Tải bản đầy đủ (.doc) (12 trang)

Gián án Phương pháp lượng giác hóa

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (281.67 KB, 12 trang )

Trong quá trình học tập, tôi cảm thấy lượng giác là một phương pháp rất hay trong việc giải quyết nhiều bài toán số
học, sau đây là một trong những ví dụ như vậy.
I-Một số cách chuyển bài toán qua lượng giác:

( )
x k k≤ >

[ ]
  x kc
α α π
= ∈

  
 
x k
π π
α α
 
= ∈ −
 
 


x∈ ¡

  
 
x
π π
α α
 


= ∈ −
 ÷
 

!"#
( )
    
  a x b y c a b c+ = >

#
[ ]
    
c c
x y c
a b
α α α π
= = ∈
$%&"
x y z xyz+ + =

xy yz zx+ + =
'(
    x y z
α β γ
= = =
)*
  
 
π π
α β γ

 
∈ −
 ÷
 

+,"-(./01#
Biểu thức Cách đặt x Miền giá trị của biến
 
x a+
x a
α
=

 
π π
α
 
∈ −
 ÷
 
 
a x−


x ac
x a
α
α
=



=

[ ]
a
π


 
π π
α
 
∈ −
 
 
 
x a−

a
x
c
α
=
!
 
 
π π
α π
   
∈ ∪

÷ ÷
 
   

x y
xy
+



x y
xy

+


x
y
α
β
=


=

 
 
π π
α β
 

∈ −
 ÷
 
II-Ứng dụng của phương pháp:
1. Chứng minh các hệ thức đại số:
Bài toán 1:(Đại học Dược Hà Nội 1995)
2%&3)45
xy yz zx+ + =
678(.#
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
     
  
     
  
y z z x x y
M x y z
x y z
+ + + + + +
= + +
+ + +
Giải:9
        

x y z
π
α β γ α β γ
 
= = = ∈
 ÷
 

:;4
      

π
α β β γ γ α α β γ
+ + = ⇒ + + =

:
( ) ( ) ( ) ( )
   

   
     
 
 
      
y z
c
x
x c c c
β γ
α α
α α
α β γ β γ
+ + + +
= = =
+ +
( )

   

   
   
c
c c
yz
c c c c
β γ
β γ β γ
β γ
β γ β γ
+

= = = − = −

:/<=(.>?@/A#
B C B C B C ! B C M yz zx xy xy yz zx= − + − + − = − + + =
Bài toán 2:2a, b, c > 045ab+bc+ca=1.2.D#

( ) ( ) ( )
  
  
   
  
  
bc a ca b ab c
abc a b c
+ + =
+ + +
+ + +



Giải:9
       

a b c
π
α β γ α β γ
 
= = = ∈
 ÷
 
:E4#
      

π
α β β γ γ α α β γ
+ + = ⇒ + + =
:#
( ) ( )

 
 
  
    
c
bc a
β γ α
β γ α
= =
+ +

:/<=(.>?@/A)
( )
( )
  

                 

c c c
α β γ α α β β γ γ α β γ α β γ
= + + = + +

   $   

c
α β γ α β γ
=
BF'
  
α β γ π
+ + =
C
  

     
  
c
abc a b c
α β γ α β γ
= =
+ + +

B1C
Một số bài tập tự luyện:
Bài 1:2%G%&G&H 2.D#
C
     
$x y y z z x
x y y z z x
   
      
− − + − − + − − =
 ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷ ÷
      
   
C
( ) ( ) ( )
     
!x y z xyz x y z y z x z x y+ + − = + + + + +
Bài 2:2
  
    x y z x y z xyz> + + + =
2.D#

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
     
      xyz x y x y x z z x y+ = − − + − − + − −
Bài 3:2
   x y z xy yz zx xyz xyz+ + + + + = + ≠
2.D#
( ) ( ) ( )

  
  
  
  
$
x y z
x y z
x y z xyz
− − −
− − −
+ + =
Bài 4:2
     
B   C
     
x y z x y z
x y z
x y z x y z
+ + + + + +
+ + = ≠
− − − − − −
2.#

( ) ( )
( ) ( )


 
 


BC

 
x y xy
z
z
x y
+ −

=
+
+ +

( ) ( )
( ) ( )
 

 


BC

 
xy x y
z
z
x y
− − +
=
+

+ +
Bài 5:2%&3)45
x y z xy yz zx xyz+ + + + + = +
2.D

( ) ( )
   
%
G%   

s
z y z
yz
+ − + − +
=

2. Bất đằng thức, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Bài toán 1:(Đại học kiến trúc TP.HCM 1993).2.
x <
)?"-=I?*<'
#
( ) ( )
   BC
n n
n
x x+ + − <

Giải:F'
x <
I

( )
   x c
π
= ∈

( ) ( )
BC     
n n
n
c c⇔ + + − <
:#
( ) ( )
 
      
 
n n
n n
t t
c c c
 
+ + − = +
 ÷
 
F'

    
   
t t
c
π

< < ⇒ < <
I
   
    
   
n
t t t t
c c< <
   
      
   
n n n n
t t t t
c c
   
⇒ + < + <
 ÷  ÷
   


1
Bài toán 2:2
 
 $ $ x y x y+ − − + =
2.D#
( ) ( )
 
 !    ! $  ! ! $ ! x y xy x y
− + − + + − − + ≤
Giải::#

( ) ( )
 
 
 $ $    x y x y x y
+ − − + = ⇒ − + − =
9
( )
           x y c x y c
α α α π α α
− = − = ∈ ⇒ = + = +
( ) ( )
 
 !    ! $  ! ! $ !  
J
A x y xy x y
π
α
 
= − + − + + − − + = −
 ÷
 

K%
A ≤
B1C
Bài toán 3:2
( )
L
    
i

a i n n≤ ≤ = ∈¥
2.D#
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
     
   
      
n
n n
a a a a a a+ + + + − − − ≤
Giải:9
 
 
i
i i
a
α
π
α
 
= ≤ ≤
 ÷
 
)'
( )

  c i n
α
≥ =
I(I#
( ) ( ) ( )

     
          BCc c c c c c
α α α α α α
+ + + ≥ +
:%



 


 

i
i
c
α
α
α

=
+
%)BC
 
 
 
 
 
 
n n

i i
i i
i i
a a
a a
= =
 
− −
+ ≥ +
 ÷
+ +
 
∏ ∏
M%
( ) ( )
 
 
  
n n
n
i i
i i
a a
= =
+ + − ≤
∏ ∏
B1C
9N.4%
 


n
a a a⇔ = = = =

Bài toán 4::O
P

Q

R
?<
Q
S
Q
)
P

Q

R

T
S
Q

T
I
T
/
Q
#

xyy
xxy
P

CJB


++
+
=
)<
Q
%?
P
U
Q
/
R
%U
T
)
P

T

V
I
R
/
Q




=+
yx
(Đề thi tuyển sinh Đa
̣
i ho
̣
c, Cao đẳng 2008 – Khối B)
Giải: MI
R
/
Q



=+
yx

Q
1
Q
?I/<
T
I
Q
U/
Q
?/<

R

Q
#


=+
uu
FO
P
)S
R
%W
R
#H%H
X/<
Q
O
P
/
Q
?/<
R

Q

Q
#
uuu
uuu

P

CJB


++
+
=

J
++
+−
=
uu
uu
P
BLC
9I
T
O
P
I
P

Q

R

T
YI

Q
U
T
BLC
P
#
BYZJCGBYGCHZY BLLC
9I
P
I
R

Q
I
R

T
1/<O
P
BLLC?
P
#
( ) ( ) ( )

J PPP
−≥++−

!JJ

≤−+⇔

PP
!J
≤≤−⇔
P
FS
R
%
Q

R
?<
Q
S
Q

T
YW
P
!
Q

R

T
S
Q

T
YW
P

ZJ
Bài toán 5: :O
P

Q

R
?<
Q
S
Q
)
P

Q

R

T
S
Q

T
I
T
/
Q
#
+
+−=

xyP
)<
Q
%?
P
U
Q
/
R
%U
T
)
P

T

V
I
R
/
Q
#
[J!J

=+
yx
Giải:
\I
Q
U

T

[J!J

=+
yx
)I
P
]
R
#

!
$
!
J

=






+







yx
!
:O
V
I
Q
)I
R
W
R
#







=
=








=

=
uy
ux
u
y
u
x

$
!




!
$

!
J
^
Q
]/<
Q
]
R
?/<
R

Q
O

P
#YH
+
$
!
+−
uu
K/
T
]
R
S
Q
W
T
/
Q
#

 baubuaba
+≤+≤+−
:%# YH
$
+

J
[
+
=++
YH

$
++

J
[
+
=+−
Bài toán 6: :O
P

Q

R
?<
Q
S
Q
)
P

Q

R

T
S
Q

T


P
U
Q
#


$!
yx
xyy
P
+

=
Giải: \I
Q
U
T

P
Y)I
P
]
R
#









+








+









+
=



$!
yx
y
yx

x
yx
y
P
)
P

Q
%
Q
W
P
#

!


!

+−=
uu
IW
R
#


yx
x
u
yx

y
u
+
=
+
=
_
Q

Q

P
U
Q
Y]/<
Q
O
P
/
Q
?/<
R

Q
?
P
#
Y H!

Z$ 


!


!

+−=
uu
`
Q
1]
R
S
Q
W
T
/
Q
#

 baubuaba
+≤+≤+−
:/<
R
# YH$
YHa
Bài toán 6: 2%?
P
U
Q

]/<%U
T

T

V
#G%H
:O
P

Q

R

T
S
Q

T
I
T
/
Q
#
y
y
x
x
P


+

=

$
Giải: F<
Q
%3)
P
G%HIW
R
#





=
=
uy
ux











<<


π
u
_
Q

Q
YH
uu
uu
u
u
u
u






!!
+
=+
9W
R
H H


$

≤≤






+
tu
π
O
Q

!
CB

!

−−
==
t
tt
tfP
( )


!
CBb



$
<

+
−=
t
t
tf
IcBC
R
I
Q
I
de
FS
R
%#
CB
==
fP
Bài toán 7: :')-#


+
+
=
x
bax

y
@7?*fD$7gfDa
Giải: X-%7)*h)=8@?/AG

I(?/A6D
#H
α

^-%i#
ααα
α
α





ba
ba
y
+=
+
+
=





bba

y
++=
αα
j1]kU.#

 baubuaba
+≤+≤+−
:/A#





ba
b
y
++=





ba
b
y
+−=
9S%)')g%Ilm%))41/<'#
+

×