Chuyên đề 4: ( 6tiết) PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ doc

Chuyên đề 4: ( 6tiết)
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
*) KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một
tích của những đa thức .
2. Các phương pháp thông thường :
+) Phương pháp đặt nhân tử chung
AB + AC – AD = A(B+C-D).
+) Phương pháp dùng hằng đẳng thức :
A
2

2AB + B
2
= (A

B)
2

A
3


3A
2
B + 3AB
2


B
3

= (A

B)
3

A
2
– B
2
= (A-B)(A+B)
A
3
- B
3
= (A-B)( A
2
+ AB + B
2
)
A
3
+ B
3
= (A+ B)( A
2
–AB + B
2
)
+) Phương pháp nhóm các hạng tử :
AC –AD + BC – BD = (C –D )(A + B)

*) Nâng cao :
1. Dạng tổng quát của các hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, hiệu
hai lập phương là :
A
n
– B
n
= (A – B)(A
n-1
+ A
n-2
B + + AB
n-2
+ B
n-1
).
1. Dạng tổng quát của hằng đẳng thức tổng hai lập phương là :
A
n
+ B
n
= (A + B)(A
n-1
– A
n-2
B +A
n-3
B
2
- – AB

2
+ B
n-1
).
2. áp dụng vào tính chất chia hết :
A
n
– B
n


A – B với n

N và A

B ;
A
n
+ B
n


A + B với n lẻ và A

-B :
A
2k
– B
2k


A
2
– B
2
với k

N và A


B .
các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử :
a) x
2
– 6x + 8 ;
b) 9x
2
+ 6x -8 ;
Giải : Ba hạng tử của đa thức không có nhân tử chung , cũng không lập
thành bình phương của một nhị thức. Do đó ta nghĩ đến việc tách một hạng
tử thành hai hạng tử để tạo thành đa thức có bốn hoặc năm hạng tử.

a) Cách 1. x
2
-6x + 8 = x
2
– 2x – 4x + 8 = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x – 2)(x-
4)

Cách 2. x
2
– 6x + 8 = x
2
– 6x + 9 – 1 = (x -3)
2
- 1 = (x – 2)(x – 4)

Cách 3. x
2
– 6x +8 = x
2
- 4 - 6x+12 = (x+ 2)(x – 2)–6(x-2) =(x- 2)(x-
4)

Cách 4. x
2
– 6x+8 = x
2
- 16 – 6x+24 = (x+4)(x– 4) -6 (x- 4) = (x – 4)(x
– 2)

b) Có nhiều cách tách một hạng tử thành hai hạng tử khác, trong đó hai
cách sau là thông dụng nhất :
Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phương pháp
nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới.
9x
2
+6x – 8 = 9x
2

-6x + 12x – 8 = 3x(3x – 2) + 4(3x – 2) = (3x -2)(3x
+ 4)

Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạng
hiệu của hai bình phương.
9x
2
+ 6x – 8 = 9x
2
+6x+1-9 = (3x + 1)
2
- 3
2
= (3x +4)(3x -2).
*) Chú ý : Cách tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử dựa vào hằng
đẳng thức :

mpx
2
+ (mp +nq)x +nq = (mx +n)(px + q).
Như vậy trong tam thức bậc hai : ã
2
=bx + c, hệ số b được tách thành
b
1
+ b
2
sao cho b
1
b

2
=ac .
Trong thực hành ta làm như sau :
1. Tìm tích ac .
2. Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi
cách.
3. Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
Trong đa thức 9x
2
+ 6x -8 thì a=9, b=6, c = -8.
Bước 1 : Tích ac = 9 (- 8) = -72.
Bước 2 : Phân tích -72 ra tích hai thừa số trái dấu, trong đó thừa số dương có
giá trị tuyệt đối lớn hơn ( để tổng hai thừa số đó bằng 6).
-72 = (-1).72 = (-2).36 =(-3).24 =(-4) .18 = (-6).12 =(-8).9
Bước 3 : Chọn hai thừa số mà tổng bằng 6. Đó là -6 và 12.

Trong trường hợp tam thức
a
x
2
+ bx +c có b là số lẻ, hoặc a không là
bình phương của một số nguyên thì giải theo cách 1 gọn hơn cách 2.

Ví dụ 2 : Phân tích thành nhân tử :(x
2
+x)
2
+4x
2
+4x -12.

Giải : Ta nhận thấy nếu đặt x
2
+x =y thì đa thức có dạng y
2
+ 4y -12
là tam thức bậc hai đối với y. Ta có :

y
2
+4y -12 = y
2
+6y -2y -12 = y(y +6) – 2(y +6) =(y + 6)(y -2)= (x
2
+x
+6)(x
2
+x – 2)= (x
2
+ x +6)(x+2)(x – 1)
Cách làm như trên gọi là đổi biến.

Chú ý : Tam thức bậc hai
a
x
2
+bx +c sẽ không phân tích tiếp được nhân tử
trong phạm vi số hữu tỉ nếu :
Theo cách 1, khi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi
cách, không có hai thừa số nào có tổng bằng b, hoặc

Theo cách 2, sau khi đưa tam thức về dạng
a
x
2
– k thì k không là bình
phương của số hữu tỉ.

Tam thức x
2
+x +6 không phân tích thành nhân tử được nữa(trong
phạm vi số hữu tỉ) vì :
Theo cách 1, tích ac =6 =1.6= 2.3, không có hai thừa số nào có tổng
bằng 1.

Còn theo cách 2, x
2
+ x+6 = x
2
+ 2x.
2
1
+
4
1
+
4
23
= (x +
2
1

)
2
+
4
23
.
Ta thấy
4
23
không là bình phương của một số hữu tỉ.
Ví dụ 3: Phân tích thành nhân tử : x
3
+ 3x
2
– 4.

Giải : Ta tách các hạng tử của đa thức trên bằng phương pháp tìm nghiệm
của đa thức. Ta nhắc lại
a
là nghiệm của đa thức f
(x)
nếu f
(a)
= 0. Như vậy nếu
đa thức f
(x)
chứa nhân tử x-a thì a phải là nghiệm của đa thức. Ta lại chú ý
rằng, nếu đa thức trên có một nhân tử là x-a thì nhân tử còn lại là x
2
+ bx +

c, suy ra –ac = -4, tức là a phải là ước của -4. Tổng quát, trong đa thức với
hệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tử không đổi.
Ước của -4 là

1,

2,

4. Kiểm tra ta thấy -1 là nghiệm của đa thức. Như
vậy đa thức chứa nhân tử x-1, do đó ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất
hiện nhân tử chung x-1.

Cách 1. x
3
+3x
2
– 4
= x
3
-x
2
+ 4x
2
-4
= x
2
(x -1)+ 4(x-1)(x
2
+4x+4)
=(x-1)(x+2)

2
.

Cách 2 . x
3
+3x
2
– 4= x
3
-1 + 3x
2
-3
= (x-1)(x
2
+x+1) + 3(x-1)(x+4)
= (x-1)(x
2
+x+1+3x+3)
= (x-1)(x+2)
2
.
Ta cũng chú ý rằng nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức
chứa nhân tử x-1, nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng
tổng các hệ số bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử x+1

Ví dụ 4 : Phân tích thành nhân tử : 2x
3
-5x
2
+ 8x -3.

Giải : Các số

1,

3 không là nghiệm của đa thức, vậy đa thức không
có nghiệm nguyên. Nhưng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ. Trong đa thức
với hệ số nguyên , nghiệm hữu tỉ nếu có phải có dạng
q
p
trong đó p là ước
của hệ số tự do,q là ước dương của hệ số cao nhất. Như vậy nghiệm hữu tỉ
nếu có của đa thức trên chỉ có thể là

1,

2
1
,

3, hoặc

2
3
. Sau khi kiểm
tra ta thấy x=
2
1
là một nghiệm nên đa thức chứa nhân tử x-
2

1
hay 2x-1. Do
đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung 2x-1.
2x
3
-5x
2
+8x -3
= 2x
3
–x
2
-4x
2
+2x +6x -3
= x
2
(2x-1)-2x(2x-1) + 3(2x-1)
= (2x-1)(x
2
– 2x +3).
Có thể giải bài tập trên bằng phương pháp hệ số bất định : nếu đa thức trên
phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng :
(
a
x +b)(cx
2
+dx +m).
Phép nhân này cho kết quả :

a
cx
3
+(ad +bc)x
2
+(am +bd)x +bm.
Đồng nhất đa thức này với 2x
3
-5x
2
+8x -3, ta được
ac =2, ad +bc =-5, am +bd =8, bm =-3

Có thể giả thiết rằng a > 0 (vì nếu a < 0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử),
do đó a=1 hoặc a=2.
Xét a=2 thì c=1, ta có 2d +b =-5, 2m +bd =8, bm = -3 ;b có thể
bằng

1,

3.
Xét b =-1 thì m=3, d=-2 thoả mãn điều kiện trên.
Vậy a=2, c=1, b=-1, m=3, d=-2.
Ta có :
2x
3
-5x
2
+8x -3= (2x-1)(x
2

– 2x +3).

Ví dụ 5:
Cho x và y là hai số khác nhau, thoả mãn điều kiện :
9x(x-y) – 10(y –x)
2
= 0.
Chứng minh rằng: x = 10y.
Giải:
9x(x – y) – 10(y-x)
2
= 9x(x-y) -10(x-y)
2
=(x-y)[9x -10(x-
y)]=(x-y)(10y –x).
Theo đề bài ta có (x-y)(-x +10y) = 0.
Vì x

y nên –x +10y = 0 hay x = 10y.

C- CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập 1:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 5x(x -2y) + 2(2y –x)
2
; b) 7x(y -4)
2
– (4 –y)
3
;

c) (x
2
+4y
2
-5)
2
– 16(x
2
y
2
+2xy +1).
d) x
4
-25x
2
+20x -4; e) (a+b+c)
2
+(a-b+c)
2
- 4b
2
.
f) a
5
+ b
5
– (a+b)
5

Bài tập 2: Chứng minh rằng:

a) 43
2
+ 43. 17

60
b) 21
10
- 1

200
c) 2005
2007
+ 2007
2005


2006
d) 49
5
– 49

100.
Bài tập 3: Cho x
2
y-y
2
x + x
2
z – z
2

x+ y
2
z+z
2
y = 2xyz
Chứng minh rằng trong ba số x,y,z ít nhất cũng có hai số bằng nhau
hoặc đối nhau.

Bài tập 4 :
Phân tích thành nhân tử :
a) x
5
+x + 1
b) x
7
+ x
2
+ 1.
Bài tập 5 :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) A = (a-b)
3
+ (b-c)
3
+ (c-a)
3

b) B = (a+ b -2c)
3
+ (b + c -2a)

3
+ (c + a – 2b)
3
.
Bài tập 6 :
Phân tích đa thức A thành tích của một nhị thức bậc nhất với một đa
thức bậc ba với hệ số nguyên sao cho hệ số cao nhất của đa thức bậc ba là 1:
A = 3x
4
+ 11x
3
– 7x
2
– 2x + 1.
Bài tập 7 :
Phân tích đa thức B thành tích của hai tam thức bậc hai với hệ số nguyên :
B = x
4

– 6x
3
+ 11x
2
– 6x + 1.