Phuong phap luong giac hoa

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
Trần Phạm Hoàng Long, Nguyễn Xuân Trung, Đinh Ngọc Hồ,Huỳnh Thị Thùy Như
Lớp 10T1 trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long
Email:
I/ Lời mở đầu
Để giải các bài toán đại số và một số bài toán giải tích như chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức,
giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, khảo sát các giá trị của hàm số, tìm giới hạn của dãy
số,...trong một số trường hợp ta có thể chuyển chúng sang các bài toán lượng giác, công việc đó được gọi là
lượng giác hóa.Việc lượng giác hóa 1 bài toán được tiến hành thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biến
tham gia trong bài toán, mà việc nắm bắt các dấu hiệu đó thông qua miền giá trị và các công thức lượng giác
thông dụng. Sau đây là một số dấu hiệu cơ bản nhằm góp phần giúp chúng ta phát hiện và định hướng
phương pháp lượng giác hóa hiệu quả hơn.
II/ Các dấu hiệu
Ta có các dấu hiệu:
1/
Nếu có điều kiện của biến
x
là
x a≤
( 0)a ≥
, ta có thể đặt:
sinx a t=
, với
,
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 

hoặc
cosx a t=
, với
[ ]
0,t
π
∈
.
Trong trường hợp riêng:
 Nếu
0 x a
≤ ≤
, ta có thể đặt:
sinx a t
=
, với
0,
2
t
π
 
∈
 
 
hoặc
cosx a t=
, với
0,
2
t

π
 
∈
 
 
.
 Nếu
0a x− ≤ ≤
, ta có thể đặt :
sinx a t=
, với
,0
2
t
π
 
∈ −
 
 
hoặc
cosx a t=
, với
,
2
t
π
π
 
∈
 

 
.
2 /
Nếu có điều kiện của biến
x
là
x a≥

( 0)a ≥
, ta có thể đặt:
sin
a
x
t
=
, với
{ }
, \ 0
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 
hoặc
cos
a
x
t

=
, với
[ ]
0, \
2
t
π
π
 
∈
 
 
.
3/
Nếu biến
x
∈
¡
, ta có thể đặt:
tanx t=
, với
,
2 2
t
π π
 
∈ −
 ÷
 
hoặc

cotx t=
, với
( )
0,t
π
∈
.
Trong trường hợp riêng:
 Nếu
0x ≥
, ta có thể đặt:
tanx t=
, với
0,
2
t
π
 
∈
÷

 
hoặc
cotx t=
, với
0,
2
t
π
 

∈


 
.
 Nếu
0x
≤
, ta có thể đặt :
tanx t=
, với
,0
2
t
π
 
∈ −


 
hoặc
cotx t=
,với
,
2
t
π
π
 
∈

÷

 
.
4 /
Nếu hai biến
,x y
thỏa mãn điều kiện
2 2 2 2 2
a x b y c+ =
, với
, , 0a b c∈
, ta đặt :
sin
cos
ax
t
c
by
t
c

=




=



⇔

sin
cos
c t
x
a
c t
y
b

=




=


Trong trường hợp này nếu cần sử dụng tới dấu của
x
và
y
ta có thể hạn chế góc
t
, ví dụ nếu có
, 0x y >

thì

0
2
t
π
< <
.
III/ Các biểu thức thường được lượng giác hóa
Biểu thức Cách lượng giác hóa biểu thức
2 2
a x−
sinx a t=
với
,
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 
hoặc
cosx a t=
với
0,
2
t
π
 
∈
 

 
2 2
x a−
sin
a
x
t
=
với
{ }
, \ 0
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 
hoặc
cos
a
x
t
=
với
[ ]
0, \
2
t
π

π
∈
2 2
a x+
tanx a t=
với
,
2 2
t
π π
 
∈ −
 ÷
 
hoặc
cotx a t=
với
( )
0,t
π
∈
a x
a x
+
−
hoặc
a x
a x
−
+

cos2x a t
=
( ) ( )
x a b x− −
( )
2
sinx a b a t= + −
1
a b
ab
+
−
tan
tan
a
b
α
β
=


=

, với
, ,
2 2
π π
α β
 
∈ −

 ÷
 
IV/ Các ví dụ
1. Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
1.1 Bài toán 1: Giải hệ phương trình:
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
1 1
1 2 2
1 2 3
xy
z y y
x z z

=


− =


− =


Lời giải
Hệ tương đương với.

2
2
1
2
1
2
1
xy
y
z
y
z
x
z


=


=

−


=


−
Nếu
1y

= ± ⇒
vô lí;
1z
= ± ⇒
vô lí.
Đặt
tanx a
=
;
tany b
=
;
tanz c
=
. Ta có
( )
tan cot 4a b
=
;
( )
tan cot 2 5c b
=
;
( )
tan cot 2 6a c
=
Khi đó:
2 ; 2c b k a c l
π π
= + = +

4 2a b k l
π π
⇒ = + +
Thay vào (4):
tan(4 2 ) cotb k l b
π π
+ + =
5
2 10 5
m
b m b
π π π
π
⇔ = + ⇔ = +
Ta có các trường hợp sau:
( )
3
10 10
7 9
10 10
5
10
b n b n
b n b n
b n loai
π π
π π
π π
π π
π

π
= + = +
= + = +
= +
Nếu
4 2
tan ; tan ; tan
10 10 10 10
b n x y z
π π π π
π
= + ⇒ = = =
Nếu
3 2 3 6
tan ; tan ; tan
10 10 10 10
b n x y z
π π π π
π
= + ⇒ = = =
Nếu
7 8 7 4
tan ; tan ; tan
10 10 10 10
b n x y z
π π π π
π
= + ⇒ = = =
Nếu
9 6 9 8

tan ; tan ; tan
10 10 10 10
b n x y z
π π π π
π
= + ⇒ = = =
1.2 Bài toán 2: Cho hệ phương trình
2 2
2 2
4
9
z 6
x y
z v
xv y

+ =

+ =


+ ≥

Tìm nghiệm của hệ để
zx
max
Lời giải
Đặt
2cosx a
=

;
2siny a
=
;
3cosz b
=
;
3sinv b
=

[ ]
, 0;2a b
π
∈
. Khi đó:
( )
z 6 6 cos .sin sin .cos 6xv y a b a b
+ ≥ ⇔ + ≥
( ) ( )
6sin 6 sin 1a b a b
⇔ + ≥ ⇔ + ≥
Mà
( )
sin 1a b
+ ≤
( )
sin 1a b
⇒ + =
( )
( )

1
2
5
2
2
a b
a b
π
π

+ =

⇒


+ =


vì
[ ]
, 0;2a b
π
∈
Khi đó:
( ) ( )
z 6cos .cos 3 cos cosx a b a b a b
= = + + −
 
 
( )

3cos a b
= −
( )
max cos 1a b a b
⇔ − = ⇔ =
Kết hợp với (1)
4
a b
π
⇒ = = ⇒
nghiệm là:
3 2
2;
2
x y z v
= = = =
Kết hợp với (2)
5
4
a b
π
⇒ = = ⇒
nghiệm là:
3 2
2;
2
x y z v
= = = = −
1.3 Bài toán 3: Giải phương trình:
2 2

cos 3 sin 2 sin 5 sin cos5x x x x x
+ + =
Lời giải
Ta có :
( ) ( )
2 2
cos sin sin sin 1x y x y x y
+ + − + =
( phần CM xin để cho các bạn)
Do đó
2 2
cos 3 sin 2 sin5 sin 1x x x x
+ + =
Vậy phương trình đã cho tương đường với
cos5 1x
=
5 2x k
π
⇔ =
2
5
k
x
π
⇔ =
1.4 Bài toán 4: Giải phương trình
( )
2
3sin 4cos 5 4 tan 3x x x
+ = + −

Lời giải
Ta có
3sin 4 cos 5x x
+ ≤
( )
2
5 4 tan 3 5x
+ − ≥
Do đó phương trình đã cho tương đương với hệ:
( )
2
3sin 4 cos 5
1
tan
2 3
5 4 tan 3 5
x x
x
x
+ =


⇔ =

+ − =


1.5 Các bài toán tự giải:
1.5.1 Giải phương trình
( )

5
3sin 4cos 25 5sin 3x x x
+ = + −
1.5.2 Giải hệ phương trình
6 6
6 6
1
sin cos
4
1
sin cos
4
x y
y x

+ =




+ =


1.5.3 Giải hệ phương trình
sin sin
2
0, ,
2
x y x y
x y

x y
π
π

− = −



+ =



<


1.5.4 Giải hệ phương trình
10 10
10 10
1
sin cos
16
1
sin cos
16
x y
y x

+ =





+ =


1.5.5 Giải hệ phương trình
2 2
2 2
4sin 1 cot
4cos 1 tan
x y
y x

= +

= +

2. Bất đẳng thức
2.1 Bài toán 1: Cho bốn số
, , ,u v x y
thoã mãn điều kiện
2 2 2 2
1u v x y+ = + =
Chứng minh rằng
( ) ( )
2u x y v x y
+ + − ≤
Lời giải
Đặt
sin

cos
sin
cos
u
v
x
y
α
α
β
β
=


=


=


=

và
( ) ( )
A u x y v x y
= + + −
.
Ta có
( ) ( )
sin sin cos cos sin cosA

α β β α β β
= + + −
( ) ( )
sin cos
α β α β
= + − −
2 sin 2
4
π
α β
 
= + − ≤
 ÷
 
Vậy
( ) ( )
2u x y v x y
+ + − ≤
(điều phải chứng minh)
2.2 Bài toán 2: Chứng minh rằng
( ) ( )
3 3
2 2
1 1 1 1 2 2 2 2x x x x
 
+ − + − − ≤ + +
 
 
Lời giải
Điều kiện có nghĩa

1x
≤
Đặt
cosx
α
=
với
[ ]
0;
α π
∈
Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng
( ) ( )
3 3
1 sin 1 cos 1 cos 2 2 2 sin
α α α α
 
+ + − − ≤ +
 
 
( )
3 3
2 2 cos sin cos sin 2 2 sin
2 2 2 2
α α α α
α
  
⇔ + − ≤ +
 ÷ ÷
  

( ) ( )
2 cos 2 sin 2 2 sin
α α α
⇔ + ≤ +