độ đo và tích phân – nguyễn bích huy

GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)
Phần 3. Độ Đo Và Tích Phân
Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán
§1. Độ Đo
(Phiên bản đã chỉnh sửa)
PGS TS Nguyễn Bích Huy
Ngày 1 tháng 3 năm 2006
1 PHẦN LÝ THUYẾT
1. Không gian đo được
Định nghĩa :
1) Cho tập X = ø; một họ F các tập con của X được gọi là một σ −đại số nếu nó thỏa
mãn các điều kiện sau :
i. X ∈ F và nếu A ∈ F thì A
c
∈ F , trong đó A
c
= X \ A.
ii. Hợp c ủa đếm được các tập thuộc F cũng là tập thuộc F .
2) Nếu F là σ−đại số các tập con của X thì cặp (X, F ) gọi là một không gian đo được
; mỗi tập A ∈ F gọi là tập đo được (đo được đối với F hay F − đo được)
Tính chất
Giả sử F là σ−đại số trên X. Khi đó ta có :
1) ø ∈ X.
Suy ra hợp của hữu hạn tập thuộc F cũng là tập thuộc F .
2) Giao của hữu hạn hoặc đếm được các tập thuộc F cũng là tập thuộc F .
3) Nếu A ∈ F, B ∈ F thì A \ B ∈ F .
2. Độ đo
Định nghĩa :
Cho một không gian đo được (X , F )
1) Một ánh xạ µ : F −→ [0, ∞] được gọi là một độ đo nếu :
i. µ(ø) = 0

ii. µ có tính chất σ−cộng, hiểu theo nghĩa
∀{A
n
}
n
⊂ F, (A
n
∩ A
m
= ø, n = m) ⇒ µ(
∞

n=1
A
n
) =
∞

n=1
µ(A
n
)
2) Nếu µ là một độ đo xác định trên σ−đại số F thì bộ ba (X, F, µ) gọi là một không
gian độ đo
1
Tính chất :
Cho µ là một độ đo xác định trên σ−đại số F ; các tập được xét dưới đây đều giả thiết
là thuộc F .
1) Nếu A ⊂ B, thì µ(A) ≤ µ(B), hơn nữa nếu µ(A) < ∞ thì ta có
µ(B \ A) = µ(B) − µ(A)

2) µ(
∞

n=1
A
n
) ≤
∞

n=1
µ(A
n
).
Do đó, nếu µ(A
n
) = 0 (n ∈ N
∗
) thì µ(
∞

n=1
A
n
) = 0
3) Nếu A
n
⊂ A
n+1
(n ∈ N
∗

) thì µ(
∞

n=1
A
n
) = lim
n→∞
µ(A
n
)
4) Nếu A
n
⊃ A
n+1
(n ∈ N
∗
) và µ(A
1
) < ∞ thì
µ(
∞

n=1
A
n
) = lim
n→∞
µ(A
n

)
Quy ước về các phép toán trong R
Giả sử x ∈ R, a = +∞ hoặc a = −∞. Ta quy ước :
1) −∞ < x < +∞
2) x + a = a, a + a = a
3) x.a =

a , nếu x > 0
−a , nếu x < 0
, a.a = +∞, a.(−a) = −∞
4)
x
a
= 0
Các phép toán a − a, 0.a,
a
0
,
x
0
,
∞
∞
không có nghĩa.
Khi thực hiện các phép toán trong R ta phải hết sức cẩn trọng. Ví dụ, từ x + a = y + a
không suy ra được x = y (nếu a = ±∞).
Định nghĩa
Độ đo µ xác định trên σ−đại số F các tập con của X được gọi là :
1) Độ đo hữu hạn nếu µ(X) < ∞.
2) Độ đo σ− hữu hạn nếu tồn tại dãy {A

n
} ⊂ F sao cho
X =
∞

n=1
A
n
, µ(A
n
) < ∞ ∀n ∈ N
∗
3) Độ đo đủ nếu nó có tính chất
(A ⊂ B; B ∈ F, µ(B) = 0) ⇒ A ∈ F
3. Độ đo Lebesgue trên R
Tồn tại một σ−đại số F cá c tập con của R mà mỗi A ∈ F gọi là một tập đo dược theo
Lebesgue (hay (L)− đo được) và một độ đo µ xác định trên F (gọ i là độ đo Lebesgue
trên R ) thỏa mãn các tính chất sau :
1) Các khoảng (hiểu theo nghĩa rộng), tập mở, tập đóng, là (L)−đo được. Nếu I là
khoảng với đầu mút a, b (−∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞) thì µ(I) = b − a
2) Tập hữu hạn hoặc đếm được là (L)−đo được và có độ đo Lebesgue bằng 0.
2
3) Tập A ⊂ R là (L)−đo được khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại tập đóng F , tập mở
G sao cho
F ⊂ A ⊂ G, µ(G \ F ) < ε
4) Nếu A là tập (L)−đo được thì các tập x + A, xA cũng là (L)−đo được và :
µ(x + A) = µ(A) µ(xA) = |x|µ(A)
5) Độ đo Lebesgue là đủ, σ− hữu hạn
2 PHẦN BÀI TẬP
1. Bài 1 Cho không gian độ đo (X , F, µ), tập Y = ø và ánh xạ ϕ : X −→ Y Ta định nghĩa :

A = {B ⊂ Y : ϕ
−1
(B) ∈ F }
γ(B) = µ(ϕ
−1
(B))
Chứng minh A là σ−đại số trên Y và γ là độ đo xác định trên A
Giải
• Ta kiểm tra A thỏa hai điều kiện của σ−đại số :
i. Ta có Y ∈ A vì ϕ
−1
(Y ) = X ∈ F
Giả sử B ∈ A, ta cần chứng minh B
c
= Y \ B ∈ A. Thật vậy, ta có

ϕ
−1
(Y \B) = ϕ
−1
(Y )\ϕ
−1
(B) = X\ϕ
−1
(B)
ϕ
−1
(B) ∈ F ( do B ∈ A) nên X \ ϕ
−1
(B) ∈ F

⇒ ϕ
−1
(Y \ B) ∈ F hay Y \ B ∈ A
ii. Giả sử B
n
∈ A(n ∈ N
∗
) và B =
∞

n=1
B
n
. Ta có
ϕ
−1
(B) =
∞

n=1
ϕ
−1
(B
n
)
ϕ
−1
(B
n
) ∈ F (n ∈ N

∗
)



⇒ ϕ
−1
(B) ∈ F hay B ∈ A.
• Tiếp theo ta kiểm tra γ là độ đo .
Với B ∈ A ta có ϕ
−1
(B) ∈ F nên số µ[ϕ
−1
(B)] xác định, không âm. Vậy số γ(B) ≥ 0,
xác định.
i. Ta có γ(ø) = µ[ϕ
−1
(ø)] = µ(ø) = 0
ii. Giả sử B
n
∈ A (n ∈ N
∗
), B
n
∩ B
m
= ø (n = m) và B =
∞

n=1

B
n
.Ta có
ϕ
−1
(B) =
∞

n=1
ϕ
−1
(B
n
),
ϕ
−1
(B
n
) ∩ ϕ
−1
(B
m
) = ϕ
−1
(B
n
∩ B
m
) = ø (n = m).
⇒ µ [ϕ

−1
(B)] =
∞

n=1
µ [ϕ
−1
(B
n
)] (do tính σ−cộng của µ)
⇒ γ(B) =
∞

n=1
γ(B
n
)
3
2. Bài 2 Cho không gian độ đo (X, F, µ) và các tập A
n
∈ F (n ∈ N
∗
). Đặt :
B =
∞

k=1

∞


n=k
A
n

(Tập các điểm thuộc mọi A
n
từ một lúc nào đó)
C =
∞

k=1

∞

n=k
A
n

(Tập các điểm thuộc vô số các A
n
).
Chứng minh
1) µ(B) ≤ lim
n→∞
µ(A
n
)
2) µ(C) ≥ lim
n→∞
µ(A

n
) Nếu có thêm điều kiện µ(
∞

n=1
A
n
) < ∞
Giải
2) Đặt C
k
=
∞

n=k
A
n
ta có :
C
k
∈ F (k ∈ N
∗
), C
1
⊃ C
2
⊃ . . . , µ(C
1
) < ∞; C =
∞


k=1
C
k
Do đó : µ(C) = lim
k→∞
µ(C
k
) (1)
Mặt khác ta có C
k
⊃ A
k
nên
µ(C
k
) ≥ µA
k
∀k ∈ N
∗
và
lim
k→∞
µ(C
k
) ≥ lim
k→∞
µ(A
k
) (2)

Từ (1), (2) ta có đpcm.
3. Bài 3 : Cho σ−đại số F và ánh xạ :
µ : F −→ [0, ∞]
thỏa mãn các điều kiện sau :
i. µ(ø) = 0
ii. Nếu A
1
, A
2
∈ F, A
1
∩ A
2
= ø thì µ(A
1
∪ A
2
) = µ(A
1
) + µ(A
2
)
(Ta nói µ có tính chất cộng hữu hạn)
iii. Nếu A
n
∈ F (n ∈ N
∗
), A
1
⊃ A

2
⊃ . . . và
∞

n=1
A
n
= ø thì lim
n→∞
µ(A
n
) = 0 Chứng
minh µ là độ đo.
Giải
Giả sử B
n
∈ F (n ∈ N
∗
), B
n
∩ B
m
= ø (n = m) và B =
∞

n=1
B
n
, ta cần chứng minh
µ(B) =

∞

n=1
µ(B
n
) (1)
4
Đặt
C
k
=
∞

n=k
B
n
(k = 1, 2 . . .),
ta có
C
k
∈ F, C
1
⊃ C
2
⊃ . . .
và
B = B
1
∪ . . . ∪ B
n

∪ C
n+1
∞

k=1
C
k
= ø (Xem ý nghĩa tập C, bài 2 và giả thiết về các B
n
)
⇒



µ(B) =
n

k=1
µ(B
k
) + µ(C
n+1
) (2) ( do tính chất ii.)
lim
m→∞
µ(C
n
) = 0 ( do tính chất iii.)
Cho n → ∞ trong (2) ta có (1).
4. Bài 4 : Ký hiệu µ là độ đo Lebesgue trên R. Cho A ⊂ [0, 1] là tập (L)−đo được và

µ(A) = a > 0. Chứng minh rằng trong A có ít nhất một cặp số mà hiệu của chúng là số
hữu tỷ.
Giải
Ta viết các số hữu tỷ trong [0, 1] thành dãy {r
n
}
n
và đặt A
n
= r
n
+ A (n ∈ N
∗
). Ta chỉ
cần chứng minh tồn tại n = m sao cho A
n
∩ A
m
= ∅. Giả sử trái lại, điều này không
đúng. Khi đó ta có
µ(
∞

n=1
A
n
) =
∞

n=1

µ(A
n
) (1)
Mặt khác, ta có
µ(A
n
) = µ(A) = a,
∞

n=1
A
n
⊂ [0, 2]
Do đó vế phải của (1) bằng +∞ còn vế trái ≤ 2, vô lý
5. Bài 5 : Cho tập (L)− đo được A ⊂ R. Chứng minh A có thể viết thành dạng A = B \ C
với B là giao của đếm được tập mở và C là tập (L)−đo được, có độ đo Lebesgue bằng 0.
Giải
Do tính chất 3) của độ đo Lebesgue, với mỗi n ∈ N
∗
ta tìm được tập mở G
n
⊃ A sao cho
µ(G
n
\ A) <
1
n
Đặt B =
∞


n=1
G
n
và C = B \ A.
Ta có B là (L)− đo đưực và do đó C cũng là (L)− đo được. Vì
C ⊂ G
n
\ A ∀n = 1, 2, . . .
nên ta có :
µ(C) ≤
1
n
∀n = 1, 2, . . .
Vậy µ(C) = 0.
5
6. Bài 6 : Cho tập L− đo đượ c A ⊂ [0, 1] với µ(A) = a > 0. Chứng minh:
1) Hàm f(x) = µ(A ∩ [0, x]) liên tục trên [0, 1].
2) ∀b ∈ (0, a) ∃B ⊂ A : B (L)− đo được, µ(B) = b
Giải
1) Với 0 ≤ x < y ≤ 1 ta có
f(y) =µ(A ∩ [0, y])
=µ(A ∩ [0, x]) + µ(A ∩ (x, y])
⇒ f(y) − f (x) = µ(A ∩ (x, y])
⇒ 0 ≤ f(y) − f(x) ≤ y − x
Do đó f liên tục trên [0, 1]
2) Ta có f(0) = 0, f(1) = a và f liên tục nên tồn tại x
o
∈ (0, 1) thỏa f(x
o
) = b hay

µ(A ∩ [0, x
o
]) = b. Tập B := A ∩ [0, x
o
] cần tìm.
6
GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)
Phần 3. Độ Đo Và Tích Phân
Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán
§2. HÀM ĐO ĐƯỢC
(Phiên bản đã chỉnh sửa)
PGS TS Nguyễn Bích Huy
Ngày 1 tháng 3 năm 2006
PHẦN LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
Cho một không gian đo được (X, F), tập A ∈ F và hàm f : A →
R. Với a ∈ R, ta sẽ ký
hiệu:
A[f < a] = {x ∈ A : f(x) < a}
Các tập hợp A[f ≤ a], A[f > a], A[f ≥ a] được định nghĩa tương tự.
Ta nói hàm f đo được trên A (đo được đối với σ-đại số F hay F-đo được) nếu:
A[f < a] ∈ F, ∀a ∈ R
Định lý 1:
Các mệnh đề sau tương đương
1) f đo được trên A
2) A[f ≤ a] ∈ F, ∀a ∈ R
3) A[f > a] ∈ F, ∀a ∈ R
4) A[f ≥ a] ∈ F, ∀a ∈ R
2. Một số lớp hàm đo được
Cho không gian đo được (X, F). Các tập hợp được xét dưới đây luôn giả thiết là thuộc

F.
1) Hàm hằng số là đo được. Hàm đặc trưng 1
A
của tập A là đo được khi và chỉ khi A ∈ F.
2) Nếu f đo được trên A và B ⊂ A thì f đo được trên B
Nếu f đo được trên mỗi A
n
(n ∈ N
∗
) thì f đo được trên
∞
∪
n=1
A
n
3) Giả sử các hàm f, g đo được trên A và chỉ nhận các giá trị hữu hạn. Khi đó các hàm
sau cũng đo được trên A :
|f|, |f |
α
(α > 0), f + g, f.g,
f
g
(nếu g(x) = 0 ∀x ∈ A)
4) Giả sử các hàm f
n
đo được trên A (n ∈ N
∗
). Khi đó các hàm sau cũng đo được trên A
a) g(x) = sup{f
n

(x) : n ∈ N
∗
}, h(x) = inf{f
n
(x) : n ∈ N
∗
}
b) f(x) = lim
n→∞
f
n
(x), nếu giới hạn tồn tại tại mọi x ∈ A.
1
3. Hàm đo được theo Lebesgue
Hàm đo được đối với σ-đạ i số các tập (L) đo được gọi là hàm đo được theo Lebesgue hay
(L) đo được
Định lý 2
Nếu A ⊂ R là tập (L)-đo được và hàm f : A → R liên tục thì f là hàm (L)-đo được.
4. Hàm đơn giản
Định nghĩa : Cho không gian đo được (X, F) và tập A ∈ S.
Hàm f : A → R gọi là hàm đơn giản nếu nó có dạng
f(x) =
n

i=1
a
i
1
A
i

(x)
trong đó : A
i
∈ F, (i = 1, n), A
i
∩ A
j
= ∅ (i = j),
n
∪
i=1
A
n
= A và 1
A
i
là hàm đặc trưng
của tập A
i
Như vậy, hàm đơn giản là hàm đo được, chỉ nhận hữu hạn giá trị.
Định lý 3
Nếu f là hàm không âm, đo được trên A thì tồn tại dãy {s
n
} các hàm đơn giản trên A
sao cho
i) 0 ≤ s
n
(x) ≤ s
n+1
(x), ∀x ∈ A

ii) lim
n→∞
s
n
(x) = f(x), ∀x ∈ A
2
PHẦN BÀI TẬP
Bài 1 : Cho hàm f : X → R đo được và các số a, b ∈ R, a < b. Chứng minh rằng hàm
g(x) =



f(x) nếu a ≤ f(x) ≤ b
a nếu f(x) < a
b nếu f(x) > b
là đo được trên X.
GIẢI:
Cách 1:
Đặt A
1
= X[a ≤ f ≤ b], A
2
= X[f < a], A
3
= X[f > b], ta có:
A
k
∈ F , k = 1, 2, 3, A
1
∪ A

2
∪ A
3
= X
g(x) =



f(x) x ∈ A
1
a x ∈ A
2
b x ∈ A
3
g đo được trên A
2
và A
3
vì là hàm hằng trên các tập này
g đo được trên A
1
vì f đo được trên A
1
Do đó g đo được trên A
1
∪ A
2
∪ A
3
= X.

Cách 2:
Ta dễ dàng kiểm tra rằng g(x) = min{b, max{a, f (x)}}
Từ các hàm đo được qua phép lấy max, min ta nhận được hàm đo được. Do đó g
đo được.
Bài 2 : 1) Cho các hàm f, g : X → R đo được. Chứng minh tập
A := {x ∈ X : f (x) = g(x)} là đo được (nghĩa là thuộc F).
2) Cho dãy hàm {f
n
} đo được trên X. Chứng minh rằng tập
B := {x ∈ X : lim
n→∞
f
n
(x) tồn tại} đo được.
GIẢI:
1) Cách 1:
Đặt A
1
= {x ∈ X : f(x) < g(x)}, A
2
= {x ∈ X : g(x) < f(x)}
Ta chứng minh A
1
, A
2
∈ F.
. Ta viết tập Q thành dãy {r
n
}. Ta thấy
f(x) < g(x) ⇔ ∃n : f(x) < r

n
< g(x)
Do đó:
A
1
=
∞

n=1
{x ∈ X : f(x) < r
n
< g(x)}
=
∞

n=1
(X[f < r
n
] ∩ X[g > r
n
])
nên A
1
∈ F. Chứng minh A
2
∈ F tương tự.
. Do A = X\(A
1
∪ A
2

) nên A ∈ F
Cách 2:
Đặt
A
1
= {x ∈ X : f(x) = +∞}, A
2
= {x ∈ X : f(x) = −∞}
A
3
= {x ∈ X : g(x) = +∞}, A
4
= {x ∈ X : g(x) = −∞}
Y = X\
4

k=1
A
k
Ta có thể chứng minh A
k
, Y ∈ F và
3
A = (A
1
∩ A
3
) ∪ (A
2
∩ A

4
) ∪ Y [f − g = 0]
Chú ý rằng trên Y thì f, g đo được, chỉ nhận giá trị hữu hạn nên f − g đo được trên
Y và do đó Y [f − g = 0] ∈ F.
2) Đặt f(x) = lim
n→∞
f
n
(x), g(x) = lim
n→∞
f
n
(x)
. Theo định nghĩa, ta có
f(x) = lim
n→∞
(inf
k≥n
f
k
(x)), g(x) = lim
n→∞
(sup
k≥n
f
k
(x))
Các hàm F
n
(x) := inf

k≥n
f
k
(x) đo được nên f(x) = lim
n→∞
F
n
(x) đo được
Tương tự, ta có g đo được
. Ta có B = {x ∈ X : f(x) = g(x)} nên áp dụng câu 1) có B ∈ F
Bài 3 : Cho không gian độ đo (X, F, µ), A ∈ F và hàm f : A → R đo được.
1) Đặt A
n
= {x ∈ A : |f(x)| ≤ n}, n ∈ N
∗
. Chứng minh
lim
n→∞
µ(B
n
) = µ(A).
2) Giả sử µ(A) < ∞. Chứng minh rằng với mọi  > 0, tồn tại tập B ⊂ A, B ⊂ F
sao cho
µ(A\B) < , f bị chặn trên B
GIẢI:
1) Ta có: A
n
∈ F (vì |f | đo được), A
n
⊂ A

n+1
A =
∞

n=1
A
n
(do f chỉ nhận giá trị hữu hạn)
Do đó lim
n→∞
µ(A
n
) = µ(A)
2) Do µ(A) < ∞ nên µ(A\A
n
) = µ(A) − µ(A
n
). Do đó lim
n→∞
µ(A\A
n
) = 0
Chú ý rằng f bị chặn trên A
n
. Do đó ta chỉ cần chọn B = A
n
khi n đủ lớn.
Bài 4 : Cho không gian đo được (X, F) và các hàm f
1
, f

2
: X → R đo được, hàm F : R
2
→ R
liên tục.
Chứng minh rằng hàm g : X → R, g(x) = F (f
1
(x), f
2
(x)) đo được
GIẢI
Ta xét ánh xạ ϕ : X → R
2
, ϕ(x) = (f
1
(x), f
2
(x)). Ta có
. g(x) = (F
0
ϕ)(x)
. X[g < a] = g
−1
((−∞, a)) = ϕ
−1
(F
−1
((−∞, a)))] (1)
Tập A := F
−1

((−∞, a)) là tập mở trong R
2
(do f liên tục) nên là hợp của đếm được
các hình chữ nhật mở:
A =
∞

n=1
I
n
× J
n
, I
n
= (a
n
, b
n
), J
n
= (c
n
, d
n
) (2)
Từ (1),(2) ta có:
X[g < a] =
∞

n=1

ϕ
−1
(I
n
× J
n
) =
∞

n=1
{x ∈ X : (f
1
(x), f
2
(x)) ∈ I
n
× J
n
}
=
∞

n=1
({x : a
n
< f
1
(x) < b
n
} ∩ {x : c

n
< f
2
(x) < d
n
})
⇒ X[g < a] ∈ F ∀a ∈ R
Bài 5 : Cho hàm f : (a, b) → R khà vi trên (a, b) a < b; a, b ∈ R. Chứng minh rằng hàm f

4
là (L)-đo được trên (a, b)
GIẢI
Xét các hàm f
n
: (a, b) → R xác định như sau
f
n
(x) =

n

f

x +
1
n

− f (x)

, nếu x ∈


a, b −
1
n

c , nếu x ∈

b −
1
n
, b

, n ∈ N
∗
Ta có
(1) lim
n→∞
f
n
(x) = f(x) ∀x ∈ (a, b)
Thật vậy với x ∈ (a, b) ta có x < b −
1
n
khi n đủ lớn, do đó
lim
n→∞
f
n
(x) = lim
n→∞

n

f

x +
1
n

− f (x)

= f

(x)
(2) f
n
là (L)-đo được trên (a, b)
Thật vậy, trên (a, b −
1
n
) hàm f
n
liên tục (vì f khả vi nên f liên tục) trên

b −
1
n
, b

f
n

cũng là hàm liên tục nên f
n
là (L)- đo được)
Từ (1),(2) ta có f

là (L)-đo được.
5
GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)
Phần 3. Độ Đo Và Tích Phân
§3. TÍCH PHÂN THEO LEBESGUE
Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán
(Phiên bản đã chỉnh sửa)
PGS TS Nguyễn Bích Huy
Ngày 1 tháng 3 năm 2006
1 PHẦN LÝ THUYẾT
1. Điều kiện khả tích theo Riemann
Nếu hàm f khả tích trên [a, b] theo nghĩa tích phân xác định thì ta cũng nói f khả tích
theo Riemann hay (R)−khả tích.
Định lý 1
Hàm f khả tích Riemann trên [a, b] khi và chỉ khi nó thỏa mãn hai điiều kiện sau :
i. f bị chặn.
ii. Tập các điểm gián đoạn của f trên [a, b] có độ đo Lebesgue bằng 0.
2. Định nghĩa tích phân theo Lebesgue
Cho không gian độ đo (X, F, µ) và A ∈ F, f : A −→ R là hàm đo được
(a) Nếu f là hàm đơn giản, không âm trên A và f =
n

i=n
a
i

.1
A
i
với A
i
∈ F, A
i
∩ A
j
=
ø (i = j) và
n

i=1
A
i
= A thì ta định nghĩa tích phân của f trên A theo độ đo µ bởi :

A
fdµ :=
n

i=n
a
i
µ(A
i
)
(b) Nếu f là hàm đo được, không âm thì tồn tại dãy các hàm đơn giản, không âm f
n

sao cho
f
n
(x) ≤ f
n+1
(x), lim
n→∞
f
n
(x) = f(x) ∀x ∈ A
Khi đó ta định nghĩa

A
fdµ = lim
n→∞

A
f
n
dµ
Chú ý rằng, tích phân hàm đo đượ c không âm luôn tồn tại, là số không âm và có
thể bằng +∞
1
(c) Nếu f là hàm đo được thì f
+
(x) = max{f (x), 0}, f
−
(x) = max{−f (x), 0} là các
hàm đo được, không âm và ta có f(x) = f
+

(x) − f
−
(x). Nếu ít nhất một trong các
tích phân

A
f
+
dµ,

A
f
−
dµ là số hữu hạn thì ta định nghĩa

A
fdµ =

A
f
+
dµ −

A
f
−
dµ
Ta nói f khả tích trên A nếu

A

fdµ tồn tại và hữu hạn (hay cả hai tích phân

A
f
+
dµ,

A
f
−
dµ là số hữu hạn).
3. Các tính chất
Cho không gian độ đo (X, F, µ)
3.1 Một số các tính chất quen thuộc :
Giả sử A ∈ F và f, g là các hàm đo được, không âm trên A hoặc khả tích trên A.
Khi đó ta có
•

A
(f + g)dµ =

A
fdµ +

A
gdµ

A
cfdµ = c


A
fdµ ∀c ∈ R
• Nếu f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ A thì

A
fdµ ≤

A
gdµ
• Nếu A = A
1
∪ A
2
với A
1
, A
2
∈ F, A
1
∩ A
2
= ø thì

A
fdµ =

A
1
fdµ +


A
2
fdµ
3.2 Sự không phụ thuộc tập độ đo O. Khái niệm "hầu khắp nơi"
Định nghĩa
Giả sử P (x) là một tính chất phát biểu cho mỗi x ∈ A sao cho ∀x ∈ A thì hoặc P (x)
đúng hoặc P (x) sai. Ta nói tính chất P (x) đúng (hay xảy ra) hầu khắp nơi (viết tắt
hkn) trên tập A nếu tập
B = {x ∈ A : P (x) không đúng}
được chứa trong một tập C ∈ F mà µ(C) = 0 (hoặc µ(B) = 0 nếu đã biết B ∈ F ).
Ví dụ
1) Giả sử f, g đo được trên A. Ta có
B := {x ∈ A : f(x) = g(x)} ∈ F
Do vậy ta nói "f(x) = g(x) hkn trên A " thì có nghĩa là µ(B) = 0.
2) Nếu f đo được trên A thì tập B = {x ∈ A : |f(x)| = +∞} thuộc F . Ta nói "f
hữu hạn hkn trên A" thì có nghĩa µ(B) = 0.
2
3) Cho các hàm đo được f
n
, f (n = 1, 2, . . .). Ta nói "Dãy {f
n
} hội tụ hkn trên A
về F thì có nghĩa B = {x ∈ A : f
n
(x) → f(x)} có độ đo 0.
Sự không phụ thuộc tập độ đo 0
Nếu µ(A) = 0 và f đo được trên A thì

A
fdµ = 0. Do đó :

• Nếu f có tích phân trên A ∪ B và µ(B) = 0 thì

A∪B
gdµ =

A
fdµ
• Nếu f, g đo được trên A, f(x) = g(x) hkn trên A và f có tích phân trên A thì

A
gdµ =

A
fdµ
3.3 Nếu f đo được, không âm trên A và

A
fdµ = 0 thì f(x) = 0 hkn trên A.
3.4 Nếu f khả tích trên A thì f(x) hữu hạn hkn trên A
3.5 Tính chất σ−cộng
Giả sử A
n
∈ F (n ∈ N
∗
), A
n
∩ A
m
= ø (n = m) và f là hàm đo được, không âm
hoặc khả tích trên A =

∞

n=1
A
n
. Khi đó

A
fdµ =
∞

n=1

A
n
fdµ
3.6 Một số điều kiện khả tích:
• Nếu f đo được trên A thì f khả tích trên A khi và chỉ khi |f| khả tích trên A.
• Nếu f đo được, g khả tích trên A và |f (x)| ≤ g(x) ∀x ∈ A thì f cũng khả tích
trên A.
• Nếu f đo được, bị chặn trên A và µ(A) < ∞ thì f khả tích trên A.
4. Qua giới hạn dưới dấu tích phân
Định lý Levi (hội tụ đơn điệu)
Giả sử :
i. f
n
(n ∈ N
∗
) là các hàm đo được trên A và
0 < f

n
(x) < f
n+1
(x), x ∈ A
ii. lim
n→∞
f
n
(x) = f(x) x ∈ A
Khi đó lim
n→∞

A
f
n
dµ =

A
fdµ
(một cách hình thức lim

A
f
n
dµ =

A
lim f
n
dµ)

Định lý Lebesgue (hội tụ bị chặn)
Giả sử :
i. Các hàm f
n
đo được trên A và tồn tại hàm g khả tích trên A sao cho |f
n
(x)| ≤
g(x) ∀n ∈ N
∗
, ∀x ∈ A
3
ii. lim
n→∞
f
n
(x) = f(x) x ∈ A
Khi đó

A
fdµ = lim
n→∞

A
fdµ
Ghi chú
Do sự không phụ thuộc vào tập độ đo 0 của tích phân, ta có thể giả thiết các diều kiện
i., ii. trong định lý Levi và Lebesgue chỉ cần đúng hkn trên A.
5. Liên hệ giữa tích phân Riemann và tích phân Lebesgue
Nếu A ⊂ R là tập (L)−đo được thì tích phân theo độ đo Lebesgue cũng ký hiệu
(L)


A
f(x)dx hoặc (L)
b

a
f(x)dx nếu A = [a, b].
Định lý
1) Nếu f khả tích Riemann trên [a, b] thì f cũng khả tích theo nghĩa Lebesgue trên [a, b]
và ta có
(L)
b

a
f(x)dx = (R)
b

a
f(x)dx
2) Nếu f khả tích Riemann suy rộng trên [a, b] (hoặc trên [a, ∞]) và là hàm không âm
thì f khả tích theo nghĩa Lebesgue trên [a, b] (trên [a, ∞]) và ta có :
(R)
b

a
f(x)dx = (L)
b

a
f(x)dx



(R)
∞

a
f(x)dx = (L)
∞

a
f(x)dx


2 PHẦN BÀI TẬP
Trong các tập dưới đây ta luôn giả thiết có một không gian độ đo (X, F, µ). Các tập được xét
luôn thuộc F
Bài 1
Cho hàm f đo được trên A, hàm g, h khả tích trên A sao cho g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ∀x ∈ A.
Chứng minh f khả tích trên A.
Giải
Ta có
f
+
≤ h
+
, f
−
≤ g
−
( vì g ≤ f ≤ h)

⇒

A
f
+
dµ ≤

A
h
+
dµ,

A
f
−
≤

A
g
−
dµ
Các tích phân ở vế phải hữu hạn nên

A
f
±
dµ < ∞. Suy ra f khả tích. (Bài này cũng có thể
giải dựa vào bất đẳng thức |f(x)| ≤ |g(x)| + |h(x)|)
Bài 2
4

1. Cho hàm số f ≥ 0, đo được trên A. Xét các hàm
f
n
(x) =

f(x), nếu f(x) ≤ n
n, nếu f(x) > n
(n ∈ N
∗
)
Chứng minh lim
n→∞

A
f
n
dµ =

A
fdµ
2. Ứng dụng kết quả trên để tính (L)
1

0
dx
√
x
Giải
1. Ta dễ dàng kiểm tra rằng f
n

(x) = min{n, f(x)}. Do đó :
• f
n
(x) đo được, không âm.
• f
n
(x) = min{n, f(x)} ≤ min{n + 1, f (x)} = f
n+1
(x)
• lim
n→∞
f
n
(x) = min{ lim
n→∞
n, f (x)} = min{+∞, f (x)} = f(x)
Áp dụng định lý Levi ta có đpcm.
2. Đặt f(x) =
1
√
x
, x ∈ (0, 1], f(0) = +∞. Ta dễ dàng tìm được
f
n
(x) =



1
√

x
, nếu x ∈ [
1
n
2
, 1]
n nếu x ∈ [0,
1
n
2
]
(L)
1

0
f
n
(x)dx = (R)
1

0
f
n
(x)dx = 2 −
1
n
Theo câu 1) ta có
(L)
1


0
f(x)dx = lim
n→∞
1

0
f
n
(x)dx = 2.
Bài 3
Cho hàm f khả tích trên A. Ta xây dựng các hàm f
n
như sau :
f
n
(x) =



f(x), nếu |f(x)| ≤ n
n, nếu f(x) > n
−n, nếu f (x) < −n
Chứng minh lim
n→∞

A
f
n
dµ =


A
fdµ
Giải
Ta dễ thấy f
n
(x) = min{n, max{−n, f (x)}}. Từ đây ta suy ra :
5
• f
n
đo được, |f
n
| ≤ |f| ∀n ∈ N
∗
• lim
n→∞
f
n
(x) = min{+∞, max{−∞, f (x)}} = f(x) ∀x ∈ A
Áp dụng định lý Lebesgue ta có đpcm.
Bài 4
Cho ϕ là hàm đo được, không âm trên X. Ta định ng hĩa :
γ(A) =

A
ϕdµ, A ∈ F
1. Chứng minh γ là độ đo.
2. Giả sử f là hàm đo được, không âm trên X. Chứng minh

X
fdγ =


X
fϕdµ
Giải
1. Vì ϕ là hàm đo được, không âm nên

A
ϕdµ tồn tại, không âm.
• Chú ý rằng

A
ϕdµ = 0 nếu µ(A) = 0, ta có γ(φ) = 0
• Sử dụng tính chất σ−cộng của tích phân ta suy ra γ có tính σ−cộng
2. • Đầu tiên ta kiểm tra rằng đẳng thức đúng khi f là hàm đơn giản, không â m :
f =
n

i=1
a
i
1
A
i
, A
i
∩ A
j
= ø(i = j),
n


i=1
A
i
= X.
Thật vậy

X
fdγ =
n

i=1
a
i
γ(A
i
)

X
fϕdµ =
n

i=1
a
i

X
1
A
i
ϕdµ =

n

i=1
a
i

A
i
ϕdµ
Từ đây ta có đpcm.
• Nếu f đo được, không âm thì tồn tại dãy các hàm đơn giản f
n
0 ≤ f
n
≤ f
n+1
, lim f
n
= f.
Ta có :

X
f
n
dγ =

X
f
n
ϕfµ ∀n ∈ N (do bước trên)

lim

X
f
n
dγ =

X
fdγ, lim

X
f
n
ϕdµ =

X
fϕdµ
(Do định lý Levi)
Từ đây ta có đpcm.
6
Bài 5
Cho các hàm f, g khả tích trên A. Với n ∈ N ta đặt : A
n
= {x ∈ A : n ≤ |f(x)| < n + 1}
B
n
= {x ∈ A : |f(x)| ≥ n}
Chứng minh :
1. lim
n→∞


A
n
gdµ = 0
2.
∞

n=1
nµ(A
n
) < +∞
3. lim
n→∞
nµ(B
n
) = 0
Giải
Ta dễ kiểm tra được A
n
∩ A
m
= ø (n = m)
∞

n=0
A
n
= A
1. Do tính chất σ−cộng, ta có:
∞


n=0

A
n
gdµ =

A
gdµ ∈ R.
Từ đây ta có đpcm (do điều kiện cần của sự hội tụ của chuỗi)
2. Cũng do tính chất σ−cộng, ta có:
∞

n=0

A
n
|f|dµ =

A
|f|dµ < ∞.
Kết hợp đánh giá

A
n
|f|dµ ≥ nµ(A
n
), ta có đpcm.
3. Đặt Γ
n

=
∞

k=n
kµ(A
k
) ta có :
lim
n→∞
Γ
n
= 0 (do câu 2)
Γ
n
≥ n
∞

k=n
µ(A
k
) = nµ(B
n
)
Từ đây ta có đpcm.
Bài 6
Giả sử µ(X) < ∞. Ta kí hiệu M là tập các hàm đo được, hữu hạn trên X. Trong M ta định
nghĩa quan hệ ” = ” như sau : f = g ⇔ f(x) = g(x)hkn trên X. Ta định nghĩa :
d(g, f ) =

X

|f −g|
1 + |f − g|
dµ f, g ∈ M
1. Chứng minh d là một metric trên M .
7
2. Giả sử lim
n→∞
f
n
(x) = f(x). Chứng minh lim
n→∞
f
n
= f trong (M, d).
Giải
1. Trước hết ta kiểm tra số d(f, g) hữu hạn với mọi cặp f, g ∈ M. Thật vậy, hàm h =
|f −g|
1 + |f − g|
đo được, bị chặn trên tập X và µ(X) < ∞ nên là hàm khả tích. Kiểm tra
điều kiện i), iii) của metric như sau :
i) Hiển nhiên d(f, g) ≥ 0
d(f, g) = 0 ⇔
|f(x) − g(x)|
1 + |f(x) −g(x)|
= 0 hkn trên X
⇔ f (x) = g(x) hkn trên X
⇔ f = g trong M
iii) Với f, g, h ∈ M ta có :
|f(x) − g(x)| ≤ |f(x) − h(x)|+ |h(x) −g(x)|
⇒

|f(x) − g(x)|
1 + |f(x) −g(x)|
≤
|f(x) − h(x)|
1 + |f(x) −h(x)|
+
|h(x) − g(x)|
1 + |h(x) −g(x)|
(Phương pháp chứng minh đã biết)
Lấy tích phân hai vế ta có d(f, g) ≤ d(f, h) + d(h, g)
2. Ta cần chứng minh lim
n→∞
d(f
n
, f ) = 0
Đặt h
n
=
|f
n
− f |
1 + |f
n
− f |
(n ∈ N
∗
), ta có :
• h
n
đo được trên X, |h

n
| = h
n
≤ 1, hàm g(x) = 1 khả tích trên X (do µ(X) < ∞).
• lim
n→∞
h
n
= 0 hkn trên X.
Áp dụng định lý Lebesgue, ta có lim
n→∞

X
h
n
dµ = 0 hay lim
n→∞
d(f
n
, f ) = 0
Bài 7
Cho f là hàm đo được, dương, hữu hạn hkn trên A. Với mỗi k ∈ Z đặt A
k
= {x ∈ A : 2
k−1
<
f(x) ≤ 2
k
}. Chứng tỏ rằng f khả tích trên A khi và chỉ khi :
+∞


k=−∞
2
k
µ(A
k
) < ∞
Giải
Đặt B = {x ∈ A : f(x) = +∞}. Ta có các tập A
k
, (k ∈ Z), B là những tập không giao nhau,
có hợp bằng A. Do tính σ−cộng của tích phân, ta có :

A
fdµ =
+∞

k=−∞

A
k
fdµ ( chú ý

B
fdµ = 0 do µ(B) = 0)
8
Vì 2
k−1
µ(A
k

) ≤

A
k
fdµ ≤ 2
k
µ(A
k
) ta có
1
2
+∞

k=−∞
2
k
µ(A
k
) ≤

A
fdµ ≤
+∞

k=−∞
2
k
µ(A
k
)

Từ đây ta có điều phải chứng minh.
Bài 8
Cho dãy các hàm {f
n
} khả tích, hữu hạn trên A, hội tụ đều trên A về hàm f và µ(A) < ∞.
Chứng minh f khả tích trên A và
lim
n→∞

A
f
n
dµ =

A
fdµ
Giải
Vì các hàm f
n
đo được nên f đo được.
Vì dãy {f
n
} hội tụ đều trên A về f nên có số n
o
∈ N
∗
thỏa mãn
|f
n
(x) − f(x)| ≤ 1 ∀x ∈ A, ∀n ≥ n

o
(1).
• Từ (1) ta có |f(x)| ≤ 1 + |f
n
(x)|. Vì µ(A) < ∞ nên hàm 1 + |f
n
| khả tích trên A. Do đó
f khả tích trên A.
• Cũng từ (1) ta có |f
n
| ≤ 1 + |f| trên A (∀n ≥ n
o
) và hàm 1 + |f| khả tích trên A. Áp
dụng định lý Lebesgue ta có đpcm.
Bài 9
Tính các giới hạn :
1. lim
n→∞
2

0
n
√
1 + x
2n
.dx
2. lim
n→∞
1


−1
x + x
2
e
nx
1 + e
nx
.dx
3. lim
n→∞
n

0

1 +
x
n

n
.e
−2x
dx
Giải
1. Đặtf
n
(x) =
n
√
1 + x
2n

, x ∈ [0, 2], n = 1, 2, . . .
• Hàm f
n
liên tục trên [0, 2] nên (L)−đo được.
• Khi 0 ≤ x < 1 ta có lim f
n
(x) = 1.
Khi 1 < x ≤ 2 ta có lim
n→∞
x
2
.
n

1 +
1
x
2n
= x
2
lim
n→∞
f
n
(1) = 1
Do đó lim f
n
(x) = f(x) với f(x) = 1, x ∈ [0, 1], f(x) = x
2
, x ∈ [1, 2].

9
• |f
n
(x)| = f
n
(x) ≤ 1 + x
2
∀n ∈ N
∗
Áp dụng định lý Lebesgue, ta có :
lim
n→∞
2

0
f
n
(x)dx =
2

0
f(x)dx =
10
3
2. Đặt f
n
(x) là hàm trong dấu tích phân thì ta có
• lim
n→∞
f

n
(x) = f(x) với f(x) = x, x ∈ [−1, 0], f(x) = x
2
, x ∈ (0, 1].
• |f
n
(x)| ≤
|x| + x
2
e
nx
1 + e
nx
≤ 1 ∀n ∈ N
∗
, ∀x ∈ [−1, 1].
3. Đặt
f
n
(x) =


1 +
x
n

n
.e
−2x
, x ∈ [0, n]

0 , x ∈ (n, +∞)
• f
n
(L)−đo được trên [0, ∞).
• Với mỗi x ∈ [0, ∞) thì x ∈ [0, n] khi n đủ lớn, do đó :
lim
n→∞
f
n
(x) = lim
n→∞

1 +
x
n

n
.e
−2x
= e
x
.e
−2x
= e
−x.
• |f
n
(x)| ≤

1 +

x
n

n
.e
−2x
≤ e
x
.e
−2x
= e
−x.
∀n ∈ N
∗
, ∀x ∈ [0, ∞).
(ta đã sử dụng 1 + t ≤ e
t
, t ≥ 0)
Hàm g(x) = e
−x
là (L)−khả tích trên [0, ∞)
Áp dụng định lý Lebesgue ta có
lim
n→∞
n

0

1 +
x

n

n
.e
−2x
.dx = lim
n→∞
+∞

0
f
n
(x).dx =
+∞

0
e
−x
= 1
Bài 10
Chứng minh lim
n→∞
n
1

0
x
n
1 + x
.dx =

1
2
Giải
Ở đây ta không thể áp dụng định lý Leb esg ue cho dãy hàm f
n
(x) =
nx
n
1 + x
vì không tìm được
hàm g khả tích sao cho |f
n
(x)| ≤ g(x) ∀n.
Ta tích phân từng phần và được :
n
1

0
x
n
1 + x
.dx =
n
n + 1


x
n+1
1 + x
|

1
0
+
1

0
x
n+1
(1 + x)
2
.dx


=
n
n + 1

1
2
+ I
n

Áp dụng định lý Lebesgue ta chứng minh được lim
n→∞
I
n
= 0.
10