khối lăng trụ và khối chóp
và tính được thể tích khối lăng trụ, khối chóp.
Lí thuyết về thể tích của các khối đa diện khá phức tạp, không thể trình bày
một cách chặt chẽ và đầy đủ cho học sinh phổ thông. Chúng ta thừa nhận các tính
chất hiển nhiên sau của thể tích:
+ Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
+ Nếu một khối đa diện được phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể

tích của nó bằng tổng thể tích các khối đa diện nhỏ đó.
+ Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì có thể tích bằng 1.
Sau đó, tạm thời giả thiết rằng hàm thể tích V tồn tại (điều này được chứng
minh sau), ta tìm công thức tính thể tích khối lăng trụ và khối chóp. Ta có:
Thể tích V của khối hộp chữ nhật với ba kích thước a, b, c là

V = abc

. (Công

thức này hiển nhiên đúng khi a, b, c là những số nguyên, khi chúng là số thực bất kì,
ta phải dùng đến phép tính về giới han).
21


Thể tích của khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông bằng Bh, trong đó
B là diện tích đáy của lăng trụ và h là chiều cao của lăng trụ. (Bằng cách ghép hình
lăng trụ đứng như thế với một khối lăng trụ bằng nó sao cho ta được một khối hộp
chữ nhật, ta suy ra điều phải chứng minh).
Thể tích của khối lăng trụ đứng bất kì bằng Bh, trong đó B là diện tích đáy và h
là chiều cao của lăng trụ. (Chứng minh bằng cách chia hình lăng trụ đứng đã cho thành
các hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông. Muốn vậy ta chia đáy hình lăng trụ đã
cho thành các tam giác, và mỗi tam giác chia thành hai tam giác vuông).
Thể tích của khối chóp tam giác bằng

1
Bh
3

với B là diện tích đáy, h là chiều

cao. (Dùng phương pháp giới hạn).
Từ những công thức tính thể tích trên, ta suy ra rằng nếu hàm thể tích tồn tại
thì nó là duy nhất. SGK trình bày phần này đúng theo trình tự trên, tuy nhiên bỏ qua
những chứng minh phải dùng giới hạn.
1.3.2. Thực tế rèn luyện kĩ năng giải toán về khoảng cách và thể tích khối đa
diện ở một số trường THPT tỉnh Lào Cai
Để đề ra được các giải pháp tốt cho việc rèn luyện kĩ năng giải toán về
khoảng cách và thể tích khối đa diện thì một nhiệm vụ quan trọng của đề tài là phải
điều tra và đưa ra nhận xét cụ thể về việc: Trong thực tế ở trường THPT, giáo viên
và học sinh đã tiến hành “Giải bài toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện”
như thế nào? Những mặt nào tốt và những mặt nào còn chưa tốt? Những khó khăn,
tồn tại nào mà học sinh đang gặp khi giải toán về khoảng cách và thể tích khối đa
diện? Vì thế, chúng tôi đã phát phiếu thăm dò và nói chuyện với 11 thầy cô trong tổ
Toán, trường THPT số 1 Bảo Thắng về thực tế dạy và học giải toán về khoảng cách
và thể tích khối đa diện hiện nay.
PHIẾU THĂM DÒ
Câu hỏi 1: Việc rèn luyện kĩ năng giải toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện
cho HS có quan trọng không? Tại sao?
Câu hỏi 2: Thầy cô có thường xuyên rèn luyện kĩ năng giải toán về khoảng cách và
thể tích khối đa diện cho HS không?
22


Câu hỏi 3: Thầy cô thường xuyên gặp khó khăn gì khi rèn luyện kĩ năng giải toán về
khoảng cách và thể tích khối đa diện cho HS?
Chúng tôi đã nhận, tổng hợp và phân tích một số kết quả như sau:
- Trả lời câu hỏi 1: Đa số các thầy cô coi việc rèn luyện kĩ năng giải toán về
khoảng cách và thể tích khối đa diện cho HS là thật sự quan trọng. Vì:
+ Việc rèn luyện kĩ năng này giúp HS nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khác

nhau; có thói quen, động lực tìm lời giải tối ưu cho các bài toán.
+ Trong đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi tuyển sinh cao đẳng, đại học tần số
xuất hiện của bài toán khoảng cách, thể tích khối đa diện là rất lớn. Có kĩ năng giải
toán về khoảng cách, thể tích khối đa diện HS có công cụ tốt để giải nhiều bài tập
có liên quan.
- Trả lời câu hỏi 2: Việc rèn luyện kĩ năng giải toán về khoảng cách, thể tích
khối đa diện hiện nay ở trường chưa được chú trọng đúng mức. Hơn nửa số thầy cô
được hỏi đã không chú trọng rèn luyện kĩ năng này cho HS trong vài năm gần đây.
Một số thầy cô có giới thiệu các dạng toán và các bước thực hiện cho HS song
không thành hệ thống hoặc không có kế hoạch cụ thể, mà thường rải rác trong các
tiết ôn tập chương, ôn tập cuối năm. Đa số các thầy cô cho rằng: có quá ít thời gian
trong phân phối chương trình để rèn luyện kĩ năng cho HS vì hoạt động rèn luyện kĩ
năng cho HS luôn đòi hỏi nhiều thời gian. Ngoài ra, tuy tài liệu về bài toán khoảng
cách, thể tích khối đa diện rất phong phú, song việc chọn lựa hệ thống bài tập như
thế nào cho phù hợp với điều kiện về thời gian, trình độ của HS là vấn đề tương đối
khó khăn đặc biệt với GV trẻ, ít kinh nghiệm.
- Trả lời câu hỏi 3: Theo các thầy cô có chú ý đến việc rèn luyện kĩ năng giải
toán về khoảng cách, thể tích khối đa diện cho HS, nội dung này còn một số khó
khăn tồn tại. Về mặt nội dung, kiến thức cần thiết để giải bài tập nằm rải rác ở toàn bộ
chương trình. Ví dụ như kiến thức về diện tích tam giác ở lớp 10, kiến thức về quan
hệ vuông góc ở lớp 11 và kiến thức về phân chia khối đa diện ở lớp 12. Đây đều là
những nội dung kiến thức khó, không phải HS nào cũng ghi nhớ được. Về mặt
phương pháp, hoạt động dạy học thường thấy ở tiết luyện tập (GV giao bài tập, HS
suy nghĩ, em nào làm được sẽ trình bày lên bảng, GV chữa bài, nhận xét rồi chuyển
23


sang bài tập khác) tỏ ra không có hiệu quả tốt. Mặt khác, HS thường gặp một số khó
khăn, sai lầm trong giải toán về khoảng cách, thể tích khối đa diện như sau:
+ HS vẽ hình chưa đạt, hình còn rối, gây cảm trở việc nhìn hình vẽ để tư duy

giải toán.
+ HS chưa xác định được hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng (hoặc
đường thẳng), chưa xác định được đường cao của khối đa diện.
+ HS không xác định được hoặc xác định sai các yếu tố như góc giữa hai
đường thăng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng…
+ HS tính toán chiều cao, diện tích đáy và thể tích khối chóp còn nhầm lẫn.
+ HS trình bày lời giải chưa rõ ràng
Trước tình hình thực tế như vậy, chúng tôi nhận thấy rằng: Việc lựa chọn,
phân tích và phân loại các bài tập đa dạng, hợp lí theo từng chủ đề kiến thức hoặc
từng phương pháp giải toán và việc đề xuất những biện pháp sư phạm hợp lí sử
dụng hệ thống bài tập này là cần thiết đối với hoạt động rèn luyện kĩ năng giải toán
khoảng cách và thể tích khối đa diện.

1.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương 1, chúng tôi đã nghiên cứu những vấn đề lí luận cơ bản liên
quan đến bài tập toán vai trò của bài tập toán đối với việc hình thành và phát triển kĩ
năng của HS, những yêu cầu của một lời giải toán; cũng như khái niệm kĩ năng nói
chung. Các hoạt động thành phần tương ứng với các kĩ năng cần được rèn luyện của
quá trình giải toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện đã được trình bày và
được coi là cơ sở để chúng tôi xác định những biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện
kĩ năng giải toán cho HS, được làm rõ ở chương 2.
Mặt khác, thông qua phương pháp nghiên cứu tài liệu (chương trình, SGK,
sách chuyên ngành, bài báo, luận văn) và điều tra thực tế (phiếu điều tra, phỏng
vấn), ở chương 1, chúng tôi đã tìm hiểu thực trạng tình hình dạy và học nội dung
khoảng cách và thể tích khối đa diện ở trường THPT, xem xét từ góc nhìn “rèn
luyện kĩ năng giải toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện cho HS”
Dựa trên việc phân tích, đánh giá cơ sở lí luận và thực tiễn kể trên, chúng tôi
nhận thấy sự cần thiết, cũng như cơ sở định hướng cho giải pháp sư phạm giúp hình
thành và phát triển kĩ năng giải toán về khoảng cách, thể tích khối đa diện. Từ đó,
24

lựa chọn, phân loại để xây dựng một hệ thống bài tập; đồng thời đề xuất một số biện
pháp sư phạm cụ thể trong dạy học, nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS.
Những vấn đề chi tiết đó sẽ được trình bày ở chương tiếp theo.

25