độ đo và tích phân – nhiều tác giả
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.02 MB, 311 trang )
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
KHOA TOÁN – TIN
ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN
Nhiều tác giả
thái thuần quang
Bài giảng
ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN
DÀNH CHO SINH VIÊN KHOA TOÁN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
2
3
Mục lục
Chương 1. Độ đo 1
1.1. Đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 σ-đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 σ-đại số Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Hàm tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Thác triển độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Độ đo ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Định lý thác triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Độ đo trên R
k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Độ đo trên đường thẳng R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Độ đo trên không gian R
k
, (k > 1) . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5. Hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.1 Các định nghĩa và phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.2 Cấu trúc của hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.3 Tập có độ đo không và tính chất “hầu khắp nơi” . . . . . . . 26
1.5.4 Hội tụ theo độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Chương 2. Tích phân Lebesgue 33
2.1. Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1 Tích phân các hàm đơn giản không âm . . . . . . . . . . . . 33
4
2.1.2 Tích phân các hàm đo được không âm . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.3 Tích phân các hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2. Các tính chất sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.1 Tính chất cộng tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.2 Tính chất bảo toàn thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.3 Tính chất tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.4 Tính chất khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.1 Các kết quả về giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.2 So sánh tích phân Riemann và tích phân Lebesgue . . . . . . 46
2.3.3 Tích phân Lebesgue xem như hàm tập . . . . . . . . . . . . . 47
2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4.1 Biểu diễn độ đo của một tập bằng tích phân của độ đo các
thiết diện của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.2 Ý nghĩa hình học của tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . 54
2.4.3 Định lý Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Chỉ mục 60
5
Chương 1
Độ đo
1.1. Đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Thác triển độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Độ đo trên R
k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1. Đại số tập hợp
Ta sẽ giả thiết các tập hợp được nói đến đều là tập con của một tập X cho trước.
Một lớp các tập con của X gọi là kín đối với phép toán (nào đó) nếu kết quả
thực hiện phép toán đó trên các tập hợp của lớp đó bao giờ cũng thuộc về lớp đó.
1.1.1 Đại số
Một đại số (hay trường) là một lớp chứa X, ∅ và kín đối với mọi phép toán hữu
hạn về tập hợp (phép hợp, phép giao hữu hạn, phép hiệu, hiệu đối xứng).
Định lý 1.1.1.1. Một lớp C là một đại số và chỉ khi C = ∅ và thỏa mãn hai điều
kiện
a) A, B ∈ C =⇒ A ∪B ∈ C,
b) A ∈ C =⇒ A
c
= X \A ∈ C.
6
1.1. Đại số tập hợp 2
Chứng minh. Điều kiện cần suy ra từ định nghĩa. Ta chứng minh điều kiện đủ.
Với A, B ∈ C, theo b) ta có A
c
, B
c
∈ C. Khi đó theo a) A
c
∪ B
c
∈ C và theo b)
A ∩B = (A
c
∪B
c
)
c
∈ C. Bằng quy nạp ta chứng minh được C đóng kín đối với phép
giao hữu hạn.
Vì A \B = A ∩ B
c
nên A \ B ∈ C. Do đó A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A) ∈ C.
Do C = ∅ nên có A ∈ C như vậy ∅ = A \ A ∈ C và X = ∅
c
∈ C.
Vậy C là một đại số.
Ví dụ 1.1.1.1. 1) P(X) = {A : A ⊂ X} là một đại số.
2) Nếu A ⊂ X thì C = {X, A, A
c
, ∅} là một đại số.
Định lý 1.1.1.2. Cho trước một lớp M = ∅. Khi đó tồn tại một đại số duy nhất
C(M) bao hàm M và chứa trong tất cả các đại số bao hàm M.
C(M) gọi là đại số sinh bởi M.
Chứng minh. Bao giờ cũng có một đại số bao hàm M đó là P(X). Gọi C(M) là giao
của tất cả các đại số trên X bao hàm M. Dễ thấy C(M) là một đại số. C(M) nhỏ
nhất vì nó chứa trong mọi đại số bao hàm M, và nó là duy nhất vì nếu có một đại số
C
(M) cũng có tính chất như C(M) thì ta sẽ có C(M) ⊂ C
(M) và C
(M) ⊂ C(M).
Vì vậy C
(M) = C(M).
1.1.2 σ-đại số
Một σ-đại số (hay σ-trường) là một lớp chứa X, ∅ và kín đối với mọi phép toán
hữu hạn hay đếm được về tập hợp. Một σ-đại số hiển nhiên là một đại số.
Định lý 1.1.2.1. Một lớp C là một σ-đại số và chỉ khi C = ∅ và thỏa mãn hai điều
kiện
a) A
i
∈ C (i ∈ N) =⇒
∞
i=1
A
i
∈ C,
b) A ∈ C =⇒ A
c
∈ C.
Chứng minh. Giả sử C = ∅ thỏa mãn a) và b). Khi đó tồn tại A ∈ C nên A
c
∈ C.
Xét A
1
= A
c
, A
i
= A (i ≥ 2). Khi đó X =
∞
i=1
A
i
∈ C. Do đó ∅ = X \ X ∈ C.
Nếu A
i
∈ C thì A
c
i
∈ C, nên theo a)
∞
i=1
A
i
c
=
∞
i=1
A
c
i
∈ C.
Dễ dàng chứng minh điều ngược lại.
Tương tự như đối với một đại số ta có
7
1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 3
Định lý 1.1.2.2. Cho trước một lớp M = ∅. Khi đó tồn tại một σ-đại số duy nhất
F(M) bao hàm M và chứa trong tất cả các σ-đại số bao hàm M.
F(M) gọi là σ-đại số sinh bởi M.
1.1.3 σ-đại số Borel
Một σ-đại số nhỏ nhất bao hàm lớp các tập mở trong không gian metric X gọi
là σ-đại số Borel của không gian X. Mỗi phần tử của σ-đại số này gọi là tập hợp
Borel. Như vậy tập hợp Borel là những tập thu được bằng cách xuất phát từ những
tập mở và thực hiện một số hữu hạn hay đếm được những phép toán về tập hợp
trên các tập đó.
Tập H trong không gian metric X được gọi là tập dạng F
σ
nếu H là hợp của
một số đếm được các tập đóng.
Tập G trong không gian metric X được gọi là tập dạng G
δ
nếu G là giao của
một số đếm được các tập mở.
Các tập dạng F
σ
, G
δ
đều là các tập Borel. Tập các số hữu tỷ trên đường thẳng
là tập dạng F
σ
. Tập các số vô tỷ là tập dạng G
δ
.
Định lý 1.1.3.1. Một σ-đại số Borel trong một không gian metric X cũng là một
σ-đại số nhỏ nhất bao hàm các tập đóng.
Chứng minh. Gọi M, N tương ứng là lớp các tập mở và lớp các tập đóng trong X.
Mỗi tập đóng là tập Borel nên N ⊂ F(M), do đó F(N) ⊂ F(M). Ngược lại, mỗi
tập mở là phần bù của một tập đóng nên M ⊂ F(N), do đó F(M) ⊂ F(N). Vậy
F(M) = F(N).
Vì mỗi một tập mở trên đường thẳng là hợp không quá đếm được những khoảng
mở nên một σ-đại số trên R là σ-đại số nhỏ nhất chứa lớp các khoảng mở.
1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp
1.2.1 Hàm tập hợp
Cho M ⊂ P(X). Một hàm f : M → R được gọi là một hàm tập hợp.
Hàm tập f được gọi là cộng tính nếu
A
1
, . . . , A
n
∈ M, A
i
∩ A
j
= ∅ (i = j),
n
i=1
A
i
∈ M =⇒ f
n
i=1
A
i
=
n
i=1
f(A
i
).
Hàm tập f được gọi là σ-cộng tính nếu
{A
i
}
i∈N
⊂ M, A
i
∩ A
j
= ∅ (i = j),
∞
i=1
A
i
∈ M =⇒ f
∞
i=1
A
i
=
∞
i=1
f(A
i
).
8
1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 4
Nếu f là σ-cộng tính và f(∅) = 0 thì f cũng cộng tính.
1.2.2 Độ đo
Định nghĩa 1.2.2.1. Cho C là một đại số trên X. Hàm tập µ : C → R được gọi là
một độ đo trên C nếu
a) µ(A) ≥ 0 với mọi A ∈ C;
b) µ(∅) = 0;
c) µ là σ-cộng tính.
Hiển nhiên µ cũng là cộng tính.
Khi đó (X, C, µ) được gọi là một không gian độ đo.
Độ đo µ được gọi là hữu hạn nếu µ(X) < +∞.
Độ đo µ được gọi là σ-hữu hạn nếu tồn tại dãy {X
n
}
n∈N
⊂ C sao cho X =
∞
n=1
X
n
và µ(X
n
) < +∞ với mọi n ∈ N.
Ví dụ 1.2.2.1. 1) µ : C → R cho bởi µ(A) = 0 với mọi A ∈ C là một độ đo trên C.
Ta gọi độ đo này là tầm thường. Từ nay về sau để cho gọn ta sẽ viết µA thay cho
µ(A).
2) Cho X là tập đếm được và µ : P(X) → R cho bởi
µA =
n nếu A có n phần tử
+∞ nếu A có vô hạn phần tử
thì µ là một độ đo. Ta gọi độ đo này là độ đo đếm.
3) Cho X là tập hợp khác rỗng. Cố định a ∈ X và định nghĩa δ
a
: P(X) →
[0, +∞] bởi δ
a
(A) = 1 nếu a ∈ A và δ
a
(A) = 0 nếu a /∈ A. Khi đó δ
a
là một độ đo
và gọi là độ đo Dirac tại điểm a ∈ X.
Định lý 1.2.2.2. Nếu µ là một độ đo trên đại số C thì
a) A, B ∈ C, A ⊂ B =⇒ µA ≤ µB.
Nếu thêm điều kiện µA < +∞ thì µ(B \ A) = µB −µA.
b) {A
i
}
i∈N
⊂ C, A ∈ C, A ⊂
∞
i=1
A
i
⇒ µA ≤
∞
i=1
µA
i
.
c) {A
i
}
i∈N
⊂ C, A
i
∩ A
j
= ∅ (i = j), A ∈ C,
∞
i=1
A
i
⊂ A ⇒
∞
i=1
µA
i
≤ µA.
Chứng minh. a) Vì B = A ∪ (B \ A) và A ∩ (B \ A) = ∅ nên µB = µA + µ(B \ A).
Vì µ(B \ A) ≥ 0 nên µA ≤ µB.
9
1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 5
Nếu µA < +∞ thì ta có thể chuyển vế trong đẳng thức trên và thu được
µ(B \ A) = µB −µA.
b) Vì A ⊂
∞
i=1
A
i
nên A = A∩
∞
i=1
A
i
=
∞
i=1
(A∩A
i
), A =
∞
i=1
B
i
với B
i
= A∩A
i
.
Đặt
B
1
= B
1
, B
2
= B
2
\ B
1
, . . . , B
n
= B
n
\
n−1
i=1
B
i
.
Khi đó B
i
∈ C và đôi một rời nhau thỏa mãn
∞
i=1
B
i
=
∞
i=1
B
i
.
Như vậy A =
∞
i=1
B
i
nên µA =
∞
i=1
µB
i
. Ta có
µB
i
≤ µB
i
= µ(A ∩ A
i
) ≤ µA
i
.
Vậy µA ≤
∞
i=1
µA
i
.
c) Vì
∞
i=1
A
i
⊂ A nên
n
i=1
A
i
⊂ A với mọi n ∈ N. Vì A,
n
i=1
A
i
∈ C nên µ
n
i=1
A
i
≤
µA với mọi n ∈ N. Cho n → ∞ ta được µ
∞
i=1
A
i
≤ µA.
Hệ quả 1.2.2.3. Nếu độ đo µ là σ-hữu hạn thì mọi A ∈ C đều có thể phân tích
thành hợp của một số đếm được tập hợp có độ đo hữu hạn.
Thật vậy, vì µ là σ-hữu hạn nên
X =
∞
i=1
X
n
, X
n
∈ C, µX
n
< +∞; A = A ∩
∞
i=1
X
n
=
∞
i=1
(A ∩ X
n
).
Và ta lại có µ(A ∩X
n
) ≤ µX
n
< +∞.
Định lý 1.2.2.4. Cho µ là độ đo trên đại số C. Khi đó
a) µA
i
= 0,
∞
i=1
A
i
∈ C =⇒ µ
∞
i=1
A
i
= 0.
b) A ∈ C, µB = 0 =⇒ µ(A ∪ B) = µ(A \ B) = µA.
Chứng minh. a) Đặt A =
∞
i=1
A
i
. Khi đó 0 ≤ µA ≤
∞
i=1
µA
i
= 0. Vậy µA = 0.
10
1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 6
b) Vì A ⊂ A ∪ B nên µ(A ∪ B) ≤ µA + µB = µA ≤ µ(A ∪ B). Do vậy
µ(A ∪ B) = µA.
Mặt khác, vì 0 ≤ µ(A ∩B) ≤ µB nên µ(A ∩ B) = 0. Từ đó
µ(A \ B) = µ(A \A ∩B) = µA − µ(A ∩B) = µA.
Định lý 1.2.2.5. Cho µ là độ đo trên đại số C. Khi đó
a) A
i
∈ C, A
1
⊂ A
2
⊂ . . . ,
∞
i=1
A
i
∈ C =⇒ µ
∞
i=1
A
i
= lim
i→∞
µA
i
.
b) A
i
∈ C, A
1
⊃ A
2
⊃ . . . , µA
1
< +∞,
∞
i=1
A
i
∈ C =⇒ µ
∞
i=1
A
i
= lim
i→∞
µA
i
.
Chứng minh. a) Đặt
B
1
= A
1
, B
2
= A
2
\ A
1
, . . . , B
n
= A
n
\ A
n−1
, . . .
Lúc đó các B
i
∈ C, rời nhau và
∞
i=1
B
i
=
∞
i=1
A
i
. Từ đó
µ
∞
i=1
A
i
=
∞
i=1
µB
i
= lim
n→∞
n
i=1
µB
i
= lim
n→∞
µ
n
i=1
B
i
= lim
n→∞
µA
n
.
b) Theo công thức de Morgan
A
1
\
∞
i=1
A
i
=
∞
i=1
(A
1
\ A
i
).
Áp dụng phần a) cho các tập A
i
= A
1
\ A
i
∈ C ta được
µ
∞
i=1
A
i
= lim
i→∞
µA
i
.
Do µA
1
< +∞ nên µA
i
< +∞ và µ
∞
i=1
A
i
< +∞. Ta có
µA
1
− µ
∞
i=1
A
i
= µ
A
1
\
∞
i=1
A
i
= µ
∞
i=1
A
i
= lim
i→∞
µA
i
= µA
1
− lim
i→∞
µA
i
.
Như vậy µ
∞
i=1
A
i
= lim
i→∞
µA
i
.
11
1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 7
Định lý 1.2.2.6. (Đảo của định lý 1.2.2.5) Cho µ là một hàm tập không âm,
cộng tính trên đại số C sao cho µ(∅) = 0. Khi đó µ sẽ là một độ đo nếu một trong
hai điều kiện sau thỏa mãn:
a) A
i
∈ C, A
1
⊂ A
2
⊂ . . . ,
∞
i=1
A
i
∈ C =⇒ µ
∞
i=1
A
i
= lim
i→∞
µA
i
.
b) A
i
∈ C, A
1
⊃ A
2
⊃ . . . ,
∞
i=1
A
i
= ∅ =⇒ lim
i→∞
µA
i
= 0.
Chứng minh. Chỉ cần chứng tỏ µ là σ-cộng tính.
a) Giả sử B =
∞
i=1
B
i
, B
i
, B ∈ C và các B
i
đôi một rời nhau. Đặt
A
1
= B
1
, A
2
= B
1
∪ B
2
, . . . , B
n
=
n
i=1
B
i
, . . .
Khi đó vì B =
∞
n=1
A
n
, A
1
⊂ A
2
⊂ . . . nên µB = lim
i→∞
µA
n
. Do µ là cộng tính nên ta
có µA
n
=
n
i=1
µB
i
. Vậy
µB = lim
n→∞
n
i=1
µB
i
=
∞
n=1
µB
n
.
b) Giả sử µB
i
< +∞ với mọi i (vì nếu có một µB
i
= +∞ thì đẳng thức cần chứng
minh hiển nhiên đúng). Với các ký hiệu như trên ta có
∅ = B \
∞
n=1
A
n
=
∞
n=1
(B \ A
n
)
với A
n
= B \ A
n
∈ C và A
1
⊃ A
2
⊃ . . . . Vậy
lim
n→∞
µ(B \ A
n
) = lim
n→∞
µA
n
= 0.
Nhưng do A
n
⊂ B và µA
n
=
n
i=1
µB
i
< +∞ nên ta có µ(B \ A
n
) = µB − µA
n
. Từ
đó
µB = lim
n→∞
µA
n
= lim
n→∞
n
i=1
µB
i
=
∞
n=1
µB
n
.
12
1.3. Thác triển độ đo 8
1.3. Thác triển độ đo
Ta sẽ mở rộng một độ đo µ trên một đại số C thành một độ đo trên một σ-đại
số chứa C.
1.3.1 Độ đo ngoài
Định nghĩa 1.3.1.1. Hàm tập µ
∗
: P(X) → R được gọi là độ đo ngoài nếu:
a) µ
∗
A ≥ 0 với mọi A ⊂ X;
b) µ
∗
∅ = 0;
c) A ⊂
∞
i=1
A
i
=⇒ µ
∗
A ≤
∞
i=1
µ
∗
A
i
.
Từ c) suy ra
c’) Nếu A ⊂ B thì µ
∗
A ≤ µ
∗
B.
Định lý 1.3.1.2. (Carathéodory) Cho µ
∗
là độ đo ngoài trên X và L là lớp tất
cả các tập con A của X sao cho
µ
∗
E = µ
∗
(E ∩ A) + µ
∗
(E \ A) với mọi E ⊂ X. (1.1)
Khi đó L là một σ-đại số và hàm tập µ = µ
∗
L
là một độ đo trên L.
Độ đo µ được gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài µ
∗
. Tập A thỏa mãn điều
kiện (1.1) gọi là tập µ
∗
-đo được.
Chứng minh. Trước hết ta nhận xét rằng điều kiện (1.1) tương đương với
µ
∗
E ≥ µ
∗
(E ∩ A) + µ
∗
(E \ A) với mọi E ⊂ X (1.1’)
vì bất đẳng thức ngược lại luôn đúng theo tính chất của độ đo ngoài.
Ta tiến hành chứng minh theo các bước sau:
• Bước 1. L là một đại số.
Ta có L = ∅ vì ∅ ∈ L. Thật vậy
µ
∗
E = µ
∗
E + µ
∗
∅ = µ
∗
(E ∩ ∅) + µ
∗
(E \ ∅) với mọi E ⊂ X.
Vì với mọi A ∈ L ta có (1.1) nên suy ra
µ
∗
E = µ
∗
(E \ A
c
) + µ
∗
(E ∩ A
c
).
Vậy L kín đối với phép toán lấy phần bù.
Ta kiểm tra L kín đối với phép hợp hữu hạn.
13
1.3. Thác triển độ đo 9
Xét A, B ∈ L. Với E ⊂ X ta có
µ
∗
E = µ
∗
(E ∩ A) + µ
∗
(E \ A)
µ
∗
(E ∩ A) = µ
∗
(E ∩ A ∩ B) + µ
∗
((E ∩ A) \B) (do B ∈ L)
µ
∗
(E \ A) = µ
∗
((E \ A) ∩B) + µ
∗
((E \ A) \B) (do B ∈ L).
Do đó
µ
∗
E = µ
∗
(E ∩A ∩B) + µ
∗
((E ∩A) \B) + µ
∗
((E \A) ∩B) + µ
∗
((E \A) \B). (1.2)
Nhưng (E \ A) \B = E \ (A ∪B) và
(E ∩ A ∩ B) ∪ ((E ∩A) \ B) ∪ ((E \A) ∩ B) = E ∩ (A ∪B)
nên từ (1.2) ta suy ra
µ
∗
E ≥ µ
∗
(E ∩ (A ∪B)) + µ
∗
(E \ (A ∪B)).
Vậy A ∪ B ∈ L.
• Bước 2. Hàm tập µ = µ
∗
L
là cộng tính.
Giả sử A, B ∈ L và A ∩ B = ∅. Với mọi E ⊂ X và G = E ∩(A ∪ B) ta có
µ
∗
G = µ
∗
(G ∩ A) + µ
∗
(G \ A).
Mặt khác, G ∩ A = E ∩ A và G \ A = E ∩B nên
µ
∗
G = µ
∗
(E ∩ A) + µ
∗
(E ∩ B). (1.3)
Chọn E = X ta sẽ được µ(A ∪ B) = µA + µB.
• Bước 3. L là một σ-đại số và µ là σ-cộng tính.
Xét {A
i
}
i∈N
đôi một rời nhau. Ta chứng minh
∞
i=1
A
i
∈ L và với mọi E ⊂ X thì
µ
∗
E ∩
∞
i=1
A
i
=
∞
i=1
µ
∗
(E ∩ A
i
). (1.4)
Theo (1.3) ta có
µ
∗
(E ∩ (A
1
∪ A
2
)) = µ
∗
(E ∩ A
1
) + µ
∗
(E ∩ A
2
).
Bằng quy nạp ta suy ra với mọi n
µ
∗
E ∩
n
i=1
A
i
=
n
i=1
µ
∗
(E ∩ A
i
).
14
1.3. Thác triển độ đo 10
Đặt A =
∞
i=1
A
i
ta có
n
i=1
A
i
∈ L và
µ
∗
E = µ
∗
E ∩
n
i=1
A
i
+ µ
∗
E \
n
i=1
A
i
=
n
i=1
µ
∗
(E ∩ A
i
) + µ
∗
E \
n
i=1
A
i
≥
n
i=1
µ
∗
(E ∩ A
i
) + µ
∗
(E \ A) (do E \A ⊂ E \
n
i=1
A
i
).
Do n tùy ý ta suy ra
µ
∗
E ≥
∞
i=1
µ
∗
(E ∩ A
i
) + µ
∗
(E \ A) ≥ µ
∗
(E ∩ A) + µ
∗
(E \ A)
(vì E ∩ A =
∞
i=1
(E ∩ A
i
) nên µ
∗
(E ∩ A) ≤
∞
i=1
µ
∗
(E ∩ A
i
).)
Vậy A ∈ L. Chọn E = A ta có
µ
∗
A ≥
∞
i=1
µ
∗
A
i
.
Bất đẳng thức ngược lại luôn đúng nên µ
∗
A =
∞
i=1
µ
∗
A
i
.
Cuối cùng, nếu {A
i
}
i∈N
⊂ L thì đặt
A
1
= A
1
, A
2
= A
2
\ A
1
, . . . , A
n
= A
n
\
n−1
i=1
A
i
,
ta sẽ có các A
i
∈ L đôi một rời nhau và
∞
n=1
A
n
=
∞
n=1
A
n
.
Theo trên
∞
i=1
A
n
∈ L nên
∞
n=1
A
n
∈ L.
Vậy L là một σ-đại số và µ là độ đo trên L.
15
1.3. Thác triển độ đo 11
1.3.2 Định lý thác triển
Định lý 1.3.2.1. Cho m là một độ đo trên một đại số C ⊂ P(X). Với mỗi A ⊂ X
ta đặt
µ
∗
A = inf
∞
i=1
mA
i
: {A
i
}
i∈N
⊂ C,
∞
i=1
A
i
⊃ A
(1.5)
thì µ
∗
là một độ đo ngoài trên X và µ
∗
A = mA với mọi A ∈ C, đồng thời mọi tập
thuộc σ-đại số F(C) đều µ
∗
-đo được.
Chứng minh. Dễ thấy µ
∗
∅ = 0 và nếu A ⊂ B thì mỗi phủ của B bởi một họ đếm
được các phần tử của C cũng là một phủ của A nên µ
∗
A ≤ µ
∗
B.
Giả sử {A
n
}
n∈N
⊂ P(X), ta chứng minh
µ
∗
∞
n=1
A
n
≤
∞
n=1
µ
∗
A
n
(lúc đó c’) sẽ đúng).
Với mỗi ε > 0, theo định nghĩa của µ
∗
A
n
tồn tại họ {P
n
i
}
i∈N
⊂ C,
∞
i=1
P
n
i
⊃ A
n
sao
cho
∞
i=1
mP
n
i
≤ µ
∗
A
n
+
ε
2
n
.
Khi đó
∞
n=1
∞
i=1
P
n
i
⊃
∞
n=1
A
n
nên
µ
∗
∞
n=1
A
n
≤
∞
n=1
∞
i=1
mP
n
i
≤
∞
n=1
µ
∗
A
n
+
∞
n=1
ε
2
n
hay
µ
∗
∞
n=1
A
n
≤
∞
n=1
µ
∗
A
n
+ ε.
Do ε tùy ý nên
µ
∗
∞
n=1
A
n
≤
∞
n=1
µ
∗
A
n
.
Vậy µ
∗
là một độ đo ngoài.
Bây giờ ta chứng minh µ
∗
A = mA với A ∈ C.
Nếu {P
i
}
i∈N
⊂ C và
∞
i=1
P
i
⊃ A thì mA ≤
∞
i=1
mP
i
nên mA ≤ µ
∗
A.
Hơn nữa ta có A = A ∪ ∅ ∪ ∅ . . . nên µ
∗
A ≤ mA + m∅ + m∅ + . . . , tức là
µ
∗
A ≤ mA. Vậy µ
∗
A = mA.
16
1.3. Thác triển độ đo 12
Để chứng minh F(C) ⊂ L ta chỉ cần chứng minh C ⊂ L.
Xét A ∈ C. Với ε > 0 và E ⊂ X tồn tại {P
i
}
i∈N
⊂ C để
∞
i=1
P
i
⊃ E,
∞
i=1
mP
i
≤ µ
∗
E + ε.
Ta có
µ
∗
(E ∩ A) + µ
∗
(E \ A) ≤ µ
∗
∞
i=1
P
i
∩ A
+ µ
∗
∞
i=1
P
i
\ A
≤
∞
i=1
µ
∗
(P
i
∩ A) +
∞
i=1
µ
∗
(P
i
\ A) ≤
∞
i=1
µ
∗
(P
i
∩ A) + µ
∗
(P
i
\ A)
Do P
i
\ A, P
i
∩ A ∈ C nên
µ
∗
(P
i
∩ A) = m(P
i
∩ A) và µ
∗
(P
i
\ A) = m(P
i
\ A).
Như vậy
µ
∗
(E ∩ A) + µ
∗
(E \ A) ≤
∞
i=1
m(P
i
∩ A) + m(P
i
\ A)
≤
∞
i=1
mP
i
≤ µ
∗
E + ε.
Do ε tùy ý nên µ
∗
(E ∩ A) + µ
∗
(E \ A) ≤ µ
∗
E với mọi E ⊂ X. Vậy A ∈ L.
Định nghĩa 1.3.2.2. Ta nói rằng một độ đo µ trên một σ-đại số L là đủ nếu mọi
tập con của một tập bất kỳ thuộc L có độ đo 0 đều thuộc L và có độ đo 0, nghĩa là
nếu
N ⊂ E, µE = 0 =⇒ N ∈ L, µN = 0.
Định lý 1.3.2.3. Độ đo µ cảm sinh bởi một độ đo ngoài µ
∗
bao giờ cũng là độ đo
đủ (trên σ-đại số L các tập µ
∗
-đo được) và họ các tập có độ đo µ bằng 0 trùng với
họ các tập có độ đo ngoài µ
∗
bằng 0.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh mọi tập A có µ
∗
A = 0 đều µ
∗
-đo được. Lúc đó
với mọi E ⊂ X thì µ
∗
(E ∩ A) ≤ µ
∗
A = 0 nên
µ
∗
(E ∩ A) + µ
∗
(E \ A) ≤ µ
∗
(E \ A) ≤ µ
∗
E.
Theo (1.1
) ta suy ra A ∈ L.
Từ các kết quả trên ta suy ra định lý sau.
17
1.3. Thác triển độ đo 13
Định lý 1.3.2.4. độ đo m trên một đại số C. Khi đó tồn tại độ đo µ trên σ-đại số
L ⊃ F(C) ⊃ C sao cho
1) µA = mA với mọi A ∈ C, trong đó µ là mở rộng của m;
2) µ là hữu hạn (σ-hữu hạn) nếu m hữu hạn (σ-hữu hạn);
3) µ là đọ đo đủ;
4) Giả sử µ là σ-hữu hạn. Khi đó A ∈ L khi và chỉ khi
A = B \ N hay A = B ∪N (1.6)
trong đó B ∈ F(C), µ
∗
N = µN = 0 với µ
∗
là độ đo ngoài xác định từ m theo công
thức (1.5).
Chứng minh. Ta lấy µ là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài µ
∗
xác định từ m theo
công thức (1.5) và L là σ-đại số các tập µ
∗
-đo được. Theo định lý 1.3.2.1 thì µ là
một mở rộng của m. Tính chất 2) là rõ ràng. Theo định lý 1.3.2.3 thì µ là đủ. Ta
chỉ cần chứng minh tính chất 4).
Nếu A có dạng (1.6) thì hiển nhiên A ∈ L.
Ngược lại, ta giả sử A ∈ L.
• Nếu µA < +∞ thì theo cách xây dựng µ
∗
với mỗi k ∈ N tồn tại họ {P
i
}
i∈N
⊂ C
sao cho
∞
i=1
P
k
i
⊃ A và
∞
i=1
mP
k
i
< µA +
1
k
.
Đặt B
k
=
∞
i=1
P
k
i
và B =
∞
k=1
B
k
thì B ∈ F(C), B ⊃ A và
µB ≤ µB
k
≤
∞
i=1
mP
k
i
≤ µA +
1
k
, ∀k ∈ N.
Như vậy µB ≤ µA. Nhưng A ⊂ B nên µA = µB.
Đặt N = B \ A. Khi đó µN = 0 và A = B \ N.
• Ta xét trường hợp µA = +∞. Do µ là σ-hữu hạn nên A =
∞
n=1
A
n
với A
n
∈ L
và µA
n
< ∞. Theo trường hợp trên, với mỗi n ∈ N ta có D
n
⊃ A
n
với D
n
∈ F(C) để
cho µ(D
n
\A
n
) = 0. Đặt D =
∞
n=1
D
n
Lúc đó D ∈ F(C) và N = D\A =
∞
n=1
(D
n
\A).
Ta có
µN ≤
∞
n=1
µ(D
n
\ A) ≤
∞
n=1
µ
∗
(D
n
\ A
n
) = 0.
18
1.4. Độ đo trên R
k
14
Vậy A = D \N với D ∈ F(C) và µN = 0.
Bây giờ, nếu A ∈ L thì X \ A ∈ L nên
X \A = B
\ N
với B
∈ F(C), µN
= 0.
Ta suy ra
A = (X \B
) ∪ N
hay A = B
∪ N
,
với B
= X \B
∈ F(C) và µN
= 0.
Độ đo trong định lý 1.3.2.4 được gọi là mở rộng tiêu chuẩn của độ đo m.
Như vậy σ-đại số L các tập µ
∗
-đo được không khác σ-đại số F(C) nhiều lắm và
có thể hu được từ F(C) bằng cách thêm vào hay bớt đi một tập có độ đo ngoài bằng
0 vào các phần tử của F(C).
1.4. Độ đo trên R
k
Dựa vào định lý thác triển độ đo, trong phần này ta sẽ xây dựng độ đo Lebesgue
trên không gian Euclide k-chiều.
1.4.1 Độ đo trên đường thẳng R
Ta gọi một gian trên đường thẳng R là một tập hợp có một trong các dạng sau:
(a, b), [a, b], (a, b], [a, b), (−∞, +∞), (−∞, a), (−∞, a], (a, +∞), [a, +∞).
Như vậy giao của hai gian cũng là một gian, phần bù của một gian cũng là một gian
hoặc là hợp của hai gian rời nhau.
Gọi C là tập hợp tất cả các tập con của R có thể biểu diễn thành hợp của một
số hữu hạn các gian đôi một rời nhau:
C =
P ⊂ R : P =
n
i=1
∆
i
, ∆
i
là gian, ∆
i
∩ ∆
j
= ∅, với i = j
.
Bổ đề 1.4.1.1. C là một đại số.
Chứng minh bổ đề này xem như bài tập.
Xét hàm tập m : C → R xác định bởi: nếu P =
n
i=1
∆
i
(các gian rời nhau) thì
đặt m(P ) =
n
i=1
|∆
i
| trong đó |∆
i
| chỉ độ dài của gian ∆
i
.
Bổ đề 1.4.1.2. Hàm tập m là một độ đo trên đại số C.
19
1.4. Độ đo trên R
k
15
Chứng minh. Rõ ràng m không âm và m∅ = 0.
Trước hết ta nhận xét rằng:
a) Nếu có những gian ∆, ∆
1
, . . . , ∆
k
mà ∆ ⊂
k
i=1
∆
i
thì
|∆| ≤
k
i=1
|∆
i
|.
b) Nếu ∆ ⊃
k
i=1
∆
i
với ∆
i
∩ ∆
j
= ∅ khi i = j thì
|∆| ≥
k
i=1
|∆
i
|.
Để chứng minh tính σ-cộng tính của hàm tập m ta chứng minh tính chất sau:
c) Nếu các gian ∆, ∆
1
, . . . , ∆
k
, . . . thỏa mãn ∆ =
∞
i=1
∆
i
với ∆
i
∩ ∆
j
= ∅ khi i = j
thì
|∆| =
∞
i=1
|∆
i
|.
Với mỗi n ∈ N ta luôn có
n
i=1
∆
i
⊂ ∆ nên
n
i=1
|∆
i
| ≤ |∆| do đó
∞
n=1
|∆
n
| ≤ |∆|.
Ta cần chứng minh
∞
n=1
|∆
n
| ≥ |∆|.
Nếu có một gian ∆
k
mà |∆
k
| = +∞ thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên
đúng. Do đó ta xét trường hợp |∆
k
| < +∞ với mọi k.
Ta xét hai khả năng:
i) |∆| < +∞. Với ε > 0 ta chọn gian đóng ∆
⊂ ∆ sao cho |∆| < |∆
| +
ε
2
, đồng
thời chọn gian mở ∆
k
⊃ ∆
k
sao cho |∆
k
| < |∆
k
| +
ε
2
k+1
.
Các gian mở tạo thành một phủ mở của tập compact ∆
nên phải có hữu hạn
gian ∆
k
i
(i = 1, . . . , p) còn phủ ∆
. Như vậy
|∆
| ≤
p
i=1
|∆
k
i
| ≤
∞
k=1
|∆
k
|,
20
1.4. Độ đo trên R
k
16
do đó
|∆| < |∆
| +
ε
2
≤
∞
k=1
|∆
k
| + ε.
Vì ε tùy ý nên
|∆| ≤
∞
n=1
|∆
n
|.
ii) |∆| = +∞. Với n
o
là số tự nhiên tùy ý ta chọn gian đóng hữu hạn ∆
⊂ ∆
sao cho |∆
| > n
o
. Tương tự như trường hợp i) ta suy ra
|∆
| ≤
∞
k=1
|∆
k
|
nên
n
o
< |∆
| <
∞
k=1
|∆
k
| + ε.
Do n
o
tùy ý và ε tùy ý nên
∞
k=1
|∆
k
| = +∞ = |∆|.
Bây giờ ta chứng minh tính σ-cộng tính của m.
Giả sử P =
∞
i=1
P
i
với các P, P
i
∈ C và các P
i
đôi một rời nhau. Ta có
P =
n
k=1
∆
k
, P
i
=
r
i
j=1
∆
ij
∆
k
= ∆
k
∩
∞
i=1
P
i
=
∞
i=1
(P
i
∩ ∆
k
) =
∞
i=1
r
i
j=1
(∆
k
∩ ∆
ij
).
Như vậy
|∆
k
| =
∞
i=1
r
i
j=1
|∆
k
∩ ∆
ij
|.
Với chú ý rằng ∆
ij
=
n
k=1
(∆
k
∩ ∆
ij
), theo định nghĩa của m thì
mP =
n
k=1
|∆
k
| =
n
k=1
∞
i=1
r
i
j=1
|∆
k
∩ ∆
ij
|
=
∞
i=1
r
i
j=1
n
k=1
|∆
k
∩ ∆
ij
| =
∞
i=1
r
i
j=1
|∆
ij
| =
∞
i=1
P
i
.
21
1.4. Độ đo trên R
k
17
Vậy m là một độ đo trên C.
Định nghĩa 1.4.1.3. Mở rộng tiêu chuẩn của độ đo m theo sơ đồ tổng quát của
định lý 1.3.2.4 được gọi là độ đo Lebesgue trên R.
Ta có một số nhận xét sau:
• Với mỗi A ⊂ R độ đo ngoài được xác định bởi công thức
µ
∗
A = inf
∞
i=1
mP
i
:
∞
i=1
P
i
⊃ A, P
i
∈ C
. (1.7)
Định nghĩa này có thể thay bằng
µ
∗
A = inf
∞
k=1
|∆
k
| :
∞
k=1
∆
k
⊃ A, ∆
k
là khoảng mở
. (1.8)
Thật vậy, gọi α và β là hai số xác định bởi vế phải của (1.7) và (1.8). Vì mỗi khoảng
mở ∆
k
đều thuộc C nên α ≤ β. Ngược lại, với mọi họ {P
i
}
i∈N
⊂ A mà
∞
i=1
P
i
⊃ A
thì
∞
i=1
P
i
có dạng
∞
k=1
∆
k
với ∆
k
là một gian. Với ε > 0 bất kỳ ta chọn khoảng mở
∆
k
sao cho ∆
k
⊃ ∆
k
và |∆
k
| < |∆
k
| +
ε
2
k
. Ta có
∞
i=1
∆
k
⊃ A và
∞
k=1
|∆
k
| ≤
∞
k=1
∆
k
| +
∞
k=1
ε
2
k
≤
∞
i=1
mP
i
+ ε.
Do vậy β ≤ α + ε. Do ε tùy ý nên β ≤ α.
• Một tập A được gọi là đo được Lebesgue nếu nó thỏa mãn điều kiện (1.1), tức là
µ
∗
E = µ
∗
(E ∩ A) + µ
∗
(E \ A) với mọi E ⊂ X.
Lúc đó µA = µ
∗
A.
• Độ đo Lebesgue trên R là σ-hữu hạn và R =
∞
n=1
[−n, n]. Hiển nhiên nó là độ đo
đủ.
• Có thể thấy rằng σ-đại số F(C) ở đây chính là σ-đại số Borel trên R vì nếu gọi B
là σ-đại số Borel trên R thì F(C) ⊃ B (vì F(C) cũng chứa lớp các khoảng mở).Mặt
khác, vì B ⊃ C nên B ⊃ F(C). Vậy mọi tập Borel trên R đều đo được.
Tóm lại, độ đo Lebesgue là độ đo đủ, σ-hữu hạn và bất kỳ một tập đo được nào
cũng là một tập Borel thêm hay bớt đi một tập có độ đo không.
Kết quả sau là một đặc trưng của một tập có độ đo không trên R. Đây là hệ quả
của (1.8).
22
1.4. Độ đo trên R
k
18
Định lý 1.4.1.4. Một tập N có độ đo 0 khi và chỉ khi với mỗi ε > 0 có thể tìm
được một hệ (hữu hạn hay đếm được) khoảng mở {∆
k
}
k
phủ N và có tổng độ dài
bé hơn ε :
k
∆
k
⊃ N;
k
|∆
k
| < ε.
Hệ quả 1.4.1.5. Mọi tập hữu hạn hay đếm được trên đường thẳng đều đo được và
có độ đo bằng 0.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh cho tập một điểm {x}. Với mỗi ε > 0 tồn tại
khoảng mở ∆ = (x −
ε
3
, x +
ε
3
) chứa x và |∆| < ε.
Như vậy tập Q các điểm hữu tỷ có độ đo bằng 0, do đó tập các điểm vô tỷ R \Q
trên mỗi đoạn [a, b] có độ đo bằng b −a. Tuy nhiên cũng có những tập có độ đo 0
mà không đếm được, chẳng hạn như tập Cantor.
Kết quả sau là một đặc trưng của một tập đo được theo Lebesgue (hay L-đo
được).
Định lý 1.4.1.6. A ⊂ R, ta có các mệnh đề sau là tương đương:
1) A là L-đo được;
2) Với mỗi ε > 0 tồn tại tập mở G ⊃ A sao cho µ
∗
(G \ A) < ε;
3) Với mỗi ε > 0 tồn tại tập đóng F ⊂ A sao cho µ
∗
(A \ F) < ε.
Chứng minh. 1) ⇒ 2). Ta xét hai trường hợp.
a) µA < +∞.
Với mỗi ε > 0 tồn tại hệ khoảng mở {∆
k
}
k∈N
phủ A sao cho
∞
k=1
|∆
k
| < µA + ε.
Đặt G =
∞
k=1
∆
k
thì G ⊃ A,G mở và
µG ≤
∞
k=1
|∆
k
| < µA + ε.
Do µA < +∞ nên µ(G \ A) = µG − µA < ε.
b) µA = +∞.
Ta có A =
∞
n=1
(A ∩ [−n, n]). Tập A
n
= A ∩ [−n, n] có độ đo hữu hạn nên theo
trường hợp a) tồn tại G
n
⊃ A
n
, G
n
mở và µ(G
n
\ A
n
) <
ε
2
n+1
.
23
1.4. Độ đo trên R
k
19
Tập G =
∞
n=1
G
n
là tập mở chứa A và
µ(G \ A) ≤
∞
n=1
µ(G
n
\ A
n
) ≤
∞
n=1
ε
2
n+1
=
ε
2
< ε.
2) ⇒ 1). Với mỗi n ∈ N có tập mở G
n
⊃ A và µ
∗
(G
n
\ A) <
1
n
. Đặt B =
∞
n=1
G
n
.
Khi đó B ∈ L và B ⊃ A. Hơn nữa
µ
∗
(B \ A) ≤ µ
∗
(G
n
\ A) <
1
n
, ∀n ∈ N
nên µ
∗
(B \ A) = 0. Vì µ đủ nên B \A ∈ L. Khi đó A = B \(B \A) đo được.
1) ⇔ 3). Tập A đo được khi và chỉ khi A
c
đo được, tức là khi và chỉ khi với ε > 0
tồn tại G mở, G ⊃ A
c
sao cho µ
∗
(G \ A
c
) < ε. Khi đó tập F = G
c
⊂ A và
µ
∗
(A \ F) = µ
∗
(G \ A
c
) < ε.
1.4.2 Độ đo trên không gian R
k
, (k > 1)
Những kết quả ở phần trên có thể mở rộng cho không gian R
k
, k > 1.
Trong R
k
ta gọi gian là một tập bằng tích Descartes của k gian trong R, tức là
tập hợp các điểm x = (ξ
1
, ξ
2
, . . . , ξ
k
) trong đó ξ
i
chạy trong một gian nào đó của R.
Nếu ξ
i
thuộc gian có hai đầu mút α
i
, β
i
(i = 1, 2, . . . , k) thì thể tích của gian ∆ bằng
|∆| =
k
i=1
(β
i
− α
i
).
Nếu có một gian mà α
i
= β
i
thì ta quy ước |∆| = 0, còn nếu có một gian trong R
vô hạn và không có gian nào có độ dài bằng 0 thì |∆| = +∞.
Gọi Ck là lớp các tập hợp của R
k
có thể biểu diễn thành hợp của một số hữu
hạn các gian rời nhau. Ta có kết quả tương tự như với đô đotrên R.
1) C
k
là một đại số.
2) Nếu với mỗi P ∈ C
k
có dạng P =
n
i=1
∆
i
, trong đó ∆
i
là những gian ròi nhau,
ta đặt
m(P ) =
n
i=1
|∆
i
|.
Khi đó hàm tập m là một độ đo trên C
k
.
24
1.4. Độ đo trên R
k
20
3) Độ đo m có thể mở rộng thành một độ đo µ
k
trên một σ-đại số L
k
⊃ F(C
k
) ⊃
C
k
. Độ đo µ
k
này gọi là độ đo Lebesgue trên R
k
, và các tập thuộc L
k
gọi là tập đo
được theo Lebesgue trên R
k
.
F(C
k
) chính là σ-đại số Borel trong R
k
(do đó mọi tập Borel trong R
k
đều đo
được.
Các định lý 1.4.1.4 và 1.4.1.6 cũng đúng đối với R
k
và cũng được chứng minh
tương tự.
Một đặc điểm đáng chú ý của độ đo Lebesgue trên R
k
là nó bất biến qua phép
dời, tức la nếu E
là ảnh của E qua một phép dời nào đó và nếu tập này đo được
thì tập kia cũng đo được và µE = µE
.
Tập hợp đo được theo Lebesgue cũng không bao gồm tất cả mọi tập con của
R
k
. Người ta chứng minh được rằng trong mỗi không gian R
k
dều tồn tại tập không
đo được theo Lebesgue. Điều này không có nghĩa là khái niệm đo được Lebesgue là
chưa đủ rộng bởi vì người ta cũng chứng minh được rằng trong mỗi không gian R
k
không thể xây dựng một độ đo σ-hữu hạn sao cho
a) Độ đo xác định trên mọi tập con của R
k
;
b) Đọ đo bất biến qua phép dời;
c) Độ đo cả mỗi gian trùng với thể tích của gian đó.
Ví dụ 1.4.2.1. (Tập không đo được trong R)
Để xây dựng ví dụ này ta cần nhắc lại tiên đề chọn: Nếu {A
i
}
i∈I
là một họ gồm
các tập khác rỗng, rời nhau từng đôi một thì tồn tại tập E ⊂
i∈I
A
i
sao cho E ∩A
i
chứa duy nhất một phần tử với mọi i ∈ I.
Gọi µ là độ đo Lebesgue trên R Trên [0, 1] ta xét quan hệ tương đương ∼ xác
định như sau: x,y ∈ [0, 1], x ∼ y khi và chỉ khi x−y ∈ Q. Dễ thấy ∼ là một quan hệ
tương đương trên [0, 1]. Khi đó [0, 1] được phân hoạch thành các lớp tương đương.
Theo tiên đề chọn tồn tại tập E ⊂ [0, 1] sao cho giao của nó với mọi lớp tương đương
nói trên gồm đúng một điểm. Khi đó E không đo được Lebesgue.
Thật vậy, giả sử E đo được Lebesgue. ta đánh số tất cả các số hữu tỷ trong
[−1, 1] là r
1
, r
2
, . . . . Với mỗi n ∈ N đặt E
n
= {r
n
+ x : x ∈ E} và nhận xét rằng
E
n
là đo được Lebesgue. Dễ thấy rằng E
n
∩ E
m
= ∅ nếu n = m và µE
n
= µE với
mọi n ∈ N (vì µ bất biến đối với phép tịnh tiến). Hơn nữa, [0, 1] ⊂
∞
n=1
E
n
⊂ [−1, 2].
Theo tính σ-cộng tính của µ ta có
µ
∞
n=1
E
n
=
∞
n=1
µ(E
n
) = lim
n→∞
nµE ≤ µ([−1, 2]) = 3.
25
