(Luận văn Thạc sĩ Toán học) Vấn đề duy nhất cho L hàm và hàm phân hình có hữu hạn cực điểm

ĐẠI HỌC AAAAAAAAAAA
TRƯỜNG ĐẠI HỌCAAAAAA
————— o0o —————

AAAAAAAAAAAAAAAAA

VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO L-HÀM VÀ HÀM PHÂN
HÌNH CĨ HỮU HẠN CỰC ĐIỂM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

AAAAAAAA– 2023


ĐẠI HỌC
TRƯỜNG ĐẠI HỌC
————— o0o —————

TRẦN VĂN AAA

VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO L-HÀM VÀ HÀM PHÂN
HÌNH CĨ HỮU HẠN CỰC ĐIỂM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 8 46 01 02

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
AAAAAAAA

AAAAAAAAAA– 2023

Lời cam đoan
Tôi cam đoan đã thực hiện việc kiểm tra mức độ tương đồng nội dung luận
văn qua phần mềm Turnitin một cách trung thực và đạt kết quả mức độ tương
đồng ......%. Luận văn kiểm tra qua phần mềm là bản cứng đã nộp để bảo vệ
trước hội đồng. Nếu sai tơi hồn tồn chịu trách nhiệm
Thái Ngun, ngày...... tháng ...... năm 2023
Tác giả của sản phẩm học thuật

AAAAAAAAAAAAAAA

i


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại họcAAAAAAAAAAAA.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với AAAAAAAA đãtrực tiếp
hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiêncứu vừa
qua.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tới các quý thầy, cơ giáo đã giảng dạy
lớp cao học Tốn KAAA, các bạn học viên và đồng nghiệp đã tạo điều kiện
thuậnlợi, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Tác giảcũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân ln
khuyếnkhích động viên tác giả trong suốt q trình học cao học và viết luận
văn này.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót
và hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cơ
và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng năm 2023
Tác giả

AAAAAAAAAAAAA

ii


Mục lục
Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mở đầu

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

4

1.1. Các hàm Nevanlinna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Hàm đếm a-điểm của hàm phân hình . . . . . . . . . . . .

9

1.3. Xác định duy nhất L-hàm và hàm phân hình khi chúng
chia sẻ các giá trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Chương 2. Vấn đề duy nhất cho L-hàm và hàm phân hình
có hữu hạn cực điểm

18

2.1. L-hàm và hàm phân hình chia sẻ một tập hữu hạn CM . . 18
2.2. L-hàm và hàm phân hình chia sẻ một tập hữu hạn IM . . 31
Kết luận

37

Tài liệu tham khảo

38

iii


Mở đầu
Cho f và g là hai hàm phân hình trên mặt phẳng phức C. Với mỗi
c ∈ C ∪ {∞}, ảnh ngược của c bởi f là f −1 (c) = {c ∈ C : f (s) − c =
0}. Hàm f và g được gọi là chia sẻ giá trị c khơng tính bội (IM ) nếu
f −1 (c) = g −1 (c). Hàm f và g được gọi là chia sẻ giá trị c tính cả bội
(CM ) nếu f và g chia sẻ c IM và mỗi nghiệm của phương trình f (s) = c
có cùng bội với nghiệm của phương trình g(s) = c.

Cho tập S ⊂ C ∪ {∞}, ta định nghĩa
Ef (S) =

[

{s ∈ C : f (s) − c = 0},

c∈S

với mỗi khơng điểm của f − c tính cả bội. E f (S) là tập các phần tử phân
biệt của Ef (S).
Chúng ta nói rằng f và g chia sẻ tập S CM nếu Ef (S) = Eg (S) và
chúng chia sẻ S IM nếu E f (S) = E g (S).
Năm 1926, R. Nevanlinna đã chứng minh được rằng: Với hai hàm phân
hình f và g trên mặt phẳng phức C, nếu chúng có cùng ảnh ngược (khơng
tính bội) của 5 điểm phân biệt thì f = g (Định lý 5 điểm) và g có dạng
af + b
(a, b, c, d là các số phức nào đó thoả mãn ad − bc 6= 0 ) nếu f và
cf + d
g có cùng ảnh ngược (kể cả bội) của 4 điểm phân biệt (Định lý 4 điểm).
Năm 1977, F. Gross đưa ra một ý tưởng mới là không xét ảnh ngược
của các điểm riêng rẽ mà xét ảnh ngược của các tập hợp điểm trong
C ∪ {∞}. Ông đưa ra hai câu hỏi sau:
i) Tồn tại hay không tập S của C ∪ {∞} để với bất kỳ các hàm phân
hình f, g thoả mãn điều kiện Ef (S) = Eg (S) ta có f = g?
ii) Tồn tại hay khơng hai tập Si , i = 1, 2 của C ∪ {∞} để với bất kỳ các
1


hàm phân hình f, g thoả mãn điều kiện Ef (Si ) = Eg (Si ), i = 1, 2,

ta có f = g?
Đã có nhiều nhà tốn học đưa ra các kết quả về hai hàm phân hình f
và g góp phần trả lời câu hỏi của F.Gross.
Năm 1994 và 1995, H.X. Yi đã đưa ra hai kết quả về điều kiện đủ để
các hàm nguyên f và g chia sẻ một tập S CM ; chia sẻ hai tập: S1 CM
và S2 thì f = g, trong đó S là tập gồm n điểm liên quan đến nghiệm của
phương trình ω n + aω m + b = 0, S1 là tập gồm n điểm và tập S2 gồm
một điểm trong C.
Trong những năm gần đây, phân bố giá trị của L-hàm đã được nhiều
nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Phân bố giá trị của L-hàm L thường
liên quan đến phân bố các không điểm, a-điểm của L tức là các nghiệm
của L(s) = a hoặc các điểm trong tập ảnh ngược L−1 (a) = {s ∈ C :
L(s) = a}, trong đó s là biến số phức trong C và a ∈ C ∪ {∞}.
Năm 2007, J. Steuding [11] đã đưa ra kết quả (Định lý 1.3 trong luận
văn) về điều kiện đủ để hai L-hàm L1 và L2 chia sẻ giá trị c 6= ∞ CM
thì L1 = L2 .
Chúng ta biết rằng, thác triển các L-hàm lên mặt phẳng phức C cho
ta một hàm phân hình. Vì thế có thể xem L-hàm là một lớp đặc biệt các
hàm phân hình và những phương pháp của lý thuyết xác định duy nhất
các hàm phân hình cho công cụ mạnh để nghiên cứu L-hàm.
Năm 2010, B.Q.Li đã đưa ra kết quả (Định lý 1.4 trong luận văn) về
hàm phân hình f có hữu hạn cực điểm và L-hàm L chia sẻ một giá trị
CM và một giá trị IM thì L = f.
Hiện nay, phân bố giá trị của L-hàm và vấn đề duy nhất của hàm
phân hình chia sẻ một hoặc hai tập với L-hàm đang là vấn đề có tính
thời sự.
Luận văn: “Vấn đề duy nhất cho L-hàm và hàm phân hình có
hữu hạn cực điểm” sẽ trình bày các kết quả của Q. Q. Yuan, X. M.
Li và H.X. Yi [9]; Pulak Sahoo và Samar Halder [8] góp phần trả lời câu
hỏi của Gross trong trường hợp hàm phân hình f và L-hàm L chia sẻ

một tập hữu hạn; một tập hữu hạn và một giá trị.
2


Ngoài phần "Mở đầu", "Kết luận" và " Tài liệu tham khảo", các kết
quả chính của luận văn được trình bày trong hai chương:
Chương 1: Trình bày một số vấn đề cơ bản các hàm Nevanlinna, hai
Định lý cơ bản và một số vấn đề về xác định duy nhất L-hàm và hàm
phân hình.
Chương 2: Trình bày vấn đề duy nhất cho L-hàm và hàm phân hình
có hữu hạn cực điểm chia sẻ một tập hữu hạn; một tập hữu hạn và một
giá trị.

3


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1.

Các hàm Nevanlinna

Với mỗi số thực dương x ∈ R∗+ , kí hiệu
log+ x =



log x nếu x ≥ 1
0 nếu 0 < x < 1.

Như vậy:

log+ x = max{log x, 0},
1
log x = log+ x − log+ .
x
Cho f là một hàm phân hình trên DR = {z ∈ C : |z| ≤ R} và một số
thực r > 0, trong đó 0 < R ≤ ∞ và 0 < r < R.
Định nghĩa 1.1. Hàm
1
m(r, f ) =
2π

Z2π

log+ |f (reiϕ )|dϕ,

0

được gọi là hàm xấp xỉ của hàm f.
Ta kí hiệu n(r, f ) là số cực điểm kể cả bội, n(r, f ) là số cực điểm phân
biệt (không kể bội) của hàm f trong Dr .
Định nghĩa 1.2. Hàm
Z
N (r, f ) = N (r, ∞; f ) =
0

r

n(t, f ) − n(0, f )
dt + n(0, f ) log r,
t

được gọi là hàm đếm kể cả bội của hàm f (còn được gọi là hàm đếm tại
các cực điểm).
4


Định nghĩa 1.3. Hàm
Z

r

n(t, f ) − n(0, f )
dt + n(0, f ) log r
t

N (r, f ) = N (r, ∞; f ) =
0

được gọi là hàm đếm khơng kể bội. Trong đó
n(0, f ) = lim n(t, f ); n(0, f ) = lim n(t, f ).
t→0

t→0

Định nghĩa 1.4. Hàm
T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f )
gọi là hàm đặc trưng của hàm f.
Dễ thấy
 1
 1



1
+
n r,
= max 0, − log µ(r, f ) .
= log µ r,
= log+
f
f
µ(r, f )
Các hàm đặc trưng T (r, f ), hàm xấp xỉ m(r, f ) và hàm đếm N (r, f )
là ba hàm cơ bản trong lý thuyết phân bố giá trị, nó cịn được gọi là các
hàm Nevanlinna.
Định nghĩa 1.5. Hàm



N

1
r,
f


=

1
Zr n t,
f






1


− n 0,
1
f
dt + n 0,
log r
t
f

0

được gọi là hàm đếm tại các không điểm của hàm f.
Cho a ∈ C ∪ {∞}, ta kí hiệu

m r,

1
f −a


=

1
2π

Z2π

log+

1
|f (reiϕ )

− a|

dϕ.

0



1
Kí hiệu n r,
f −a





1
là số các khơng điểm kể cả bội và n 1,
f −a
5


là


số các không điểm phân biệt của f − a trong Dr .



1
 Zr n t,

− n 0,
1
f −a
f
=
N (r, f ) = N r,
f −a
t
0


1
+ n 0,
log r,
f −a




1

 Zr n t,
− n 0,
1
f −a
f
N (r, f ) = N r,
=
f −a
t
0


1
log r.
+ n 0,
f −a

T

1
r,
f −a





1

= m r,
f −a




+N

1
−a



1
−a



dt

dt


1
r,
.
f −a

Định lý 1.1. (Định lý cơ bản thứ nhất [?]) Cho f 6≡ 0 là một hàm phân
hình khác hằng trên đĩa đóng D(R) = {z ∈ C : |z| ≤ r}. Khi đó, ta có



1
T r,
= T (r, f ) − log |f (0) − a| + ε(r, a),
f −a
trong đó |ε(r, a)| ≤ log+ |a| + log 2. Hay


1
T r,
= T (r, f ) + O(1),
f −a
trong đó O(1) là đại lượng bị chặn.
Định lý 1.2. (Định lý cơ bản thứ hai [?]) Cho f là hàm phân hình khác
hằng trên C và a1 , a2 , . . . , aq là các số phức phân biệt. Khi đó, ta có bất
đẳng thức
(q − 1)T (r, f ) ≤

q
X
i=1


N

1
r,
f − ai


+ N (r, f ) − N1 (r, f ) + S(r, f ),

đúng với mọi r > 0 đủ lớn nằm ngồi một tập có độ đo Lebesgue hữu

6


hạn, trong đó


1
N1 (r, f ) = N r, 0
f



+ 2N (r, f ) − N (r, f 0 ), S(r, f ) = O(T (r, f )).

Bổ đề 1.1. ([9]) Cho f là một hàm phân hình khác hằng và
P (f ) = an f n + an−1 f n−1 + · · · + a1 f + a0 ,
trong đó an (6= 0), an−1 , · · · , a0 là các hằng số. Khi đó
T (r, P (f )) = nT (r, f ) + O(1).
Bổ đề 1.2. Cho
P (ω) = ω n + aω m + b,
trong đó a và b là các số phức khơng âm; m, n nguyên dương thoả mãn
n > m. Khi đó, ta có
(i) Phương trình P (ω) = 0 khơng có nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 3;
(ii) Nếu
bn−m

(−1)n mm (n − m)n−m
=
6
an
nn

(1.1)

thì phương trình P (ω) = 0 có n nghiệm phân biệt và khơng có nghiệm
bội.
(iii) Nếu n và m thỏa mãn
bn−m
(−1)n mm (n − m)n−m
=
an
nn

(1.2)

thì phương trình P (ω) = 0 có n−1 nghiệm, trong đó có n−2 nghiệm
phân biệt và một nghiệm kép.
Bổ đề 1.3. (Bổ đề
Cho f là hàm phân hình khác
PValiron-Mokhon’ko)
p
k
ak f
hàm hằng và F = Pk=0
là hàm hữu tỷ bất khả quy trong f với các
q

j
j=0 bj f
hệ số hằng {ak } và {bj }, trong đó ap 6= 0 và bq 6= 0. Khi đó T (r, F ) =
dT (r, f ) với d = max{p, q}.
7


Bổ đề 1.4. Giả sử p > 0, q là số nguyên tố và c là số phức thoả mãn
cp = 1. Khi đó, tồn tại duy nhất một khơng điểm chung của ω p − 1 và
ω q − c.
Trước khi giới thiệu một số kết quả tiếp theo, chúng ta đưa ra các ký
hiệu sau: Cho
 phân hình f thoả mãn f 6= 0 và số nguyên dương j,
 hàm
kí hiệu nj r, f1 là số khơng điểm của f trong {z : |z| ≤ r}. Một không
điểm của f có bội m được tính k lần với k = min{m, j}.
Định nghĩa 1.6. Hàm

Nj

1
r,
f



Z

r



nj t,

=

1
f





− nj 0,
t

0

1
f



dt + nj

1
r,
f



log r.

được gọi là hàm đếm tích phân của f .
Hiển nhiên










1
1
1
1
1
N1 r,
= N r,
, N r,
≤ Nj r,
≤ N r,
,
f
f
f
f
f

và


Nj

1
r,
f




≤ jN

1
r,
f


.

Bổ đề 1.5. (Định lý Cartan) Giả sử g1 , g2 , · · · , gp (p ≥ 2) là các hàm
nguyên độc lập tuyến tính và với mỗi số phức z, ta có
max{|g1 (z)|, |g2 (z)|, · · · , |gp (z)|} > 0.
Với số dương r, ta định nghĩa
1
T (r) =
2π

Z

2π



iθ
u re dθ − u(0),

0

trong đó u(z) = sup1≤j≤p log |gj (z)|. Đặt gp+1 = g1 + g2 + · · · + gp . Khi đó
T (r) ≤

p+1
X
j=1

Np−1



p+1
 1
X
1
r,
+ S(r) ≤ (p − 1)
N r,
+ S(r),
gj

g
j
j=1

8


với




S(r) = O log T (r) + O log r , khi r → ∞ và r 6∈ E.
Nếu ít nhất một thương gj /gm là các hàm siêu việt thì
S(r) = o(T (r)) khi r → ∞ và r 6∈ E.
ngược lại nếu tất cả thương gj /gm là các hàm hữu tỉ thì
1
S(r) ≤ − p(p − 1) log r + O(1), khi r → ∞ và r 6∈ E.
2
Bổ đề 1.6. Giả sử tất cả các giả thiết của Bổ đề 1.5 thỏa mãn. Khi đó
với bất kỳ j và m, ta có
 g 
j
≤ T (r) + O(1), khi r → ∞
T r,
gm
và với bất kỳ j, ta có
1
N 1,
≤ T (r) + O(1), khi r → ∞.

gj


Bổ đề 1.7. ([5]) Giả sử f1 , f2 , · · · , fn là các hàm phân hình khác hằng
P
sao cho nj=1 fj = 1. Nếu f1 , f2 , · · · , fn độc lập tuyến tính thì
T (r, f1 ) ≤

n
X
j=1

Nn−1



n


X
1
r,
+ (n − 1)
N (r, fj ) + o T (r)
fj
j=2

với mọi r trừ ra một tập E ⊂ (0, +∞) có độ đo hữu hạn và
(
)

T (r) = max T (r, fj ) .
1≤j≤n

1.2.

Hàm đếm a-điểm của hàm phân hình

Định nghĩa 1.7. Cho k là một số nguyên không âm, ký hiệu N (r, a; f | =
k) là hàm đếm a điểm bội là k. Khi đó N (r, a; f | = 1) là hàm đếm các
a− điểm đơn của f .
9


Định nghĩa 1.8. Cho k là một số nguyên dương, ký hiệu N (r, a; f | ≤ k)
(N (r, a; f | ≥ k)) là hàm đếm a− điểm với bội không lớn hơn (không nhỏ
hơn) k. Định nghĩa tương tự N (r, a; f | ≤ k) (N (r, a; f | ≥ k)) là hàm đếm
a− điểm của f trong trường hợp khơng tính bội.
Định nghĩa 1.9. Cho f và g là các hàm phân hình khác hằng chia sẻ
một giá trị a ∈ C ∪ {∞}. Cho z0 là a− điểm với bội p và a− điểm của
g với bội q. Ký hiệu N L (r, a; f ) (N L (r, a; g)) là hàm đếm của a− điểm
của f và g với p > q (q > p), với mỗi a− điểm được tính một lần. Ta có
1)

NE (r, a, f ) là hàm đếm a− điểm của f và g với p = q = 1.
Định nghĩa 1.10. Ta định nghĩa hàm
N2 (r, a; f ) = N (r, a; f ) + N (r, a; f | ≥ 2),
với N (r, a; f ) là hàm đếm a− điểm của f .
Định nghĩa 1.11. Cho hàm f và g chia sẻ giá trị a IM . Ký hiệu
N ∗ (r, a; f, g) là hàm đếm tại các a− điểm của f có bội khác với bội
của a− điểm của g. Khi đó

N ∗ (r, a; f, g) = N ∗ (r, a; g, f ) và N L (r, a; f ) = N L (r, a; g).
Định nghĩa 1.12. Cho a, b1 , b2 , · · · , bq ∈ C ∪ {∞}. Ký hiệu
N (r, a; f |g 6= b1 , b2 , · · · , bq )
là hàm đếm a− điểm của f tính cả bội mà không phải là bi điểm của
g với i = 1, 2, · · · , q. Tương tự, N (r, a; f |g 6= b1 , b2 , · · · , bq ) là hàm đếm
a− điểm của f trong trường hợp khơng tính bội.
Cho hàm H được xác định như sau:
H=

 F 00

0

00

0

2F   G
2G 
−
−
−
,
F0
F −1
G0
G−1

với F và G là hai hàm phân hình khác hằng.

10


Bổ đề 1.8. ([9]) Nếu hai hàm phân hình khác hằng F và G chia sẻ 1
IM và H 6≡ 0 thì
1)

NE (r, 1; F ) = N (r, H) + S(r, F ) + S(r, G).
Bổ đề 1.9. ([9]) Nếu hai hàm phân hình khác hằng F và G chia sẻ 1
IM thì
1
1)
N (r, 1; F ) + N (r, 1; G) − NE (r, 1; F ) − N ∗ (r, 1; F, G)
2
i
1h
≤ N (r, 1; F ) + N (r, 1; G) .
2

(1.3)

Bổ đề 1.10. ([9]) Cho F và G là các hàm phân hình với hữu hạn cực
điểm trong C chia sẻ 1 IM . Nếu H 6≡ 0 thì
N (r, H) ≤N (r, 0; F | ≥ 2) + N (r, 0; G| ≥ 2) + N ∗ (r, 1; F, G)
+ N 0 (r, 1; F 0 ) + N 0 (r, 1; G0 ) + O(log r),

(1.4)

trong đó N 0 (r, 1; F 0 ) là hàm đếm không điểm của F 0 mà không phải là
không điểm của F (F − 1), N 0 (r, 1; G0 ) được định nghĩa tương tự.

−(g n + ag m )
−(f n + af m )
và G =
, trong
Bổ đề 1.11. ([9]) Cho F =
b
b
đó f và g là hai hàm phân hình có hữu hạn cực điểm trong C, n, m là
các số nguyên dương thoả mãn n > m ≥ 2 và a, b là các hằng số hữu hạn
khác không. Giả sử ω1 , ω2 , · · · , ωk là các nghiệm phân biệt của phương
trình ω k + a = 0, trong đó k = n − m. Nếu H 6≡ 0 và F, G chia sẻ 1 IM
thì
k h
i X
i
nh
T (r, f ) + T (r, g) ≤
N2 (r, ωj ; f ) + N2 (r, ωj ; g)
2
j=1
h
i
+ 2 N (r, 0; f ) + N (r, 0; g)

3
+ N ∗ (r, 1; F, G) + S(r, f ) + S(r, g).
2
Chứng minh. Vì f và g là hai hàm phân hình có hữu hạn cực điểm trong
C nên ta có N (r, F ) = O(log r) và N (r, G) = O(log r). Từ Định lý cơ
11

bản thứ hai ta có
T (r, F ) ≤ N (r, 1; F ) + N (r, 0; F ) − N 0 (r, 0; F 0 ) + S(r, F )

(1.5)

T (r, F ) ≤ N (r, 1; G) + N (r, 0; G) − N 0 (r, 0; G0 ) + S(r, G).

(1.6)

và

Từ Bổ đề 1.8, Bổ đề 1.9 và Bổ đề 1.10 ta có
i 3
1h
N (r, 1; F ) + N (r, 1; F ) ≤ N (r, 1 : F ) + N (r, 1; G) + N ∗ (r, 1; F, G)
2
2
+ N (r, 0; F | ≥ 2) + N (r, 0; G| ≥ 2) + N 0 (r, 0; F 0 )
+ N 0 (r, 0; G0 ) + S(r, F ) + S(r, G).
(1.7)
Từ (1.5), (1.6) và (1.7), ta có
i 3
1h
T (r, F ) + T (r, G) ≤ N (r, 1; F ) + N (r, 1; G) + N ∗ (r, 1; F, G)
2
2
+ N (r, 0; F ) + N (r, 0; F | ≥ 2) + N (r, 0; G) (1.8)
+ N (r, 0; G| ≥ 2) + S(r, F ) + S(r, G).

Theo Bổ đề 1.1 và Định nghĩa 1.10, từ cơng thức (1.8), ta có
h
i nh
i 3
n T (r, F ) + T (r, G) ≤ T (r, f ) + T (r, g) + N ∗ (r, 1; F, G)
2
2
+ N2 (r, 0; F ) + N2 (r, 0; G) + S(r, F ) + S(r, G).
Do đó
k h
i X
i
nh
T (r, f ) + T (r, g) ≤
N2 (r, ωj ; f ) + N2 (r, ωj ; g)
2
j=1
h
i
+ 2 N (r, 0; f ) + N (r, 0; g)

3
+ N ∗ (r, 1; F, G) + S(r, f ) + S(r, g).
2
Ta có điều cần chứng minh.
Bổ đề 1.12. ([9]) Giả sử P (ω) được cho bởi Bổ đề 1.2 và γ1 , γ2 , · · · , γn
12


là các nghiệm phân biệt của phương trình P (ω) = 0. Cho f, g là hai hàm

phân hình khác hằng, F, G, k, ωj (j = 1, 2, · · · , k) trong Bổ đề 1.11 và
F, G chia sẻ 1 IM . Khi đó
N L (r, 1; F ) ≤ N (r, f )+N (r, 0; f )+

k
X

N (r, ωj ; f )−N⊗11 (r, 0; f 0 )+S(r, f ),

j=1

trong đó,


N⊗11 (r, 0; f 0 ) = N r, 0; f 0 |f 6= 0, ω1 , ω2 , · · · , ωk ; γ1 , γ2 , · · · , γn .
Ta có bất đẳng thức tương tự với N L (r, 1; G).
Chứng minh. Ta chứng minh bất bẳng thức với N L (r, 1; F ), các trường
hợp khác chứng minh tương tự. Thật vậy không tồn tại ωj , (j = 1, 2, · · · , k)
chứa 0 hoặc γj , (i = 1, 2, · · · , k). Từ Định lý cơ bản thứ nhất, ta có
N L (r, 1; F ) ≤ N (r, 1; F | ≥ 2)
≤ N (r, 1; F ) − N (r, 1; F )
n 

X
≤
N (r, γi ; f ) − N (r, γj ; f )
i=1

≤ N (r, 0; f 0 |f 6= 0, ω1 , ω2 , · · · , ωk ) − N⊗11 (r, 0; f 0 )



f0
≤ N r, 0;
− N⊗11 (r, 0; f 0 )
f (f − ω1 )(f − ω2 ) · · · (f − ωk )


f0
≤ N r, 0;
f (f − ω1 )(f − ω2 ) · · · (f − ωk )
− N⊗11 (r, 0; f 0 ) + S(r, f )
≤ N (r, f ) + N (r, 0; f ) +

k
X

N (r, ωj ; f )

j=1

−

N⊗11 (r, 0; f 0 )

+ S(r, f ).
(1.9)

Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 1.13. ([9]) Giả sử P (ω) được cho bởi Bổ đề 1.2 và γˆ1 , γˆ2 , · · · , γˆn−1
là các nghiệm phân biệt của phương trình P (ω) = 0, với γˆ1 là nghiệm
13

kép duy nhất. Cho f, g là hai hàm phân hình khác hằng, F, G, k, ωj (j =
1, 2, · · · , k) trong Bổ đề 1.11 và F, G chia sẻ 1 IM . Khi đó
N L (r, 1; F ) ≤ N (r, f ) + N (r, γˆ1 ; f ) + N (r, 0; f )
+

k
X

N (r, ωj ; f ) − N⊗12 (r, 0; f 0 ) + S(r, f ),

j=1

trong đó


N⊗12 (r, 0; f 0 ) = N r, 0; f 0 |f 6= 0, ω1 , ω2 , · · · , ωk ; γˆ1 , γˆ2 , · · · , γˆn−1 .
Ta có bất đẳng thức tương tự với N L (r, 1; G).
Chứng minh. Ta thấy ωj , (j = 1, 2, · · · , k) không chứa 0 hoặc γi , (i =
1, 2, · · · , k). Từ Định lý cơ bản thứ nhất và tương tự Bổ đề 1.12, ta có
N L (r, 1; F ) ≤ N (r, 1; F | ≥ 2)
≤ N (r, 1; F ) − N (r, 1; F )
n−1 

X
≤ N (r, γˆ1 ; f ) +
N (r, γˆi ; f ) − N ⊗ (r, γˆi ; f )
i=1

≤ N (r, γˆ1 ; f ) + N (r, 0; f 0 |f 6= 0, ω1 , ω2 , · · · , ωk ) − N⊗12 (r, 0; f 0 )



f0
≤ N (r, γˆ1 ; f ) + N r, 0;
f (f − ω1 )(f − ω2 ) · · · (f − ωk )
12
0
− N⊗ (r, 0; f )


f0
≤ N (r, γˆ1 ; f ) + N r,
f (f − ω1 )(f − ω2 ) · · · (f − ωk )
12
0
− N⊗ (r, 0; f ) + S(r, f )
≤ N (r, γˆ1 ; f ) + N (r, f ) + N (r, 0; f ) +

k
X

N (r, ωj ; f )

j=1

−

N⊗12 (r, 0; f 0 )

+ S(r, f ).

(1.10)

Các bất đẳng thức khác được chứng minh tương tự.
Tương tự Bổ đề 1.12 và 1.13 ta chứng minh được các bổ đề sau.
Bổ đề 1.14. ([9]) Giả sử γ1 , γ2 , · · · , γn được cho trong Bổ đề 1.12, f, g
14


là hai hàm phân hình khác hằng, F, G, k, ωj (j = 1, 2, · · · , k) trong Bổ đề
1.11. Nếu F, G chia sẻ 1 IM thì
N L (r, 1; F ) ≤ N (r, f ) +

k
X

N (r, ωj ; f ) − N⊗21 (r, 0; f 0 ) + S(r, f ),

j=1

trong đó,


N⊗21 (r, 0; f 0 ) = N r, 0; f 0 |f 6= ω1 , ω2 , · · · , ωk ; γ1 , γ2 , · · · , γn .
Ta có bất đẳng thức tương tự với N L (r, 1; G).
Bổ đề 1.15. ([9]) Giả sử γˆ1 , γˆ2 , · · · , γˆn−1 được cho trong Bổ đề 1.13, f, g
là hai hàm phân hình khác hằng, F, G, k, ωj (j = 1, 2, · · · , k) trong Bổ đề
1.11. Nếu F, G chia sẻ 1 IM thì
N L (r, 1; F ) ≤ N (r, f )+N (r, γˆ1 ; f )+

k
X

N (r, ωj ; f )−N⊗22 (r, 0; f 0 )+S(r, f ),

j=1

trong đó,


N⊗22 (r, 0; f 0 ) = N r, 0; f 0 |f 6= ω1 , ω2 , · · · , ωk ; γˆ1 , γˆ2 , · · · , γˆn−1 .
Ta có bất đẳng thức tương tự với N L (r, 1; G).
Bổ đề 1.16. ([9]) Giả sử γ1 , γ2 , · · · , γn được cho trong Bổ đề 1.12, f, g
là hai hàm phân hình khác hằng, F, G, k, trong Bổ đề 1.11. Nếu F, G chia
sẻ 1 IM thì
N L (r, 1; F ) ≤ N (r, f ) + N (r, 0; f ) − N⊗31 (r, 0; f 0 ) + S(r, f ),
trong đó,


N⊗31 (r, 0; f 0 ) = N r, 0; f 0 |f 6= 0, γ1 , γ2 , · · · , γn .
Ta có bất đẳng thức tương tự với N L (r, 1; G).
Bổ đề 1.17. ([9]) Giả sử γˆ1 , γˆ2 , · · · , γˆn−1 được cho trong Bổ đề 1.13, f, g
là hai hàm phân hình khác hằng, F, G, k trong Bổ đề 1.11. Nếu F, G chia
15


sẻ 1 IM thì
N L (r, 1; F ) ≤ N (r, f ) + N (r, 0; f ) + N (r, γˆ1 ; f ) − N⊗32 (r, 0; f 0 ) + S(r, f ),
trong đó,


N⊗32 (r, 0; f 0 ) = N r, 0; f 0 |f 6= 0; γˆ1 , γˆ2 , · · · , γˆn−1 .
Ta có bất đẳng thức tương tự với N L (r, 1; G).

1.3.

Xác định duy nhất L-hàm và hàm phân hình khi
chúng chia sẻ các giá trị

Hàm zeta Riemann là một hàm đặc biệt quan trọng của toán học và
vật lý, xuất hiện trong tích phân xác định và có liên quan mật thiết đến
các kết quả xung quanh định lí số nguyên tố. Hàm zeta Riemann là hàm
của một biến phức s và là tổng của một chuỗi Dirichlet.
Các L-hàm là chuỗi Dirichlet, trong đó hàm zeta Riemann
ζ(s) =

1
n=1 ns

X∞

là hàm quan trọng trong lý thuyết số và đã được nghiên cứu rộng rãi.
L-hàm là chuỗi Dirichlet
L(s) =

∞
X
a(n)
n=1

ns

của một biến phức s = σ + it, thỏa mãn các tiên đề sau:
(i) Giả thiết Ramanujan: a(n)  nε với mọi ε > 0;
(ii) Thác triển giải tích: Có một số ngun khơng âm k sao cho

(s − 1)k L(s) là hàm nguyên có bậc hữu hạn.
(iii) Phương trình hàm: L thỏa mãn phương trình hàm dạng
ΛL (s) = ωΛL (1 − s),

16


trong đó
ΛL (s) = L(s)Q

s

K
Y

Γ(λj s + µj )

j=1

với Q, λj là số thực dương và các số phức µj , ω với Reµj ≥ 0 và
|ω| = 1.
Bậc dL của L-hàm L được xác định bởi dL = 2

PK

j=1 λj ,

trong đó K, λj

là những số thỏa mãn (iii).

L-hàm thỏa mãn (i)-(ii) và đồng thời thỏa mãn (iv) được gọi là L-hàm
lớp Selberg S.
Từ (ii) L-hàm có thể được thác triển thành hàm phân hình trong mặt
phẳng phức C.
Bổ đề 1.18. ([11]) Cho L thỏa mãn các tiên đề (i)-(iii) với a(1) = 1.
Khi đó
T (r, L) =

dL
r log r + O(r).
π

Định lý 1.3. [11] Nếu hai L-hàm L1 , L2 với a(1) = 1 nhận chung một
giá trị phức c ∈
/ ∞ CM thì L1 ≡ L2 .
Định lý 1.4. [6] Cho a, b ∈ C là hai giá trị phân biệt và f là hàm hàm
hình trong C với hữu hạn cực điểm. Nếu f và L-hàm khác hằng L chia
sẻ giá trị a CM và b IM thì L ≡ f.
Hệ quả 1.1. [6] Cho a, b, c ∈ C ∪ {∞} là ba giá trị phân biệt với a ∈ C
và b = ∞ hoặc c = ∞. Nếu f là một hàm phân hình trong C mà nhận
chung giá trị a CM và b, c IM với L-hàm L khác hằng thì f ≡ L.
Bổ đề 1.19. ([9]) Cho Q(ω) là đa thức bậc t và c1 , c2 là hai giá trị phức
phân biệt. Giả sử f là hàm phân hình có hữu hạn cực điểm trong C và
L là L-hàm khác hằng. Nếu Q(f ) và Q(L) chia sẻ c1 CM và c2 IM thì
Q(f ) = Q(L).

17


Chương 2. Vấn đề duy nhất cho

L-hàm và hàm phân hình có hữu
hạn cực điểm
2.1.

L-hàm và hàm phân hình chia sẻ một tập hữu hạn
CM

Định lý 2.1. ([9]) Cho f là một hàm phân hình có hữu hạn cực điểm
trong C, L là một L-hàm khác hằng và P (ω) = ω n + aω m + b, với a
và b là các hằng số khác không; n và m là các số nguyên dương nguyên
tố cùng nhau thỏa mãn n > 2m + 4. Giả sử f và L chia sẻ S CM với
S = {ω : P (ω) = 0}. Khi đó
f = L.
Chứng minh. Giả sử d là bậc của L, khi đó d = 2

Pk

j=1 λj

> 0 ([11],

trang 113), trong đó K và λj tương ứng là số nguyên dương và số thực
không âm trong phương trình của tiên đề (iii) ở mục 1.3. Do đó, theo Bổ
đề 1.18 ta có
T (r, L) =

d
r log r + O(r).
π

(2.1)

Mặt khác, theo định nghĩa về bậc của hàm phân hình ta có
ρ(L) = 1.

(2.2)

Chú ý rằng L chỉ có một cực điểm tại s = 1 nên
N (r, L) = O(log r).

18

(2.3)


Giả sử f có hữu hạn cực điểm trong mặt phẳng phức, khi đó
N (r, f ) = O(log r).

(2.4)

Theo Bổ đề 1.2, ta thấy phương trình
f n + af m + b = 0
có ít nhất n−1 nghiệm phân biệt. Giả sử các nghiệm đó là ω1 , ω2 , · · · , ωn−1 .
Kết hợp với giả thiết f và L chia sẻ S CM , n > 2m + 4 ≥ 6 và theo Định
lý cơ bản thứ hai, ta có
n−1
X




1 
+ O log r + log T (r, f )
(n − 3)T (r, f ) ≤
N r,
f
−
ω
j
j=1
n
X





1 
≤
+ O log r + log T (r, f )
L
−
ω
j
j=1


≤ nT (r, L) + O log r + log T (r, f ) .

N r,

Suy ra


7
T (r, f ) ≤ T (r, L) + O log r + log T (r, f ) khi r → ∞ và r 6∈ E. (2.5)
4
Tương tự, ta có


7
T (r, L) ≤ T (r, f ) + O log r + log T (r, L) khi r → ∞ và r 6∈ E. (2.6)
4
Từ (2.5) và (2.6), theo định nghĩa bậc của hàm phân hình và Bổ đề 1.1.1
trong [3], ta có
ρ(f ) ≤ ρ(L)

(2.7)

ρ(L) ≤ ρ(f ).

(2.8)

ρ(f ) = ρ(L) = 1.

(2.9)

và

Từ (2.2), (2.7) và (2.8), ta có

19


Theo giả thiết f và L chia sẻ S CM , từ (2.3), (2.4) và (2.9) suy ra
P (f )
f n + af m + b
= n
= R1 eα := h,
m
P (L) L + aL + b

(2.10)

trong đó, R1 6≡ 0 là hàm hửu tỷ và α là hàm nguyên. Từ (2.9) ta thấy α
là đa thức có bậc khơng lớn hơn 1, nghĩa là
α(s) = A1 S + B1 ,

(2.11)

trong đó, A1 và B1 là các hằng số. Từ (2.10), (2.11), Bổ đề 1.3 và theo
Hayman, ta có
T (r, f ) = T (r, L) + O(r).

(2.12)

Đặt
g1 = f n ,

g2 = af m + b,

g3 = −hLn ,

g4 = h(aLm + b). (2.13)

Từ (2.10), (2.13), ta có
g4 = g1 + g2 + g3 .

(2.14)

Từ (2.14), ta xét hai trường hợp sau
Trường hợp 1. Giả sử g1 , g2 , g3 là các hàm phân hình độc lập tuyến tính
trong mặt phẳng phức. Theo Định lý Weierstrass, ta có
g1 =

G1
,
H1

g2 =

G2
,
H2

, g3 =

G3
,
H3

g4 =

G4
,
H4

(2.15)

trong đó Gj và Hj là các hàm ngun khác khơng, khơng có khơng điểm
chung, với 1 ≤ j ≤ 4. Thay (2.15) vào (2.14) thu được
G4
G1 G2 G3
=
+
+
,
H4
H1 H2 H3
và do đó
(H1 H2 H3 )G4 = (H4 H2 H3 )G1 + (H4 H1 H3 )G2 + (H4 H1 H2 )G3 .

20

(2.16)