Tải bản đầy đủ (.pdf) (9 trang)

CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN SO SÁNH HAI LUỸ THỪA potx

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (165.06 KB, 9 trang )

CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN SO SÁNH HAI LUỸ THỪA
1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.



+ Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (>0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn.



2. Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu
của phép nhân.
(a<b thì a.c<b.c với c>0).
Ví dụ: So sánh 32
10
và 16
15
, số nào lớn hơn.
Hướng dẫn:
Các cơ số 32 và 16 tuy khác nhau nhưng đều là luỹ thừa của 2 lên ta tìm cách đưa 32
10
và 16
15

về luỹ thừa cùng cơ số 2.
32
10
= (2
5
)
10


= 2
50

16
15
= (2
4
)
15
= 2
60

Vì 2
50
< 2
60
suy ra 32
10
< 16
15
.
Bài tập 1: So sánh:
Bài 1: So sánh các số sau?
a) 27
11
và 81
8
. b) 625
5
và 125

7
c) 5
36
và 11
24
d) 3
2n
và 2
3n
(n  N
*
)
Hướng dẫn:
a) Đưa về cùng cơ số 3. b) Đưa về cùng cơ số 5.
c) Đưa về cùng số mũ 12. d) Đưa về cùng số mũ n
Bài 2: a) 5
23
và 6.5
22
b) 7.2
13
và 2
16
c) 21
15
và 27
5
.49
8


Hướng dẫn:
a) Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau 5
22
.
b) Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 2
13
.
c) Đưa hai số về dạng một tích 2 luỹ thừa cơ số là 7 và 3.
Bài 3: a) 199
20
và 2003
15
.
b) 3
39
và 11
21
.
Hướng dẫn :
a) 199
20
< 200
20
= (2
3
.5
2
)
20
= 2

60
. 5
40
.
2003
15
> 2000
15
= (2.10
3
)
15
= (2
4
. 5
3
)
15
=
2
60
.5
45

b) 3
39
<3
40
= (3
2

)
20
= 9
20
<11
21
.
Bài 4: So sánh 2 hiệu,hiệu nào lớn hơn?
72
45
-72
44
và 72
44
-72
43
.
Hướng dẫn:
72
45
-72
44
=72
45
(72-1)=72
45
.71.
72
44
-72

44
=72
44
(72-1)=72
44
.71.
Bài 5: 2
7
và 7
2

Ta có: 2
7
= 128 ; 7
2
= 49
Vì 128 > 49 nên 2
7
> 7
2

Bài 6 a) 9
5
và 27
3
b) 3
200
và 2
300


a) Ta có: 9
5
= (3
2
)
5
= 3
10

27
3
= (3
3
)
3
= 3
9

Vì 3
10
> 3
9
nên 9
5
> 27
3

b) Ta có: 3
200
= (3

2
)
100
= 9
100

2
300
= (2
3
)
100
= 8
100

Vì 9
100
> 8
100 ;
nên 3
200
> 2
300

c, 3
500
và 7
300

3

500
= 3
5.100
= (3
5
)
100
= 243
100

Nếu m>n thì a
m
>a
n
(a>1).
Nếu a>b thì a
n
>b
n
( n>0).
7
300 =
7
3.100
. (7
3
)
100
= (343)
100


Vì 243
100
< 343
100
=> 3
500
< 7
300

d, 8
5
và 3 . 4
7
. 8
5
= (2
3
)+5 = 2
15
<3.2
14
=
3.4
7

=> 8
5
< 3 . 4
7


e, 202
303
và 303
202

202
303
=(202
3
)
201
; 303
202
= (303
2
)
101
Ta so sánh 202
3
và 303
2

202
3
= 2
3
. 101 . 101
3
và 303

2
=>
303
2
< 202
3
303
2
= 3
3
. 101
2
= 9.101
2

vậy 303
202
< 2002
303

f, 3
21
và 2
31

3
21
= 3 . 3
20
= 3. 9

10
; 2
31
= 2 . 2
30
= 2 . 8
10

3 . 9
10
> 2 . 8
10
=> 3
21
> 2
31

g, 11
1979
< 111980 = (11
3
)
660
= 1331
660

37
1320
= (37
2

)
660
= 1369
660
Vì 1369
660
> 1331
660
=> 37
1320
> 11
1979

Bài 7: So sách các cặp số sau:
a/ A = 27
5
và B = 243
3
Ta có A = 27
5
= (3
3
)
5
= 3
15

và B = (3
5
)

3
= 3
15
Vậy A = B

b/ A = 2
300
và B = 3
200


A = 2
300
= 3
3.100
= 8
100
và B = 3
200
= 3
2.100
= 9
100
Vì 8 < 9 nên 8
100
< 9
100
và A < B.
Bài 8: So sánh hai luỹ thừa sau:
31

11
và 17
14

Ta thấy 31
11
< 32
11
= (2
5
)
11
= 2
55
(1)
17
14
> 16
14 =
(2
4
)
14
= 2
56
(2)
Từ (1) và (2) 3
11
< 2
55

< 2
56
< 17
14

nên 31
11
< 17
14
Bài 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn
a)
30
10

100
2
b)
444
333

333
444

c)
40
13

161
2
d)

300
5

453
3

Bài 2: So sánh các số sau
a)
217
5

72
119
b)
100
2

9
1024

c)
12
9

7
27
d)
80
125


118
25

e)
40
5

10
620
f)
11
27

8
81

Bài 3: So sánh các số sau
a)
36
5

24
11
b)
5
625

7
125


c)
2
3
n

3
2
n

*
( )
n N
 d)
23
5

22
6.5

Bài 4: So sánh các số sau
a)
13
7.2

16
2
b)
15
21


5 8
27 .49

c)
20
199

15
2003
d)
39
3

21
11

Bài 5: So sánh các số sau
a)
45 44
72 72
 và
44 43
72 72
 b)
500
2

200
5
c)

11
31

14
17

d)
24680
3 và
37020
2
e)
1050
2

450
5
g)
2
5
n

5
2 ;( )
n
n N

Bài 6: So sánh các số sau
a)
500

3

300
7
b)
5
8

7
3.4
c)
20
99

10
9999

d)
303
202

202
303
e)
21
3

31
2
g)

1979
11

1320
37

h)
10
10

5
48.50
i)
10 9
1990 1990
 và
10
1991

Bài 7: So sánh các số sau
a)
50
107

75
73
b)
91
2


35
5
c)
4
54

12
21


Bài 8: Tìm xem 2
100
có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân
Bài giải:
Muốn biết 2
100
có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân ta so sánh
2
100
với 10
30

và 10
31
.
* So sánh 2
100
với 10
30


Ta có: 2
100
= (2
10
)
10
= 1024
10

10
30
= (10
3
)
10
= 1000
10

Vì 1024
10
> 1000
10

nên 2
100
> 10
30
(*)
* So sánh 2
100

với 10
31

Ta có: 2
100
= 2
31
. 2
69
= 2
31
. 2
63 .
2
6

= 2
31
. (2
9
)
7
. (2
2
)
3
= 2
31
.512
7

. 4
3
(1)
10
31
= 2
31
. 5
31
= 2
31
. 5
28
. 5
3
= 2
31
(5
4
)
7
. 5
3

= 2
31
. 625
7
. 5
3

(2)


Từ (1) và (2) ta có:
2
31
. 512
7
. 4
3
< 2
31
. 512
7
. 5
3

Hay 2
100
< 10
31
( **)
Từ (*),( **) ta có:
10
31
< 2
100
< 10
31


Số có 31 chữ số nhỏ nhất Số có 32 chữ số nhỏ nhất
Nên 2
100
có 31 chữ số trong cách viết ở hệ thập phân.
Bài 10: So sánh A và B biết.
a) A =
519
519
31
30


; B =
519
519
32
31



b)
32
32
20
18


; B =
32
32

22
20



c) A =
82
92
5 551
5 551


; B =
82
92
3 331
3 331




Bài giải:
A =
519
519
31
30


Nên 19A =

519
)519.(19
31
30


=
519
9519
31
31


= 1 +
519
90
31


B =
519
519
32
31


nên 19B =
519
)519.(19
32

31


=
519
9519
32
32


= 1 +
519
90
32



519
90
31

>
519
90
32


Suy ra 1 +
519
90

31

> 1 +
519
90
32

Hay 19A > 19B Nên A > B
b) A =
32
32
20
18


nên 2
2
. A =
32
)32.(2
22
182


=
32
122
20
20



= 1 -
32
9
20


B =
32
32
22
20


nên 2
2.
B =
32
)32.(2
22
202


=
32
122
22
22



= 1-
32
9
22



32
9
20

>
32
9
22

Suy ra 1 -
32
9
20

< 1-
32
9
22

Hay 2
2
A < 2
2

B
Nên A < B
c) Ta có:
A =
82
92
5 551
5 551


=
)1(55
5 551
1
5 551
)5 551(51
5 551
)5 55(1
8282
82
82
92










Tương tự B = )2(43
3 331
1
82


Từ (1) và (2) Ta có
A =
82
5 551
1

+ 5 > 5 > 4 >
82
3 331
1

+ 3 =B nên A > B

Bài tập 10: Cho A = 1 + 2 + 2
2
+ +2
30

Viết A + 1 dưới dạng một lũy thừa
Bài 4: Tìm x  N biết
a) 1
3
+ 2

3
+ 3
3
+ + 10
3
= ( x +1)
2

b) 1 + 3 + 5 + + 99 = (x -2)
2

Bài giải:
a) 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ + 10
3
= (x +1)
2

( 1+ 2 + 3+ + 10)
2
= ( x +1)
2

55
2

= ( x +1)
2

55 = x +1
x = 55- 1
x = 54
b) 1 + 3 + 5 + + 99 = ( x -2)
2

2
1
2
199








= ( x - 2)
2

50
2
= ( x -2 )
2

50 = x -2

x = 50 + 2
x = 52
( Ta có: 1 + 3 + 5+ + ( 2
n+1
) = n
2
)
Bài 5: Tìm 1 cặp x ; y  N thoả mãn
7
3
= x
2
- y
2

Ta thấy: 7
3
= x
2
- y
2

( 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ +7
3

) - (1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ + 6
3
) = x
2
- y
2

(1+ 2 + 3 + + 7)
2
- (1 + 2 + 3 + + 6)
2
= x
2
- y
2

28
2
- 21
2
= x
2
- y
2


Vậy 1 cặp x; y thoả mãn là:
x = 28; y = 21

Bài 2: Tìm x  N
*
biết.
A = 111 1 - 777 7 là số chính phương
2 x chữ số 1 x chữ số 7
Bài giải:
+ Nếu x = 1
Ta có: A = 11 - 7 = 4 = 2
2
(TM)
+ Nếu x > 1
Ta có A = 111 1 - 777 7 =
34
 2
2x chữ số 1 x chữ số 7 mà
34
 4
Suy ra A không phải là số chính phương ( loại)
Vậy x = 1
c) Dùng tính chất chia hết
Bài 1: Tìm x; y N biết:
35
x
+ 9 = 2. 5
y


*)Nếu x = 0 ta có:
35
0
+ 9 = 2.5
y

10 = 2.5
y

5
y
= 5
y =1
*) Nếu x >0
+ Nếu y = 0 ta có: 35
x
+ 9 = 2.5
0

35
x
+ 9 = 2 ( vô lý)
+ Nếu y > 0 ta thấy:
35
x
+ 9  5 vì ( 35
x
 5 ; 9  5 )
Mà 2. 5
y

 5 ( vô lý vì 35
x
+ 9 = 2.5
y
)
Vậy x = 0 và y = 1
Bài 1: Tính tổng.
A = 1 + 2 + 2
2
+ + 2
100


B = 3 - 3
2
+ 3
3
- - 3
100

Bài giải:
A = 1 + 2 + 2
2
+ + 2
100

=> 2A = 2 + 2
2
+ 2
3

+ + 2
101

=> 2A - A = (2 + 2
2
+ 2
3
+ + 2
101
) – (1 +2 + 2
2
+ +2
100
)
Vậy A = 2
101
- 1
B = 3 - 3
2
- 3
3
- 3
100

=> 3B = 3
2
- 3
3
+ 3
4

- 3
101

B + 3B = (3 - 3
3
+ 3
3
) - 3
100
) + ( 3
2
- 2
3
+3
4
- - 3
101
)
4B = 3 - 3
101

Vậy B = ( 3- 3
101
) : 4
Bài 2: a) Viết các tổng sau thành một tích:
2
2 2

;
2 3

2 2 2
 
;
2 3 4
2 2 2 2
  

b) Chứng minh rằng:
2 3 2004
2 2 2 2
A      chia hết cho 3; 7 và 15.
Bài 3: a) Viết tổng sau thành một tích
4 5 6 7
3 3 3 3
  

b) Chứng minh rằng:
2 99
1 3 3 3 40
B     
M

Bài 4: Chứng minh rằng:
a)
2 3 2004
1
5 5 5 5 6;31;156
S      M
b)
2 3 100

2
2 2 2 2 31
S     
M

c)
5 15
3
16 2 33
s  
M

Bài 5 Tính các tổng sau bằng cách hợp lý.
a)
0 1 2 2006
2 2 2 2
A      b)
2 100
1 3 3 3
B     
c)
2 3
4 4 4 4
n
C
    
d)
2 2000
1 5 5 5
D     

Bài 6 Cho
2 3 200
1 2 2 2 2
A       . Hãy viết A+1 dưới dạng một luỹ thừa.
Bài 7 Cho
2 3 2005
3 3 3 3
B      . CMR: 2B+3 là luỹ thừa của 3.
Bài 8 Cho
2 3 2005
4 2 2 2
C      . CMR: C là một luỹ thừa của 2.
Bài 9: Chứng minh rằng:
a)
5 4 3
5 5 5 7
 
M
b)
6 5 4
7 7 7 11
 
M
c)
9 8 7
10 10 10 222
  M
e)
6 7
10 5 59


M
g)
2 2 *
3 2 3 2 10
n n n n
n N
 
    M
h)
7 9 13
81 27 9 45
 
M
i)
10 9 8
8 8 8 55
 
M
k)
9 8 7
10 10 10 555
 
M

Bài 10 Tính nhanh
a. S = 1 + 2 + 2
2
+ 2
3

+ + 2
62
+ 2
63

b. S = 1 + 3 +3
2
+ 3
3
+ + 3
20

c. S = 1 + 4 + 4
2
+ 4
3
+ + 4
49

Bài 11 Tính tổng
a) A = 1 + 5
2
+ 5
4
+ 5
6
+ + 5
200

b) B = 7 - 7

4
+ 7
4
+ 7
301
Bài giải:
a) A = 1 + 5
2
+ 5
4
+ 5
6
+ + 5
200

25 A = 5
2
+ 5
4
+ + 5
202

25 A - A = 5
202
- 1
Vậy A = ( 5
202
-1) : 24
b) Tương tự B =
17

17
3
304



Bài 3: Tính
A =
7
1
+
2
7
1
+
3
7
1
+ +
100
7
1

B =
5
4
 +
2
5
4

-
3
5
4
+ +
200
5
4

Bài giải:
A =
7
1
+
2
7
1
+
3
7
1
+ +
100
7
1

7A = 1 +
7
1
+

2
7
1
+ +
99
7
1

=> 7A - A = 1 -
100
7
1
A =







100
7
1
1 : 6
B =
5
4
 +
2
5

4
-
3
5
4
+ +
200
5
4

5B = -4 +
5
4
+
3
5
4
+ +
201
5
4

B+5B = -4 +
200
5
4

B =








200
5
4
4 : 6
Bài 3: Tính
A =
125 252525
125 252525
2262830
4202428



Bài giải:
Biến đổi mẫu số ta có:
25
30
+ 25
28
+ 25
26
+ +25
2
+ 1
= (25

28
+ 25
24
+ 25
20
+ +1)+ ( 25
30
+ 25
26
+25
22
+ +25
2
)
= (25
28
+ 25
24
+ 25
20
+ 1) +25
2
. (25
28
+ 25
26
+ 25
22
+ + 1)
= (25

28
+ 25
24
+ 25
20
+ +1) . (1 + 25
2
)
Vậy A =
2
251
1

=
626
1

Bài tập 11: Viết 2
100
là một số có bao nhiêu chữ số khi tính giá trị của nó.
Bài tập 13: Tìm số tự nhiên
abc
biết (a + b + c)
3
=
abc
(a  b  c)
Bài tập 14: Có hay không số tự nhiên
abcd


(a + b + c + d)
4
=
abcd


×